Perspectiva de modelos y modelación

Para la PMM aprender matemáticas se considera un proceso en el cual los individuos desarrollan sistemas conceptuales o modelos, que cambian de manera continua, se modifican, extienden y refinan a partir de las interacciones del estudiante con su entorno, es decir, con los profesores y compañeros, y al resolver problemas (^{Lesh, 2010}). Para la PMM los modelos

son sistemas conceptuales (que consisten en elementos, relaciones y reglas que gobiernan las interacciones) que son expresados utilizando sistemas de notación externa, y que son usados para construir, describir, o explicar los comportamientos de otros sistemas -quizás de tal manera que el otro sistema pueda ser manipulado o predicho de manera inteligente. (^{Lesh y Doerr, 2003, p. 10})

La PMM sugiere estructurar experiencias para el alumno en las cuales exprese, pruebe y refine sus formas de pensamiento, y realice construcciones matemáticas significativas durante el proceso de construcción de modelos matemáticos (^{Brady y Lesh, 2021}; ^{Lesh, 2010}; ^{Sriraman y Lesh, 2006}). Estas situaciones, intencionalmente diseñadas en contextos cercanos a la vida real se denominan MEAs (^{Aliprantis y Carmona, 2003}; ^{Doerr, 2016}; ^{English, 2021}; ^{Lesh y Doerr, 2003}).

La realización de las MEAs posibilita que los estudiantes realicen procesos de “matematización -cuantificar, dimensionar, coordinar, categorizar, algebrizar, y sistematizar objetos relevantes, relaciones acciones, patrones y regularidades-” (^{Lesh y Doerr, 2003, p. 5}) y desarrollen ciclos de modelación, también llamados ciclos iterativos de modelación, los cuales son interpretaciones (o sistemas conceptuales) de las situaciones problema (^{Sevinc y Lesh, 2018}; ^{Sriraman y Lesh, 2006}).

Para propiciar que los estudiantes construyan modelos y evolucionen sus ciclos de modelación, las MEAs se diseñan con base en seis principios: significado personal (principio de realidad), construcción del modelo, autoevaluación, externalización del modelo (principio de documentación del modelo); prototipo simple; generalización del modelo. Estos principios pueden revisarse en ^{Lesh et al. (2000}) y ^{Lesh et al. (2003)}.

Para evaluar los modelos que desarrollan los estudiantes al realizar las MEAs, la PMM propone la “Guía de evaluación de calidad” (^{Lesh, 2010, p.33}). Esta Guía considera cinco niveles denominados niveles de actuación: a) los modelos requieren redirección, b) los modelos requieren mayores extensiones o refinamientos, c) los modelos solo requieren ediciones menores, d) los modelos son útiles para estos datos específicos dados, e) los modelos son compartibles y reutilizables. Estos niveles de actuación permiten que se puedan caracterizar los tipos de modelos con base en su utilidad para resolver la situación problema planteada.

^{Ärlebäck et al. (2013)} proponen el uso de MEAs -basadas en la PMM- para propiciar que los estudiantes desarrollen la capacidad de razonamiento covariacional relacionado con la función exponencial.

Marco conceptual de razonamiento covariacional

El aprendizaje asociado a las funciones exponenciales implica que los alumnos desarrollen su razonamiento covariacional; es decir, “actividades cognitivas implicadas en la coordinación de dos cantidades que varían mientras se atiende a las formas en que cada una de ellas cambia con respecto a la otra” (^{Carlson et al., 2002, p. 124}). El razonamiento covariacional involucra que los alumnos tengan en “su mente una imagen sostenida de valores de dos cantidades que varían simultáneamente” (^{Saldanha y Thompson, 1998, p. 298}). De acuerdo con ^{Thompson (1994b)} las imágenes conceptuales que desarrollan los alumnos “comprenden representaciones visuales, imágenes mentales, experiencias e impresiones evocadas por el nombre del concepto” (p. 6). El constructo de la imagen se describe como “dinámico, que se origina en acciones corporales y movimientos de la atención, y como la fuente y el vehículo de operaciones mentales” (^{Thompson, 1994a, p. 231}).

La imagen que tiene un alumno de un símbolo puede tener tres significados diferentes: a) si se tiene una imagen del símbolo como un valor que no cambia, el alumno le da un significado de constante, b) si la imagen del símbolo es como una cantidad que varía respecto a otra entonces su significado es de parámetro, y c) si la imagen se concibe como una cantidad que varía dentro de un ajuste (función), el significado es de variable (^{Thompson y Carlson, 2017}).

