Respuesta de estructuras equipadas con amortiguadores no lineales

La idea de usar amortiguadores viscosos no lineales es obtener los mismos niveles de amortiguamiento que los amortiguadores lineales, pero con fuerzas de amortiguamiento menores en los dispositivos y sus conexiones (^{Lin y Chopra, 2002}; ^{Seleemah y Constantinou, 1997}; ^{Terenzi, 1999}). Esto resulta conveniente porque, al tener fuerzas menores, se evitan daños a los disipadores y sus conexiones a la estructura. Además, se puede optimizar el diseño de los elementos de soporte, y tener mayor certidumbre sobre el diseño, pues la probabilidad de que la fuerza máxima del dispositivo no exceda su valor de diseño es muy alta. En la Figura 2 se muestra el comportamiento de la fuerza de amortiguamiento, F _D , en función del desplazamiento, u, y del exponente de la velocidad, α. Nótese que el eje de las ordenadas fue normalizado por la fuerza de amortiguamiento que produciría un amortiguador lineal, F _DL , y que el eje de las abscisas fue normalizado por el desplazamiento máximo, u _o . Se puede apreciar que las curvas carga-desplazamiento tienen una forma elíptica para α = 1 y cuadrada cuando α = 0. Para valores intermedios de α, las curvas no son ni elípticas ni cuadradas, sino que tienen una forma intermedia. Se puede apreciar que, a medida que α disminuye, el valor de la fuerza máxima también disminuye. Esto ocurre porque el enfoque de balance energético de ^{Lin y Chopra (2002)} obliga a tener la misma área dentro de las curvas de histéresis. Sin embargo, como se verá más adelante, este enfoque no necesariamente ayuda a obtener respuesta global equivalente en las estructuras.

Figura 2.  Curvas de histéresis para amortiguadores de fluidos viscosos (adaptado de ^{Lin y Chopra, 2002}). 

En un estudio realizado por ^{Moreno (2019)}, sobre estructuras equipadas con amortiguadores viscosos lineales y no lineales, se demostró que existen diferencias significativas entre la respuesta de estructuras equipadas con estos amortiguadores. A manera de resumen, las Figuras 3a y 3b muestran, respectivamente, relaciones de desplazamiento en azotea y de fuerzas de amortiguamiento en los dispositivos, calculadas para el movimiento sísmico SCT-EW 19/09/1985. Estas relaciones fueron calculadas como el cociente de la respuesta máxima de estructuras lineales equipadas con amortiguadores no lineales (α < 1) entre aquella de estructuras lineales equipadas con amortiguadores lineales (α= 1). Se consideró un amortiguamiento suplementario (es decir: adicional), proporcionado por los amortiguadores, ya sean lineales o no lineales, equivalente al 30% del amortiguamiento crítico. Mientras las curvas presentan relaciones calculadas a partir de osciladores de un grado de libertad, los puntos corresponden a las relaciones de estructuras de varios grados de libertad. Se puede apreciar que son significativamente diferentes de la unidad, lo que implica que las respuestas de estructuras equipadas con amortiguadores lineales y no lineales son muy diferentes. Esto sugiere que diseñar estructuras para alcanzar un amortiguamiento lineal dado, para luego usar amortiguadores no lineales, puede resultar en un comportamiento estructural diferente al esperado. Dadas las diferencias tan significativas observadas, este artículo propone una metodología simple para diseñar estructuras equipadas con amortiguadores viscosos no lineales. La metodología se basa en el control de los desplazamientos laterales de un oscilador equivalente de un grado de libertad y coeficientes de desplazamiento que toman en cuenta la no linealidad de los amortiguadores y los efectos de varios grados de libertad.

Figura 3.  Relaciones de desplazamiento y fuerza en amortiguadores lineales y no lineales (después de ^{Moreno, 2019}) 

Movimientos sísmicos considerados

Para realizar los análisis de esta investigación se usaron los 30 movimientos sísmicos de la Tabla 1, originalmente utilizados en un estudio de ^{Bojórquez y Ruiz-García (2013)}. Estos se seleccionaron por haber sido registrados en el suelo blando de la Ciudad de México y por ser los de mayor intensidad según la Base de Datos Mexicana de Sismos Fuertes (BDMSF, 1999). A los movimientos se les realizó un filtrado tipo pasabanda entre 0.1 y 20 Hz con ayuda del programa ^{PRISM (2012)}. En la Tabla 1 se presenta la estación donde se registró el sismo, la fecha en que sucedió, la magnitud, la componente utilizada, el periodo dominante del suelo (T _g ), el paso del tiempo (dt) y la aceleración máxima del suelo (A _max ).

