Introducción
Las crecientes de diseño dimensionan hidrológicamente todas las obras hidráulicas en las diferentes etapas que atraviesan. En sitios de interés y sus cuencas respectivas, que no tienen información de gastos máximos anuales, las crecientes de diseño se deben estimar con base en métodos hidrológicos que transforman una lluvia de diseño en el hidrograma de respuesta o en el gasto pico buscado (Mujumdar & Nagesh-Kumar, 2012). Las lluvias de diseño proceden de las curvas intensidad-duración-frecuencia (IDF) que caracterizan la manera como llueve en la zona de estudio. La escasez de registros pluviográficos impide la construcción de las curvas IDF y por ello se recurre a su estimación, con base en los registros disponibles de las estaciones pluviométricas de mayor cobertura y más amplias (Teegavarapu, 2012; Johnson & Sharma, 2017).
Los registros de precipitación máxima diaria (PMD) anual se procesan probabilísticamente de forma idéntica a los de gasto máximo anual o crecientes, pasando por cuatro etapas: (1) búsqueda de registros, que incluye su depuración y la verificación de su homogeneidad; (2) elección de una función de distribución de probabilidades acumuladas o FDP, es decir, del modelo probabilístico que permitirá obtener las predicciones asociadas con bajas probabilidades de excedencia; (3) aplicación de uno o varios métodos de estimación de los parámetros de ajuste de la FDP, y (4) validación de la FDP adoptada y de sus predicciones (Rao & Hamed, 2000; Meylan, Favre, & Musy, 2012; Stedinger, 2017).
El objetivo del estudio consistió en seleccionar las mejores FDP que se deben aplicar en el análisis probabilístico de series de PMD anual. Primero se expone y aplica el diagrama de cocientes L, a través de la distancia absoluta ponderada para adoptar objetivamente la mejor FDP de las seis que incluye; después se sigue un enfoque basado en ocho índices de habilidad descriptiva para la selección entre las ocho FDP que se contrastan; se exponen y analizan los resultados concentrados del Altiplano Potosino y de la Zona Media del estado de San Luis Potosí, México, en las cuales se procesaron 9 y 10 registros de PMD anual, con 50 o más datos; por último, se realiza un contraste de predicciones que tienen periodos de retorno de 50, 100, 500 y 1000 años, y se formulan conclusiones respecto a la capacidad predictiva de las FDP seleccionadas.
Datos de PMD procesados
Series depuradas
Con base en el archivo en Excel actualizado hasta 2015 de las estaciones climatológicas del estado de San Luis Potosí, proporcionado al autor por la Dirección Local de la Comisión Nacional del Agua (Conagua), se seleccionaron todos los registros de precipitación máxima diaria (PMD) anual con más de 40 valores y escasos datos faltantes, y se obtuvieron 100 series (Campos-Aranda, 2018). Después se llevó a cabo una ratificación de sus valores extremos mínimos y máximos con auxilio de la Conagua, para obtener las llamadas series depuradas.
Pruebas de homogeneidad aplicadas
A cada serie depurada se le aplicó el Test de Von Neumann, como prueba general, que detecta la no aleatoriedad por componentes determinísticas no especificadas y varias pruebas específicas: Anderson y Sneyers de persistencia, Kendall y Spearman de tendencia, Bartlett de inconsistencia en la dispersión y Cramer de cambios en la media. Estas pruebas se pueden consultar en WMO (1971), y Machiwal y Jha (2008). Se encontró que un total de 39 series resultaron o no aleatorias, o bien presentaron persistencia y/o tendencia.
Series por procesar
Las 39 series no homogéneas se eliminaron, así como las de amplitud menor de 50 datos; con tales restricciones se dispuso de 35 registros de PMD anual en el estado de San Luis Potosí. Nueve series pertenecen al Altiplano Potosino (AP), 10 a la zona media (ZM) y 16 a la Región Huasteca. En este estudio se procesaron las 19 series que se ubican en los climas áridos y semiáridos de las áreas geográficas AP y ZM, cuyas altitudes en general son superiores a los mil metros. En la Tabla 1 se exponen las estaciones procesadas, su altitud, amplitud de registro y valores mínimo y máximo. En la Tabla 2 se muestran sus estadísticos y cocientes de momentos L (Ecuaciones (6) a (8)). Las primeras nueve estaciones climatológicas pertenecen al AP y las 10 restantes a la ZM. En la Figura 1 se muestra su ubicación geográfica en el estado de San Luis Potosí; México.
Núm. | Nombre de la estación: | Altitud1 (msnm) |
Registro | PMD | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Periodo | n2 | Mín | Máx | |||
1 | Cedral | 1 702 | 1946-2014 | 66 | 19.0 | 315.8 |
2 | Charcas | 2 126 | 1961-2014 | 54 | 12.0 | 117.0 |
3 | La Maroma | 1 900 | 1965-2014 | 50 | 16.0 | 140.1 |
4 | Los Filtros (SLP) | 1 904 | 1949-2014 | 66 | 15.9 | 111.0 |
5 | Matehuala | 1 630 | 1961-2014 | 54 | 25.5 | 200.0 |
6 | Mexquitic | 1 749 | 1943-2014 | 72 | 12.0 | 107.0 |
7 | Peñón Blanco | 2 099 | 1950-2014 | 57 | 13.0 | 235.0 |
8 | Santo Domingo | 1 415 | 1961-2013 | 52 | 19.0 | 270.0 |
9 | Vanegas | 1 746 | 1964-2013 | 50 | 12.0 | 90.0 |
10 | Armadillo de los Infante | 1 636 | 1961-2013 | 52 | 22.0 | 133.0 |
11 | Cárdenas | 1 353 | 1946-2013 | 61 | 21.5 | 180.5 |
12 | Lagunillas | 908 | 1954-2013 | 53 | 30.0 | 210.0 |
13 | Ojo de Agua | 1 148 | 1960-2013 | 52 | 45.0 | 300.2 |
14 | Ojo de Agua Seco | 1 077 | 1961-2013 | 51 | 26.5 | 172.5 |
15 | Paso de San Antonio | 1 246 | 1958-2013 | 52 | 26.0 | 200.0 |
16 | Rayón | 1 258 | 1961-2013 | 51 | 33.5 | 330.0 |
17 | Río Verde | 987 | 1961-2013 | 52 | 27.0 | 126.3 |
18 | San Francisco | 1 066 | 1961-2013 | 50 | 12.0 | 135.0 |
19 | San José Alburquerque | 1 863 | 1961-2014 | 50 | 21.0 | 126.5 |
Núm. est. |
Parámetros estadísticos3 | Cocientes4 de momentos L | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
l2 | S | Cs | t3 | t4 |
|
|
|
1 | 47.1 | 13.465 | 38.6 | 5.501 | 0.49274 | 0.41041 | 0.20245 | 0.20806 |
2 | 48.8 | 12.068 | 22.0 | 0.974 | 0.17331 | 0.18124 | -0.06888 | 0.17927 |
