1. Introducción

La deformación de vigas de concreto reforzado y vigas de acero estructural es una medida importante de su rendimiento de servicio, ya que se requiere específicamente cumplir con los códigos de diseño actuales. Generalmente, las deformaciones de las vigas consisten en deformaciones por flexión y cortante.

En ingeniería estructural, existen dos criterios de diseño para las vigas: la resistencia y la capacidad de servicio.

Las principales publicaciones sobre vigas en voladizo no prismáticas son las de Lee [¹], Dado y Al-Sadder [²], Borboni y De Santis [³], Banerjee et al. [⁴], Solano-Carrillo [⁵], Chen [⁶], Yau [⁷], Brojan et al. [⁸].

Algunos investigadores han estudiado el problema de la curva elástica para vigas de secciones prismáticas rectangulares simplemente apoyadas sometidas a una carga uniformemente distribuida y/o carga concentrada tomando en cuenta las deformaciones por flexión y cortante para obtener las deflexiones en cualquier lugar de la viga (rotaciones y desplazamientos perpendiculares al eje longitudinal) [⁹, ¹⁰].

Varios autores han desarrollado modelos matemáticos y ayudas de diseño para vigas rectangulares con cartelas rectas o cartelas parabólicas en los extremos para las vigas sometidas a una carga uniformemente distribuida o carga concentrada tomando en cuenta las deformaciones a flexión y cortante [¹¹-¹⁸]. Estos documentos muestran los factores para los momentos de empotramiento, factores de arrastre o factores de transporte y factores de rigidez.

Otros autores han presentado modelos óptimos para obtener las dimensiones y el acero de refuerzo longitudinal para vigas rectangulares con cartelas rectas o cartelas parabólicas bajo carga uniformemente distribuida o carga concentrada y momentos en los extremos [¹⁹, ²⁰]. Las revisiones de la literatura de las investigaciones desarrolladas y/o comparadas por software se muestran a continuación:

Majumder y Kumar [²¹] analizaron la deflexión máxima de una viga simplemente apoyada bajo diferentes tipos de carga.

Las cargas son: a) Carga concentrada en el centro de la viga; b) Carga uniformemente distribuida; c) Carga triangularmente distribuida. El análisis teórico se realizó mediante la Teoría de Euler-Bernoulli (solo considera las deformaciones por flexión) y se comparó con el software ANSYS 14.0. Al comparar los resultados numéricos con los obtenidos por el software ANSYS 14.0, se ha demostrado una excelente precisión del presente método. Si los resultados fueron más precisos entre la teoría de Euler-Bernoulli y el software ANSYS 14.0 como se muestra en las conclusiones, entonces las deformaciones por cortante no se consideran en el software ANSYS 14.0.

Debnath y Debnath [²²] estudiaron la deflexión máxima para diferentes vigas de sección transversal rectangular uniforme, y los tipos de vigas son: a) Viga simplemente apoyada con una carga uniformemente distribuida; b) Viga simplemente apoyada con una carga concentrada en el centro; c) Viga en voladizo con carga uniformemente distribuida; d) Viga en voladizo con carga concentrada en el extremo.

El cálculo teórico se realizó según la Teoría de Euler-Bernoulli (solo considera las deformaciones por flexión) y el análisis computacional se realizó con el software ANSYS 14.0. Los datos considerados para todas las vigas son: L = 100 m, b = 10 m, h = 10 m, ν = 0.3, E = 2×107 N/m², F = 500 N. Los elementos sólidos estudiados fueron 188, 189, 185 y 285.

El resultado más preciso fue medido por el elemento sólido 189 seguido por el elemento sólido 188 y otros elementos sólidos. Si los resultados fueron precisos entre la teoría de Euler-Bernoulli y el software ANSYS 14.0, entonces las deformaciones por cortante se ignoran en el software ANSYS 14.0.

Sihua et al. [²³] presentaron el análisis no lineal para una viga de concreto reforzado con ayuda del software de análisis de elementos finitos ABAQUS. La viga es simplemente apoyada y tiene 1500 mm de largo; con una sección de 180×100 mm, la resistencia del concreto es C25, el refuerzo longitudinal y estribos adoptados HPB235 reforzados.