La evolución de la imagen de covariación permite un razonamiento covariacional más sofisticado (^{Carlson et al., 2002}). El razonamiento covariacional evoluciona por niveles y de forma ordenada (^{Carlson et al., 2002}; ^{Saldanha y Thompson, 1998}; ^{Thompson, 1994}). La forma de observar la evolución que tiene el razonamiento covariacional en los estudiantes se puede determinar examinando los comportamientos y acciones mentales que exponen durante el desarrollo de actividades, las cuales implican el manejo de dos cantidades que cambian una respecto a la otra (^{Carlson et al., 2002}).

El marco conceptual de razonamiento covariacional propuesto por ^{Carlson et al. (2002)} va dirigido al estudio del razonamiento covariacional que desarrollan los estudiantes al resolver problemas, los cuales implican situaciones dinámicas y el uso de dos cantidades que cambian simultáneamente. ^{Carlson et al. (2002)} clasifica el razonamiento covariacional en cinco niveles [N] (tabla 1). Se puede determinar que un alumno ha alcanzado un nivel N si sustenta las acciones mentales [AM] del nivel considerado y las acciones mentales asociadas a los niveles inferiores. Las acciones mentales del marco conceptual para la covariación “proporcionan un medio para clasificar los comportamientos que se pueden ver cuando los estudiantes se involucran en tareas de covariación” (^{Carlson et al., 2002, p. 356}), y son las siguientes: AM1 coordinación del valor de una variable con los cambios en la otra, AM2 coordinación de la dirección del cambio de una variable con los cambios en la otra variable, AM3 coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los cambios en la otra variable, AM4 coordinación de la razón de cambio promedio de la función con los incrementos uniformes del cambio en la variable de entrada y AM5 coordinación de la razón de cambio instantánea de la función con los cambios continuos en la variable independiente para todo el dominio de la función.

Para ^{Carlson et al. (2002)} las imágenes de covariación son evolutivas y usan el término evolutivo en el sentido piagetiano; es decir, consideran “que las imágenes de covariación se pueden definir por niveles y que los niveles emergen en una sucesión ordenada” (p. 354).

La revisión de literatura (^{Carlson et al., 2002}; ^{Lesh, 2010}; ^{Lesh y Doerr, 2003}) y los resultados obtenidos en las investigaciones de ^{Montero-Moguel (2020)} y ^{Montero-Moguel et al. (2021)} permitieron identificar que los niveles de razonamiento covariacional, propuestos por ^{Carlson et al. (2002)}, posibilitaron describir con profundidad los tipos de modelos construidos por los estudiantes y los ciclos de modelación desarrollados, al resolver la MEA relacionada con el concepto de función exponencial.

LA MEA

La MEA Crecimiento Poblacional [CP] (figuras 1 y 2) se diseñó con base en la problemática del incremento de tránsito vehicular derivado del crecimiento poblacional de la Zona Metropolitana de Guadalajara y los principios de construcción de una MEA descritos por ^{Lesh et al. (2003, p. 43)}. La MEA CP se compone de tres partes (sugeridas por la PMM): Actividad de Calentamiento, preguntas y situación problema:

Figura 1 Nota periodística de la MEA CP y preguntas de calentamiento 

Figura 2 Situación problema de la MEA CP 

La situación problema incluida en la MEA CP fue diseñada para que los estudiantes construyeran modelos y propiciara que pudieran incluir procedimientos: tabular (recursivo), tabular (relación funcional), gráfico y algebraico, relacionados con la función exponencial siguiente.

P(t)=Pi(1+r)kt donde:

𝑃(𝑡) = Población en el tiempo 𝑡,

𝑃𝑖 = Población inicial,

𝑟 = tasa de crecimiento anual,

𝑡 = tiempo transcurrido,

𝑘 = constante.

Primer ciclo de modelación

El primer ciclo de modelación de los cuatro equipos se puede caracterizar por el uso del Modelo T1 (tabla 3). Respecto al razonamiento covariacional, todos los equipos coordinaron las dos variables implicadas en la MEA CP, tiempo y población. Las características de los modelos y el tipo de razonamiento covariacional asociado se describen enseguida.

