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Introducción
Generalidades
Los embalses son quizás la obra hidráulica más importante, ya sean de aprovechamiento o de control de crecientes. Su diseño hidrológico por seguridad, requiere estimar el hidrograma de su Creciente de Diseño, el cual muestra cómo evolucionó el gasto máximo durante tal evento y por ello, está definido por cuatro variables: el tiempo transcurrido hasta el gasto máximo (tp), el valor de este (Q), el volumen escurrido (V) y su duración total (D). Aldama (2000) demostró que los embalses no son sensibles al valor del tp y como el V y la D están correlacionados, el estudio multivariado de las crecientes se pudo reducir a un análisis bivariado de Q y V, para definir de manera aproximada el hidrograma de diseño.
Los análisis bivariados de las crecientes comenzaron a inicios de este siglo, con los trabajos de Yue (2000) y de Yue & Rasmussen (2002) y estuvieron limitados por la escasa disponibilidad de funciones de distribución de probabilidades (FDP) multivariadas, cuyos primeros modelos utilizados fueron extensiones de las distribuciones univariadas, por ejemplo, las bivariadas Normal, Log-normal, Exponencial, Pareto y Gamma. Favre et al. (2004) han destacado que este tipo de distribuciones tienen las siguientes tres desventajas: 1) sus distribuciones marginales pertenecen a la misma familia; 2) la extensión más allá del caso bivariado, no son simples o no existen y 3) los parámetros de ajuste de las distribuciones marginales también se usan para modelar la dependencia entre las variables aleatorias Q y V.
Las limitaciones que tienen las distribuciones bivariadas existentes, son fácilmente superadas usando las llamadas funciones Cópula (FC), las cuales permiten modelar la dependencia entre las variables Q y V, además de conjuntar las distribuciones marginales univariadas adoptadas previamente, para construir la nueva distribución bivariada (Shiau et al., 2006; Sraj et al., 2015; Genest & Chebana, 2017; Zhang & Singh, 2019).
Con el enfoque de aplicación práctica de las FC, se intenta una similitud operativa con los análisis de frecuencias de crecientes (AFC) bivariados, pero suprimiendo las desventajas citadas, al poder utilizar distribuciones marginales diferentes y de cualquier tipo; además, de tener enorme facilidad para construir la distribución bivariada con las FC. Lo anterior se logra utilizando FC que ya han sido probadas en los AFC, y no se aplica la simulación aleatoria para contraste de la FC que se prueba, sino que se selecciona con base en los indicadores de ajuste y su dependencia en el extremo derecho del ajuste.
Objetivos
Los objetivos de este estudio son los cuatro siguientes:
Exponer de manera breve los conceptos operativos de las FC
Enlistar las FC de cada familia que han sido utilizadas en los AFC
Usar y probar las FC que son aplicables en el ejemplo numérico descrito y
Estimar y contrastar los periodos de retorno univariados y los bivariados
La aplicación numérica se realiza para los 52 gastos máximos y volúmenes de las crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza (Don Martín), del estado de Coahuila, México.
Teoría operativa
Las Funciones Cópula
Concepto y definición
La característica esencial de las Funciones Cópula (FC) consiste en permitir expresar una distribución conjunta de variables aleatorias correlacionadas, como una función de sus distribuciones marginales. Entonces, una FC enlaza o relaciona las distribuciones marginales univariadas para formar una distribución multivariada. Como en este estudio se aplicarán las FC en el análisis de frecuencias bivariado de las crecientes anuales, la definición siguiente se refiere a dos variables aleatorias X y Y correlacionadas, cuya función de distribución de probabilidades acumuladas conjuntas es F X,Y (x,y), con distribuciones marginales univariadas F X (x) y F Y (y); entonces la función Cópula C existe y es:
La ecuación anterior define el concepto básico para el desarrollo de las FC y se conoce como Teorema de Sklar expuesto en 1959 (Shiau et al., 2006; Meylan et al., 2012; Genest & Chebana, 2017; Zhang & Singh, 2019; Chowdhary & Singh, 2019).
Familias de Cópulas
Son conjuntos de estas, en los cuales, las Cópulas que los integran se asemejan en cuanto a su forma. Las FC que han sido desarrolladas se han clasificado en cuatro clases (Meylan et al., 2012; Chowdhary & Singh, 2019): de Arquímedes, de valores extremos, elípticas y misceláneas. También se clasifican en Cópulas de un parámetro o de varios, dependiendo de la exhaustividad con la cual la estructura de la dependencia entre las variables está definida.