En este análisis de vigas simplemente apoyadas, se ha introducido a fondo el modelo de plasticidad del daño del concreto en ABAQUS.

Finalmente, los resultados de la experimentación y el análisis ABAQUS se compararon en un diagrama, y la carga alcanzó la capacidad de 24 kN, el valor de deflexión en el centro de la longitud de la viga es de 10.521 mm de ABAQUS y 12.795 mm de prueba.

Si se hubieran considerado las deformaciones de cortante en el software ABAQUS, los resultados del software ABAQUS estarían más cerca de la prueba experimental, porque estas deformaciones tienden a aumentar a las deformaciones totales para vigas.

En este trabajo se presenta un modelo matemático de la curva elástica para vigas rectangulares con cartelas parabólicas bajo carga uniformemente distribuida y momentos en los extremos considerando las deformaciones por flexión y cortante (Teoría de Timoshenko) para obtener las rotaciones y desplazamientos en la viga, que es la parte principal de esta investigación. El modelo propuesto se muestra en tres partes para la viga de 0 ≤ x ≤ a, a ≤ x ≤ L – c y L – c ≤ x ≤ L. El modelo actual de la curva elástica para vigas rectangulares bajo carga uniformemente distribuida considera solo las deformaciones por flexión (Teoría de Euler- Bernoulli).

2. Modelo propuesto

La Figura 1 muestra la diferencia entre la teoría de Timoshenko y la teoría de Euler-Bernoulli. La primera teoría incluye el efecto de los esfuerzos de flexión y cortante sobre la deformación (dy/dx = dy_c/dx + dy_f/dx), y la segunda teoría incluye el efecto de los esfuerzos de flexión en la deformación (dy/dx = dy_f/dx) [²⁴, ²⁵].

Fig. 1 Deformación de un elemento de viga 

La teoría de Timoshenko considera las deformaciones por flexión y cortante, esto es válido para los miembros cortos y largos. La ecuación de la curva elástica se presenta de la siguiente manera [²⁴, ²⁵]:

donde: G es el módulo de cortante, y es el desplazamiento total, y_c es el desplazamiento por cortante debido a la fuerza cortante, y_f es el desplazamiento por flexión debido al momento, A_cx es el área de cortante, E es el módulo de elasticidad, M_z es el momento de flexión alrededor del eje Z, I_z es el momento de inercia alrededor del eje Z.

Las rotaciones en cualquier parte de la viga por integración de la ecuación (2) se obtienen:

En la Figura 2 se muestra la viga AB sometida a un momento en cada extremo y una carga uniformemente distribuida, así como su sección transversal rectangular teniendo en cuenta que el ancho “b” es constante y la altura “h_x” es variable de forma parabólica en sus extremos y constante en la parte central.

Fig. 2 Viga sometida a un momento en cada extremo y una carga uniformemente distribuida 

Los valores de las reacciones en los apoyos R_A y R_B se obtienen de las siguientes ecuaciones:

El momento alrededor del eje Z a una distancia x es:

Sustituyendo la ecuación (6) en la ecuación. (3) se obtiene:

La Tabla 1 muestra las ecuaciones de las alturas “h_x(x)” a una distancia “x”, áreas de cortante “A_cx(x)” a una distancia “x”, y el momento de inercia “I_z(x)” alrededor del eje “z” a una distancia “x” para cada intervalo.

Sustituyendo las propiedades de la Tabla 1 en la ecuación (7) para cada intervalo, y resolviendo la integral se obtienen las rotaciones en cualquier lugar (dy/dx), y posteriormente se desarrolla la integral para obtener los desplazamientos en cualquier lugar de la viga (y).

