1. Introducción

En Mathematics without Foundations, ^{Putnam (1967, p. 5)} sostuvo que las matemáticas no tienen ni necesitan fundamentos y que ninguna propuesta al respecto requiere ser tomada en serio. Igualmente, imputó a los varios ismos en la filosofía de las matemáticas no poder aclarar ni la naturaleza de la verdad matemática, ni la de los objetos matemáticos, ni la de la necesidad matemática, esta última fundamental, según ^{Putnam (1995, pp. 1-11; pp. 60-78)}, para entender la propia naturaleza de las matemáticas.¹ Sobre estas afirmaciones de Putnam, Kreisel sostuvo que incluso aquellas personas interesadas en los fundamentos de las matemáticas podrían aceptarlas, pues el grueso de las matemáticas no necesita de fundamentos en cuanto a su fiabilidad o su inteligibilidad y las diversas filosofías matemáticas no necesitan tomarse en serio en el sentido de “ser válidas en todo detalle” (^{Kreisel 1972, p. 402}).²

En este ensayo intentaré mostrar que Ramsey no fue una de aquellas personas interesadas en los fundamentos logicistas³ de las matemáticas que aceptarían las afirmaciones de Putnam por las razones de Kreisel.⁴. En particular, me interesa mostrar cómo es que ^{Ramsey 1925} pretendió salvar al logicismo⁵ russelliano-whiteheadiano de Principia Mathematica (PM) (^{Russell y Whitehead 1962}) vía el Tractatus Logico-Philosophicus (TL-P) (^{Wittgenstein 2009}), y que detrás de esta tarea hubo dos supuestos:

2. ¿Logicismo en el Tractatus?

Es añeja y hasta ahora insoluta la cuestión de si en el Tractatus hay logicismo (^{Black 1964}, ^{Quine 1982}, y un largo etcétera) o no lo hay (^{Rodych 1995}, ^{Wrigley 1998}, y un largo etcétera).⁹ Tan insoluta como sea, Ramsey se propuso, mediante el TL-P, “ofrecer una exposición satisfactoria de los fundamentos de las matemáticas de acuerdo con el método general de Frege, Whitehead y Russell” (^{1925, p. 1}).

La primera generación del empirismo lógico¹⁰ también encontró, en el TL-P, una solución verosímil a uno de los más serios problemas a los que se enfrentaba la concepción científica del mundo [der wissenschaftlichen Weltauffassung], a saber, cómo acomodar la lógica y las matemáticas puras en dicha concepción.¹¹ No obstante que Ramsey y los empiristas lógicos prístinos tuvieron distintos motivos para haber recurrido al TL-P, cuyos detalles de los últimos son ajenos al propósito de este trabajo, uno y otros adoptaron, para sus respectivos proyectos logicistas, las tesis del Tractatus según las cuales, al igual que las tautologías y las contradicciones, las proposiciones matemáticas no son proposiciones genuinas (contingentes), sino pseudoproposiciones, en virtud de que 1) no tratan de nada, 2) carecen de sentido, y 3) no dicen nada acerca del mundo (^{Wittgenstein 2009, pp. 119, 184}). Al carecer de sentido, no podemos recurrir a las pseudoproposiciones “para hacer afirmaciones, lo que a su vez significa que no pueden ser verdaderas o falsas” (^{Rodych 2018}).

Así, según ^{Wittgenstein 2009 (p. 122)} “que las proposiciones de la matemática puedan ser probadas, no quiere decir otra cosa sino que su corrección puede ser percibida sin necesidad de que lo que expresan sea ello mismo comparado, para su corrección, con los hechos”.¹² “Esta demarcación” escribe ^{Rodych 2018}- “entre las proposiciones contingentes, que pueden emplearse para representar correcta o incorrectamente partes del mundo, y las proposiciones matemáticas, que pueden decidirse de una manera puramente formal, sintáctica”, puede establecerse diciendo que “las proposiciones matemáticas son decidibles por medios puramente formales [...], mientras que las proposiciones contingentes, siendo acerca del mundo ‘exterior’, sólo pueden decidirse, si acaso, al determinar si se obtiene o no un hecho particular (esto es, algo externo a la proposición y al lenguaje en el que reside)” (^{Rodych 2018}).¹³