Las Cópulas de Arquímedes han tenido aplicación extensa debido a su construcción simple, un solo parámetro, rango amplio y aceptación de varios tipos de dependencia. Haciendo F X (x) = u, F Y (y) = v y θ el parámetro que mide la dependencia o asociación entre u y v, se tienen las siguientes tres Cópulas de Arquímedes, las cuales aceptan dependencia negativa y positiva (Salvadori et al., 2007; Chowdhary & Singh, 2019).
1. Ali-Mikhail-Haq: Esta Cópula algunas veces se abrevia AMH y tiene un rango limitado para la dependencia, que se restringe a τ n variando de -0.1817 a 1/3:
La relación de θ con el cociente tau de Kendall es la siguiente:
La relación de θ con el τ n es la siguiente:
Siendo, D1(θ) la función Debye de orden 1, cuya expresión es:
La ecuación anterior se evaluó con integración numérica, ratificando sus resultados con los valores tabulados por Stegun (1972).
3. Clayton: Esta función Cópula es llamada de Cook-Johnson por Zhang y Singh (2006). Sraj et al. (2015) la citan con los dos nombres.
La relación de θ con el cociente tau de Kendall es la siguiente:
En seguida, se cita una Cópula de valores extremos, la cual acepta solo dependencia positiva.
La relación de θ con el cociente tau de Kendall es la siguiente:
Por último, se citan dos Cópulas de clase miscelánea, las cuales aceptan dependencia positiva y negativa, pero la primera tiene un rango bastante limitado.
5. Farlie-Gumbel-Morgenstern: Esta Cópula algunas veces se abrevia FGM, tiene un rango limitado para la dependencia, que se restringe a τ n variando de -2/9 a 2/9:
La relación de θ con el cociente tau de Kendall y con la rho de Spearman son las siguientes:
La relación de θ con la rho de Spearman es la siguiente:
Medidas de asociación
Concordancia
Como la FC caracteriza la dependencia entre las variables aleatorias, es necesario el estudio de las medidas de asociación, para disponer de un método que permita estimar su parámetro θ. En términos generales, una variable aleatoria es concordante (c) con otra, cuando sus grandes valores están asociados a los grandes valores de la otra y los valores pequeños de una con los valores reducidos de la otra. Unas variables con correlación lineal directa serán concordantes; en cambio, unas variables con correlación lineal inversa serán discordantes (d), pues a grandes valores de una, le corresponden pequeños valores de la otra (Salvadori et al., 2007; Chowdhary & Singh, 2019).
El cociente tau de Kendall y el coeficiente rho de Spearman, son dos medidas no paramétricas que proporcionan información sobre una forma especial de asociación o dependencia, la concordancia (Salvadori et al., 2007).
Cociente tau de Kendall
Mide la probabilidad de tener parejas concordantes; por lo cual, es el cociente del número de casos favorables entre el número de casos posibles. El numerador es c-d y el denominador c+d; siendo, c las parejas concordantes y d las discordantes, evaluadas en la ecuación 16. Su expresión para estimarlo con observaciones bivariadas es (Zhang & Singh, 2006, 2019):
en la ecuación anterior, n es el número de observaciones y el signo[∙] es +1 si tales parejas son concordantes, es decir > 0 y -1 si son discordantes, o sea < 0.
Coeficiente rho de Spearman
Mide la correlación entre parejas de rangos (R i , S i ) de las variables aleatorias X i y Y i . Por ello equivale al coeficiente de correlación (r xy ). Su expresión para estimarlo en un registro bivariado de tamaño n es la siguiente (Chowdhary & Singh, 2019; Zhang & Singh, 2019):
Estimación del parámetro de dependencia
El método más simple para estimar el parámetro θ de las FC, se asemeja al método de momentos y se basa en la inversión de la ecuación que relaciona a θ con el cociente tau o con el coeficiente rho. Los otros dos procedimientos disponibles se denominan: Método de máxima pseudo-verosimilitud y método exacto de máxima verosimilitud (Meylan et al., 2012; Chowdhary & Singh, 2019; Zhang & Singh, 2019). En las ecuaciones (3), (5) y (15) se procede por tanteos, para obtener θ; en cambio, en las expresiones (8), (10), (12) y (13) se despeja su valor.
