2.1 Marco teórico

En su análisis del conocimiento requerido por los profesores para tratar con éxito la enseñanza, ^{Shulman (1986)} describió el conocimiento del contenido, el conocimiento pedagógico del contenido y el conocimiento del currículo.

Centrándonos únicamente en el conocimiento del contenido matemático, nos basamos en la descomposición que Ball y sus colaboradores (^{Ball, Lubienski y Mewborn, 2001}; ^{Hill, Ball y Schilling, 2008}) proponen en su modelo de conocimiento matemático para la enseñanza (MKT):

La idoneidad epistémica de un proceso de estudio es parte de la idoneidad didáctica (^{Godino, Contreras y Font, 2006}) que los autores introducen para valorar situaciones de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas y tiene los siguientes componentes: idoneidad epistémica, cognitiva, interaccional, mediacional, emocional y ecológica. La idoneidad epistémica se define como la adecuación de los contenidos matemáticos en un proceso de enseñanza respecto a un contenido de referencia, fijado en las directrices curriculares y por el significado del tema dentro de la matemática. Para estudiarla, ^{Godino (2013)} propone una serie de descriptores que se presentan en la Sección 6. Como último punto de nuestro trabajo, analizaremos las respuestas escritas de los futuros profesores al utilizar tales descriptores para valorar la idoneidad epistémica de un proyecto estadístico para identificar algunos elementos de su conocimiento especializado del contenido.

2.2. Antecedentes

Como se indicó en la introducción, la investigación previa ha descrito numerosas dificultades con el tema, aunque son pocas las investigaciones que han analizado el conocimiento de los profesores sobre correlación y regresión.

El primero de estos trabajos fue realizado por Estepa y sus colaboradores (^{Batanero et al., 1998}; ^{Estepa y Batanero, 1995}), quienes llevaron a cabo una experiencia de enseñanza (incluyendo la correlación y la regresión) con 22 futuros profesores de educación primaria. Entre otras dificultades, citan la identificación de la correlación inversa, y la confusión entre la variable dependiente e independiente en la regresión. También reportaron estrategias incorrectas en la interpretación de los diagramas de dispersión, por ejemplo, usar sólo parte de los datos. Identifican las siguientes variables relevantes en el estudio del tema: intensidad y signo de la correlación y tipo de función de ajuste. Otras variables que inciden en la dificultad del tema son la existencia o no de teorías previas sobre el tipo de relación en los datos (^{Estepa y Sánchez-Cobo, 2001}) y tipo de relación entre las variables que puede explicar la correlación (^{Barbancho, 1992}).

^{Casey (2010)} usa el marco teórico del MKT para analizar la enseñanza sobre correlación y regresión desarrollada por tres profesores en ejercicio. Realiza un estudio muy completo del conocimiento del contenido, abarcando incluso los aspectos inferenciales, que no tenemos en cuenta en esta investigación. ^{Casey y Wasserman (2015)} analizan el conocimiento de 19 profesores en servicio sobre la enseñanza del ajuste informal de una recta de regresión. Sin embargo, los autores no diferencian en sus resultados los componentes común, avanzado y especializado de este contenido, ni tratan de identificar el conocimiento de los profesores, sino sólo el conocimiento matemático teórico que les sería necesario en la enseñanza. Por otro lado, nosotros usaremos tareas no tenidas en cuenta por Casey.

^{Quintas, Ferreira y Oliveira (2015)} analizan el conocimiento pedagógico del contenido (en el modelo MKT) de dos profesoras con amplia experiencia, mientras explican la correlación y la regresión en un curso de secundaria. Las autoras describen ejemplos de cómo las profesoras observadas usaron su conocimiento de la enseñanza y del estudiante en las lecciones desarrolladas. Observaron también errores de las profesoras en el conocimiento común del contenido; más concretamente, ninguna de ellas advirtió la existencia de dos rectas diferentes de regresión y pidieron a los alumnos usar siempre la recta de regresión de Y sobre X, independientemente de cuál fuera la variable que se quisiera predecir.

Utilizamos también el estudio de ^{Arteaga, Batanero, Cañadas y Gea (2012}), quienes evalúan los conocimientos de futuros profesores sobre gráficos estadísticos siguiendo el modelo MKT. Como parte de su estudio, utilizaron el análisis de la idoneidad epistémica de un proyecto estadístico realizado por futuros profesores de educación primaria para valorar su conocimiento especializado del contenido. Nosotros emplearemos el mismo método para evaluar el conocimiento especializado sobre la correlación y regresión de los participantes en nuestra investigación. Igualmente, consideramos el trabajo de ^{Puig y Monzó (2013}), que incluye la regresión y la correlación como parte de la modelización.