Modelos analizados

En esta sección se presentan los modelos utilizados para obtener los coeficientes de desplazamiento que se propusieron para esta metodología. Se utilizaron modelos de 1GDL y VGDL, que fueros estudiados (y diseñados) por ^{Moreno (2019)}.

Los modelos de VGDL son seis marcos rígidos de concreto reforzado en 2D. Se consideró losa maciza de 15 cm de espesor con comportamiento de diafragma rígido. Es importante mencionar que para este trabajo se utilizó un porcentaje de amortiguamiento inherente de todos los marcos de ζ = 2.5%; mientras que el amortiguamiento suplementario de ζ _ad = 32.5%. Las columnas se modelaron empotradas a la base. La resistencia nominal de los materiales de las estructuras fue de f'C = 500 kg/cm² y fy = 4200 kg/cm² para el concreto y el acero de refuerzo, respectivamente. La reducción de rigidez de las secciones agrietadas se modeló según las NTC-C (2020). Las estructuras tuvieron un primer entrepiso de 4 m de altura y los demás niveles de 3 m. Se incluyeron amortiguadores viscosos en todos los entrepisos. Las cargas gravitacionales en todas las trabe-vigas de los marcos es de 4.7 t/m. El peso sísmico por nivel es de 56 t para los primeros tres marcos y de 113 t para los otros tres. En la Tabla 2 se muestran los elementos de las estructuras y sus niveles, además en la Tabla 3 se describen las propiedades de los elementos estructurales. También se muestra en la Figura 4 la geometría de las estructuras con los amortiguadores.

Figura 4.  Geometría de las estructuras 

Los periodos y frecuencia de las estructuras calculados con el método de valores característicos se presentan en la Tabla 4. Nótese que estos periodos son los mismos que se consideraron para los osciladores de un grado de libertad.

Se calcularon los coeficientes de viscosidad de amortiguadores lineales, C _L , para cada una de las estructuras estudiadas usando el método de ^{Chirstopoulus y Filiatrault (2006)}. Después, con la ayuda de la ecuación (3), se obtuvieron los coeficientes de viscosidad de amortiguadores viscosos no lineales, C _NL . Éstos se presentan en las Tablas 3 y 4. Los detalles de los cálculos se presentan en ^{Álvarez (2020)}. Es importante aclarar que en este artículo se incluye, en la parte final, un ejemplo de diseño de una estructura equipada con disipadores en donde se presenta el detalle del diseño de los dispositivos y sus propiedades.

Los modelos estudiados de varios grados de libertad fueron sometidos a los movimientos sísmicos de la Tabla 1 para calcular los desplazamientos máximos en su azotea.

Posteriormente, se analizaron seis modelos de 1GDL con periodos de vibración de 0.4, 0.74, 1.47, 2.02, 2.97, y 4.08 s. Se utilizaron periodos y un amortiguamiento igual al de las estructuras de VGDL anteriormente mencionadas para los osciladores de 1GDL equivalente. La respuesta de los modelos de 1GDL fue evaluada para cada uno de los sismos de la Tabla 1 con ayuda del programa ^{PRISM (2012)}. Se consideró una respuesta elástica lineal de los osciladores. Se obtuvo el desplazamiento máximo de cada movimiento sísmico para los diferentes periodos de vibración. Los resultados se presentan más adelante junto con desplazamientos de estructuras de varios grados de libertad.

Resultados de los análisis dinámicos

En la Figura 5 se presentan el desplazamiento máximo en la azotea calculado de los marcos equipados con amortiguadores viscosos lineales. Se aclara que se consideró comportamiento lineal de los amortiguadores y de los elementos estructurales. También, se presentan aquellos correspondientes a los osciladores de un grado de libertad. Se puede apreciar que, consistentemente, los desplazamientos de las estructuras de VGDL son mayores a aquellos de los osciladores de 1GDL. Esta relación se discute más adelante y se refiere como coeficiente de desplazamiento, r ₁.