Estimación de las probabilidades empíricas
Las probabilidades empíricas bivariadas se estimaron con base en la fórmula de Gringorten, aplicada por Yue y Rasmussen (2002) y Zhang & Singh (2019). Tal fórmula es:
en la cual, i es el número de cada dato, cuando están ordenados de manera progresiva y n su número total. La expresión anterior se aplicó en el plano bidimensional, con los datos ordenados en forma progresiva; los gastos máximos (Q) en los renglones y los volúmenes (V) en las columnas. El plano formado es un cuadrado de n por n casillas. Después cada pareja de datos anual (Q y V) se localiza en el plano bidimensional y la casilla definida por la intersección del renglón y columna, se identifica con el número i que corresponde al año histórico procesado.
Cuando las n parejas de datos están dibujadas, se busca el año 1 y se define un área rectangular o cuadrada de valores menores de Q y de V, cuyo conteo de casillas numeradas dentro, es NM 1 o combinaciones de Q y V menores. Calculados los n valores de NM i , se aplica la ecuación anterior para estimar la probabilidad empírica bivariada observada:
Selección de la función Cópula
Errores estadísticos de ajuste
Permiten aplicar un enfoque simple de selección de la FC, al comparar las probabilidades empíricas observadas
Dependencia en el extremo superior
Otro criterio que se aplica para seleccionar una FC, es el basado en la magnitud de la dependencia en la cola superior, lo cual tiene impacto en la veracidad de las predicciones extremas. La dependencia en la cola superior derecha
En relación con las FC expuestas, las de AMH, Frank, FGM y Plackett, tienen dependencias insignificantes en sus colas: por ello, λ
L
=0 y λ
U
=0. En cambio, la Cópula Gumbel-Hougaard tiene dependencia significativa en la cola superior, igual a: λ
U
=2 - 2
1/θ
y la Cópula de Clayton la tiene en su cola inferior e igual a: λ
L
=2
-1/θ
. Cópulas no expuestas, con
Para intentar la estimación del valor de λ U que muestran los datos disponibles, se define primero la Cópula Empírica. Como la FC caracteriza la dependencia entre las variables aleatorias X y Y, entonces el par de rangos R i y S i procedentes de tales variables y su escalamiento con el factor 1/(n+1) genera una serie de puntos U i y V i en el cuadrado unitario [0,1]2, formando el dominio de la Cópula Empírica (Chowdhary & Singh, 2019). Poulin et al. (2007), proponen el siguiente estimador basado en la Cópula empírica, su expresión es:
Periodos de retorno bivariados
El primer periodo de retorno bivariado del evento (X, Y) se define bajo la condición OR, lo cual indica que los límites x ó y, o ambos pueden ser excedidos y entonces, la ecuación clásica del periodo de retorno o inverso de la probabilidad de excedencia será (Shiau et al., 2006):
en la cual, F
X,Y
(x,y) es la FDP bivariada y
El segundo periodo de retorno bivariado del evento (X, Y) está asociado al caso en que ambos límites son excedidos (X > x,Y > y) o condición AND (Shiau et al., 2006), su ecuación es:
Aldama (2000) obtiene la expresión
La relación entre los periodos de retorno bivariados y los univariados es la siguiente (Yue & Rasmussen, 2002; Shiau et al., 2006):
Siendo:
En las ecuaciones 27 y 28,
Eventos críticos del
Volpi y Fiori (2012) destacan que la gráfica del periodo de retorno bivariado de tipo AND, mostrada posteriormente como Figura 2, presenta una severa inconsistencia al contener, en un contexto bivariado, umbrales críticos univariados. Debido a lo anterior, tal gráfica se considera integrada por dos porciones, las dos designadas simples y la correcta. Las partes rectas son las colas o rectas asíntotas a la parte curva.
Figura 2 Gráficas de los cuatro periodos de retorno conjunto
La probabilidad de ocurrencia de un evento o pareja de Q y V, es variable en la parte curva y decrece a lo largo de la parte recta, aunque todos los valores definen el mismo periodo de retorno conjunto. En resumen, las parejas de valores de las rectas asíntotas tienen probabilidades de ocurrencia bajas y por ello no deben ser incluidas en los análisis de búsqueda de las crecientes (Q y V) críticas o severas.