3 | 46.6 | 10.807 | 21.3 | 2.006 | 0.27042 | 0.21953 | 0.05484 | 0.16449 |
4 | 43.0 | 8.448 | 15.7 | 1.315 | 0.13515 | 0.16117 | -0.04764 | 0.13773 |
5 | 59.3 | 14.243 | 29.2 | 2.471 | 0.28588 | 0.23605 | 0.06420 | 0.13996 |
6 | 47.8 | 9.521 | 17.1 | 0.540 | 0.05475 | 0.15489 | -0.14445 | 0.17245 |
7 | 47.8 | 15.395 | 40.2 | 3.669 | 0.51286 | 0.44109 | 0.19048 | 0.26367 |
8 | 57.6 | 16.564 | 37.8 | 3.685 | 0.31725 | 0.27714 | 0.02817 | 0.14591 |
9 | 37.6 | 10.013 | 18.4 | 1.028 | 0.22725 | 0.16424 | -0.00150 | 0.14389 |
10 | 57.5 | 14.504 | 27.3 | 1.287 | 0.28601 | 0.18574 | 0.08089 | 0.14044 |
11 | 67.7 | 20.216 | 38.9 | 1.457 | 0.33709 | 0.18138 | 0.11049 | 0.12095 |
12 | 77.8 | 18.480 | 35.0 | 1.525 | 0.22455 | 0.15699 | 0.02475 | 0.10105 |
13 | 91.4 | 21.459 | 46.5 | 2.586 | 0.38619 | 0.31739 | 0.16556 | 0.20467 |
14 | 69.3 | 14.883 | 28.9 | 1.694 | 0.28166 | 0.21420 | 0.08873 | 0.16202 |
15 | 69.3 | 13.793 | 27.6 | 2.219 | 0.22726 | 0.23726 | 0.01936 | 0.18991 |
16 | 76.4 | 19.343 | 45.5 | 3.765 | 0.39215 | 0.34343 | 0.13435 | 0.21192 |
17 | 58.4 | 12.973 | 23.4 | 0.934 | 0.20926 | 0.09728 | 0.05010 | 0.06390 |
18 | 46.7 | 12.757 | 24.4 | 1.461 | 0.23966 | 0.24363 | -0.03897 | 0.21540 |
19 | 50.1 | 11.466 | 21.7 | 1.434 | 0.19616 | 0.16114 | 0.00396 | 0.08689 |
Simbología:
1metros sobre el nivel del mar.
2número de datos procesados.
3
l 1, l 2 = momentos L de orden 1 y 2.
S = desviación estándar, en milímetros.
Cs = coeficiente de asimetría, adimensional.
4t3 = cociente L de asimetría, adimensional.
t4 = cociente L de curtosis, adimensional.
Diagrama de cocientes L
Momentos L de la muestra
Los momentos L son combinaciones lineales de los momentos de probabilidad ponderada (b
r
), por ello son robustos ante los valores dispersos de muestra. Su cálculo comienza por ordenar la serie disponible (x
i
) de PMD anual de menor a mayor (
En la expresión anterior, el número de orden r varía de 0 a 3 y n es el número de datos de la serie de PMD anual. Se deduce que b 0 es igual a la media aritmética. Los momentos L de la muestra (l) y sus respectivos cocientes (t) de similitud con los coeficientes de variación, asimetría y curtosis son:
Diagrama de cocientes L
Tiene en el eje de las abscisas a t 3 y en el de las ordenadas a t 4. Las FDP de tres parámetros de ajuste son líneas curvas con las ecuaciones de tipo polinomio siguientes (Hosking & Wallis, 1997):
Logística Generalizada (LOG):
Pareto Generalizada (PAG):
Log-normal (LGN):
Pearson tipo III (PT3):
y General de Valores Extremos (GVE):
siendo:
Utilizando los logaritmos de los datos en las Ecuaciones (1) a (8) se obtienen los cocientes L logarítmicos y entonces se puede utilizar la expresión (12) para evaluar la FDP Log-Pearson tipo III. En la Figura 2 se muestra una porción del diagrama de cocientes de momentos L, procedente de Hosking y Wallis (1997).
Distancia absoluta ponderada
Uno de los enfoques recientes para la selección de la mejor FDP en los ámbitos local y regional consiste en llevar al diagrama de cocientes L los valores de la muestra (t 3 y t 4) y definir su cercanía a alguna de las curvas, para obtener el mejor modelo probabilístico. Lo anterior es relativamente simple en los análisis locales, pero se complica en el enfoque regional, como han señalado Peel, Wang, Vogel y McMahon (2001), pues entonces se tiene una nube de puntos. Para evitar la subjetividad en la selección de la FDP, se ha propuesto evaluar la Distancia Absoluta Ponderada (DAP) con la expresión siguiente (Yue & Hashino, 2007):
donde NE es el número de estaciones que integran la región;
nj , el número de datos de cada
registro de PMD;
Funciones de distribución por contrastar
Con base en el diagrama de cocientes L se pueden probar seis FDP y como se aceptó a priori eliminar la que no fuera seleccionada al menos una vez en los 19 registros de PMD anual por procesar, no se contrastó la distribución Pearson Tipo III y entonces se probarán los modelos LOG, PAG, LGN, GVE y LP3.
Las ocho FDP que fueron contrastadas incluyen a los modelos Beta Kappa y Beta Pareto propuestos por Mielke y Johnson (1974), que no son populares en México, pero que fueron comparadas en un trabajo pionero de selección óptima de distribuciones con tres parámetros de ajuste en registros de PMD anual, el de Wilks (1993), con buenos resultados para la Beta-κ (BEK) en series de máximos y de valores arriba de un umbral para la Beta-P (BEP); Nguyen, El Outayek, Lim, y Nguyen (2017) también las incluyen en su contraste.
Por último, se incluyó a la FDP Wakeby (WAK) que tiene cinco parámetros de ajuste, fue propuesta por Houghton (1978), y permite modelar de manera separada los extremos izquierdo y derecho de la muestra. Nguyen et al. (2017) encuentran que la distribución Wakeby es la de mejor habilidad descriptiva.
Para evitar más variables involucradas en la selección de las mejores FDP en modelos que tienen varios métodos de estimación de sus parámetros de ajuste, se aplicó exclusivamente el de momentos L, que ha probado ser consistente y exacto. Tal método en los modelos GVE, LOG y PAG no se expone, pues ha sido descrito en varios artículos del autor, como en Campos-Aranda (2015; 2016). También se puede consultar en Hosking y Wallis (1997), Rao y Hamed (2000), y Stedinger (2017). Las FDP Log-normal (LGN) y Wakeby (WAK) se ajustaron con el método de momentos L expuesto por Hosking y Wallis (1997).
Respecto a la distribución Log-Pearson tipo III (LP3) se ajustó con el método de momentos en los dominios logarítmico y real (WRC, 1977; Bobée & Ashkar, 1991; Campos-Aranda, 2002), seleccionado el de menor error estándar de ajuste (Kite, 1977). Las distribuciones Beta se ajustaron con el método iterativo de máxima verosimilitud de Mielke y Johnson (1974), adoptando como valor inicial del parámetro de escala la media del registro de PMD y del parámetro de forma un valor de cinco. Se llevó el máximo de iteraciones a dos mil.