Figura 5.  Desplazamientos máximos del modelo de 1GDL y VGDL con amortiguadores lineales 

Por su parte, en la Figura 6 se muestra, para cada movimiento sísmico, el desplazamiento máximo de azotea de las estructuras de VGDL estudiadas para diferentes valores de exponente de velocidad, α. Se puede apreciar que, mientras para ciertas estructuras los desplazamientos son muy similares, para otras son muy diferentes. Claramente se aprecia que no hay una tendencia simple entre α y los desplazamientos máximos de azotea, pues para algunas estructuras, los desplazamientos crecen con α y para otras, no necesariamente. La relación entre estos desplazamientos y aquellos con α = 1 se analizan más adelante y se refiere como coeficiente de desplazamiento, r ₂.

Figura 6.  Desplazamientos máximos de las estructuras con amortiguadores no lineales 

Coeficientes propuestos

Coeficiente r ₁

La Figura 7 muestra los coeficientes de desplazamiento r1, calculados como el cociente del desplazamiento máximo de azotea de estructuras de VGDL con amortiguadores lineales entre aquellos de osciladores de un grado de libertad. El eje horizontal, la Figura 7a, muestra el periodo de los marcos normalizado por el periodo dominante del suelo de cada uno de los movimientos sísmicos, T/T _g . Por su parte, la Figura 7b muestra en su eje horizontal el número de niveles de la estructura. Se puede observar una relación creciente en ambos casos que se puede aproximar con una ecuación cuadrática en la Figura 7a y lineal en la Figura 7b. Ciertamente, la relación de la Figura 7b es más simple, lo que resulta conveniente. En ambos casos, es importante aclarar que el valor de r ₁ tiene que ser la unidad cuando la estructura tiene un nivel.

Figura 7.  Coeficientes de desplazamiento r1. 

La ecuación (5) se propone para calcular el coeficiente r1. Este coeficiente se usa en la metodología propuesta en este artículo para diseño de estructuras equipadas con amortiguadores viscosos.

r1=1                                  ;si el número de pisos es N=10.0057 N+1.1901   ;si el número de piso es mayor a 1 (5)

donde N es el número de pisos.

Coeficiente r ₂

La Figura 8 muestra ahora los coeficientes de desplazamiento r2, mismos que se calcularon normalizando el desplazamiento máximo de azotea de las estructuras estudiadas con amortiguadores no lineales entre aquellos con amortiguadores lineales. Se presenta una gráfica para cada exponente de velocidad, α. Aunque se estudiaron sólo seis estructuras, se aprecia una cantidad importante de puntos en cada gráfica. Esto debido al hecho de que el periodo dominante de cada movimiento sísmico variaba, lo que cambiaba la relación T/T _g . Como se puede apreciar, la dispersión es muy grande en las tres gráficas. Con la ayuda de la herramienta DESMOS (2020) se propuso la ecuación (6) como función del periodo normalizado, T/T _g para estimar la tendencia central del coeficiente r ₂. Por análisis numérico de mínimos cuadrados, se obtuvieron los valores de las constantes a, b, c, d y f para cada exponente de velocidad, mismos que se presentan en la Tabla 7. Es importante recordar que los valores de las constantes se obtuvieron para amortiguamiento inherente de ζ=5% y suplementario de ζ=30%, es decir, un amortiguamiento total de 35% del crítico. Para otros valores de amortiguamiento se deben recalcular los valores de estas constantes.

Figura 8 Coeficientes de desplazamiento r2 para los diferentes valores de α. 

r2=aTTgb-ccos⁡TTg+dTTg-f (6)

Tabla 7.  Valores de las constantes a, b, c, d y f para diferentes valores de α  

α	a	b	c	d	f
0.5	0.71	6.49	1.22	0.82	4.19
0.2	0.72	13.29	2.43	1.66	9.74
0.05	0.68	16.16	3.67	2.13	11.32

La ecuación (6) se grafica en la Figura 9 para los diferentes valores de α considerados. Se puede ver claramente la sensibilidad de r2 a α y a la relación de periodos T/T _g . Es relevante resaltar que para estructuras con T/T _g menor a 1.7 el factor r2 se reduce a medida que α se reduce. Lo contrario ocurre para T/T _g > 1.7.