Las ecuaciones para el primer intervalo de 0 ≤ x ≤ a se muestra en las ecuaciones (8) y (9). Las ecuaciones para el segundo intervalo de a ≤ x ≤ L – c se muestra en las ecuaciones (10) y (11). Las ecuaciones para el tercer intervalo de L − c ≤ x ≤ L se muestra en las ecuaciones (12) y (13):

Las seis condiciones conocidas que debe cumplir la viga para obtener las constantes de integración son:

1) Sustituyendo la condición x = 0 e y = 0 en la ecuación (9).

2) Sustituyendo la condición x = a en las ecuaciones (8) y (10), estas dos ecuaciones se igualan, porque las rotaciones “dy/dx” en este punto deben ser las mismas.

3) Sustituyendo la condición x = a en las ecuaciones (9) y (11), estas dos ecuaciones se igualan, porque los desplazamientos “y” en este punto deben ser los mismos.

4) Sustituyendo la condición x = L − c en las ecuaciones (10) y (12), estas dos ecuaciones se igualan, porque las rotaciones “dy/dx” en este punto deben ser las mismas.

5) Sustituyendo la condición x = L − c en las ecuaciones (11) y (13), estas dos ecuaciones se igualan, porque los desplazamientos “y” en este punto deben ser los mismos.

6) Sustituyendo la condición x = L e y = 0 en la ecuación (13).

Ahora, sustituyendo las seis condiciones conocidas en las ecuaciones correspondientes, se generan seis ecuaciones para obtener las constantes de integración.

Las constantes de integración se muestran a continuación:

3. Verificación del modelo propuesto

Una manera de verificar el modelo propuesto es como siguiente:

1. Sustituyendo el valor de “M_AB = 0, R_A = wL/2, a = c, u = s y dy/dx = 0” para vigas de sección transversal rectangular simplemente apoyadas en la ecuación (10) se obtiene “x = L/2”, es decir, cuando la rotación es cero, se produce el desplazamiento máximo (viga simétrica).

2. Sustituyendo el valor de "x = a" en la ecuación (8) y (10), los valores obtenidos de las dos ecuaciones son iguales, es decir, la continuidad está garantizada en este punto para las rotaciones.

3. Sustituyendo el valor de "x = L − c" en la ecuación (10) y (12), los valores obtenidos de las dos ecuaciones son iguales, es decir, la continuidad está garantizada en este punto para las rotaciones.

4. Sustituyendo el valor de “M_AB = 0, R_A = wL/2, a = 0, c = 0 y x = L/2” para vigas simplemente apoyadas de sección transversal rectangular constante en la ecuación (11) se obtiene el desplazamiento máximo “y_max = wL²(24Eh² + 25GL²)/160bh³EG = 5wL⁴/384EI(1 + 48EI/5GAsL²)”, presentada por Timoshenko y Gere [²⁴, ²⁵], para sección transversal rectangular constante (las deformaciones por flexión y cortante se consideran).

5. Sustituyendo el valor de “x = 0” en la ecuación (9) se obtiene el desplazamiento cero en el apoyo A.

6. Sustituyendo el valor de “x = L” en la ecuación (13) se obtiene el desplazamiento cero en el apoyo B.

7. Sustituyendo el valor de "x = a" en la ecuación (9) y (11), los valores obtenidos de las dos ecuaciones son iguales, es decir, la continuidad está garantizada en este punto para los desplazamientos.

8. Sustituyendo el valor de "x = L − c" en la ecuación (11) y (13), los valores obtenidos de las dos ecuaciones son iguales, es decir, la continuidad está garantizada en este punto para los desplazamientos.

9. Si se desprecian las deformaciones por cortante, las condiciones anteriores también se verifican y la flecha máxima para la condición de simetría es: “y_max = 5wL⁴/32bh3E = 5wL⁴/384EI”, para sección transversal constante (las deformaciones por flexión se consideran únicamente).

10. Si se desprecian las deformaciones por cortante y el valor de “M_AB = wL²/12, R_A = wL/2 y a = c = 0” para vigas rectangulares con apoyos fijos en sus extremos de sección transversal constante se sustituyen en la ecuación (8) se obtiene “dy/dx = 0”, es decir, la rotación en el soporte A es cero.