Índices de habilidad descriptiva
Gráficos de diagnóstico
Los gráficos P-P y Q-Q de probabilidad empírica contra calculada y de cantidad observada contra estimada se han popularizado (Coles, 2001; Wilks, 2011), y constituyen una manera simple y efectiva de comparar los resultados de una FDP contrastada. Su desventaja radica en la apreciación subjetiva que se hace al comparar diversas FDP con tales gráficas, ya que no se dispone de un valor numérico (Nguyen et al., 2017). Campos-Aranda (2015) ha expuesto tales gráficos y visualiza más útil la gráfica de Q-Q para observar predicciones sobreestimadas (por quedar arriba de la recta a 45°) o subestimadas (por estar debajo de la recta a 45°).
Pruebas estadísticas
Estos tests como la Ji cuadrada, el de Kolmogorov-Smirnov o el de Anderson-Darling permiten justificar que una muestra se puede aceptar si proviene de una distribución específica que se esté analizando. En las dos primeras pruebas su desventaja radica en tener poca potencia y en la segunda de sólo ser aplicable para una FDP específica (Meylan et al., 2012).
Índices de bondad de ajuste
Tienen la ventaja de ser de cálculo fácil y por lo común involucran la diferencia entre los valores observados x
i
y los estimados con la FDP que se contrasta
Fórmula empírica de probabilidad
Meylan et al. (2012) indican que todas las ecuaciones empíricas que asignan probabilidades se basan en ordenar la muestra o serie disponible en magnitudes ascendentes, haciendo posible asociar un orden i con cada dato y después hacen uso de la fórmula general siguiente, la cual asegura simetría respecto a la mediana:
en la cual c es una cantidad constante y n es el tamaño del registro o serie de PMD anual.
Haktanir (1991), describe un hallazgo práctico de 1971 por Stipp y Young, que procesaron 37 registros anuales de crecientes de exactamente 20 datos cada uno, todos en EUA. Estimaron la probabilidad de cada evento máximo y mínimo de cada serie con base en la distribución Log-Pearson tipo III y después igualaron tales valores con el obtenido de la Ecuación (15), encontrando que c tenía una magnitud aproximada de 0.40, por lo cual:
Haktanir (1991) también indica que años después Cunnane llega a la misma Ecuación (16) de manera teórica e independiente, estableciendo que tal fórmula no es específica de una FDP, y que sus resultados son insesgados y tienen error cuadrado mínimo. Cunnane (1978) además encuentra, con argumentos estadísticos, que la popular fórmula de Weibull (Benson, 1962) sólo es aplicable para una distribución uniforme, por lo cual no es conveniente emplearla en series de valores hidrológicos extremos (crecientes, sequías, PMD, etc.).
Error estándar de ajuste (EEA)
Es el índice más común (Chai & Draxler, 2014). Se estableció a mediados de la década de 1970 (Kite, 1977), y se ha aplicado en México haciendo uso de la fórmula empírica de Weibull (Benson, 1962). Ahora se aplicará utilizando la fórmula de Cunnane (Ecuación (16)), que de acuerdo con Stedinger (2017) conduce a probabilidades de no excedencia (
en la cual x
i
son los datos observados ordenados de menor a mayor;
Error relativo estándar de ajuste (EREA)
En el EEA todas las diferencias o residuos se elevan al cuadrado y ello implica dar mayor peso a los valores altos de la muestra; para reducir este impacto, se aplica el EREA, que es adimensional, su ecuación es (Pandey & Nguyen, 1999; Nguyen et al., 2017):
Error absoluto medio (EAM)
Sus ventajas radican en tener las unidades de la variable, al igual que el EEA, y evitar que el impacto de los valores dispersos sea elevado al cuadrado, y por ello EEA ≥ EAM (Willmott & Matsuura, 2005). Su expresión es (Pandey & Nguyen, 1999; Nguyen et al., 2017):
Error absoluto máximo (EAMx)
Este índice muestra al más grande de los errores o residuales absolutos, por ello Nguyen et al. (2017) han señalado que está relacionado con el estadístico de la prueba de Kolmogorov-Smirnov. Su ecuación es:
Criterio de información de Akaike (AIC)
Este índice emplea en su concepción original el valor máximo alcanzado en la función de verosimilitud durante el ajuste, con tal método, de la FDP que se contrasta. Para poder aplicar el índice, Nguyen et al. (2017) emplean la suma de errores al cuadrado (SEC) como indicador de la calidad del ajuste y entonces su ecuación es:
En estos primeros cinco índices, el valor menor de ellos indica el mejor ajuste de la FDP y su magnitud máxima el peor ajuste de la FDP contrastada. En los tres índices siguientes ocurre lo contrario, de manera que un valor máximo indica un buen ajuste de la FDP y viceversa.
Coeficiente de correlación de Q-Q (COC)
Este índice ha sido utilizado como el criterio principal de selección por Zalina et al. (2002) e indica la dependencia lineal que existe en el gráfico de Q-Q, por lo cual varía de 0 a 1. Los valores del COC cercanos a la unidad indican un buen ajuste de la FDP que se contrasta; su ecuación es:
en donde
Índices de concordancia (d1, d2)
De acuerdo con Legates y McCabe (1999), Willmott señaló desde inicios de los años de 1980 que el índice COC está limitado y es insensible a las diferencias y varianzas entre x
i
y
El numerador es la SEC y el denominador se llama el error potencial, por ser el valor máximo que la diferencia entre x
i
y
Tanto d2 como d1 varían de 0 a 1, con una interpretación igual al COC, por lo general d 2 ≥ d1.
Revisión de la habilidad predictiva
Enfoques disponibles
La habilidad predictiva de las FDP está relacionada con las predicciones realizadas a periodos de retorno (Tr) superiores al tamaño del registro (n), o bien a la comparación con los valores extremos observados en el registro. Existen tres enfoques para probar o verificar tal habilidad predictiva, el primero es el más simple y consiste en el contraste numérico de las predicciones obtenidas con cada FDP para diversos Tr adoptados.
El segundo enfoque de verificación de la habilidad predictiva fue ejemplificado por Haktanir (1992). Utiliza muestras aleatorias generadas con modelos básicos (LP3, GVE y WAK), que emplean los parámetros de ajuste obtenidos en los registros adoptados como representativos de las regiones geográficas estudiadas. Las mejores FDP se adoptan con base en el menor EREA.
A partir de la década de 1990 (Wilks, 1993; Zalina et al., 2002; Nguyen et al., 2017) se ha propuesto un tercer enfoque de contraste, basado en muestras aleatorias generadas a partir del registro histórico mediante muestreo con remplazo (técnica bootstrap), el cual contrasta predicciones dentro del registro obtenidas con las FDP probadas con los valores extremos de tal muestra. Las mejores FDP son las que muestran menor dispersión.