Selección de las distribuciones marginales
Momentos L y sus cocientes
Por limitaciones de espacio no se exponen las ecuaciones de los momentos L, así como las expresiones de los cocientes L de asimetría (t 3) y de curtosis (t 4); pero ambas se pueden consultar en Campos-Aranda (2014) y en Hosking & Wallis (1997) en su capítulo 2.
Diagrama de cocientes de momentos L
Tiene en el eje de las abscisas a t 3 y en el de las ordenadas a t 4. Las FDP de tres parámetros de ajuste son líneas curvas con las ecuaciones de tipo polinomio siguientes (Hosking & Wallis, 1997):
Logística Generalizada (LOG):
Pareto Generalizada (PAG):
Log-Normal (LGN):
Pearson tipo III (PT3):
General de Valores Extremos (GVE):
Siendo:
Utilizando los logaritmos de los datos se obtienen los cocientes L logarítmicos y entonces se puede utilizar la expresión 32 para valorar la cercanía a la distribución Log-Pearson tipo III.
Distancia absoluta
Uno de los enfoques recientes para la selección de la mejor FDP de una serie de datos, consiste en llevar al diagrama de cocientes L los valores de la muestra (t 3 y t 4) y definir su cercanía a alguna de las curvas, para obtener el mejor modelo probabilístico. Para evitar la subjetividad en la selección de la FDP, se ha propuesto evaluar la Distancia Absoluta (DA) con la expresión siguiente (Yue & Hashino, 2007):
Donde,
Tres distribuciones de probabilidad seleccionadas
Con el criterio anterior se definieron las tres mejores distribuciones para cada registro de gasto máximo y volumen anuales. Con excepción de la distribución LP3, que se ajustó con el método de momentos en el dominio logarítmico (WRC, 1977), las otras cinco se ajustaron con el método de los momentos L (Hosking & Wallis, 1997).
Errores de ajuste
Este criterio (Chai & Draxler, 2014) complementa al anterior. Cambiando en las ecuaciones 20 y 21, las probabilidades observadas por los datos ordenados de la serie analizada (x
i
, y
i
) y las probabilidades calculadas por los valores estimados
Crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza, México
Aldama et al. (2006) muestran los 52 gastos máximos y sus volúmenes anuales de las crecientes que entran a la Presa Venustiano Carranza (Don Martín), en el estado de Coahuila, México. Su área de cuenca es de 31034 km2. Tal información se tiene en la Tabla 1.
Tabla 1 Gastos máximos, volúmenes y sus números de orden bivariados de las crecientes que ingresaron a la Presa Venustiano Carranza (Don Martín), México (Aldama et al., 2006)
| Año |
Q (m3/s) |
V (Mm3) |
NMi | Año |
Q (m3/s) |
V (Mm3) |
NMi |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1930 | 241.0 | 38.76 | 19 | 1956 | 68.6 | 13.75 | 3 |
| 1931 | 89.2 | 53.59 | 8 | 1957 | 451.2 | 83.73 | 36 |
| 1932 | 1071.2 | 403.78 | 49 | 1958 | 1342.1 | 529.11 | 51 |
| 1933 | 203.2 | 62.10 | 21 | 1959 | 521.6 | 94.18 | 38 |
| 1934 | 90.7 | 11.48 | 3 | 1960 | 99.5 | 33.31 | 10 |
| 1935 | 431.2 | 75.40 | 34 | 1961 | 569.4 | 161.03 | 42 |
| 1936 | 62.0 | 64.75 | 4 | 1962 | 92.8 | 12.03 | 4 |
| 1937 | 138.3 | 19.64 | 11 | 1963 | 340.8 | 33.13 | 15 |
| 1938 | 166.3 | 35.01 | 17 | 1964 | 586.4 | 156.79 | 42 |
| 1939 | 134.2 | 16.99 | 9 | 1965 | 214.6 | 38.78 | 19 |
| 1940 | 182.1 | 21.18 | 12 | 1966 | 76.8 | 19.12 | 4 |
| 1941 | 252.1 | 43.43 | 21 | 1967 | 425.6 | 215.79 | 38 |
| 1942 | 339.7 | 63.62 | 28 | 1968 | 119.6 | 33.24 | 11 |
| 1943 | 284.8 | 35.02 | 19 | 1969 | 50.9 | 25.81 | 3 |
| 1944 | 655.9 | 269.58 | 46 | 1970 | 511.3 | 246.39 | 42 |
| 1945 | 146.7 | 28.04 | 13 | 1971 | 4320.7 | 983.02 | 52 |