3. Al rescate de Principia Mathematica

A lo largo de ^{Ramsey 1925}, Ramsey señaló algunos defectos del logicismo à la Russell-Whitehead relativos, particularmente, a los axiomas de reducibilidad y del infinito-¹⁴ que, en su opinión, resultaban (casi) fatales para los propósitos logicistas pero que, no obstante, podían remediarse vía una interpretación adecuada, que Ramsey encontró en el TL-P. Es importante observar que Russell ya había reconocido las limitantes de la teoría de tipos señaladas en el célebre Apéndice B de ^{Russell 1996}- y del axioma del infinito, sobre el que escribió que “será verdadero en algunos mundos posibles y falso en otros; no podemos decir si es verdadero o falso en este mundo” (^{Russell 1920, p. 142}).¹⁵ Ramsey estaba al tanto de ^{Russell 1920}, y ahí encontró un indicio de lo que, en el TL-P, a juicio de Ramsey, constituye la verdadera naturaleza de las proposiciones matemáticas:¹⁶

[D]ebemos concordar con que hay alguna diferencia esencial [entre una proposición contingente o genuina y una proposición necesaria o tautológica], y que una definición de proposiciones matemáticas debe incluir no meramente su completa generalidad, sino también alguna propiedad adicional. Esto está señalado, con una referencia a Wittgenstein, en la Introducción a la filosofía matemática de Russell; pero no hay rastro de ello en Principia Mathematica, ni el Sr. Russell parece haber entendido su tremenda importancia, por ejemplo, en la consideración de proposiciones primitivas. En el pasaje referido de Introducción a la filosofía matemática, el Sr. Russell distingue las proposiciones que pueden enunciarse en términos lógicos de aquellas que la lógica puede afirmar como verdaderas, y da a las últimas la característica adicional de que son “tautológicas” en un sentido que no puede definir. Es obvio que una definición de esta característica resulta esencial para un fundamento claro de nuestro tema, ya que la idea a ser definida es una de las partes esenciales de las proposiciones matemáticas su contenido y su forma. Su contenido debe estar completamente generalizado y su forma [debe ser] tautológica. (^{Ramsey 1925, pp. 4-5}).

Así pues, para Ramsey, a la vez que el contenido de las proposiciones matemáticas debe estar completamente generalizado, su forma lógica debe ser tautológica. Como veremos, el logicismo cumple, a cabalidad, con la primera encomienda, pero deja mucho que desear en cuanto a la segunda.¹⁷ Dado que ^{Ramsey 1925} recurre continuamente al TL-P para enmendar estas fallas en el programa logicista, es importante tener en claro qué entendía el Wittgenstein del TL-P por “lógica” y sus diferencias con las concepciones de Frege y de Russell, que Ramsey encontró defectuosas, precisamente, por no haber atendido la forma de las proposiciones matemáticas.

Si ^{Ramsey 1925} achacó a Frege y a Russell el haber desatendido la forma de las proposiciones matemáticas, que debe ser tautológica, ^{Wittgenstein 2009} les achacó el haberlas dotado de contenido (^{Floyd 2005}). Creo que ambas acusaciones son virtualmente la misma,¹⁸ y en el TL-P hay más de un ejemplo de renuencia al respecto, renuencia anticipada y sintetizada en la prop. 2.0121 (^{Wittgenstein 2009, p. 50}): “algo lógico no puede ser meramente posible. La lógica trata de cualquier posibilidad y todas las posibilidades son sus hechos.”