Figura 9.  Curvas propuestas para los coeficientes de desplazamiento r2. 

Efecto de la rigidez de la conexión entre los amortiguadores y la estructura

Los disipadores viscosos son dispositivos normalmente pequeños que se conectan a las estructuras por medio de brazos metálicos y placas de conexión. En este artículo se le llama conexión al brazo y placas que permiten la transferencia de carga entre el disipador y la estructura. Algunos autores, como ^{Akcelyan et al. (2016)}, han hecho notar que la rigidez, o la flexibilidad, de la conexión puede tener efectos significativos en la respuesta sísmica de las estructuras. A manera de ejemplo, la Figura 10 muestra la historia de desplazamientos de un marco en 2D (de una crujía y un nivel) sometido el registro sísmico de la SCT, componente Este-Oeste, del sismo del 19/sep/1985. Se consideró respuesta elástica en el marco y periodos de vibración de 0.5 y 1 s. Mientras que la crujía tenía 6 m de ancho, la altura total de la estructura fue de 3 m. El marco se equipó con un disipador viscoso no lineal con exponente de velocidad α= 0.5. El amortiguamiento total del sistema fue de 35%, de los cuales 32.5% lo aportaba el amortiguador y 2.5% el marco. El coeficiente de viscosidad, C _NL , se calculó según las ecuaciones (3) a (4). En la figura se muestran los desplazamientos en el marco y las curvas de histéresis (curvas fuerza-deformación) del disipador, empleando conexión infinitamente rígida y conexión flexible (ésta última representada por la línea negra). La conexión flexible se utilizó como un contraventeo convencional con capacidad de carga de 1.2 veces la fuerza máxima transferida por el amortiguador y un factor de esbeltez de (= 1. Se aprecia que la respuesta pico, en términos de desplazamientos laterales, no fue significativamente afectada por la flexibilidad de la conexión, pues las diferencias son menores al 10%. Sin embargo, la forma de las curvas de histéresis del disipador tuvo un cambio drástico; especialmente, para el periodo de 0.5 s. Aunque si se analizan los picos de las curvas de histéresis, los valores de fuerza y desplazamiento máximos son comparables hasta cierto punto.

Figura 10.  Respuesta sísmica de un marco plano equipado con amortiguador viscoso no lineal ante el movimiento SCT-EO de la estación SCT del 19/sep/1985. 

Con la finalidad de comprender mejor la afectación de la rigidez, o flexibilidad, de la conexión en la respuesta sísmica de las estructuras, se calcularon espectros de desplazamientos considerando conexión infinitamente rígida y flexible. Se emplearon diferentes niveles de flexibilidad de la conexión, éstos fueron contraventeos (CV) con capacidad de carga de 1.2, 2, 5 y 10 veces la demanda de fuerza máxima en el disipador cuando se calculó con conexión infinitamente rígida. Se utilizó un factor de esbeltez de (= 1 y una contribución del 32.5% del disipador al amortiguamiento, más 2.5% de la estructura. Los espectros se estimaron para dos tipos de movimientos sísmicos diferentes: la componente Este-Oeste de la estación SCT del sismo del 19/sep/1985 (en suelo blando) y la componente Norte-Sur de la estación NILT del sismo del 7/sep/2017 (en roca). Por conveniencia, las ordenadas espectrales de los casos de conexiones flexibles fueron divididas entre aquellas con conexión infinitamente rígida. Los resultados se muestran en la Figura 11. Se puede observar que existen diferencias entre las relaciones que se obtuvieron con el movimiento de suelo blando y el de roca. Mientras que los valores para el movimiento de suelo blando son cercanos a la unidad (con diferencias < 10%) para periodos mayores a 0.5 s, para el movimiento de roca sólo ocurre en periodos mayores a 1.5 s. Es importante aclarar que las tendencias de la Figura 11 son particulares del exponente α considerado y de los movimientos sísmicos utilizados, por lo que siempre se debe tomar en cuenta, de manera explícita, el efecto de la rigidez (o flexibilidad) del brazo metálico y placas de conexión en la evaluación de la respuesta sísmica de las estructuras y, en caso de que se identifiquen diferencias significativas, hacer los ajustes necesarios para tener un buen comportamiento.

