EL PROCESO DE DEFINIR

Una definición en geometría puede entenderse como un enunciado que contiene las propiedades necesarias y suficientes para que una figura o relación pueda ser etiquetada por una expresión o una palabra (^{Herbst, Gonzalez y Macke, 2005}). Según ^{Escudero, Gavilán y Sánchez-Matamoros (2014)}, las definiciones predeterminan al concepto dentro de un sistema teórico de una manera no circular y consistente, y pueden existir definiciones equivalentes para un mismo objeto. Para ellos, aprender a definir significa que: 1) se pasa de asumir la definición como un nombre a entenderla como una lista de características del objeto; 2) se reconoce que una definición incluye unas características mínimas del objeto, y no una lista exhaustiva; 3) se reconoce que a partir de un listado de características se pueden encontrar definiciones equivalentes.

Para definir en geometría, es necesario establecer las diferencias de un objeto con otros similares, pues una definición agrupa a las figuras que comparten un conjunto específico de atributos (^{Herbst, et al., 2005}). Estos investigadores promulgan que para desarrollar el proceso de definir en la clase de geometría, es necesario crear escenarios en los cuales los estudiantes describan figuras geométricas, para determinar atributos comunes que permitan definirlas y diferenciarlas de otras. Estos escenarios también deben promover que los estudiantes generen ejemplos de figuras a partir de un conjunto de propiedades específicas. Precisamente, la geometría dinámica es un escenario en donde el estudiante puede asumir este proceso como una actividad creativa y entender que las definiciones no son parte de un cuerpo teórico inmutable (^{Govender, 2003}). Además, su uso contribuye a generar un ambiente de participación y de interacción en el aula (^{Perry, Samper, Camargo y Molina, 2013}).

LA ARGUMENTACIÓN EN EL PROCESO DE DEFINIR

La argumentación consiste en cualquier enunciación retórica que tiene como fin convencer a alguien de la verdad o la falsedad de una afirmación particular, dentro de un contexto específico. En matemáticas, argumentar es esgrimir razones o puntos de vista, identificar enunciados o proponer referentes teóricos, con el objeto de buscar ideas que conformarán la demostración del enunciado matemático (^{Douek, 2007}) y de esta forma validarlo. La argumentación pretende lograr la aceptabilidad del enunciado dentro de una comunidad específica como, por ejemplo, la conformada por un profesor y sus alumnos o por matemáticos.

Sobre la naturaleza de los argumentos, ^{Boero (1999)} distingue entre argumentos empíricos y teóricos. En un argumento empírico la validez recae en las mediciones, en la evidencia visual y las referencias corporales, si eso lo acepta la comunidad en la que se quiere validar determinada proposición. Mientras que los argumentos teóricos se basan en el uso de elementos que conforman la teoría que dicha comunidad ha establecido como válida: definiciones, postulados o teoremas (figura 1).

Figura 1: Ejemplos de argumentos empíricos y teóricos 

Para Toulmin, un argumento está compuesto, principalmente, de tres elementos: datos, aserción y garantía. Los datos y la aserción son proposiciones que se relacionan por medio de una regla general denominada garantía (^{Molina y Samper, 2019}). Los datos son propiedades que en algún momento se asumen como verdaderas. La aserción es una propiedad que se considera consecuencia de los datos, y la garantía son los principios o enunciados, considerados verdaderos, que permiten realizar inferencias que relacionan los datos con la aserción. Los tipos de argumentos que se presentan en la actividad matemática están determinados por el componente principal, de la estructura ternaria, que se concluye. En correspondencia con ello, los argumentos se clasifican en deductivos, abductivos e inductivos.

Un argumento deductivo surge cuando partiendo de los datos se utiliza una regla general como garantía para obtener la aserción (figura 2). Este tipo de argumentos se dan principalmente en el proceso de justificación.

Figura 2: Esquema de un argumento deductivo 

Un argumento abductivo puede surgir en el proceso de conjeturación o de justificación. En este tipo de argumento se asume que la aserción es verdadera. A partir de esto y de posibles garantías conocidas que podrían justificar a la aserción, se concluyen, como posibles, unos datos adecuados. Es importante mencionar que la naturaleza de la regla general (garantía) puede ser diferente: puede ser una regla hipotética que proviene de una exploración empírica o puede ser una regla extraída, por una exploración teórica, del sistema teórico en el que se trabaja (figura 3).