Así, una tautología (p∨¬p) concuerda con todas las posibilidades de verdad, pero ello no significa que sea una proposición universalmente verdadera, mientras que una contradicción (p∧¬p) no concuerda con ninguna posibilidad de verdad, pero ello no significa que sea una proposición universalmente falsa:

Tautología y contradicción no son figuras de la realidad. No representan ningún posible estado de cosas. Porque aquélla permite cualquier posible estado de cosas, ésta ninguno. [...] La tautología deja a la realidad el espacio lógico entero infinito-; la contradicción llena todo el espacio lógico y no deja a la realidad punto alguno. De ahí que ninguna de las dos pueda determinar en modo alguno la realidad. La verdad de la tautología es cierta; la de la proposición, posible; la de la contradicción, imposible. (^{Wittgenstein 2009, pp. 84-85})¹⁹

A diferencia de Wittgenstein,²⁰ Frege y Russell eran, respecto de la naturaleza de la lógica, universalistas.²¹ Hintikka, por ejemplo, sostiene que fue el universalismo de Frege y de Russell el que les impidió (a diferencia de un Peirce o un C.I. Lewis) desarrollar una lógica modal, pues:

Si el lenguaje (nuestro lenguaje real o cualquier alternativa que pueda cumplir una parte considerable de las mismas tareas que él) no se puede re-interpretar, sólo se puede emplear para hablar de uno y el mismo mundo, a saber, nuestro mundo real. No es posible ninguna verdadera alternativa y por lo tanto las nociones de posibilidad y necesidad pierden su natural sentido leibniziano. (^{Hintikka 1998, p. 222})²²

^{Hintikka 1998} señala tres salidas a la lógica universalista ante el problema modal: 1) à la Quine, abandonar las nociones modales por carecer de significado; 2) à la Russell, definir necesidad como universalidad; 3) !à la Wittgenstein, declarar que las verdades lógicas son tautologías!²³

4. Proposiciones ramseyanas

Siguiendo al TL-P, ^{Ramsey 1925 (pp. 10-11)} señaló 1) que al negar una tautología se obtiene una contradicción y viceversa; 2) que lo anterior vale para tautologías y contradicciones de cualquier grado de complejidad: al negar la tautología (x).ϕx:⊃:ϕa” obtenemos la contradicción “∼.(∃x).ϕx:ϕa” (el ejemplo es de Ramsey), y 3) que, habida cuenta de que las tautologías y las contradicciones pueden tomarse como argumentos para funciones de verdad (al igual que las proposiciones fácticas, ordinarias), es posible asimilar, respectivamente, las tautologías y las contradicciones con proposiciones verdaderas y falsas, de modo que para determinar la verdad o la falsedad de una función de verdad, entre sus argumentos deben considerarse las tautologías y las contradicciones como argumentos, respectivamente verdaderos y falsos, de la misma: si t es una tautología, c una contradicción, y p cualquier proposición, entonces “t y p”, “si t, entonces p”, y “c o p” son lo mismo que p, mientras que “t o p” y “si c, entonces p” son tautologías (los ejemplos son de Ramsey).

Una parte central de la filosofía matemática (logicista) ramseyana estriba en su distinción entre conceptos matemáticos y proposiciones matemáticas. Tan central es esta distinción que Ramsey atribuyó buena parte de los problemas del formalismo²⁴ a su hincapié en las proposiciones matemáticas en detrimento de los conceptos matemáticos y buena parte de los problemas del logicismo a su hincapié en los conceptos matemáticos en detrimento de las proposiciones matemáticas.

El error del logicismo à la Russell-Whitehead a este respecto consistió en “su creencia de que cualquier proposición que pudiese establecerse utilizando constantes y variables lógicas debe ser por sí sola una proposición de la lógica o de las matemáticas” (^{Ramsey 1925, p. 4}). Hay dos claves en este reparo de Ramsey. Primera (en contra del universalismo russelliano), que no todas las proposiciones generales, ni siquiera aquellas completamente generales, son proposiciones de las matemáticas o de la lógica simbólica. Segunda, que las proposiciones de PM, si están expresadas en palabras, son “casi todas sinsentidos por la teoría de tipos, y deben reemplazarse por convenciones simbólicas” (^{Ramsey 1925, p. 11}), mientras que si están expresadas en símbolos son, con una sola excepción, tautologías en el sentido del TL-P. La excepción es el axioma de reducibilidad, “una proposición genuina cuya verdad o falsedad es una cuestión de hecho bruto, no de lógica; no es, por tanto, una tautología en ningún sentido, y su introducción en las matemáticas es inexcusable” (^{Ramsey 1925, pp. 11-12}; las cursivas son mías). Ramsey enfatiza que si PM es un fundamento correcto de las matemáticas, y si de su sistema pudiera prescindirse del axioma de reducibilidad, entonces las matemáticas serían tautologías en el sentido del TL-P.