Figura 11.  Relaciones de desplazamiento espectral de los contraventeos para diferente capacidad de carga del contraventeo. 

Efecto del tipo de comportamiento estructural del edificio

Autores como ^{Miranda (1999)} y ^{Georgoussis (2006)} han demostrado que las estructuras a base de marcos presentan comportamiento global en cortante y flexión. Mientras que en marcos de mediana y baja altura predomina el comportamiento global en cortante, en estructuras más altas predomina el comportamiento global en flexión. Esto se debe a que en estructuras de varios niveles la deformación axial de las columnas tiende a incrementar, lo que se refleja en un comportamiento global flexión (^{Ezeh e Ibearugbulem, 2009}). Se considera que las estructuras tienen un comportamiento global en cortante cuando el perfil de desplazamientos, producido por fuerzas laterales, muestra una forma de doble curvatura (Figura 12a). Por otro lado, cuando el perfil de desplazamientos muestra una curvatura simple, se presenta un comportamiento global en flexión, como se muestra en la Figura 12b. Para el caso de estructuras equipadas con amortiguadores viscosos, el comportamiento global en cortante es preferible, pues la mayoría de la distorsión de entrepiso resulta en deformación axial del dispositivo. En el caso de deformación global en flexión, una buena parte de la distorsión de entrepiso no produce deformación axial en los disipadores.

Figura 12.  Comportamiento global de las estructuras 

El tipo de comportamiento global en flexión se debe principalmente a la deformación axial de las columnas en una estructura. Mientras mayor sea la deformación axial en las columnas mayor será el comportamiento global a flexión (Figura 12b). Por su parte, el comportamiento global en cortante en una estructura equipada con amortiguadores viscosos no lineales es preferible ya que permite a los dispositivos deformarse axialmente y, por ende, disipar energía, dándole a la estructura una mejor respuesta. Esto ocurre porque en un comportamiento global en cortante se presenta una mayor deformación axial de los amortiguadores. En cambio, para un comportamiento global en flexión las deformaciones son menores. Ello se puede apreciar esquemáticamente en la Figura 13 de un marco simple modelado en el programa ^{ETABS (2017)}, donde, considerando una misma deformación lateral, D _x , la deformación global en cortante genera deformaciones mayores en los amortiguadores que para el caso de deformación global en flexión. Para comprobar eso de manera gráfica, primero véase en la Figura 13b que las columnas se deforman axialmente de tal manera que las columnas del lado izquierdo se alargan, mientras que las del lado derecho se acortan, produciendo una deformación global en flexión. Después, arbitrariamente se extraen los amortiguadores del segundo nivel de cada marco para medir la deformación axial generada por una carga lateral. Claramente se puede observar que la deformación axial en el disipador del marco izquierdo, δ1, es significativamente mayor que la deformación axial del disipador del marco derecho, δ2.

Figura 13.  Esquema de la deformación axial del amortiguador 

Con la finalidad de analizar los efectos del comportamiento global en flexión en las distorsiones de entrepiso de una estructura, se presenta un ejemplo de un marco en 2D de acero de 12 niveles y una crujía, equipada con amortiguadores viscosos no lineales. La estructura se modeló empotrada en la base y con diafragmas rígidos en los entrepisos. Se calculó un periodo fundamental de 1.86 segundos en el programa ^{ETABS (2017)}. Para los amortiguadores, se consideró un exponente de velocidad α = 0.5. Se utilizó un amortiguamiento inherente del 2.5% y suplementario del 27.5%. Se calcularon los coeficientes de viscosidad, CNL, según las ecuaciones (3) a (4). Para este ejercicio se propuso un coeficiente de flexibilidad, r, como medida del comportamiento global en flexión de las estructuras. Este coeficiente relaciona la flexibilidad axial de las columnas entre la flexibilidad lateral de la estructura. El coeficiente de flexibilidad, r, se puede calcular como:

donde Tflexión es la contribución de las columnas al periodo de la estructura y Ttotal es el periodo fundamental de la estructura en la dirección de análisis. Mientras que el periodo fundamental de la estructura, Ttotal, se puede calcular por métodos conocidos (como el método de valores característicos), Tflexión se puede calcular de la misma manera, pero haciendo que vigas y disipadores tengan rigidez infinita. Nótese que ello revela la flexibilidad axial de las columnas. Ambos periodos se pueden obtener usando programas de análisis comerciales.