Enfoque adoptado
Corresponde al primero y más simple, pues se cuenta con las mejores FDP de cada registro de PMD anual, según el diagrama de cocientes L y de acuerdo con los ocho índices de habilidad descriptiva aplicados. Consiste en adoptar una de las FDP contrastadas y sus predicciones, siguiendo una regla establecida a priori, por ejemplo, adoptar los valores más críticos o mayores en la mayoría de los Tr contrastados, siempre y cuando tales predicciones sean similares, lo cual implica exactitud y genera confianza en las magnitudes adoptadas bajo tal esquema subjetivo.
Resultados según diagrama de cocientes L
La evaluación de la distancia absoluta ponderada (Ecuación (14)) en cada una de las seis FDP del diagrama de cocientes de momentos L (Ecuaciones (9) a (13)), haciendo uso de los valores de la Tabla 2, aportó los tres valores mínimos que se tienen en la Tabla 3, definiendo así la mejor FDP y las dos subsecuentes en el nivel local de cada serie de PMD anual. En la Figura 2 se han indicado los valores de t
3 y t
4 de cada registro, tomados de la Tabla 2. La mayoría de tales puntos definen su proximidad a una FDP, excepto las estaciones: Los Filtros (núm. 4), Santo Domingo (núm. 8) y Cárdenas (núm. 11), con cercanía al modelo LP3 debido a sus valores de
Núm. | Estación | DAP / FDP | ||
---|---|---|---|---|
1ª opción | 2ª opción | 3ª opción | ||
1 | Cedral | 0.0414 | 0.0511 | 0.0717 |
LOG | GVE | LP3 | ||
2 | Charcas | 0.0105 | 0.0299 | 0.0350 |
LOG | GVE | LGN | ||
3 | La Maroma | 0.0081 | 0.0218 | 0.0394 |
LOG | GVE | LGN | ||
4 | Los Filtros (SLP) | 0.0146 | 0.0207 | 0.0238 |
LP3 | LOG | GVE | ||
5 | Matehuala | 0.0013 | 0.0163 | 0.0296 |
LOG | LP3 | GVE | ||
6 | Mexquitic | 0.0143 | 0.0297 | 0.0316 |
LOG | LGN | PT3 | ||
7 | Peñón Blanco | 0.0552 | 0.0635 | 0.1078 |
LOG | GVE | LGN | ||
8 | Santo Domingo | 0.0233 | 0.0266 | 0.0517 |
LP3 | LOG | GVE | ||
9 | Vanegas | 0.0011 | 0.0110 | 0.0215 |
LGN | GVE | LP3 | ||
10 | Armadillo de los Infante | 0.0012 | 0.0160 | 0.0208 |
LGN | LP3 | GVE | ||
11 | Cárdenas | 0.0053 | 0.0115 | 0.0132 |
LP3 | PAG | PT3 | ||
12 | Lagunillas | 0.0052 | 0.0169 | 0.0170 |
LGN | GVE | PT3 | ||
13 | Ojo de Agua | 0.0264 | 0.0450 | 0.0733 |
LOG | GVE | LP3 | ||
14 | Ojo de Agua Seco | 0.0102 | 0.0186 | 0.0292 |
GVE | LOG | LGN | ||
15 | Paso de San Antonio | 0.0276 | 0.0620 | 0.0674 |
LOG | GVE | LP3 | ||
16 | Rayón | 0.0486 | 0.0666 | 0.0838 |
LOG | GVE | LP3 | ||
17 | Río Verde | 0.0148 | 0.0401 | 0.0593 |
PAG | PT3 | LP3 | ||
18 | San Francisco | 0.0291 | 0.0622 | 0.0759 |
LOG | GVE | LGN | ||
19 | San José Alburquerque | 0.0002 | 0.0083 | 0.0258 |
GVE | LGN | PT3 |
De acuerdo con el resumen por áreas geográficas de la Tabla 4, se concluye que la primera o mejor opción de FDP es la logística generalizada (LOG) con 10 selecciones; le siguen la Log-normal (LGN) y la Log-Pearson tipo III (LP3) con tres selecciones, y la menos adecuada resultó ser la Pearson tipo III (PT3) con ninguna selección.
Resultados según habilidad descriptiva
Observaciones generales
Respecto a la distribución Log-Pearson tipo III (LP3), se obtuvo un menor error estándar de ajuste en el dominio real en las estaciones Charcas, Los Filtros, Mexquitic y Santo Domingo del Altiplano Potosino, y en las estaciones Paso de San Antonio y San Francisco de la Zona Media. En las 13 estaciones restantes, el mejor ajuste se obtuvo en el dominio logarítmico.
En relación con la distribución Wakeby (WAK), en un total de nueve registros se obtuvo que el parámetro de ubicación (ξ) resultó ligeramente superior al valor mínimo de la serie, lo cual estrictamente es incorrecto. En estos nueve registros se ajustó la distribución Wakeby con ξ = 0, según procedimiento de Hosking y Wallis (1997), y se contrastaron sus resultados (índices de habilidad descriptiva y predicciones) contra los ajustes previos. Exclusivamente en la estación San José Alburquerque se encontró más adecuada según los índices EAMx y COC, así como predicciones menos dispersas, es decir, mejoró su habilidad predictiva.
Resultados en el Altiplano Potosino
Concentrado de índices numéricos
En la Tabla 5 se han concentrado los tres valores característicos (mínimo, medio y máximo) de cada índice de habilidad descriptiva (HD) obtenidos con cada una de las ocho FDP contrastadas, en las nueve estaciones pluviométricas del Altiplano Potosino del estado de San Luis Potosí, México. La Tabla 5 resume las ocho tabulaciones no expuestas de resultados de cada índice con las ocho FDP contrastadas en los nueve registros de PMD anual del Altiplano Potosino. Exclusivamente para los valores medios se indican con paréntesis circular el mejor valor de índice respectivo, indicando tal magnitud la mejor FDP regional. También se marcan con paréntesis rectangular los peores índices regionales.