Equipos A y D

Los estudiantes de ambos equipos (A y D) multiplicaron la población inicial de 4.299 millones por la tasa de crecimiento de 1.7% y obtuvieron el valor de 0.073803 (tabla 4); supusieron que el crecimiento era constante e igual a 0.073803 ello les permitió encontrar los valores solicitados de población para los años 2020, 2022, 2024, 2030, 2040, 2041, 2100 (tabla 4). Es decir, los alumnos identificaron un patrón de comportamiento lineal.

Como evidencia se muestra el siguiente comentario del alumno S10 del equipo D. En sus cálculos subyace la relación recursiva: Pn=Pn-1+C con C=0.073803.

S10: Si la tasa es constante [el estudiante identificó un comportamiento lineal], hay que sacar la cuenta… y esto es lo que aumenta cada año [se refiere a la cantidad de 0.073803, tabla 4].

El equipo A, por su parte, construyó un modelo semejante al del equipo D, pero inicialmente incluyó una tasa crecimiento de 0.17 en lugar de usar 0.017 o 1.7%.

S1: Son 730 millones… ¿no será que tiene trampa?

S2 corrigió las operaciones y sustituyó el factor 0.17 por 0.017 y contestó:

S2: Entonces ya tenemos la proyección [su modelo lineal les permitió obtener la cantidad de población requerida].

Equipo B

El modelo de los alumnos del equipo B, se caracterizó por el uso de “la regla de tres” para describir el crecimiento poblacional. Las alumnas comentaron lo siguiente.

S4: A ver, entonces tenemos que sacar el 1.7, ¿entonces sí sería como una regla de tres no?

Posteriormente, mencionaron:

S5: ¿Tú multiplicaste por dos?

S3: El 1.7 pues sí, porque son dos años.

Usaron la calculadora para resolver las operaciones y Excel como “hoja de cuaderno”. Es decir, de acuerdo con ^{Vargas-Alejo y Guzmán-Hernández (2012)}, los estudiantes utilizaron la hoja electrónica para organizar sus datos, escribir resultados de operaciones, sin escribir fórmulas explícitas en el lenguaje de Excel. Fue un trabajo similar al de papel y lápiz ya que no se utilizó el potencial de Excel. Su procedimiento se observa en la figura 3.

Figura 3 Modelo inicial del equipo B 

Para encontrar el crecimiento del primer año, los estudiantes multiplicaron la cantidad de la población del año 2018 (celda D5, figura 3) por la tasa de 1.7%; para el segundo año usaron el doble de la tasa de crecimiento 2(1.7%) = 3.4% (en la celda E6 aparece como 0.034, figura 3); para el tercer año el triple 3(1.7%) = 5.1% (en la celda E7 aparece como 0.051, figura 3).

Equipo C

El equipo C desarrolló su modelo (figura 4) con base en la identificación de un patrón de crecimiento poblacional observado durante los tres primeros años. Los estudiantes detectaron que el crecimiento para los años 2019, 2020 y 2021 era de 0.073, 0.074 y 0.075 millones de habitantes, respectivamente (columna 3, figura 4). El uso de cantidades con tres decimales ocasionó que pensaran que la población aumentaba 0.001 millones de personas por año, es decir argumentaron que el crecimiento era constante. Los alumnos mencionaron:

S6: Mire profe, en teoría sería 0.073 más… han pasado uno, dos, tres, cuatro años, 0.077 por 4.299… Cada año sube 73 mil más el año.

S6 obtuvo 0.077 a partir de la suma: 0.073 + 4(0.001). El dato 4.299 es la población inicial. Con el comentario anterior se refiere a que a la población de 4.299 del año 2018 le debe sumar 0.073 para obtener la población del año 2019, y para obtener la población del año 2020 deberá sumar a la población anterior. Los alumnos del equipo C identificaron un patrón de crecimiento constante, lo que indicó que su modelo estaba asociado a una función lineal.

Figura 4 Modelo inicial del equipo C 

Conclusión de los modelos iniciales

En los modelos se observó que los alumnos identificaron patrones, relaciones y regularidades asociadas a un comportamiento lineal de la situación y que asumieron que la tasa de crecimiento era constante. Por lo tanto, podemos considerar que los modelos no estaban asociados a la función exponencial. Con relación al razonamiento covariacional se observó que los modelos incluían las variables población y tiempo implicadas en la situación problema; es decir, los estudiantes exhibieron coordinación de las variables.