11. Si se desprecian las deformaciones por cortante y el valor de “M_AB = wL²/12, R_A = wL/2 y a = c = 0” para vigas rectangulares con apoyos fijos en sus extremos de sección transversal constante se sustituyen en la ecuación (12) se obtiene “dy/dx = 0”, es decir, la rotación en el soporte B es cero.

Por lo tanto, el modelo propuesto en este artículo de la curva elástica para vigas de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas bajo cargas uniformemente distribuidas y momentos en sus extremos considerando las deformaciones por flexión y cortante (teoría de Timoshenko) es válido.

4. Resultados

La Tabla 2 muestra la comparación de los dos modelos para obtener los factores para las rotaciones en los apoyos y los desplazamientos máximos para una viga simplemente apoyada, el modelo propuesto (MP) es el modelo matemático presentado en este trabajo tomando en cuenta las deformaciones por cortante y flexión, y el modelo actual (MA) considera únicamente las deformaciones por flexión.

La Tabla 2 presenta para h = 0.1L y h = 0.2L. Estas comparaciones se realizan para G = 5E/12 para concreto, a = 0.2L, 0.5L; u = h; c = 0.2L, 0.5L; s = 0.4h, 0.6h, h, 1.5h, 2h.

dónde: ϴ_AB (rotación en el apoyo A) = β_ABwL/Eb; ϴ_BA (rotación en el apoyo B) = β_BAwL/Eb; x_AB (ubicación del momento máximo a partir del apoyo A) = εL; y_max (desplazamiento máximo) = ρwL/Eb.

Tal como se muestra en la Tabla 2, los factores en las rotaciones para los apoyos “A” y “B” están influenciados por la altura “h”.

A medida que aumenta la altura de las cartelas en el apoyo “B” se observa una disminución (valor absoluto) de estos factores para el mismo apoyo “B” y en el apoyo “A” se produce una disminución, esto es para los dos modelos.

Además, los factores en los desplazamientos máximos están influenciados por la altura “h”. A medida que aumenta la altura de las cartelas en el apoyo “B” se observa una disminución de estos factores, esto es para los dos modelos.

De acuerdo a los resultados, el modelo propuesto es mayor en todos los casos para las rotaciones en los apoyos y los desplazamientos máximos, y para los dos casos en h = 0.2L, donde la mayor diferencia es de 14.01% para la rotación en el apoyo “B”, y para los desplazamientos máximos es de 10.83%.

La Tabla 3 presenta la comparación de los dos modelos para encontrar los factores de los momentos y reacciones en el apoyo A y los desplazamientos máximos para una viga empotrada en ambos extremos. La Tabla 3 presenta h = 0.1L y h = 0.2L. Estas comparaciones se realizan para G = 5E/12 para concreto, a = 0.2L, a = 0.5L; u/h = 1.0; c = 0.2L, 0.5L; s = 0.4h, 0.6h, h, 1.5h, 2h.

La Tabla 3 se obtienen sustituyendo G = 5E/12; a = 0.2L, 0.5L; u = h; c = 0.2L, c = 0.5L; s = 0.4h, 0.6h, h, 1.5h, 2h; h = 0.1L, 0.2L; x = 0 en la ecuación (8) y x = L en la ecuación (12) y estas ecuaciones se hacen iguales a cero. Posteriormente, estas dos ecuaciones se resuelven para obtener el momento de empotramiento en el apoyo “A” “M_AB = m_ABwL²” y la reacción en el apoyo “A” “R_A = α_ABwL”. El momento de empotramiento en el apoyo “B” “M_BA = m_BAwL²” y la reacción en el apoyo “B” “R_B = α_BAwL” se obtienen por equilibrio estático.

dónde: M_AB (momento de empotramiento en el apoyo A) = m_ABwL²; R_AB (reacción en el apoyo A) = α_ABwL.

Tal como se presenta en la Tabla 3, los factores para los momentos y reacciones en el apoyo “A” están influenciados por la altura “h”. A medida que se aumenta la altura de las cartelas en el apoyo “B” se observa una disminución de estos factores para el apoyo “A” en ambos factores, esto es para los dos modelos. Además, los factores en los desplazamientos máximos están influenciados por la altura “h”.