Figura 3: Esquema de un argumento abductivo 

Finalmente, un argumento inductivo surge principalmente en el proceso de conjeturación. En este tipo de argumentos, se tienen varios datos o proposiciones particulares D₁, D₂, D₃,... ,D_n de una proposición general D que producen un mismo resultado, que corresponde a la aserción. Ello conlleva a la formulación de una proposición o regla general. La regla obtenida en este tipo de argumento es provisional, es decir, es una proposición plausible. En este caso, lo que se concluye es la garantía (figura 4).

Figura 4: Esquema de un argumento inductivo 

ACERCA DEL USO DE LA NEGACIÓN EN LA ARGUMENTACIÓN

En un sistema axiomático, una proposición condicional p → q se puede demostrar de forma directa o indirecta. El primer tipo de demostración se da cuando, partiendo de la proposición p verdadera, se deduce que q es verdadera utilizando un sistema teórico de referencia y principalmente el esquema de razonamiento Modus Ponendo Ponens³. El segundo tipo de demostración, llamado por contradicción o prueba indirecta, consiste en introducir la negación del consecuente del enunciado, ¬ q, como una nueva premisa. Si con él se deducen las proposiciones r y ¬r, que por el Principio del Tercio Excluido no pueden ser simultáneamente verdaderas, entonces ¬ q no puede ser verdadero. Como el suponer que el consecuente de la condicional es falso lleva a una contradicción, por el Principio de Reducción al Absurdo se puede concluir que el consecuente de la condicional que se quiere demostrar es verdadero (^{Caicedo, 1990}).

Para demostrar una afirmación condicional (p → q), también se puede validar su contrarrecíproca (¬q → ¬p), pues son lógicamente equivalentes. El método de demostración por contrarrecíproca consiste precisamente en demostrar la validez de una proposición condicional demostrando de forma directa su contrarrecíproca. Finalmente, para demostrar que una afirmación es falsa basta con encontrar un no-ejemplo, es decir, un ejemplo en el cual se cumpla simultáneamente p y ¬q.

Algunas investigaciones, sobre la producción de pruebas indirectas por parte de estudiantes de diferentes grados de escolaridad, reportan que ellos tienen más dificultades para comprender las pruebas indirectas que las directas (^{Antonini, 2004}). Una de las posibles razones de esta situación es que las pruebas directas son más intuitivas que las indirectas. Algunas de las dificultades asociadas a las pruebas por contrarrecíproca son: equivocarse al formular la proposición contrarrecíproca del enunciado que se quiere probar (^{Antonini, 2004}); no aceptar como válidas las pruebas por contrarrecíproca porque consideran que no corresponden a la demostración del enunciado inicial (^{Antonini y Mariotti, 2008}); no diferenciar los datos iniciales de las aserciones del enunciado y asumir que las pruebas por contrarrecíproca son argumentos hacia atrás (^{Stylianides, et al., 2004}). Con respecto a las pruebas por contradicción, algunas dificultades de los estudiantes son: aceptar que la contradicción encontrada permite validar la proposición condicional que se pretende probar, y comprender que algunos de las afirmaciones que se deducen durante este tipo de prueba, teóricamente no se pueden dar (^{Antonini y Mariotti, 2010}). Adicionalmente, asociado al uso de la negación para justificar afirmaciones, ^{Antonini (2004)} indica que los estudiantes utilizan de forma intuitiva una relación de equivalencia falsa que consiste en asumir que la proposición p → q es equivalente a su inversa ¬p → ¬q.