Índice de HD |
FDP contrastadas | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
BEK | BEP | LGN | GVE | LOG | PAG | LP3 | WAK | |
EEA mín | 2.46 | 1.85 | 2.10 | 2.32 | 1.67 | 2.74 | 2.25 | 1.45 |
EEA med | 8.13 | 7.19 | 7.10 | 6.98 | (6.37) | [8.35] | 6.54 | 7.06 |
EEA máx | 20.40 | 16.42 | 15.68 | 14.85 | 14.80 | 15.96 | 13.40 | 15.73 |
EREA mín | 0.041 | 0.038 | 0.033 | 0.035 | 0.041 | 0.073 | 0.048 | 0.040 |
EREA med | 0.066 | (0.060) | 0.069 | 0.065 | 0.065 | [0.108] | 0.078 | 0.065 |
EREA máx | 0.125 | 0.110 | 0.149 | 0.124 | 0.122 | 0.156 | 0.138 | 0.131 |
EAM mín | 1.473 | 1.227 | 1.268 | 1.364 | 1.182 | 2.334 | 1.650 | 1.397 |
EAM med | 3.107 | 2.669 | 3.013 | 2.802 | 2.618 | [3.886] | 3.127 | (2.555) |
EAM máx | 6.705 | 5.409 | 5.498 | 4.978 | 4.920 | 6.737 | 6.989 | 5.106 |
EAMx mín | 9.6 | 7.8 | 7.4 | 5.3 | 6.6 | 2.9 | 7.7 | 5.4 |
EAMx med | 50.5 | 46.9 | 46.1 | 45.3 | 43.4 | [52.5] | (39.7) | 45.3 |
EAMx máx | 161.2 | 129.5 | 120.2 | 116.0 | 116.1 | 122.8 | 100.5 | 115.4 |
AIC mín | 311.5 | 302.2 | 302.2 | 313.8 | 309.7 | 300.0 | 306.4 | 293.6 |
AIC med | 441.9 | 426.1 | 430.5 | 432.0 | (421.8) | [463.5] | 424.9 | 423.1 |
AIC máx | 678.2 | 649.5 | 643.4 | 636.2 | 635.8 | 645.7 | 620.7 | 639.2 |
COC mín | 0.916 | 0.944 | 0.935 | 0.945 | 0.953 | 0.914 | 0.938 | 0.951 |
COC med | 0.971 | 0.976 | 0.972 | 0.975 | 0.978 | [0.959] | 0.976 | (0.980) |
COC máx | 0.997 | 0.995 | 0.996 | 0.996 | 0.995 | 0.989 | 0.995 | 0.997 |
d 2 mín | 0.889 | 0.937 | 0.946 | 0.951 | 0.951 | 0.943 | 0.963 | 0.944 |
d 2 med | [0.967] | 0.979 | 0.981 | 0.982 | 0.983 | 0.974 | (0.985) | 0.980 |
d 2 máx | 0.997 | 0.997 | 0.998 | 0.997 | 0.997 | 0.995 | 0.997 | 0.998 |
d 1 mín | 0.839 | 0.874 | 0.879 | 0.890 | 0.888 | 0.864 | 0.864 | 0.886 |
d 1 med | 0.913 | 0.927 | 0.921 | 0.925 | 0.929 | [0.897] | 0.918 | (0.933) |
d 1 máx | 0.956 | 0.957 | 0.953 | 0.951 | 0.957 | 0.923 | 0.952 | 0.965 |
Concentrado por estaciones pluviométricas
En la Tabla 6 se han integrado los resultados de las últimas columnas de cada tabulación no expuesta del índice analizado, es decir, se tienen las mejores FDP en cada estación de acuerdo con cada índice. Cuando dos o más FDP mostraron igual valor para el índice analizado en una cierta estación, la mejor FDP se escogió con base en el mejor valor promedio (último renglón de cada tabulación no expuesta).
Estación | Índices de habilidad descriptiva | Mejores dos FDP* |
|||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
EEA | EREA | EAM | EAMx | AIC | COC | d 2 | d 1 | ||
Cedral | LP3 | WAK | WAK | LP3 | LP3 | WAK | LP3 | WAK | WAK(4), LP3(4) |
Charcas | WAK | WAK | WAK | GVE | WAK | GVE | WAK | WAK | WAK(6), GVE(2) |
La Maroma | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP(8) |
Los Filtros | BEK | LGN | WAK | BEK | BEK | BEK | BEK | WAK | BEK(5), WAK(2) |
Matehuala | BEK | WAK | WAK | BEK | BEK | BEK | BEK | WAK | BEK(5), WAK(3) |
Mexquitic | WAK | LGN | WAK | WAK | WAK | BEK | LOG | WAK | WAK(5), BEK(1) |
Peñón Blanco | LP3 | WAK | GVE | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | GVE | LP3(5), GVE(2) |
Santo Domingo | BEK | WAK | WAK | LP3 | BEK | BEK | BEK | LOG | BEK(4), WAK(2) |
Vanegas | PAG | LP3 | LP3 | PAG | PAG | PAG | PAG | LP3 | PAG(5), LP3(3) |
Regional | LOG | BEP | WAK | LP3 | LOG | WAK | LP3 | WAK | WAK(3), LP3(2) |
*Entre paréntesis el número de veces que ocurre.
En la Tabla 6 se observa que en todas las columnas aparece la distribución Wakeby (WAK), con una ocurrencia en los índices EAMx y COC, hasta seis en el índice EAM, y cinco en los índices EREA y d 1. El modelo probabilístico Wakeby es el mejor en 31.9% de los casos. Estos resultados orientan a definir la FDP Wakeby como un modelo que siempre se debe aplicar al procesar registros de PMD anual en climas áridos y semiáridos. En el último renglón de la Tabla 6, la segunda opción de la FDP regional pueden ser las distribuciones LOG y LP3 con dos ocurrencias cada una; se escoge la segunda por ser mejor en relación con dos índices no correlacionados (EAMx y d 2).
Suprimiendo la distribución Wakeby de la Tabla 6, se busca la siguiente mejor y entonces se forma la Tabla 7, cuya columna final indica las dos mejores FDP y su número de ocurrencias en cada registro procesado. Como resumen de resultados de la Tabla 7 para el Altiplano Potosino, se puede indicar que las FDP Beta son la mejor opción en cuatro estaciones, después siguen los modelos LP3 y LOG en dos estaciones cada uno y, por último, la distribución Pareto generalizada es la mejor opción de una estación.
Estación: | Índices de habilidad descriptiva | Mejores dos FDP* |
|||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
EEA | EREA | EAM | EAMx | AIC | COC | d 2 | d 1 | ||
Cedral | LP3 | LOG | LOG | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LOG | LP3(5), LOG(3) |
Charcas | LGN | BEK | LOG | GVE | LGN | GVE | LP3 | LOG | LOG(2), GVE(2) |
La Maroma | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP | BEP(8) |
Los Filtros | BEK | LGN | BEP | BEK | BEK | BEK | BEK | BEP | BEK(5), BEP(2) |
Matehuala | BEK | GVE | LOG | BEK | BEK | BEK | BEK | BEP | BEK(5), LOG(1) |
Mexquitic | LOG | LGN | LOG | LOG | LOG | BEK | LOG | LOG | LOG(6), BEK(1) |
Peñón Bco. | LP3 | BEP | GVE | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | GVE | LP3(5), GVE(2) |
S. Domingo | BEK | LOG | BEP | LP3 | BEK | BEK | BEK | LOG | BEK(4), LOG(2) |
Vanegas | PAG | LP3 | LP3 | PAG | PAG | PAG | PAG | LP3 | PAG(5), LP3(3) |
*Entre paréntesis el número de veces que ocurre.
En la Figura 3 se muestra el gráfico Q-Q de la estación Mexquitic, cuyos valores estimados de PMD anual se obtuvieron con la FDP Wakeby. Este ajuste corresponde a un EEA de 1.45 milímetros, que fue el mínimo encontrado en las estaciones del Altiplano Potosino (Tabla 5).
Resultados en la Zona Media
Concentrado de índices numéricos
En la Tabla 8 se han integrado los tres valores característicos (mínimo, medio y máximo) de cada índice de habilidad descriptiva (HD) obtenidos con cada una de las ocho FDP contrastadas en las 10 estaciones pluviométricas de la Zona Media del estado de San Luis Potosí, México. La Tabla 8 es similar a la Tabla 5.