5. La eliminación del axioma de reducibilidad

Los argumentos de Ramsey para eliminar el axioma de reducibilidad fueron, para Russell, suficientemente convincentes como para eliminarlo de la segunda edición (1925-1927) de PM (Whitehead se desentendió de este proyecto).²⁵ Ya en 1903, ^{Russell (1996)} había introducido su doctrina de tipos como una solución a la paradoja fregeana de las clases que no son miembros de sí mismas (que Russell llamó la Contradicción). Empero, quedaba una contradicción “análoga que probablemente no es soluble mediante esta doctrina: la totalidad de todos los objetos lógicos, o de todas las proposiciones” (^{Russell 1996, p. 528}). Cinco años después, en 1908, Russell descubrió que esta contradicción análoga no era una, sino varias (las paradojas del mentiroso, de Burali-Forti, de Richard, del menor ordinal indefinible, la Contradicción), y que en todas ellas “hay una característica común, que podemos describir como auto-referencia o reflexividad” (^{Russell 1908, p. 224}). Teniendo esta característica común, la salida a todas estas contradicciones consistía en desproveerlas de auto-referencia o reflexividad, lo que significaba rechazar funciones impredicativas y únicamente admitir funciones predicativas, aquellas “que no tienen ningún término en común con las funciones para las que pueden ser argumentos” (^{Russell y Whitehead 1962, p. 48}).²⁶

El axioma de reducibilidad pretende conseguir esto al establecer que cualquier función proposicional pueda expresarse mediante una función de verdad predicativa lógicamente equivalente: “si Ψ es una función proposicional de cualquier tipo y orden, existe una función proposicional Φ lógicamente equivalente a Ψ cuyo tipo depende del tipo de sus variables libres” (^{Mosterín y Torretti 2010, p. 54}).²⁷

¿Qué objetó Ramsey al axioma de reducibilidad? Que en PM se haya fundamentado en evidencia inductiva, contraviniendo “una cosa clara: que las matemáticas no consisten en proposiciones genuinas o afirmaciones de hecho [...] sino que en algún sentido son necesarias o tautológicas” (^{Ramsey 1925, p. 12}). Esta objeción es decisiva en contra del axioma de reducibilidad (que en PM fue introducido para permitir que haya una función elemental equivalente para cada función no elemental), pues para Ramsey, incluso si el axioma fuese verdadero, ello sería “un feliz accidente” (^{Ramsey 1925, p. 28}) y no una necesidad lógica (porque el axioma no es una tautología).

Así, Ramsey no objetó el contenido empírico particular, cualquiera que sea, del axioma de reducibilidad, sino la introducción, en PM, de un axioma fundamentado empíricamente. Esto es consistente con la principal objeción de Ramsey al logicismo: “los logicistas desatendieron la forma e hicieron que las matemáticas consistieran en cualesquiera generalizaciones verdaderas” (^{Ramsey 1925, p. 5}).

De las objeciones de Ramsey a la inexcusable introducción del axioma de reducibilidad en PM surgieron dos célebres resultados. Primero, su distinción entre contradicciones puramente lógicas o matemáticas la Contradicción, la contradicción de Burali-Forti acerca del mayor número ordinal, la relación entre dos relaciones cuando una de ellas no tiene relación con la otra- y contradicciones que no es posible establecer en términos puramente lógicos, “pues contienen alguna referencia al pensamiento, al lenguaje, o al simbolismo, que no son términos formales sino empíricos” (^{Ramsey 1925, p. 20}): la paradoja de Epiménides, el menor número entero no nombrable en menos de diecinueve sílabas, el menor número ordinal indefinible, la paradoja de Richard (sobre la que Ramsey objetó a Peano el haberla considerado una contradicción lingüística, y no epistemológica), y la paradoja de Grelling-Nelson (que Ramsey atribuyó a Weyl, bajo cuyo nombre también se conoce).²⁸