LA IMPORTANCIA DE LOS PROCESOS ARGUMENTAR Y DEFINIR EN EL AULA

^{Furinghetti y Paola (2002)} afirman que involucrar a los estudiantes en la actividad de definir tiene un valor didáctico invaluable para la comprensión de la estructura lógica de una proposición condicional, lo cual es un elemento indispensable para la argumentación matemática. Un resultado similar lo reportan ^{Sáenz-Ludlow y Athanasopoulou (2008)} cuando señalan la interdependencia entre el conocimiento de la definición de un cuadrilátero y los argumentos que despliegan los estudiantes para justificar afirmaciones que han establecido relacionadas a estos. ^{Douek y Scali (2000)} señalan que la argumentación tiene un papel importante en el proceso de construcción de conceptos. Como parte esencial de este proceso es entender la definición, la relevancia de la argumentación se transfiere al proceso de definir. Es por medio de la argumentación que se puede llegar a acuerdos sobre las propiedades que definen un objeto, y sobre los vínculos entre éstas y las propiedades que de su definición se deducen.

CONTEXTO

La investigación original se llevó a cabo con siete estudiantes de grado décimo de educación básica secundaria (14 - 16 años), como una actividad extracurricular en la que participaron voluntariamente y que fue dirigida por una de las autoras de este artículo. Para ella, se diseñó una secuencia de tareas que tiene como propósito que los estudiantes aprendan a definir y, requiere el uso de geometría dinámica. Los estudiantes desarrollaron esta secuencia durante siete sesiones de cuatro horas cada una, que fueron grabadas en audio y video. Durante la implementación de la secuencia, los estudiantes trabajaron en dos grupos, dado que sólo había dos computadores. Ellos decidieron con quienes trabajar. El Grupo 1 lo conformaron Saúl, Noé y Néstor, y el Grupo 2 Andrea, Martín, León y Armando.⁴ Los datos del estudio que estamos reportando se obtuvieron de la séptima sesión, en la cual los estudiantes desarrollaron las últimas tres tareas de la secuencia (tabla 1).

Tabla 1. Objetivos y descripción de las tareas propuestas

Define la Figura Incógnita

Objetivos de enseñanza

• Determinar la comprensión de los estudiantes del proceso definir en geometría.

• Favorecer el uso de la geometría dinámica para resolver problemas y como medio para la justificación.

Objetivos de aprendizaje

• Descubrir, con geometría dinámica, propiedades esenciales de una figura geométrica desconocida.

• Definir la figura geométrica desconocida a partir de las propiedades encontradas.

• Usar una representación realizada con geometría dinámica como medio para justificar aserciones.

Descripción de la actividad

Abra el archivo Figura Incógnita⁵ en GeoGebra:

Figura 5: Diferentes representaciones obtenidas al arrastrar la imagen del archivo Figura Incógnita 

Tarea 1. Escribe las propiedades de la figura.

Tarea 2. Determina conjunto de propiedades que no definen la figura. En cada caso, propón un contraejemplo.

Tarea 3. Determina conjuntos de propiedades que definan la figura. Justifica tu respuesta.

A continuación (tabla 2), se describen los tipos de tareas que conforman la secuencia completa, y la clasificación de las tres tareas descritas en la tabla 1.

La tarea 1 es del tipo II porque los estudiantes tienen que descubrir las propiedades de la Figura Incógnita para poder proponer una definición; la tarea 2 y la tarea 3 son del tipo III porque requieren usar las propiedades elegidas en la construcción de una figura, para determinar si representa o no la Figura Incógnita y así justificar si las propiedades la definen o no. En el proceso de solucionar las tres tareas, surgen tareas tipo I cuando, para construir posibles definiciones de la Figura Incógnita, los estudiantes representen una figura a partir del conjunto de propiedades que seleccionaron, para así determinar cuáles son necesarias y cuáles se pueden eliminar.

METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

Los datos que se usan en este artículo son algunas de las trascripciones de las interacciones de los dos grupos de estudiantes cuando intentaban establecer la definición de la Figura Incógnita. El objetivo de nuestro estudio es caracterizar el uso de la negación en los argumentos de los estudiantes, cuando proponen definiciones de la figura a partir de las propiedades que descubren. La metodología de investigación utilizada es un estudio de caso (^{Stake, 1998}).

Para el análisis, tuvimos en cuenta tres asuntos: i) el tipo de argumento que formulan los estudiantes cuando usan la negación (^{Molina y Samper, 2019}); ii) el uso de la negación, desde el punto de vista de la lógica matemática (^{Caicedo, 1990}) y iii) las dificultades respecto al uso de la negación (^{Antonini, 2004}; ^{Antonini y Mariotti, 2008}; ^{Stylianides, et al., 2004}; ^{Antonini y Mariotti, 2010}).