Aunque los trabajos citados fundamentan el nuestro y proporcionan puntos de comparación, ninguno realiza un estudio con futuros profesores de secundaria y bachillerato; tampoco analizan su competencia en la identificación de la función de ajuste, la explicación de la relación entre las variables -diferente a la causalidad- o el análisis de los contenidos sobre correlación y regresión de las tareas por parte de los participantes. Éstas serán aportaciones originales en nuestro trabajo.

3.1 Muestra y contexto

El estudio se desarrolló con 65 estudiantes españoles que se preparaban para ser futuros profesores dentro del Máster de Formación del Profesorado de Educación Secundaria y Bachillerato, especialidad de Matemática. De dicho conjunto de estudiantes, 56% eran licenciados en Matemáticas o Estadística, y el resto había cursado alguna ingeniería, arquitectura u otras ramas de ciencias. Todos habían estudiado alguna asignatura de estadística, y 57% tenían experiencia docente. Estuvieron divididos en dos grupos de aproximadamente el mismo tamaño, que trabajaron con el mismo profesor y método.

Las tareas propuestas se realizaron dentro de una asignatura de Didáctica de la Matemática, a lo largo de tres sesiones de dos horas cada una. En las dos primeras sesiones, dirigidas a identificar y desarrollar el conocimiento común y avanzado del contenido de la correlación y la regresión, los participantes resolvieron un proyecto estadístico (véase sección 3.2). En la tercera, dedicada a identificar y desarrollar su conocimiento especializado, los estudiantes analizaron la idoneidad didáctica de dicho proyecto. En la sección 3.2 se analizan las tareas propuestas y en las secciones 4 a 6 las respuestas a las mismas.

3.2 Material y tareas propuestas

El proyecto estadístico propuesto a los participantes expuso la pregunta “¿cuáles son los factores que más influyen en la esperanza de vida al nacer en un país?”, la cual permitió plantear diferentes tareas. Los datos para elaborar los gráficos mostrados a los participantes se tomaron de los utilizados en la elaboración de los Informes sobre Desarrollo Humano por las Naciones Unidas, disponibles en el servidor (http://hdr.undp.org/es/data).

Las variables utilizadas en el proyecto son indicadores internacionales de desarrollo humano y se presentan en la Tabla I junto a los criterios que motivaron su selección y tomaron en cuenta los factores que inciden en la dificultad de las tareas de correlación y regresión (^{Batanero et al., 1998}; ^{Castro-Sotos, et al., 2009}; ^{Estepa, 2007}; ²⁰⁰⁸ y ^{Estepa y Sánchez-Cobo, 2001}). En primer lugar, se tuvo en cuenta el signo y la intensidad de la correlación, brindando así la posibilidad de analizar correlaciones de signo positivo y negativo y de diferentes grados de intensidad. La relación de dependencia entre las variables no se limitó a la regresión lineal, sino incluyó otros modelos de ajuste con funciones que se estudian en la Educación Secundaria. Igualmente, se consideraron variables para las que la correlación observada entre los datos contradice o confirma las posibles expectativas (teorías previas) de los participantes (^{Chapman, 1967}). Siguiendo a ^{Barbancho (1992)}, se utilizaron también relaciones que pueden ser explicadas por causa y efecto, y otras debidas a interdependencia o dependencia indirecta.

En la primera sesión, el formador de profesores explicó a los estudiantes la forma en que se recogieron los datos y se aseguró de que se comprendía la utilidad y el método de cálculo de cada variable. Se realizaron también algunas actividades iniciales de interpretación de gráficos y resúmenes estadísticos de la distribución de la esperanza de vida, que no son objeto de este artículo. Una vez que los estudiantes se familiarizaron con las variables, se les proporcionó, sucesivamente, cada una de las tareas del cuestionario mostrado en la figura 1, en un formato con espacio suficiente para incluir cada solución. La última media hora de la primera sesión se dedicó a resolver la tarea 1; las tareas 2 a 4 se resolvieron en la segunda, y la tarea 5, en la tercera. Cada participante las respondió por escrito, individualmente. Una vez recogidas las respuestas a cada una de las tareas, se debatieron las soluciones con el fin de resolver las posibles dificultades y desarrollar el conocimiento matemático de los participantes.