| 1946 | 243.4 | 93.00 | 27 | 1972 | 214.2 | 129.87 | 25 |
| 1947 | 339.4 | 63.61 | 27 | 1973 | 449.2 | 65.18 | 33 |
| 1948 | 238.4 | 99.71 | 27 | 1974 | 756.5 | 244.05 | 46 |
| 1949 | 97.7 | 55.93 | 11 | 1975 | 751.6 | 169.43 | 44 |
| 1950 | 280.2 | 71.81 | 28 | 1976 | 614.3 | 466.05 | 46 |
| 1954 | 115.5 | 34.09 | 12 | 1995 | 80.6 | 13.48 | 3 |
| 1952 | 114.7 | 14.87 | 7 | 1996 | 47.6 | 4.69 | 2 |
| 1953 | 238.4 | 99.71 | 27 | 1997 | 87.4 | 15.96 | 5 |
| 1954 | 367.0 | 39.17 | 23 | 1998 | 29.5 | 3.75 | 1 |
| 1955 | 213.5 | 56.00 | 21 | 1999 | 85.0 | 64.22 | 7 |
Resultados y su verificación
Selección de las distribuciones marginales
Verificación de la aleatoriedad
Primero se verificó la aleatoriedad de los registros por procesar, con base en el Test de Wald-Wolfowitz (Rao & Hamed, 2000; Meylan et al., 2012), cuyo estadístico U condujo a valores de 0.726 y 1.054, para los gastos y volúmenes de la Tabla 1.
Distancias absolutas calculadas
En la Tabla 2 se han concentrado los resultados de las ecuaciones 29 a 33, para las seis FDP aplicadas a cada registro de datos de la Tabla 1.
Tabla 2 Distancia absoluta en el diagrama de cocientes L (Hosking & Wallis, 1997) y números de orden de la mejor distribución para las series indicadas
| Gastos máximos anuales (m3/s) | Volúmenes anuales (Mm3) | ||
|---|---|---|---|
| t3 = 0.55039 | ln t3 = 0.05374 | t3 = 0.57344 | ln t3 = 0.04605 |
| t4 = 0.41275 | ln t4 = 0.10787 | t4 = 0.38702 | ln t4 = 0.15555 |
| Distribución LOG | 0.0064 (2) | Distribución LOG | 0.0537 (5) |
| Distribución GVE | 0.0006 (1) | Distribución GVE | 0.0493 (4) |
| Distribución LGN | 0.0467 (5) | Distribución LGN | 0.0005 (1) |
| Distribución PT3 | 0.1256 (6) | Distribución PT3 | 0.0802 (6) |
| Distribución PAG | 0.0408 (4) | Distribución PAG | 0.0107 (2) |
| Distribución LP3 | 0.0154 (3) | Distribución LP3 | 0.0325 (3) |
Distribución de los gastos máximos anuales
En la Tabla 3 se exponen errores de ajuste y predicciones obtenidas con las tres mejores FDP aplicadas al registro de gastos máximos de la Tabla 1. Se observa que las distribuciones GVE y LOG, conducen a los errores de ajuste más bajos del tipo EAM y relativamente reducidos del EEA. Por otra parte, la tercera mejor distribución, la LP3 condujo al EEA más bajo, pero sus predicciones se consideran reducidas. Por lo anterior, se adoptó a la distribución GVE.
Tabla 3 Errores de ajuste y predicciones (m3/s) de las tres mejores distribuciones en el registro de gastos máximos anuales de las crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza (Don Martin), México
| FDP ajustada: |
EAM (m3/s) |
EEA (m3/s) |
Periodos de retorno, en años | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 100 | 500 | 1000 | 5000 | 10000 | |||
| LOG (2) | 59 | 247 | 1843 | 2715 | 6616 | 9695 | 23525 | 34449 |
| GVE (1) | 60 | 240 | 1900 | 2773 | 6534 | 9403 | 21781 | 31224 |
| LP3 (3) | 64 | 223 | 2049 | 2941 | 6378 | 8723 | 17447 | 23247 |
Los parámetros de ajuste de ubicación (u 1), escala (a 1) y forma (k 1) de la distribución GVE adoptada son: 160.2069, 137.6956, -0.5178409. La expresión de su FDP es la siguiente (Hosking & Wallis, 1997):
Distribución de los volúmenes anuales
En la Tabla 4, similar a la Tabla 3, se observa que la mejor distribución la LGN, conduce a errores de ajuste bajos, con predicciones reducidas. La tercera mejor opción, la LP3 reporta los errores de ajuste más bajos, pero sus predicciones son también reducidas. Por lo anterior, se adoptó a la distribución PAG.