FRAGMENTO 1. EL GRUPO 2 DESCARTA QUE LA FIGURA SEA UN PARALELOGRAMO

En el proceso para determinar cuáles son las propiedades de la Figura Incógnita (figura 5), un integrante del Grupo 2 plantea la posibilidad de incluir como una propiedad de la figura “ser paralelogramo” [86]. En el momento en que se realiza la siguiente intervención, el grupo ya había realizado un proceso exhaustivo de exploración, midiendo los lados y los ángulos de la figura y construyendo las bisectrices de sus ángulos.

87.	Armando:	¿Cómo es un paralelogramo? Son dos líneas paralelas o sea cuatro, o sea dos lados paralelos.
88.	Profesora:	Para esta figura, ¿cuáles tendrían que ser paralelas?
89.	León:	Ésta y ésta [señala TJ̅ yRK̅ ] y ésta y ésta [señalaJR̅ yTK̅].
90.	Armando:	[Traza TK⃡ y JR⃡ (Figura 6)].
91.	Profesora:	[Dirigiéndose a Armando] ¿Usted va intentar mostrar que es un paralelogramo?
92.	Andrea:	Pero no es, porque se encuentran en un punto. Mira [dirigiéndose al profesor al señalar las rectas construidas por Armando]	Figura 6
93.	León:	Al parecer se encuentran en un punto. Mira [Armando da zoom y reduce la pantalla y muestra el punto de intersección de las rectas]. No. En este caso ya descartamos que no es un paralelogramo.
94.	Armando:	O sea, no es un paralelogramo.

Se evidencia la construcción de un argumento colectivo, el cual es deductivo empírico. Los datos (¬q) son la información visual de la intersección de las rectas, TK⃡ y JR⃡ , que contienen dos lados (Andrea, [92]), la garantía (p→ q) es la definición personal de Armando de paralelogramo [87] y la aserción (¬p ) es que la figura no es un paralelogramo (León, [93]). Es decir, han utilizado el esquema de razonamiento válido Modus Tollendo Tollens,⁶ esquema en el que se usan las negaciones de proposiciones.

En su definición, Armando incluye una conjunción: un par de lados opuestos paralelos y el otro par de lados opuestos paralelos. Trabajan con la negación de sólo una de esas proposiciones, posiblemente sin ser conscientes de que negar sólo una de ellas es suficiente para que quede negada la conjunción, y que por tanto es válido el esquema de razonamiento que usaron. Es decir, procedieron de una forma que es lógicamente válida, aunque no fueron conscientes de ello.

FRAGMENTO 2. EL GRUPO 1 EXPLICA POR QUÉ LA FIGURA NO ES ROMBO

Este fragmento consta de dos momentos: i) establecen y formulan un hecho geométrico que llaman el Criterio de Dos Triángulos Isósceles, que versa sobre los rombos; y ii) usan el Criterio para justificar otra propiedad de la Figura Incógnita.

Momento 1: Noé pasa al tablero para explicarle a sus compañeros de grupo su argumento de por qué la Figura Incógnita no es un rombo [158]. Para ello, dibuja en el tablero un rombo con una diagonal (figura 7). Cuando Saúl le comenta que eso ya lo habían concluido, Noé expresa que “... hay que explicar por qué no es un rombo; no es sólo decir que no es un rombo” [162]. Por tanto, indica las condiciones que deberían cumplir los triángulos isósceles determinados por una de las diagonales del cuadrilátero.