Índice de HD |
FDP contrastadas | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
BEK | BEP | LGN | GVE | LOG | PAG | LP3 | WAK | |
EEA mín | 3.52 | 3.48 | 3.03 | 3.26 | 3.45 | 2.30 | 3.38 | 2.27 |
EEA med | [8.31] | 8.19 | 6.46 | 6.41 | 6.57 | 7.24 | (6.15) | 7.47 |
EEA máx | 15.52 | 20.78 | 14.40 | 13.34 | 13.00 | 15.64 | 12.37 | 22.68 |
EREA mín | 0.043 | 0.043 | 0.045 | 0.048 | 0.044 | 0.034 | 0.045 | 0.0302 |
EREA med | 0.068 | 0.070 | (0.065) | 0.063 | 0.065 | 0.086 | 0.063 | [0.108] |
EREA máx | 0.093 | 0.125 | 0.098 | 0.091 | 0.091 | 0.161 | 0.092 | 0.571 |
EAM mín | 2.361 | 2.382 | 2.112 | 2.312 | 2.424 | 1.768 | 2.225 | 1.653 |
EAM med | 3.784 | 3.676 | 3.615 | (3.483) | 3.575 | 4.289 | 3.579 | [5.064] |
EAM máx | 5.247 | 6.292 | 5.437 | 4.864 | 5.638 | 6.611 | 4.870 | 28.199 |
EAMx mín | 8.8 | 8.4 | 8.7 | 7.7 | 8.3 | 6.1 | 10.6 | 5.8 |
EAMx med | [47.6] | 46.5 | 32.1 | 31.8 | 32.6 | 35.4 | 29.3 | (26.5) |
EAMx máx | 105.5 | 150.5 | 94.0 | 88.5 | 87.0 | 100.8 | 78.9 | 79.4 |
AIC mín | 325.1 | 324.0 | 324.4 | 326.0 | 323.2 | 295.8 | 335.2 | 297.1 |
AIC med | [423.6] | 417.4 | 396.9 | 396.9 | 400.3 | 406.8 | (394.3) | 401.9 |
AIC máx | 579.3 | 624.6 | 511.6 | 529.3 | 543.8 | 484.8 | 518.0 | 514.4 |
COC mín | 0.950 | 0.921 | 0.959 | 0.968 | 0.964 | 0.943 | 0.970 | 0.971 |
COC med | 0.975 | [0.974] | 0.982 | 0.982 | 0.982 | 0.974 | 0.983 | (0.987) |
COC máx | 0.991 | 0.991 | 0.992 | 0.991 | 0.991 | 0.995 | 0.991 | 0.992 |
d 2 mín | 0.964 | 0.944 | 0.971 | 0.975 | 0.976 | 0.965 | 0.979 | 0.800 |
d 2 med | 0.982 | 0.982 | 0.989 | 0.989 | 0.989 | 0.985 | (0.990) | [0.973] |
d 2 máx | 0.995 | 0.995 | 0.996 | 0.995 | 0.995 | 0.998 | 0.995 | 0.998 |
d 1 mín | 0.886 | 0.894 | 0.896 | 0.895 | 0.893 | 0.881 | 0.901 | 0.453 |
d 1 med | 0.920 | 0.922 | 0.924 | (0.926) | 0.923 | 0.911 | 0.924 | [0.891] |
d 1 máx | 0.946 | 0.941 | 0.946 | 0.948 | 0.944 | 0.956 | 0.944 | 0.954 |
Concentrado por estaciones pluviométricas
En la Tabla 9 se indican para cada registro de PMD anual procesado cuál es la mejor FDP de acuerdo con cada índice de habilidad descriptiva. Se observa que la distribución Wakeby es la mejor opción en seis estaciones (Ojo de Agua a San Francisco); en total es la mejor FDP en 42.5% de los casos. Con base en los resultados de la Tabla 9 se concluye que el modelo Wakeby siempre se debe probar al analizar registros de PMD anual de climas cálido-subhúmedo. En el último renglón de la Tabla 9 se puede seleccionar como segunda mejor opción de FDP regional los modelos WAK y GVE; se escogió el primero debido a su mayor número de ocurrencias locales.
Estación | Índices de habilidad descriptiva | Mejores dos FDP* |
|||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
EEA | EREA | EAM | EAMx | AIC | COC | d 2 | d1 | ||
Armadillo de los Infante | PAG | LGN | LGN | PAG | PAG | PAG | PAG | WAK | PAG(5), LGN(2) |
Cárdenas | PAG | LGN | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG(7), LGN(1) |
Lagunillas | BEP | LGN | WAK | BEP | BEP | BEP | BEP | WAK | BEP(5), WAK(2) |
Ojo de Agua | LP3 | WAK | WAK | LP3 | BEP | BEP | LP3 | WAK | WAK(3), LP3(3) |
Ojo de Agua Seco | WAK | WAK | WAK | BEP | GVE | GVE | BEK | WAK | WAK(4), GVE(2) |
Paso de San Antonio | WAK | BEP | BEP | WAK | WAK | WAK | WAK | LOG | WAK(5), BEP(2) |
Rayón | WAK | WAK | WAK | LP3 | LP3 | WAK | WAK | WAK | WAK(6), LP3(2) |
Río Verde | WAK | WAK | WAK | PAG | PAG | WAK | PAG | WAK | WAK(5), PAG(3) |
San Francisco | WAK | BEK | WAK | WAK | WAK | WAK | WAK | WAK | WAK(7), BEK(1) |
San José Alburquerque | LP3 | LP3 | LP3 | WAK | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LP3(7), WAK(1) |
Regional | LP3 | LGN | GVE | WAK | LP3 | WAK | LP3 | GVE | LP3(3), WAK(2) |
*Entre paréntesis el número de veces que ocurre.
Al eliminar a la distribución Wakeby de la Tabla 9 y buscar la siguiente mejor opción de FDP, se integra la Tabla 10, cuyos resultados para los registros de PMD anual de la Zona Media posicionan en primer término y por orden descendente a las distribuciones Pareto generalizada en tres estaciones; Log-Pearson tipo III, Beta Pareto y Logística Generalizada en dos estaciones. La FDP general de valores extremos es mejor opción en una estación.
Estación | Índices de Habilidad Descriptiva | Mejores dos FDP* | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
EEA | EREA | EAM | EAMx | AIC | COC | d2 | d1 | ||
Armadillo de los Infante | PAG | LGN | LGN | PAG | PAG | PAG | PAG | LGN | PAG(5), LGN(3) |
Cárdenas | PAG | LGN | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG(7), LGN(1) |
Lagunillas | BEP | LGN | LP3 | BEP | BEP | BEP | BEP | LP3 | BEP(5), LP3(2) |
Ojo de Agua | LP3 | LOG | BEP | LP3 | BEP | BEP | LP3 | BEP | BEP(4), LP3(3) |
Ojo de Agua Seco | GVE | BEK | GVE | BEP | GVE | GVE | BEK | GVE | GVE(5), BEK(2) |
Paso de San Antonio | LOG | BEP | BEP | LOG | BEP | LOG | LOG | LOG | LOG(5), BEP(3) |
Rayón | LP3 | LOG | BEP | LP3 | LP3 | LOG | LP3 | LOG | LP3(4), LOG(3) |
Río Verde | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG | PAG(8) |
San Francisco | LOG | BEK | LOG | GVE | LOG | LOG | GVE | LOG | LOG(5), GVE(2) |
San José Alburquerque | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LP3 | LP3(8) |
*Entre paréntesis el número de veces que ocurre.