Bajo esta distinción, el problema con el axioma de reducibilidad es que, si bien no reproduce contradicciones relativas al pensamiento o al significado (como las ya esquivadas por la distinción entre funciones elementales y no elementales), su introducción reinstalaría contradicciones puramente matemáticas relativas a la confusión entre funciones elementales y no elementales porque, para Ramsey, en las matemáticas -extensionales por naturaleza- las funciones elementales equivalentes son intercambiables.

El segundo resultado que surgió de las objeciones de Ramsey a la introducción del axioma de reducibilidad en PM fue su teoría simple de tipos, que ^{Wang 1967} atribuyó a la influencia directa del TL-P sobre Ramsey.²⁹Matemáticamente, la teoría simple de tipos (i.e., la alternativa ramseyana al axioma de reducibilidad de Russell y, más generalmente, a la doctrina de tipos de Russell) suministra un fundamento seguro y razonable de las matemáticas clásicas si concedemos que dicha teoría encarna dos principios matemáticos clásicos, a saber, que una variable siempre tiene un rango delimitado y que siempre hemos de distinguir entre una función y sus argumentos.³⁰

La objeción de Ramsey al axioma de reducibilidad está estrechamente relacionada, me parece, con la objeción de Ramsey a que PM no consigue dar cuenta del carácter extensional de las matemáticas, pues si una característica de la extensionalidad de las matemáticas es que sus funciones elementales equivalentes son intercambiables entre sí, y el axioma de reducibilidad permite que haya una función elemental equivalente para cada función no elemental, entonces el axioma de reducibilidad bien puede identificar (confundir, según Ramsey) una función elemental con una función no elemental, lo que reproduce (reinstala, según Ramsey) contradicciones puramente matemáticas relativas a la confusión entre funciones elementales y no elementales, pues, con la introducción del axioma de reducibilidad, ya no tenemos claro que una función elemental equivalente será intercambiable con otra función elemental equivalente, porque también puede ser intercambiable con una función no elemental equivalente.

^{Linnebo 2017}, por su parte, identifica dos virtudes y dos vicios filosófico-matemáticos de la teoría simple de tipos.³¹ Sus virtudes son que, al distinguir entre individuos, clases de individuos, clases de clases de individuos, etc., se bloquea, al menos gramaticalmente, la paradoja de Russell, y que, al considerar la abstracción mediante clases de equivalencia, la teoría simple de tipos nos asegura, por ejemplo, que dos conjuntos tienen el mismo número cardinal sólo si son equipotentes. Empero, como postura logicista, la teoría de tipos, incluso en su versión simple, establece una innecesaria restricción sintáctica entre los tipos que trata (éste es su primer vicio, identificado en ^{Gödel 1995}), y esta restricción, si bien bloquea ciertas paradojas, bloquea el argumento fregeano de que hay infinitos números (éste es su segundo vicio).

6. El problema del axioma del infinito

El problema es el siguiente (sigo a ^{Linnebo 2017, pp. 130-131}). El argumento fregeano que muestra que hay infinitos números depende de la contabilidad de los números, de que, habiendo establecido la existencia de 0 hasta n, tengamos cuanto menos n + 1 objetos disponibles para ser contados, lo que nos permite establecer, asimismo, la existencia del número n + 1. Empero, si construimos los números à la Russell, como clanes de familias equinumerosas (el ejemplo es de ^{Linnebo 2017}), ya no tenemos a nuestra disposición el argumento fregeano. ¿Cómo aborda Ramsey este problema?