168.	Noé:	[...] Tendría que tener dos triángulos equiláteros.
169.	Profesora:	¿Y por qué?
170.	Noé:	Porque, es que, digamos el rombo también se puede dar a través de la forma. O sea; yo digo; no sé si esté bien. Digamos como un cuadrado cuando el cuadrado se comprime. ¿Sí? Como el cuadrado tiene todos sus lados iguales, ¿Qué nos formaría eso? Dos triángulos equiláteros. [...]
174.	Saúl:	Yo diría que un rombo se forma también con dos triángulos isósceles. [...]
176.	Saúl:	Se necesitaría que los dos triángulos isósceles fueran congruentes. O sea... si fueran dos triángulos equiláteros [congruentes], implicaría que esta medida [señala la diagonal del rombo dibujado por su compañero, figura 7(a)] sea igual a ésta [señala un lado del rombo de la figura 7(a)]. Pero, pues también... Pero, pues con ésta [señala los dos triángulos equiláteros de la figura 7(a)] también se puede hacer un rombo. Pero con dos triángulos isósceles también se podría hacer un rombo. Pero no necesariamente esta medida [la de la diagonal] tiene que ser igual a ésta [medida de un lado del rombo]. Digamos, puede ser así y así [dibuja la figura 7(b)].	Figura 7

En la justificación que realizan Noé y Saúl se evidencian varios argumentos. El primer argumento es empírico; tiene como datos visuales que las diagonales del cuadrilátero no determinan triángulos equiláteros [168] (¬p), y como aserción que la figura representada en el computador no es un rombo [158] (¬q); no dan una garantía. La afirmación que resulta del primer argumento de Noé es: Si la diagonal de la Figura Incógnita no determina triángulos equiláteros, entonces la figura no es rombo (Afirmación A). Bajo el cuestionamiento de la profesora, Noé expone tres argumentos deductivos que validan la contrarrecíproca de la afirmación anterior [170].

El primer argumento es una equivalencia que Noé establece: rombo si y sólo si cuadrado comprimido. Esta proposición corresponde a la definición personal de rombo que Noé ha manifestado desde el inicio de la actividad. El segundo argumento es: si el rombo (q) es un cuadrado comprimido (datos) entonces todos sus lados son congruentes (aserción). La garantía implícita es que al comprimir un cuadrado se mantiene la congruencia de los lados del cuadrilátero. El tercer argumento tiene como datos la aserción anterior y concluye que la diagonal determina dos triángulos equiláteros (p), siendo la garantía la definición de triángulo equilátero.

Saúl quiere expresar su acuerdo parcial de lo que expuso Noé, pero enuncia la proposición inversa de la Afirmación A de Noé, sin saber que no son necesariamente equivalentes. Es decir, afirma que: si la diagonal determina triángulos equiláteros entonces es rombo. Con el propósito de justificar su afirmación, Saúl construye una cadena de argumentos [176]. El primer argumento es precisamente el establecimiento de la inversa, convencido de que está reportando lo que dijo Noé. En el segundo argumento, Saúl asevera que si la diagonal del cuadrilátero determina dos triángulos equiláteros (datos), entonces la medida de la diagonal será igual a la medida de los lados (aserción). La garantía implícita de este argumento deductivo es la definición de triángulo equilátero. El tercero argumento, que es empírico, parte del hecho de que si la figura es un rombo (datos), entonces no necesariamente la medida de la diagonal es igual a la de uno de los lados (aserción). La garantía implícita son las representaciones de rombo que hicieron en el tablero. A partir de esto, Saúl establece lo que denominamos el Criterio de Dos Triángulos Isósceles, al cual se va a referir más adelante.

El esquema a continuación ilustra la cadena de argumentos que exponen los estudiantes en la discusión anterior:

Figura 8 Cadena de argumentos realizados por Noé y Saúl 

La equivocación de Saúl al transformar la Afirmación A es una de las dificultades que identifica ^{Antonini (2004)}. No es válido, desde el punto de vista de la lógica, usar la inversa para validar una proposición, porque esta no es equivalente a ella. Pero en este caso, como la proposición y su recíproca son válidas, Saúl logró lo que quería.

Momento 2: Con la intención de buscar otras propiedades de la Figura Incógnita, retoman las ideas expuestas en el diálogo anterior. En la siguiente intervención, le justifican a la profesora la validez de una de las propiedades de la Figura Incógnita que quieren incluir en el listado. Como consecuencia de lo que exponen, escriben en la hoja, donde han consignado las propiedades que han encontrado, la siguiente propiedad: “Una diagonal determina dos triángulos isósceles no congruentes”.