Resultados según habilidad predictiva
FDP aplicadas
Para cada estación climatológica o registro de PMD anual se escogieron cuatro FDP por contrastar. La primera corresponde a la mejor opción de la Tabla 3, es decir, es la FDP más adecuada según resultados del diagrama de cocientes L. Las siguientes dos FDP por aplicar fueron las obtenidas como mejores opciones de acuerdo con los ocho índices de habilidad descriptiva, las cuales se concentraron en la Tabla 7 y Tabla 10. Por último, se aplicó la FDP Wakeby debido a su gran capacidad descriptiva, que fue mostrada en la Tabla 6 y Tabla 9; por ello, se sugiere de aplicación bajo precepto. En la Tabla 11 y Tabla 12 de predicciones calculadas y adoptadas se han destacado con negritas las siguientes tres estaciones: La Maroma, Río Verde y San José Alburquerque, debido a que en ellas sólo se contrastan tres FDP, pues la Tabla 7 y Tabla 10 reportan sólo una mejor FDP en los ocho índices de habilidad descriptiva aplicados.
Estación mejor FDP |
PM (PM /P50) |
Periodos de retorno en años | |||
---|---|---|---|---|---|
50 | 100 | 500 | 1 000 | ||
Cedral | 315.8 | ||||
GVE [2] | 2.21 | 143 | 192 | 384 | 520 |
LP3 (5) | 2.10 | (151) | (206) | (431) | (596) |
LOG (3) | 2.24 | 141 | 191 | 400 | 555 |
WAK (4) | 2.32 | 136 | 191 | 443 | 2326 |
Charcas | 117.0 | ||||
LGN [3] | 1.10 | 106 | 119 | 147 | 202 |
LOG (2) | 1.07 | (109) | (126) | (174) | (199) |
GVE (2) | 1.07 | 109 | 121 | 150 | 162 |
WAK (6) | 1.07 | 109 | 122 | 150 | 198 |
La Maroma | 140.1 | ||||
LOG [1] | 1.30 | 108 | 129 | 197 | 236 |
BEP (8) | 1.25 | (112) | (136) | (213) | (258) |
WAK (0) | 1.29 | 109 | 126 | 172 | 279 |
Los Filtros | 111.0 | ||||
LP3 [1] | 1.32 | 84 | 93 | 114 | 123 |
BEK (5) | 1.32 | (84) | (95) | (127) | (143) |
BEP (2) | 1.35 | 82 | 91 | 117 | 129 |
WAK (2) | 1.34 | 83 | 93 | 119 | 176 |
Matehuala | 200.0 | ||||
LP3 [2] | 1.39 | 144 | 170 | 245 | 285 |
BEK (5) | 1.29 | (155) | (191) | (309) | (380) |
LOG (1) | 1.41 | 142 | 171 | 266 | 323 |
WAK (3) | 1.48 | 135 | 170 | 316 | 1211 |
Mexquitic | 107.0 | ||||
LGN [2] | 1.24 | 86 | 91 | 104 | 124 |
LOG (6) | 1.22 | 88 | 97 | 117 | 127 |
BEK (1) | 1.32 | 81 | 89 | 111 | 122 |
WAK (5) | 1.20 | (89) | (98) | (120) | (163) |
Peñón Blanco | 235.0 | ||||
LOG [1] | 1.51 | 156 | 216 | 473 | 667 |
LP3 (5) | 1.39 | (169) | (233) | (490) | (676) |
GVE (2) | 1.49 | 158 | 217 | 457 | 631 |
WAK (1) | 1.51 | 156 | 221 | 510 | 2521 |
Santo Domingo | 270.0 | ||||
LP3 [1] | 1.61 | 168 | 201 | 293 | 340 |
BEK (4) | 1.70 | (159) | (198) | (327) | (406) |
LOG (2) | 1.72 | 157 | 195 | 322 | 400 |
WAK (2) | 2.03 | 133 | 175 | 400 | 2770 |
Vanegas | 90.0 | ||||
LGN [1] | 1.00 | (90) | (102) | (132) | (197) |
PAG (5) | 1.06 | 85 | 92 | 103 | 107 |
LP3 (3) | 1.01 | 89 | 101 | 130 | 143 |
WAK (0) | 1.01 | 89 | 99 | 118 | 146 |
Cuando alguna de las dos mejores FDP de la Tabla 7 o Tabla 10 coincidía con la primera distribución aplicada, se cambió esta última por su segunda y/o tercera opción de la Tabla 3. La opción que tiene la primera FDP aplicada se indicó entre paréntesis rectangular en la Tabla 11 y Tabla 12 de predicciones calculadas y seleccionadas. Para las dos mejores FDP de la Tabla 7 y Tabla 10 se indica en paréntesis circular el número de índices de habilidad descriptiva en que son las mejores. Lo mismo se indica para la distribución Wakeby, pero tal dato procede de la Tabla 6 y Tabla 9.