Tabla 4 Errores de ajuste y predicciones (m3/s) de las distribuciones indicadas con el registro de volúmenes anuales de las crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza (Don Martin), México
| FDP ajustada: | EAM (m3/s) | EEA (m3/s) | Periodos de retorno, en años | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 50 | 100 | 500 | 1000 | 5000 | 10000 | |||
| LGN (1) | 11 | 24 | 654 | 926 | 1877 | 2463 | 4385 | 5516 |
| PAG (2a) | 13 | 28 | 621 | 897 | 2001 | 2792 | 5962 | 8321 |
| LP3 (3) | 9 | 17 | 685 | 988 | 2113 | 2850 | 5442 | 7073 |
| PAG (2b) | 14 | 30 | 615 | 864 | 1798 | 2429 | 4797 | 6397 |
Los parámetros de ajuste de ubicación (u 2), escala (a 2) y forma (k 2) de la distribución PAG adoptada son: 6.141945, 56.37617 y -0.4577991. La expresión de su FDP es la siguiente:
La aplicación de la ecuación anterior, conduce a valores negativos en el paréntesis rectangular en las parejas de datos números 49 y 51 de la Tabla 1. Lo anterior, significa que el parámetro de ubicación es elevado y por ello, existe el método modificado de momentos L, que corrige tal anomalía (Rao & Hamed, 2000; Campos-Aranda, 2014); el cual conduce a estos nuevos parámetros de ajuste: 2.5067, 64.14948 y -0.4038805; con las predicciones que se muestran en el renglón final de la Tabla 4.
Selección y ratificación de la función Cópula
El procesamiento bivariado de los datos de la Tabla 1, condujo a los siguientes tres indicadores de asociación: r xy = 0.9188, τ n = 0.6471 y ρ n = 0.8274. Por otra parte, en la Tabla 5 se muestran los indicadores estadísticos de ajuste que se obtuvieron al aplicar las FC de Clayton, Frank, Gumbel-Hougaard (GH) y Plackett. En las ecuaciones 20 a 22, las probabilidades bivariadas empíricas se estimaron con la ecuación 19 y las teóricas con las expresiones 7, 4, 9 y 14.
Tabla 5 Indicadores estadísticos del ajuste de las funciones Cópula aplicadas a las crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza (Don Martín), México
| Cópula | θ | EME | EAM | EMA | NDP | NDN | MDP | MDN | λU |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Clayton | 3.6667 | 0.0380 | 0.0290 | 0.0873 | 22 | 30 | 0.0873 | -0.0699 | 0.000 |
| Frank | 9.3400 | 0.0281 | 0.0220 | 0.0744 | 28 | 24 | 0.0744 | -0.0703 | 0.000 |
| GH | 2.8333 | 0.0254 | 0.0188 | 0.0729 | 27 | 25 | 0.0729 | -0.0677 | 0.723 |
| Plackett | 30.275 | 0.0280 | 0.0210 | 0.0786 | 27 | 25 | 0.0786 | -0.0647 | 0.000 |
Significado de los nuevos acrónimos:
NDP, NDN número de diferencias positivas y negativas
MDP, MDN máxima diferencia positiva y negativa
Con base en los resultados de la Tabla 5, no existe dificultad para seleccionar como mejor FC la Gumbel-Hougaard, para los datos de la Tabla 1, debido a que reporta los indicadores estadísticos más reducidos (mostrados en cursivas), es la única que tiene dependencia en su cola derecha y esta se aproxima a la observada (ecuación 23) de