¹ Se proporcionaron un total de ocho diagramas de dispersión en los que se representaba la variable esperanza de vida en función de cada una de las ocho variables explicativas.

Figura 1 Cuestionario dado a los participantes 

En la tarea 1 se pidió a los participantes estimar el valor absoluto del coeficiente de correlación y asignarle un signo. Esto resultó similar a otras tareas propuestas en las investigaciones sobre comprensión de la correlación (por ejemplo, ^{Estepa, 2007}, ²⁰⁰⁸ y ^{Moritz, 2004}). Al igual que la tarea 4 (identificar una función de ajuste), aparece con frecuencia en los textos de Bachillerato. Por tanto, nos posibilitaron identificar una parte del conocimiento común del tema de los futuros profesores (y posteriormente desarrollarlo en la discusión conjunta).

En la tarea 2 se solicitó a los futuros profesores que ordenaran las variables analizadas según su poder de predicción de la variable esperanza de vida, para lo cual los futuros profesores debían observar la mayor o menor dispersión de los puntos del diagrama de dispersión respecto a la tendencia, siendo la bondad de ajuste (o poder de predicción) mayor cuanto menor es la dispersión. La proporción de varianza explicada por la regresión se mide por el coeficiente de determinación. Dicho coeficiente es igual al cuadrado del coeficiente de correlación, en caso de dependencia lineal. En la tarea 3 se pidió a los participantes analizar si la correlación observada en cada caso era una relación causal, y se buscara, si las hubiera, otras posibles explicaciones de correlación. Estas tareas son algo más complejas de lo que se incluye habitualmente en la enseñanza, pero el profesor debe saber realizarlas. Las utilizamos para valorar su conocimiento avanzado del contenido.

La tarea 5 es específica del trabajo del profesor, quien ha de ser capaz de valorar la idoneidad de cualquier actividad planteada a sus alumnos; para resolverla ha de identificar los contenidos matemáticos implicados en el proyecto. Siguiendo a ^{Verdú, Callejo y Márquez (2014)}, se utilizaron los resultados de este análisis para evaluar el conocimiento especializado de los participantes del contenido.

Una vez recogido el informe con las respuestas a las tareas que entregó cada participante, se realizó un estudio de dichas respuestas que se recoge en los siguientes apartados.

4.1 Estimación de la correlación a partir del diagrama de dispersión

En primer lugar, se analizaron el valor absoluto y el signo del coeficiente de correlación que los futuros profesores asignaron a cada una de las gráficas (tarea 1). En la Tabla II se proporcionan los resultados globales: media del valor absoluto estimado para el coeficiente de correlación en las diferentes variables y porcentaje de participantes que asignó un signo correcto. Se acompaña de los valores reales del coeficiente de correlación en los datos (segunda columna) para una mejor interpretación de los resultados.

Observamos que el signo de la correlación en los datos fue identificado fácilmente. En el caso de independencia (población total), la mayoría indicó correctamente que la independencia supone ausencia de signo. Sin embargo, algunos futuros profesores no respondieron o no identificaron correctamente el signo para esta variable o para el gasto en salud pública, que es la única variable con intensidad baja. Globalmente, los resultados son mucho mejores que los proporcionados con el mismo tipo de tarea por otros estudiantes (e.g., ^{Estepa, 2007}, ²⁰⁰⁸ y ^{Moritz, 2004}).

Las estimaciones de la intensidad del coeficiente son también buenas, pues los valores medios en la muestra de futuros profesores se aproximan, en general, a la correlación observada en los datos. La precisión de la estimación es mayor para las correlaciones altas, y dentro de ellas, de menor calidad para las negativas que para las positivas, lo que coincide con los resultados expuestos por ^{Estepa (2007)}, ^{Sánchez Cobo, Estepa y Batanero (2000)} y ^{Moritz (2004)}.

Los futuros profesores estimaron un valor medio del coeficiente de correlación cercano a cero en el caso de independencia (población total). En este punto, los resultados son mejores que en el estudio de ^{Estepa (2008)}, en el que sólo 72% de los estudiantes identificó la independencia perfecta en un diagrama de dispersión en el que asignaron un coeficiente de correlación cercano a cero.