La estructura del ejemplo se evaluó usando análisis dinámico tipo paso a paso para diferentes valores de r (0, 0.05, 0.10, 0.15, 0.20 y 0.25). Se consideró respuesta elástica del marco y comportamiento no lineal de los disipadores. La estructura se sometió a un registro sísmico sintético generado por el programa ^{SASID (2020)}, cuyo espectro de desplazamientos se muestra luego en la Figura 18b y corresponde a aquel que genera las ordenadas espectrales mayores. La respuesta del marco se muestra en la Figura 14 en términos de los perfiles de desplazamientos y distorsiones de entrepiso. Se observa que mientras más alto es el valor de r (es decir, mientras mayor es el comportamiento global en flexión de la estructura), se generan desplazamientos y distorsiones de entrepiso mayores.

Figura 14.  Perfiles de respuesta de la estructura de acero para diferentes valores de r  

Figura 15.  Relación de distorsiones de entrepiso en función de r  

Figura 16.  Diagrama de flujo del método propuesto 

Figura 17.  Geometría y secciones del modelo. 

Figura 18.  Espectros de desplazamiento de los acelerogramas seleccionados (sólo se muestran aquellos de la componente h1). 

Por otro lado, se obtuvo la distorsión de entrepiso máxima en la altura del marco, se normalizó contra aquella que corresponde a r=0, y se graficó contra el valor de r en la Figura 15. Se observa que la relación de distorsiones de entrepiso, denominada f _flex , tiene un comportamiento creciente que se puede ajustar a una curva exponencial. Por lo tanto, se propone la ecuación (8) para estimar el valor de la relación f _flex :

donde la constante a = 0.97 y b = 2.18.

Nótese que los cálculos realizados en esta sección corresponden a una estructura de acero de 12 niveles en 2D, equipada con amortiguadores viscosos no lineales con α= 0.5. Los resultados se deben interpretar para esas características particulares y considerar que las constantes a y b de la ecuación (8) propuesta podrían variar si los parámetros cambian. Ciertamente, más análisis deben ser realizados para encontrar tendencias centrales.

Solución

Paso 1. Se realizó un diseño preliminar del marco que culminó con las propiedades descritas en el planteamiento del problema.

Paso 2. Se define una distorsión de entrepiso máxima de γ _máx = 0.01.

Paso 3. Se obtienen espectros de desplazamiento promedio para diferentes niveles de amortiguamiento (ver Figura 20). Nótese que se obtuvieron unos espectros para profundidad intermedia y otros para subducción.

Figura 20.  Espectros promedio de desplazamiento los acelerogramas seleccionados. 

Paso 4. El periodo de vibración de la estructura se estimó como 1.66 s en ^{ETABS (2017)} y el periodo dominante del suelo según ^{SASID (2020)} es de 2 s.

Paso 5. Se calcula el desplazamiento máximo permitido para un oscilador equivalente de un grado de libertad. Se consideró α = 0.5, FDistorsión = 1.3 y se calcularon los coeficientes r1 y r2 como:

r1=0.0057 N+1.1901=1.26 r2=aTTgb-ccos⁡TTg+dTTg-f=0.75

Donde N = 12, T/T _g = 0.83, a = 0.71, b = 6.49, c = 1.22, d = 0.82, f = 4.19. Entonces,

d1GL=γmáxHFDistorsiónr1r2=0.01x361.3x1.26x0.75=0.29 m

Paso 6. Se estima el nivel de amortiguamiento adecuado. De los espectros de desplazamiento de la Figura 20 se aprecia que para el periodo de la estructura rigen aquellos de la zona de subducción ya que presentan ordenadas mayores. De la Figura 20b se observa que para un periodo de 1.66 s el espectro con amortiguamiento de 30% queda por debajo de la demanda de 290 mm, por lo que se elige ese valor como amortiguamiento adecuado.