En primer lugar, al distinguir entre una proposición como hay un número infinito de cosas de una como hay un número infinito de cosas difiriendo entre sí respecto de funciones elementales. Esto significa que si nuestras cosas son, e.g., los átomos, a fin de asumir su infinitud no hemos de asumir que su conjunto es infinito, sino que hay algún tipo infinito que podemos tomar como el tipo de átomos individuados. Siendo esto así, el axioma del infinito no puede probarse, sino que “debe tomarse como una proposición primitiva” (^{Ramsey 1925, p. 61}; las cursivas son mías).³² En segundo lugar, Ramsey aborda el problema del axioma del infinito asumiendo que las matemáticas bien podrían requerir de tal axioma no obstante su estatus lógico (ya sea, pues, como una proposición tautológica, empírica, o contradictoria). En tercer lugar, sosteniendo que, si bien en PM dicho axioma se utiliza como una proposición empírica, “el profundo análisis de Wittgenstein ha mostrado que [...] debe ser una tautología o una contradicción” (^{Ramsey 1925, p. 59}). En cuarto y último lugar, sosteniendo que, si el axioma del infinito es efectivamente tautológico (como lo era para Ramsey), entonces no ha de probarse como una proposición primitiva “a menos que prefiramos la perspectiva de que todo el análisis [matemático] es auto-contradictorio e insignificativo” (^{Ramsey 1925, p. 61}).

7. Las proposiciones matemáticas como proposiciones tautológicas

De mostrar que las matemáticas consisten en tautologías “en el preciso sentido definido por Wittgenstein” (^{Ramsey 1925, p. 13}) dependía la viabilidad del proyecto logicista según lo entendía Ramsey. Antes de abordar esto, son pertinentes las siguientes observaciones. Primero, para ^{Ramsey 1925}, la geometría no constituía ningún problema para el logicismo, pues la geometría consiste en tautologías en tanto que 1) nuestros términos geométricos (punto, línea, superficie) significan cualesquiera cosas que satisfacen ciertos axiomas y que 2) los únicos términos constantes de la geometría son funciones de verdad (“o”, “algunos”, etcétera).³³

Segundo, no es claro que lo que ^{Ramsey 1925} entendió por tautologías haya sido lo que entendía ^{Wittgenstein 2009}, pues mientras Ramsey entendía las ecuaciones matemáticas como identidades matemáticas, y éstas como tautologías, en el TL-P no hay ningún indicio de que “ecuación matemática” y “tautología” sean sinónimos intercambiables.³⁴ Incluso Wittgenstein rechazaría, post-Tractatus, la identificación entre ecuaciones matemáticas y tautologías:

Me parece que se puede comparar las ecuaciones matemáticas sólo con proposiciones significativas, no con tautologías. Porque una ecuación contiene precisamente ese elemento asertótico el signo de igualdad- que no está designado para mostrar algo. Puesto que todo lo que se muestra se muestra sin el signo de igualdad. El signo de igualdad no corresponde al ‘.⊃.’ de ‘p.(p⊃q).⊃.q’, puesto que el ‘.⊃.’ es sólo un componente entre otros que intervienen para hacer la tautología. No se sale de su contexto, sino que pertenece a la proposición, del mismo modo en que el ‘.’ o el ‘⊃’ lo hacen. Pero el ‘=’ es una cópula que por sí sola hace a la ecuación algo proposicional. Una tautología muestra algo, una ecuación no muestra nada; más bien, indica que sus lados muestran algo (^{Wittgenstein 2007a, pp. 132-133}).³⁵

Esta segunda observación parece toral para esta discusión, pues en realidad ya no tendríamos matemáticas consistiendo en tautologías “en el preciso sentido definido por Wittgenstein”, sino matemáticas consistiendo en lo que Ramsey entendió por “tautología(s)” a lo largo del Tractatus.³⁶ Concediendo esto, a continuación expondré el camino que recorrió Ramsey para llegar a la tesis más importante de ^{Ramsey 1925}, a saber, que las matemáticas consisten en tautologías.³⁷

De acuerdo con ^{Ramsey 1925 (p. 5 y ss.)}, para explicar la definición de “tautología” en el TL-P, antes hemos de explicar su teoría de las proposiciones, comenzando con su noción de proposiciones atómicas.³⁸ Las proposiciones atómicas tienen dos características: primera, no son analizables en términos de otras proposiciones; segunda, consisten únicamente en nombres, sin constantes lógicas. Así, si la proposición “Sócrates es sabio” es atómica en virtud de que no es analizable en términos de otras proposiciones y de que consiste únicamente en nombres, sin constantes lógicas (siendo “sabio” el nombre de una cualidad), proposiciones como (1) “Todos los hombres son sabios” y (2) “Sócrates no es sabio” no son atómicas, pues (1) sí es analizable en términos de otras proposiciones y (2) contiene la constante lógica “no”.