Segundo ciclo de modelación

El segundo ciclo de modelación inició posterior a la construcción del primer modelo, los estudiantes autoevaluaron su primer modelo a partir de la interacción con el profesor. Las preguntas realizadas por el docente para propiciar la reflexión y redirección de su manera de pensar fueron: ¿me pueden explicar de qué trata el problema?, ¿qué están haciendo?, ¿por qué organizaron de esa manera la información?, ¿por qué elaboraron una tabla?, ¿qué significa cada columna?, ¿qué significa que sea constante el crecimiento poblacional? y ¿cómo sabes que tu proceso de solución es correcto? Las características de los tres tipos de modelos T2, T3 y T4 (tabla 5) y el tipo de razonamiento covariacional asociado se muestran enseguida.

Equipos B y D

Los equipos B y D desarrollaron modelos no lineales (figura 5) del tipo Modelo T2. Las cartas que entregaron³ (figura 6) incluyen tablas donde se observa una relación entre “celdas de la misma fila” (= B3 * C3, = B3 + D3, figura 5). Los equipos identificaron datos (población inicial, tasa de crecimiento), relaciones entre las variables y la tasa de crecimiento anual y escribieron fórmulas en lenguaje de Excel, las cuales arrastraron, posteriormente, a lo largo de columnas. Estas fórmulas elaboradas con Excel les permitieron obtener resultados apropiados al contexto de la situación. Sin embargo, en sus cartas escribieron que el crecimiento era constante, posiblemente debido a que identificaron que la tasa de crecimiento era 1.7% (columna C, figura 5). Es decir, los estudiantes en sus expresiones no disociaron el crecimiento exponencial de su pensamiento lineal, pero sí lo hicieron en sus cálculos.

S5: Concluimos que el crecimiento es constante porque nosotros, al hacer la tabla, hicimos solo el aumento de 1.7% por año. Independientemente del resultado, se le aumentaba 1.7%.

Figura 5 Segundo modelo del equipo B 

Figura 6 Carta de los equipos B y D 

Durante la exposición, el equipo B puso énfasis en que el crecimiento era constante.

S5: Para mí es constante porque el crecimiento es el mismo porcentaje que yo le voy a aumentar año con año. Variaría si yo le pusiera que 1.72, 1.78…

Respecto al razonamiento covariacional, los equipos B y D desarrollaron acciones mentales de coordinar la dirección del cambio de una de las variables (Población) con cambios en la otra (tiempo), nivel 2 de ^{Carlson et al. (2002)}. Ambos equipos exhibieron la coordinación de variables y la dirección de cambio tipo creciente, pero tuvieron dificultades para interpretar el comportamiento exponencial.

Equipo A

El modelo que presentó el equipo A se puede considerar Modelo T3. Los estudiantes describieron en la carta su modelo, basado en una tabla que contiene las columnas llamadas “% Crec Promedio” y “Crecimiento incremental MDH”. Se observan relaciones entre los datos contenidos en celdas de la misma fila y distintas columnas (= D6 * E6, = D6 + E6= D6 * E6, = D6 + E6, figura 7). Tomaron columnas como variable (año, población inicial, población final), identificaron relaciones exponenciales y escribieron fórmulas en cada columna que en conjunto se asocian a la función exponencial. Arrastraron las fórmulas a lo largo de las columnas para hacer cálculos e identificaron que la población siempre estaba cambiando. Posiblemente, la expresión relacionada a un crecimiento constante solo se asociaba a que el valor 0.017 no variaba en la tabla.

Figura 7 Carta del equipo A 

Respecto al razonamiento covariacional, los alumnos observaron una covariación entre la variable de entrada y la de salida, de forma creciente, además coordinaron la cantidad de cambio en una variable con cambios en la otra (Nivel 3, coordinación de la cantidad de cambio de acuerdo con ^{Carlson et al., 2002}). Disociaron la relación lineal de la exponencial. El equipo exhibió la coordinación de variables, la dirección de cambio tipo creciente y cuantificación tipo exponencial. El modelo funcionó para resolver la situación problemática en el contexto específico y describió de forma adecuada el crecimiento poblacional.