Estación mejor FDP |
PM (PM /P 50) |
Periodos de retorno en años | |||
---|---|---|---|---|---|
50 | 100 | 500 | 1 000 | ||
Armadillo de los Infante | 133.0 | ||||
LP3 [2] | 0.95 | 140 | 163 | 226 | 258 |
PAG (5) | 0.99 | 135 | 150 | 180 | 191 |
LGN (3) | 0.96 | (139) | (162) | (220) | (354) |
WAK (1) | 0.96 | 138 | 156 | 196 | 267 |
Cárdenas | 180.5 | ||||
LP3 [1] | 0.95 | (191) | (231) | (345) | (406) |
PAG (7) | 0.97 | 186 | 215 | 282 | 311 |
LGN (1) | 0.95 | 191 | 228 | 330 | 586 |
WAK (0) | 0.97 | 187 | 216 | 285 | 418 |
Lagunillas | 210.0 | ||||
LGN [1] | 1.21 | 173 | 196 | 251 | 368 |
BEP (5) | 1.16 | (181) | (214) | (317) | (375) |
LP3 (2) | 1.19 | 176 | 201 | 265 | 295 |
WAK (2) | 1.22 | 172 | 200 | 289 | 579 |
Ojo de Agua | 300.2 | ||||
LOG [1] | 1.31 | (229) | (290) | (510) | (656) |
BEP (4) | 1.29 | 233 | 293 | 498 | 625 |
LP3 (3) | 1.27 | 236 | 292 | 474 | 583 |
WAK (3) | 1.29 | 233 | 298 | 533 | 1623 |
Ojo de Agua Seco | 172.5 | ||||
LOG [2] | 1.11 | (155) | (185) | (283) | (341) |
GVE (5) | 1.12 | 154 | 180 | 252 | 289 |
BEK (2) | 1.11 | 155 | 185 | 274 | 325 |
WAK (4) | 1.11 | 155 | 178 | 234 | 356 |
Paso de S. Antonio | 200.0 | ||||
GVE [2] | 1.41 | 142 | 161 | 208 | 230 |
LOG (5) | 1.39 | (144) | (167) | (238) | (277) |
BEP (3) | 1.42 | 141 | 163 | 228 | 263 |
WAK (5) | 1.36 | 147 | 172 | 246 | 463 |
Rayón | 330.0 | ||||
GVE [2] | 1.63 | 203 | 254 | 427 | 533 |
LP3 (4) | 1.57 | 210 | 265 | 447 | 558 |
LOG (3) | 1.63 | (202) | (257) | (461) | (596) |
WAK (6) | 1.63 | 203 | 267 | 515 | 1834 |
Río Verde | 126.3 | ||||
LP3 [3] | 1.00 | (126) | (142) | (184) | (204) |
PAG (8) | 1.07 | 118 | 125 | 137 | 141 |
WAK (5) | 1.07 | 118 | 126 | 140 | 153 |
San Francisco | 135.0 | ||||
LGN [3] | 1.18 | 114 | 131 | 172 | 260 |
LOG (5) | 1.15 | 117 | 139 | 208 | 247 |
GVE (2) | 1.17 | 115 | 134 | 181 | 204 |
WAK (7) | 1.13 | (119) | (141) | (198) | (342) |
San J. Alburquerque | 126.5 | ||||
GVE [1] | 1.17 | 108 | 121 | 153 | 167 |
LP3 (8) | 1.13 | (112) | (127) | (167) | (186) |
WAK (1) | 1.00 | 127 | 137 | 156 | 182 |
Estadísticas obtenidas
En la Tabla 1 se observa que la mayoría de los registros procesados de PMD anual tienen una amplitud de 50 años o más, debido a lo cual se calculó el cociente entre el valor máximo del registro (PM ) y la predicción de un periodo de retorno de 50 años (P 50). Este cociente se indica en las columnas 2 de la Tabla 11 y Tabla 12; cuando es cercano a la unidad indica que el registro no tiene valores dispersos extremos (outliers) que se apartan de la tendencia natural de los datos. En cambio, cuando excede a 1.50 existe presencia de uno o más valores dispersos, caso de las cuatro estaciones: Cedral, Peñón Blanco, Santo Domingo y Rayón.
En las cuatro estaciones citadas, la distribución Wakeby, debido a la extraordinaria flexibilidad que le otorgan sus cinco parámetros de ajuste, conduce a predicciones muy elevadas en el periodo de retorno de mil años, como se observa al compararlas con las obtenidas con las otras FDP contrastadas. En ninguno de los casos citados se adoptó la FDP Wakeby, por considerarse exageradas sus predicciones, al no coincidir con las de los otros tres modelos probabilísticos contrastados en tal estación. Nguyen et al. (2017) también encuentran que la distribución Wakeby tiene baja habilidad predictiva, al mostrar gran variabilidad en sus predicciones.
En la Tabla 11 y Tabla 12 de predicciones calculadas y adoptadas en las estaciones del Altiplano Potosino y de la Zona Media se están tomando en cuenta de manera implícita las habilidades descriptivas y predictivas de cada una de las FDP contrastadas; por ello, las conclusiones siguientes se consideran globales del estudio.
Se obtuvo que en 12 estaciones los valores adoptados proceden de las dos FDP que fueron mejor opción de acuerdo con los ocho índices de habilidad descriptiva. En cinco estaciones, las predicciones adoptadas fueron calculadas con las FDP mejores opciones según el diagrama de cocientes L, y sólo en dos estaciones se adoptaron las predicciones calculadas con la distribución Wakeby.
Como ya se indicó, exclusivamente en tres estaciones: La Maroma, Río Verde y San José Alburquerque se obtuvo una concordancia total en los ocho índices de habilidad descriptiva para las FDP Beta-P, Pareto generalizada y Log-Pearson tipo III, respectivamente. Dichas estaciones se han destacado con negritas tanto en la Tabla 11 como en la Tabla 12.
Por áreas geográficas, en el Altiplano Potosino de nueve registros procesados, la FDP Beta-κ fue el modelo adoptado en tres estaciones y la distribución Log-Pearson tipo III en dos estaciones. En la Zona Media de 10 registros procesados, tuvo preponderancia de adopción la FDP Logística Generalizada con cuatro estaciones y le siguió la distribución LP3 con tres estaciones.
Conclusiones
La distribución Wakeby, ajustada con el método de momentos L, es un modelo de excelente habilidad descriptiva, y por ello se sugiere que sea aplicado bajo precepto en los análisis probabilísticos de registros de PMD anual de los climas áridos y semiáridos del Altiplano Potosino (AP) y del clima cálido-subhúmedo de la Zona Media (ZM) del estado de San Luis Potosí, México.
Las distribuciones Beta-κ y Beta-P, ajustadas con el método de máxima verosimilitud, son modelos no aplicados en México que se sugiere sean probados, pues para cuatro registros de PMD anual del AP (Tabla 7) y dos de la ZM (Tabla 10) conducen a los mejores índices de habilidad descriptiva.
En relación con las distribuciones que se aplican bajo precepto en EUA e Inglaterra, se obtuvo (Tabla 7 y Tabla 10) lo siguiente: (1) la FDP Log-Pearson tipo III resultó ser la mejor opción en dos estaciones del AP y ZM; (2) la FDP General de Valores Extremos sólo en una estación de la ZM fue mejor opción; (3) la FDP Logística Generalizada fue mejor opción en dos estaciones del AP y de la ZM; (4) en el AP destaca como segunda mejor opción la Logística Generalizada, y en la ZM los modelos Log-Normal y Log-Pearson tipo III.
Respecto a la FDP Pareto Generalizada, que por lo común se aplica junto con los modelos LOG y GVE, fue mejor opción en una estación del AP y tres de la ZM. Estos resultados ratifican la aplicación sistemática o bajo precepto de las distribuciones LP3, GVE, LOG y PAG en series de PMD anual de climas áridos, semiáridos y cálido-subhúmedos.
Respecto a las predicciones calculadas (Tabla 11 y Tabla 12) en los periodos de retorno de 50, 100, 500 y 1000 años, en general muestran valores similares y ello genera confianza en los valores adoptados. Exclusivamente se encontró dispersión en las predicciones de la FDP Wakeby en las estaciones o registros de PMD anual con valor extremo disperso (outlier), como es el caso de las estaciones: Cedral, Peñón Blanco, Santo Domingo y Rayón.
En relación con las predicciones adoptadas (Tabla 11 y Tabla 12), se concluye que los procedimientos de búsqueda de la mejor FDP por aplicar a los registros de PMD anual, basados en el diagrama de cocientes L y en los ocho índices de habilidad descriptiva, son adecuados y conducen a una buena aproximación, pues no existió dificultad para seleccionar las predicciones adoptadas.