Para n proposiciones atómicas hay dos posibilidades últimas, mutuamente excluyentes, respecto de su verdad o falsedad, que ^{Ramsey 1925 (p. 6)} llama las posibilidades de verdad de las proposiciones atómicas, de manera que si n=1,2n=2 (verdadero o falso), si n=2,2n=4 (verdadero y verdadero; falso y verdadero; verdadero y falso; falso y falso), etcétera. Es así que podemos, por ejemplo, al poner las marcas de V (V = verdadero) y F (F = falso) en las posibilidades con las que respectivamente acordamos y desacordamos, obtener las proposiciones (a) “p es incompatible con q” y (b) “si p, entonces q”:

(a)

(b)

Habrá proposiciones que expresen acuerdo y desacuerdo con p y q (nuestras posibilidades de verdad), v.g., las funciones de verdad de p y q (“p y q” siendo la misma función de verdad que p, q, si “p y q” es la única posibilidad en la que los argumentos p y q son verdaderos). Siendo esto así, los argumentos para una función de verdad podrían ser infinitos pues la suma lógica de un conjunto de proposiciones es la proposición de que al menos una es verdadera, siendo irrelevante si el conjunto es finito o infinito (^{Ramsey 1925, p. 7, nota 1})-, aunque no debe preocuparnos la imposibilidad práctica de enumerarlos todos, porque las funciones proposicionales nos permiten determinarlos, y esto es todo lo que se requiere.

Las funciones proposicionales nos permiten determinar los argumentos (posiblemente infinitos) de las funciones de verdad porque las funciones proposicionales nos permiten reunir el rango de proposiciones que constituyen todos los valores de la función para todos los valores posibles de un argumento y, una vez conseguido esto, podemos afirmar el producto (mediante un cuantificador universal) o la suma (mediante un cuantificador existencial) lógicas del conjunto de las proposiciones consideradas. Por ejemplo, en el caso de “(x). x es un hombre” (= “Todo es un hombre”), permitimos solamente la posibilidad de que todas las proposiciones de la forma “x es un hombre” son verdaderas, afirmando de esta manera su producto lógico, mientras que en el caso de “( ∃x). x es un hombre” (= “Hay algún hombre”), excluimos solamente la posibilidad de que todas las proposiciones de la forma “x es un hombre” son falsas, afirmando así su suma lógica.³⁹

Así definidas, todas las proposiciones son, ultimadamente, funciones de verdad de proposiciones atómicas (elementales, en argot wittgensteiniano), pues “cuando afirmamos cualquier cosa, estamos diciendo que es una, de un cierto grupo de posibilidades últimas, que se realiza, no una de las posibilidades restantes” (^{Ramsey 1925, p. 9}). Y esto es aplicable a proposiciones expresables mediante el simbolismo de PM, en tanto que éstas se construyen a partir de proposiciones atómicas (recurriendo a conjunciones: “si”, “y”, “o”) y de varios tipos de generalidad (i.e., variables ligadas, que Ramsey, según la terminología de su época, llama variables aparentes). “Y ambos tipos de construcción han resultado crear funciones de verdad” (^{Ramsey 1925, p. 9}).⁴⁰

Ya que este aparato nos permite saber cuándo es que dos símbolos proposicionales deben considerarse instancias de la misma proposición, lo que sucede cuando los dos símbolos proposicionales “expresan acuerdo y desacuerdo con los mismos conjuntos de posibilidades de verdad de proposiciones atómicas” (^{Ramsey 1925, p. 9}), Ramsey sostiene que, bajo el simbolismo de PM, tanto p⊃q:∼p.⊃.q como q∨:p.∼p son, por ejemplo, solamente dos modos más complicados de escribir q.