En la anterior intervención, Saúl intenta justificar por medio de un argumento deductivo teórico que si se tiene la Figura Incógnita (dato), entonces una diagonal determina dos triángulos isósceles no congruentes (aserción). Para construir la justificación, agrega como dato la negación del consecuente, es decir, supone que la diagonal determina dos triángulos isósceles congruentes [194]. Utilizando el Criterio de Dos Triángulos Isósceles [192] como garantía, concluye como aserción que la figura sería un rombo [194]. Con esto Saúl llega a una contradicción, pues anteriormente había afirmado que la Figura Incógnita no es un rombo. Así concluye que la afirmación que negó es verdadera. El esquema de la justificación de Saúl corresponde a una demostración por contradicción. Hizo la demostración indirecta sin dificultades.

FRAGMENTO 3. ¿POR QUÉ LA FIGURA TIENE UN PAR DE ÁNGULOS NO CONGRUENTES?

Después de que los estudiantes de cada grupo han trabajado independientemente en la formulación y justificación de definiciones para la Figura Incógnita, es decir para el cuadrilátero denominado cometa, se abre un espacio para la comunicación de resultados. Ambos grupos reportan que una posible definición es: Una cometa es un cuadrilátero con diagonales perpendiculares, tal que solo una biseca a la otra. La profesora cuestiona si la definición que proponen asegura la no congruencia de dos ángulos opuestos (Propiedad 6). El siguiente fragmento corresponde a la justificación dada por un estudiante:

216.	Armando:	¡Eeeh..., bueno! Ya tenemos las dos rectas perpendiculares. Entonces decimos que “sólo una biseca a la otra”. Entonces, por consiguiente, los lados son iguales [señala al JA̅ y al KA̅ (figura 9)]. O sea, uno tiene que ser más largo que el otro para que sólo una biseque a la otra [mostrando al TA̅ y al RA̅ ]. Entonces al ser uno más largo que el otro, la distancia de aquí [señala el vértice R] hasta aquí [señala el punto A], va a ser mayor, y eso hace que los ángulos pues cambien sus grados. ¿Si me hago entender?
		Figura 9
240.	Profesora:	¿Será que en algún momento el ∠JTK va a ser congruente con el ∠JRK ?
241.	Armando:	No. En ningún momento porque al ser iguales entonces las dos [diagonales] se bisecarían. O sea, al ser los ángulos iguales tendrían que ser las diagonales... las dos diagonales bisecarse, y la propiedad dice que “solo una diagonal biseca a la otra”.

Lo que pretende Armando justificar es la siguiente afirmación: Si sólo una diagonal del cuadrilátero biseca a la otra, entonces el cuadrilátero tiene un par de ángulos que no son congruentes. En la intervención [216], Armando desarrolla dos argumentos. El primero, es un argumento deductivo teórico, cuyo dato es que “sólo una diagonal biseca a la otra” y la aserción es la congruencia de KA̅ y JA̅ y la no congruencia de TA̅ y RA̅ (figura 9). La garantía implícita es la definición de bisecar.⁷ Armando asume que el JK̅ es la diagonal que no biseca a la otra e indica que esto implica que AR⁸ es diferente a TA. Llegar a esta conclusión requiere reconocer que si una diagonal no biseca a la otra A, no es punto medio del RT̅ , y si A no es punto medio del RT̅ , entonces AR >TA o AR<TA. Es decir, usa la negación de la definición de punto medio,⁹ sin tal vez reconocer que la negación es una disyunción, y que por tanto basta que no se cumpla una de las dos condiciones para no ser punto medio. La aserción de este primer argumento se convierte en el dato del segundo, que tiene como aserción que la medida de los ángulos no puede ser la misma. Este segundo argumento es inductivo empírico.

Debido al cuestionamiento de la profesora, Armando emite otro argumento [241], usando la negación del consecuente de la condicional que quiere demostrar (datos); es decir, asume que la figura tiene dos pares de ángulos congruentes. Su aserción es que sus diagonales se tendrían que bisecar. Esto, junto con la propiedad que ya se conoce de las diagonales de una cometa, conforman la proposición r y ¬r. Por ello, como si conociera el Principio de Reducción al Absurdo, deduce que los ángulos no pueden ser congruentes. Esto convierte su argumento en una demostración por contradicción, en la que no se presentó alguna dificultad de las mencionadas por ^{Antonini y Mariotti (2010)}.