Se puede observar cierta influencia de las teorías previas sobre la menor precisión de la estimación de la correlación, cuando los datos se muestran en contra de esas teorías (población urbana). Igualmente se aprecia una sobreestimación de la correlación en el caso del PIB per cápita, para el que los participantes esperaban una correlación fuerte. Estos dos resultados se explican por el fenómeno de la correlación ilusoria (^{Chapman, 1967}), es decir, algunos futuros profesores basaron su estimación de la correlación atendiendo, de algún modo, a expectativas o esquemas propios referidos a las variables que estudiaban (se confirmó este hecho con la puesta en común de las respuestas al finalizar la tarea). Por otra parte, en caso de las correlaciones negativas (tasa de fertilidad en adolescentes, tasa de mortalidad), encontramos una estimación a la baja, lo que coincide con lo expuesto en investigaciones previas (e.g. ^{Estepa, 2008}).

4.2 Reconocimiento de la función de ajuste

En la tabla III presentamos la función de ajuste sugerida por los futuros profesores para cada variable explicativa trabajada en el proyecto, a la que se añadió en la segunda columna el tipo de función de ajuste más adecuada a los datos. Se identificaron correctamente los tipos de funciones de ajuste convenientes, sobre todo para las variables índice de desarrollo humano, índice de educación, PIB per cápita y tasa de fertilidad en adolescentes, todas (salvo el PIB), con función de ajuste lineal.

En general, los participantes reconocieron bien la forma de la función lineal y logarítmica, y más de 50% la exponencial, con lo que mostraron su alta preparación matemática; incluso en muchos casos se indicó el signo de los parámetros, su ecuación y el tipo de crecimiento de una variable respecto a la otra. En la variable población urbana, los participantes advirtieron la alta dispersión de los datos y lo indicaron en sus respuestas, y además sugirieron que no sería muy preciso el resultado de la predicción si utilizaban una función de ajuste a los datos. El alto índice de omisión de respuesta para esa variable se debió a que algunos participantes no asignaron una función porque no consideraban que hubiera una adecuada (así lo manifestaron en la puesta en común de respuestas a la tarea). Este efecto también se presentó con la variable población total (Tabla II), para la que un alto porcentaje de participantes identificó correctamente la independencia.

Como resumen de este apartado, se observó un muy buen “conocimiento común” sobre correlación y regresión en esta muestra de futuros profesores que resolvieron con éxito las tareas.

5.1 Orden de fiabilidad en la predicción

Para analizar los resultados de la tarea 2, se consideraron parcialmente correctas las respuestas que asignaron un orden de predicción que difirió en una unidad del orden correcto. En la Tabla IV se presentan la media y la desviación típica del orden asignado por los futuros profesores y el porcentaje de participantes, según su grado de corrección en la tarea. Se añade una columna con los valores correctos del orden de las variables, según su poder de predicción, para facilitar la lectura de los resultados.

Los futuros profesores, en general, ordenaron de modo correcto o parcialmente correcto las variables según su poder para predecir la esperanza de vida. Las respuestas se distribuyeron en torno al valor correcto, como se deduce de la proximidad de la media del orden asignado y del orden de predicción en los datos, así como la baja desviación típica. Las tres variables que mejor predicen la esperanza de vida, tasa de mortalidad, índice de desarrollo humano y PIB per cápita, en ese orden, se suelen identificar correctamente o en forma parcialmente correcta, aunque para el PIB per cápita aparezca mayor variabilidad de órdenes asignados. Igualmente encontramos una buena asignación del orden de predicción en la población total y la tasa de fertilidad en adolescentes, para las que se obtuvo la mayor proporción de respuestas correctas.

Observamos mayor dificultad en las asignaciones de orden para correlaciones menos intensas, como el gasto en salud pública, pero en general, son bastante precisas. Además, confirmamos la buena capacidad de los futuros profesores para identificar la independencia, ya que la mayor proporción de respuestas correctas se refirieron a la asignación de la población total al último orden para predecir la esperanza de vida.

5.2 Orden de fiabilidad en la predicción

Previo al desarrollo de la tarea 3, el formador indicó a los futuros profesores que su finalidad era ayudarles a diferenciar correlación y causalidad, lo que es importante en situaciones tales como de diagnóstico médico o de evaluación. Se pidieron ejemplos de situaciones causales y no causales en las que aparece correlación; entre otras, algún participante aportó: “la talla o peso de un padre, sabiendo la talla o peso del hijo adulto”; variables que están claramente correlacionadas, pero la posible relación causal iría de padre a hijo, y no al contrario. Se explicó a los participantes los tipos de explicaciones de la correlación sugeridos por ^{Barbancho (1992)} con ejemplos que clarificasen las diferentes categorías.