Equipo C

Un análisis de las características del modelo desarrollado por el equipo C, permitió situarlo en Modelo T4. Los alumnos escribieron su carta (figura 8) basada en un modelo que incluía, en forma sincopada,⁴ una función de tipo exponencial:

Población en el año = Población base (1+.017)N-2018

Figura 8 Modelo del equipo C 

Describieron su modelo y señalaron las variables consideradas (figura 8). En la siguiente transcripción de audio se puede observar parte de la descripción:

S6: Queremos sacar la población en cierto número de años. Entonces la población base es el dato que nos dieron, 4.299. La tasa es 1.7%. [Posteriormente, el alumno señaló el exponente N−2018 y mencionó lo siguiente] esto es la diferencia de años. Si yo quiero sacar el año 2020, es 2020 menos 2018. Lo elevas a dos y eso te va a dar la población en el año 2020.

El modelo desarrollado le permitió al equipo apreciar que el crecimiento poblacional no era constante y que aumentaba con el paso de los años:

S6: Y así nos dimos cuenta que al principio se puede ver un poquito constante, y después del año 2600, ahí daría el pico.

Es decir, los alumnos identificaron que la tasa de cambio no era constante, que la población total dependía en forma exponencial de la cantidad de población inicial, la tasa y la variable tiempo; acentuaron que los años se debían considerar después del año 2018. Respecto al razonamiento covariacional, los estudiantes además de coordinar el cambio de la variable “población” con cambios en la otra variable “tiempo” (Nivel 1, ^{Carlson et al., 2002}), coordinaron la dirección y cantidad del cambio entre las variables (Nivel 2 y 3, ^{Carlson et al., 2002}), y la razón de cambio promedio de una función con cambios uniformes en los valores de entrada de la variable (Nivel 4, ^{Carlson et al., 2002}).

Conclusión respecto al segundo ciclo de modelación

El segundo ciclo de modelación construido a partir de la interacción entre los estudiantes y su profesor, así como la autoevaluación, permitió a los estudiantes la observación de nuevos patrones, relaciones, regularidades y el reconocimiento del comportamiento exponencial en el fenómeno de crecimiento poblacional. Este ciclo posibilitó que los estudiantes evolucionaran en su razonamiento covariacional y construyeran modelos más refinados. Los modelos iniciales (tabla 3) de los cuatro equipos se refinaron en el segundo ciclo de modelación (tabla 5). Tal como lo establecen Lesh y ^{Doerr (2003}) la interacción del estudiante con su entorno permite que los estudiantes desarrollen ciclos iterativos de modelación.

Tercer ciclo de modelación

Después de la sesión plenaria los alumnos realizaron de forma individual sus cartas como tarea extraclase. Al analizarlas se observó que los modelos se encontraban en dos niveles diferentes (tabla 6). Los alumnos S4 y S5 construyeron modelos con características del Modelo T3 (modelo situado) y los modelos de los alumnos restantes (S1, S2, S3, S6, S7, S8, S9 y S10) tienen características del Modelo T4 (modelo compartible y reutilizable). Las características de los tipos de modelos y el tipo de razonamiento covariacional asociado se muestran enseguida.

Modelos de los alumnos S4 y S5 (Modelo T3)

Los alumnos resolvieron el problema mediante una tabla de datos. Expresaron que el crecimiento no era constante y que dependía de la tasa del 1.7% (figura 9). Los estudiantes coordinaron las variables tiempo y población, así como la dirección y cantidad de cambio entre ellas. Es decir, su nivel de razonamiento covariacional cumple las características del nivel 3 de ^{Carlson et al. (2002)}. A diferencia de sus modelos anteriores, los estudiantes incluyeron en sus cartas representaciones gráficas. Sin embargo, debido a que graficaron información parcial de la tabla mostrada en la figura 9, la gráfica (figura 10) no corresponde a un comportamiento exponencial. Los modelos construidos por los alumnos son útiles únicamente para el contexto de la situación problemática presentada; de acuerdo con ^{Lesh y Doerr (2003)} son modelos situados. En este documento solo se exhibe el modelo de S5 debido a la similitud entre ambos

Figura 9 Primera parte del modelo de S5 

Figura 10 Segunda parte del modelo de S5 

Modelos de alumnos S1, S2, S3, S6, S7, S8, S9 y S10 (Modelo T4)

Los ocho alumnos construyeron modelos con representaciones tabulares, gráficas, verbales -para describir el comportamiento del crecimiento poblacional- y algebraicas -en las cuales definen las variables (figuras 11 a 14).