A medida que se aumenta la altura de las cartelas en el apoyo “B” se observa una disminución (valor absoluto) de estos factores, esto es para los dos modelos. De acuerdo a los resultados, el modelo propuesto para los momentos y para las reacciones en el apoyo “A” es menor en s = 0.4h, 0.6h; igual en s = h; y mayor en s = 1.5h, 2h, y los desplazamientos máximos son mayores, y para los dos casos en h = 0.2L, donde la mayor diferencia es de 2.41 % para los momentos, para las reacciones en el apoyo “A” es de 1.0098 veces el modelo propuesto con respecto al modelo actual, y para los desplazamientos máximos es de 2.5910 veces el modelo propuesto con respecto al modelo actual.

La Figura 3 muestra la curva elástica para una viga rectangular simplemente apoyada con cartelas parabólicas bajo carga uniformemente distribuida para valores de G = 5E/12; a = 0.2L; u = h; c = 0.2L; s = 0.4h, 0.6h, h, 1.5h, 2h; h = 0.1L, 0.2L por el modelo propuesto “MP” y el modelo actual “MA”.

Fig. 3 Deflexiones en vigas simplemente apoyadas para a = 0.2L, c = 0.2L y u = h 

La Figura 4 muestra la curva elástica para una viga rectangular empotrada en sus extremos con cartelas parabólicas bajo carga uniformemente distribuida para valores de G = 5E/12; a = 0.2L; u = h; c = 0.2L; s = 0.4h, 0.6h, h, 1.5h, 2h; h = 0.1L, 0.2L por el modelo propuesto “MP” y el modelo actual “MA”.

Fig. 4 Deflexiones en vigas empotradas en sus extremos para a = 0.2L, c = 0.2L y u = h 

Figura 4. Deflexiones en vigas empotradas en sus extremos para a = 0.2L, c = 0.2L y u = h

Los valores de la curva elástica (deflexiones) para la viga simplemente apoyada es mayor para el modelo propuesto con respecto al modelo actual para h = 0.1L y h = 0.2L, y los valores mayores se presentan para h = 0.1L (ver Figura 3). Para la viga empotrada en ambos extremos es mayor para el modelo propuesto con respecto al modelo actual para h = 0.1L y h = 0.2L, y los valores mayores son para h = 0.1L (ver Figura 4).

5 Conclusiones

El modelo propuesto para obtener las rotaciones y los desplazamientos en cualquier lugar de la viga de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas bajo una carga uniformemente distribuida y momentos en los extremos considerando las deformaciones por flexión y cortante (teoría de Timoshenko) ha sido desarrollado para el caso general.

La técnica matemática presentada en esta investigación es adecuada para encontrar las rotaciones y las deflexiones en cualquier lugar de la viga sometida a una carga uniformemente distribuida y cualquier tipo de momentos aplicados en sus extremos, debido a que se muestran las fórmulas matemáticas de la curva elástica.

Las principales conclusiones son:

Los desplazamientos máximos por el modelo propuesto (las deformaciones por flexión y cortante se consideran) son mayores para las vigas simplemente apoyadas, y para las vigas empotradas en ambos extremos respecto al modelo actual (las deformaciones por flexión se consideran).

Por lo tanto, las deflexiones máximas que actúan sobre las vigas del modelo propuesto en este trabajo deben compararse con las deflexiones máximas permitidas por los códigos de construcción, porque en algunas condiciones podría ser que no cumpla con los estándares establecidos por los códigos de construcción.

Entonces, el modelo propuesto es más apropiado y seguro con respecto al modelo actual para el análisis estructural, debido a que los esfuerzos cortantes y los momentos flectores están presentes en cualquier tipo de estructura y aparecen deformaciones por flexión y cortante.

Las sugerencias para futuras investigaciones pueden ser: 1) Cuando la carga aplicada es diferente a una carga uniformemente distribuida; 2) Cuando la sección transversal de la viga sea diferente a una rectangular.