Paso 7. Se calculan los coeficientes de viscosidad de amortiguadores viscosos lineales con el método del ^{ASCE 41-17 (2017)}. Para este ejemplo se consideraron dos tipos de amortiguadores viscosos. Esto se debe a que en la práctica profesional suele ser menos costoso proponer un tipo de amortiguador para diferentes niveles que uno para cada nivel. Como ejemplo, uno de los edificios más conocidos en la Ciudad de México, la Torre Mayor cuenta con 98 amortiguadores de sólo dos tipos diferentes (^{Taylor, 2003}). El primer dispositivo propuesto para este ejemplo va del primer nivel al quinto y el segundo del sexto nivel en adelante. Los coeficientes propuestos se muestran en la segunda columna de la Tabla 8. Su cálculo detallado se presenta en el Apéndice A.

Paso 8. Se convierten las constantes de viscosidad, C _L , de amortiguadores lineales a aquellas para amortiguadores no lineales, C _NL , con la ecuación (3). La tercera columna de la Tabla 8 muestra los coeficientes de viscosidad. Su cálculo se muestra a detalle en el Apéndice A.

Paso 9. Diseño del brazo conector de los amortiguadores a la estructura. Éste se diseña para la fuerza máxima del amortiguador, incrementada por un factor de seguridad. La fuerza máxima ocurre en el instante de velocidad máxima. La velocidad máxima se puede obtener de manera aproximada multiplicando el desplazamiento máximo relativo, en los extremos del disipador, por la frecuencia del movimiento de la estructura.

Por simplicidad, y tomando en cuenta inicialmente un comportamiento global en cortante, se considera que el desplazamiento máximo en el disipador es el producto de la distorsión de diseño, por la altura de entrepiso, por el coseno del ángulo, esto es: umax=0.01x300x0.8944=2.68 cm. Otra opción para estimar el desplazamiento relativo máximo en el disipador es hacer un análisis dinámico tipo paso a paso en un programa comercial utilizando una rigidez infinita (o muy grande) en los amortiguadores. De esa manera se pueden obtener, además de los desplazamientos, las fuerzas máximas en cada disipador, aunque tiene la desventaja de ser un proceso más lento.

Por simplicidad, en esta sección se muestra el diseño del tipo de amortiguador para los niveles del 1 al 5. A partir del desplazamiento máximo, umax=2.68 cm y de la frecuencia del movimiento de la estructura, ω=2π/T=3.785 Hz, la pseudo-velocidad se calcula como:

vmax= umax ω=(0.0268)(3.785)=0.102 m/s

La fuerza máxima, Fmax, se calcula como:

Fmax= CNL vmaxα=160x0.1020.5=51 t

La fuerza de diseño, FDis, se calcula incrementando la fuerza máxima por un factor de seguridad de 1.2:

FDis= 1.2 Fmax=61.2 t

Se debe entonces emplear un brazo (o contraventeo) de conexión que tenga una resistencia mayor o igual a FDis. Adicionalmente, se debe verificar que la rigidez sea suficiente para que la deformación del brazo sea menor al 20% de la deformación esperada en el disipador. Primero, se calcula la resistencia a compresión, RC, del elemento trabajando axialmente, según las ^{NTCA (2020)}, como:

donde FR es el factor de resistencia, igual a 0.9, Fy es el esfuerzo de fluencia del acero, 3515 kg/cm ² , A es área total de la sección transversal del elemento y χ es el factor de reducción por esbeltez, calculado de la manera siguiente:

n es un coeficiente adimensional que, para este caso, es igual a 1.4 y λc es el parámetro de esbeltez

y Fe es el esfuerzo crítico de Euler

donde r ^* es el radio de giro de la sección del elemento, E es el módulo de elasticidad del acero, igual a 2.04 x 10⁶ kg/cm ² , KL _ef /r ^* es la relación de esbeltez máxima del elemento, para la longitud efectiva, L _ef . En este ejemplo, K y L _ef son 1.0 y 536.66 cm, respectivamente. Se propone un perfil de acero que su resistencia a compresión sea mayor a la fuerza de diseño y que tenga el menor costo. El perfil seleccionado para este ejemplo, y que cumple con lo mencionado anteriormente, es el perfil circular OC 244 x 4.8 mm. Su radio de giro y área total son 8.48 cm y 33.35 cm², respectivamente. Se obtuvo el factor de reducción por esbeltez, χ=0.7129, usando las ecuaciones (15) y (16). La resistencia a compresión del elemento es:

RC= FR χ Fy A=0.9x0.7129x3515x33.35=75.2 t

que resulta mayor que la fuerza de diseño, por lo que el perfil OC 244 x 4.8 mm se considera adecuado en términos de resistencia. Ahora, en términos de rigidez, ésta resulta:

KC= EA/(Lef-Ldisipador)=2.1e6x33.5/(536.66-50)=144.56 t/cm

Nótese que la rigidez del brazo se obtuvo con una longitud actuante que es igual a la longitud efectiva menos 50 cm de longitud de los amortiguadores. Entonces, el desplazamiento esperado en el brazo conector es:

dc=Fdis/KC= 61.2/144.56=0.42 cm

Lo que, en términos del desplazamiento máximo del disipador, es:

dc/umax=0.47/2.68=15.8%

valor que resulta menor a 20% establecido como un límite aceptable.

El procedimiento para el diseño del amortiguador para los niveles 6 a 12 es similar al mostrado anteriormente. Se obtuvo que el perfil de acero que cumple por resistencia a compresión para el tipo de amortiguador en los niveles 6 a 12 es el perfil OC 175 x 4.8 mm. Con una resistencia a compresión de 37.94 t. La rigidez calculada se usó para modelar los amortiguadores.

Paso 10. Se estima el valor del factor r para comprender el nivel de comportamiento global en flexión de la estructura. Para ello, se obtuvo el periodo de la estructura considerando rigidez infinita en vigas y amortiguadores, lo que resultó en Tcolumnas = 0.10 s, por lo tanto, el factor r resultó ser:

r = 0.1021.662=0.004

dado que el valor de r resultó ser muy bajo, se considera que el comportamiento global en flexión de la estructura es insignificante, por lo que no se debe hacer ninguna corrección en este caso. Para valores de r mayores a 0.05 se recomiendan algunas de las siguientes alternativas: 1) modificar el amortiguamiento proveído por los disipadores, 2) incrementar la rigidez axial de las columnas de soporte de los disipadores para reducir r, 3) aumentar la rigidez de la estructura con la finalidad de tomar en cuenta el incremento de las distorsiones de entrepiso (ver Figura 14) producido por el efecto global en flexión. Ciertamente el diseñador deberá elegir cual es la opción más apropiada para su proyecto.

Paso 11. Se verifica el diseño con análisis dinámico no lineal tipo paso a paso. Con ayuda del programa ETABS (2017), el modelo fue sometido a los movimientos sísmicos seleccionados.

En las Figuras 21 y 22 se muestran los perfiles de desplazamiento y distorsiones de entrepiso del modelo, respectivamente. Se puede observar que el perfil promedio de las distorsiones de entrepiso (líneas continuas) tienen un valor máximo de 0.004 para movimientos de profundidad intermedia y de 0.0102 para movimientos de subducción. Sólo los últimos generaron demandas de distorsión ligeramente superiores al límite establecido en el paso 1 de 0.01. Se puede decir entonces que el diseño es aceptable. Además, en la Figura 23 se muestran, para el caso de los movimientos de subducción, los perfiles promedio de desplazamientos y distorsiones de entrepiso de la estructura con y sin amortiguadores viscosos. Esto se graficó con el fin de comparar y observar el beneficio, en la reducción de la respuesta sísmica, que pueden proporcionar los amortiguadores viscosos. Se puede observar que, para este caso, los amortiguadores viscosos empleados redujeron en un 80% los desplazamientos y las distorsiones de entrepiso, comprobando su efectividad en la reducción de la respuesta sísmica.

Figura 21.  Perfiles de desplazamiento para los movimientos analizado 

Figura 22. Perfiles de distorsiones para los movimientos analizados 

Figura 23.  Perfiles promedio de desplazamientos y distorsiones de entrepiso para movimientos de subducción con y sin amortiguadores.