Los estudiantes crearon modelos compartibles y reutilizables (^{Lesh y Doerr, 2003}; ^{Lesh, 2010}) y lo expresaron de la siguiente manera: “el cual podrá apoyar en la realización de futuros proyectos de infraestructura vial en la zona metropolitana de Guadalajara” (figura 11, párrafo 1), “lo anterior expuesto es con el fin de lograr tomarlo en cuenta como parámetro a tomar para otras ciudades en crecimiento y próximos proyectos de infraestructura vial” (figura 12).

Es decir, los modelos se caracterizaron por su posible facilidad para que otras personas al revisarlos puedan utilizarlos en situaciones con estructura matemática similar, diferente al contexto de la situación problemática de crecimiento poblacional. Los modelos de los ocho estudiantes fueron de forma exponencial, pero difirieron en los símbolos utilizados como se explica enseguida.

En la figura 11 se observa cómo el estudiante S9 amplió y refinó su modelo con respecto al inicial (tabla 2) al incluir, en la descripción del modelo, la expresión algebraica de la función exponencial subyacente en la situación: P(t)=Pi(1+%)t y la descripción de cada uno de los símbolos utilizados:

𝑃(𝑡) = Población respecto al tiempo,

𝑃(𝑖) = Población inicial,

% = Porcentaje de crecimiento sobre 100,

𝑡 = Número de años después de la fecha inicial.

Figura 11 Modelo de S9 

En la figura 12 se observa cómo el estudiante S1 amplió y refinó su modelo con respecto al modelo inicial (tabla 4) al incluir también, en la descripción del modelo, la expresión algebraica de la función exponencial subyacente en la situación:

PT=BA(1+1.7%)Diferencial de años proyectados y la descripción de cada uno de

los símbolos utilizados:

población total (PT),

base la población actual (PT),

incremento promedio (1.7%).

Figura 12 Modelo de S1 

En la figura 13 se observa cómo el estudiante S7 amplió su modelo con respecto al modelo inicial (figura 4) al incluir una gráfica. No usó Excel.

Figura 13 Modelo de S7 

En la figura 14 se observa cómo el estudiante S3 amplió y refinó su modelo con respecto al modelo inicial (figura 3) al incluir la expresión algebraica de la función exponencial subyacente en la situación: Pt=Pi(1+r)t. La estudiante no describió los símbolos utilizados (Pt, Pi, r y t); fue la única de su equipo que exhibió un Modelo T4 y nivel de covariación 4.

Figura 14 Modelo de S3 

En la figura 10 puede observarse cómo la gráfica de los estudiantes S4 y S5 (Modelo T3) difiere de las gráficas de los estudiantes S1, S2, S3, S6, S7, S8, S9 y S10 (Modelo T4). Las últimas (figuras 11 a 14) son más suaves y se ajustan al modelo exponencial construido algebraicamente.

Conclusión respecto al tercer ciclo de modelación

Para el tercer ciclo de modelación los alumnos construyeron modelos de forma individual para solucionar la situación problema de la MEA CP. Como ya se mencionó, los alumnos S4 y S5 pudieron disociar sus conocimientos de la función lineal respecto a la función exponencial, lo que les permitió construir un Modelo T3; es decir, modelos asociados a la función exponencial y útiles únicamente para el contexto de la situación problemática presentada. El sistema conceptual de los estudiantes se amplió y refinó al diferenciar entre un comportamiento exponencial y lineal. En relación con el razonamiento covariacional, los estudiantes exhibieron coordinación, dirección y cuantificación de las variables población y tiempo. Se puede considerar que alcanzaron el nivel 3 de ^{Carlson et al. (2002)}.

Los modelos de los alumnos restantes (S1, S2, S3, S6, S7, S8, S9 y S10) tuvieron características Modelo T4, es decir, el modelo no solo funciona para el problema propuesto, sino que también sería fácil para otros modificarlo y utilizarlo en situaciones similares fuera del contexto de la situación problema planteada.

Respecto al razonamiento covariacional, asociado a la función exponencial, los estudiantes exhibieron coordinación, dirección, cuantificación y razón de cambio promedio de las variables población y tiempo. Se puede considerar que alcanzaron el nivel 4 de ^{Carlson et al. (2002)}.