Ahora, para todo conjunto de n proposiciones atómicas (tomadas como argumentos) hay 2n posibilidades de verdad, y entonces hay 22n subclases de tales posibilidades de verdad ( 22n funciones de verdad de n argumentos). De entre estas 22n subclases de las 2n posibilidades de verdad hay dos casos extremos (o degenerados, según Ramsey, en tanto que no se trata de proposiciones (empíricas) genuinas), a saber, aquel en el que una proposición expresa acuerdo con todas las posibilidades de verdad (tautología) y aquel en el que una proposición no expresa acuerdo con ninguna posibilidad de verdad (contradicción).

Tomemos “el caso más simple posible, cuando hay sólo un argumento” (^{Ramsey 1925, p. 10}): (a) “p o no p” será nuestra tautología y (b) “p no es verdadera ni falsa” será nuestra contradicción. Sobre (a) puede decirse que no afirma nada en absoluto, que “no lo deja a uno más sabio que como lo encontró” (^{Ramsey 1925, p. 10}).⁴¹ Sobre (b) puede decirse que lo que expresa es autocontradictorio, en tanto que “no representa un estado de cosas posible cuya existencia pueda ser afirmada” (^{Ramsey 1925, p. 10}). Sus tablas de verdad son:

(a)

(b)

^{Ramsey (1925, p. 11)} sostiene que la cuestión de si este sentido de las tautologías es una característica esencial de las proposiciones de las matemáticas y de la lógica simbólica ha de decidirse comparativamente: ¿son las proposiciones de las matemáticas y de la lógica simbólica tautologías en el sentido de Wittgenstein? Dando por supuesto que PM puede ser una interpretación correcta de las matemáticas, y que en dicho sistema las proposiciones matemáticas se obtienen deductivamente desde ciertas proposiciones primitivas, lo que queda (esta es la estrategia que sigue Ramsey) es aclarar la naturaleza de aquellas proposiciones primitivas de PM que están expresadas en símbolos y la de aquellas expresadas en palabras. Según vimos, todas las proposiciones primitivas expresadas en símbolos son, con la única excepción del axioma de reducibilidad, tautologías, mientras que casi todas las proposiciones expresadas en palabras son, por los defectos de la teoría de tipos de Russell, sinsentidos; de modo que, como igualmente vimos, las respectivas soluciones de Ramsey estribaron en eliminar el axioma de reducibilidad del sistema de PM y en proponer una teoría simple de tipos en la que las proposiciones expresadas en palabras sean reemplazadas por convenciones simbólicas.

8. Conclusión

La de Ramsey no fue la primera (^{Jourdain 1915}) ni la última (^{Clark y Demopoulos 2005}) reivindicación del logicismo russelliano.⁴² Sí fue, empero, una propuesta que impactó positivamente en los propios supuestos logicistas de Russell, en el desarrollo de algunos conceptos lógico-matemáticos y computacionales (la teoría simple de tipos) e, incluso, en la teoría de conjuntos.⁴³ Sobre Ramsey, G.E. Moore escribió que, no obstante sus errores, siempre tuvo muy buenas razones para las opiniones a las que llegó (^{Ramsey 1925, p. viii}). Si esto es cierto de cualquier gran filósofo, como lo fue Ramsey, no menos cierto es el dictum de ^{Boole 1847 (p. 2)} sobre cualquier gran teoría, como lo es la teoría logicista de Ramsey: “La estimación de una teoría no está simplemente determinada por su verdad; también depende de la importancia de su objeto y de la extensión de sus aplicaciones.” Siguiendo a ^{Putnam 1967}, quizá podríamos discutir la importancia del objeto de la teoría de Ramsey aquí considerada (defender el fundamento lógico de las matemáticas), pero difícilmente podríamos subestimar la importancia de la extensión de sus aplicaciones.⁴⁴