En nuestro análisis previo (Tabla I), la relación sería de tipo causal unilateral sólo para las variables tasa de mortalidad y gasto en salud pública, siendo la correspondiente al PIB per cápita y tasa de fertilidad en adolescentes de dependencia indirecta, la del índice de desarrollo humano de interdependencia, el índice de educación y población urbana dependencia indirecta y la población total independencia.

Los resultados de la tarea se presentan en la Tabla V, en donde se observa mayor porcentaje de reconocimiento de la causalidad en la variable tasa de mortalidad que en gasto en salud pública. También se asignó con gran frecuencia causalidad al índice de desarrollo humano, aunque en este caso la relación es de interdependencia, pues la esperanza de vida se incluye en el cálculo de este índice, como así se hizo saber en la presentación de las variables a los participantes. Hay una proporción variable de estudiantes que asignaron incorrectamente una relación de causalidad en las otras variables, como ocurrió con el PIB per cápita, que además, en este caso, coincidió con sus teorías previas, con lo que pudo presentarse en algunos la concepción causal de la asociación (Estepa y Batanero, 1996).

Los argumentos utilizados por los futuros profesores para justificar la causalidad se han clasificado según las categorías que se resumen a continuación, con ejemplos tomados de las respuestas de los participantes, cuyas iniciales indicamos entre paréntesis. Entre ellos hemos encontrado los siguientes argumentos correctos:

También se han identificado algunos argumentos incorrectos para justificar una relación causal entre las variables:

También se aplica este argumento erróneamente, al intercambiar la variable explicativa con la variable explicada, por ejemplo: “Nos indica que cuanto menor sea la esperanza de vida mayor será la mortalidad” (ChC).

En algunos casos se utiliza erróneamente este tipo de argumentación, al justificar una esperanza de vida baja por una superpoblación, como indica CM: “A mayor fecundidad de la población, más población habrá. Menor será la esperanza de vida por superpoblación”, o intercambiar la variable explicativa con la variable explicada, por ejemplo, PG: “Va directamente ligado con el índice de desarrollo humano, pues cuanto más desarrollo tiene un país, más escolaridad, más educación”.

En la Tabla V se presenta el porcentaje de futuros profesores que sugirieron que la relación de cada una de las variables explicativas con la esperanza de vida era causal (segunda columna). Observamos que las variables que se citan con mayor frecuencia fueron el índice de desarrollo humano y la tasa de mortalidad, seguida del PIB per cápita. Por tanto, se identificó correctamente la tasa de mortalidad como relación causal con la esperanza de vida, pero no el gasto en salud pública y se supusieron causales relaciones que no lo eran. Por otra parte, y como ocurrió con la estimación y asignación del coeficiente de correlación, la población total se consideró por todos los participantes como independiente de la esperanza de vida.

El resto de las columnas de la tabla V descompone el porcentaje de los participantes que asumieron una relación causal en cada variable, según la explicación dada a esa relación. El principal argumento de la supuesta relación causal por los futuros profesores fue la existencia de terceras variables que, al afectar o ser afectadas por la variable explicativa, a su vez influían en la esperanza de vida. En consecuencia, algunos futuros profesores podrían no diferenciar la relación causal de la dependencia indirecta. El segundo argumento más frecuente fue el del crecimiento / decrecimiento conjunto de las variables. Como hemos indicado, esta explicación podría ser aceptable, aunque no siempre. Siguió en importancia la influencia directa de la variable explicativa sobre la esperanza de vida y el cálculo (razones correctas). Por último, fueron pocos los casos que, explícitamente, identificaron correlación y relación causal, principalmente entre variables para las que la relación estaba en consonancia con sus teorías previas, sobre todo en el índice de desarrollo humano y el Producto Interior Bruto.

En resumen, el conocimiento avanzado del contenido correlación y regresión fue bueno en la tarea relacionada con ordenar las variables explicativas en función de su poder de predicción sobre la esperanza de vida. Respecto a la diferenciación entre correlación y causalidad, el conocimiento mostrado fue menor, pues no se identificaron algunas relaciones causales, mientras se supusieron otras que no eran tales. Además, se observaron participantes que identificaron la causalidad con el crecimiento/decrecimiento conjunto de las variables, la confundieron con la dependencia indirecta o bien la identificaron con la correlación, aunque en pocos casos.