En la Tabla 6 se muestra una parte de las probabilidades de no excedencia bivariadas, empíricas observadas
Figura 1 Contraste gráfico de probabilidades conjuntas del gasto pico y volúmenes de las crecientes anuales de entrada a la Presa Venustiano Carranza, México
Tabla 6 Probabilidades de no excedencia conjuntas y sus diferencias para una parte de las crecientes anuales de entrada a la Presa Venustiano Carranza, México
| Núm. |
|
|
Diferencias | Núm. |
|
|
Diferencias |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.3561 | 0.3651 | -0.0090 | 30 | 0.7206 | 0.6648 | 0.0559 |
| 5 | 0.0491 | 0.0843 | -0.0351 | 34 | 0.2794 | 0.3471 | -0.0677 |
| 10 | 0.1642 | 0.1556 | 0.0086 | 40 | 0.0491 | 0.0563 | -0.0071 |
| 15 | 0.8741 | 0.8642 | 0.0099 | 44 | 0.6247 | 0.5518 | 0.0729 |
| 20 | 0.2026 | 0.1790 | 0.0236 | 49 | 0.0299 | 0.0175 | 0.0125 |
| 25 | 0.4328 | 0.3950 | 0.0378 | 52 | 0.1259 | 0.1460 | -0.0202 |
Gráficas del periodo de retorno
Los periodos de retorno bivariado de tipo AND se estiman con base en la ecuación 25. Se consideró conveniente realizar estimaciones para valores del
Tabla 7 Parejas de gasto pico y volumen anual utilizadas para definir las gráficas del periodo de retorno conjunto tipo AND, con la FC de Gumbel-Hougaard, en las crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza, México
|
500 años |
1000 años |
5000 años |
10000 años |
||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Vol. Mm3 |
Qp m3/s |
Vol. Mm3 |
Qp m3/s |
Vol. Mm3 |
Qp m3/s |
Vol. Mm3 |
Qp m3/s |
| 0 | 6534 | 0 | 9403 | 0 | 21781 | 0 | 31224 |
| 400 | 6530 | 800 | 9385 | 1250 | 21768 | 2000 | 31202 |
| 500 | 6526 | 900 | 9374 | 1500 | 21754 | 3000 | 31030 |
| 600 | 6518 | 1000 | 9358 | 1750 | 21727 | 3500 | 30799 |
| 800 | 6486 | 1200 | 9308 | 2000 | 21688 | 3750 | 30633 |
| 1000 | 6416 | 1400 | 9219 | 2250 | 21625 | 4000 | 30432 |
| 1100 | 6356 | 1600 | 9066 | 2500 | 21534 | 4200 | 30244 |
| 1200 | 6272 | 1700 | 8954 | 2750 | 21404 | 4400 | 29982 |
| 1250 | 6217 | 1800 | 8808 | 3000 | 21216 | 4600 | 29663 |
| 1300 | 6152 | 1900 | 8612 | 3250 | 20948 | 4800 | 29270 |
| 1400 | 5979 | 2000 | 8351 | 3400 | 20742 | 5000 | 28783 |
| 1500 | 5721 | 2100 | 7986 | 3500 | 20576 | 5100 | 28481 |
| 1600 | 5312 | 2150 | 7747 | 3600 | 20390 | 5200 | 28149 |
| 1650 | 5002 | 2200 | 7450 | 3750 | 20042 | 5300 | 27789 |
| 1700 | 4558 | 2250 | 7073 | 3900 | 19611 | 5400 | 27358 |
| 1750 | 3816 | 2300 | 6568 | 4000 | 19252 | 5500 | 26897 |
| 1775 | 3133 | 2350 | 5828 | 4100 | 18836 | 5600 | 26342 |
| 1790 | 2328 | 2400 | 4486 | 4200 | 18328 | 5700 | 25659 |
| 1795 | 1754 | 2410 | 4000 | 4300 | 17714 | 5800 | 24895 |
| 1798 | 0 | 2415 | 3705 | 4400 | 16920 | 5900 | 23997 |
| 2420 | 3260 | 4500 | 15885 | 6000 | 22840 | ||
| 2429 | 0 | 4600 | 14430 | 6050 | 22147 | ||
| 4650 | 13438 | 6100 | 21394 | ||||
| 4700 | 12070 | 6150 | 20469 | ||||
| 4725 | 11164 | 6200 | 19347 | ||||
| 4750 | 9985 | 6250 | 17975 | ||||
| 4775 | 8000 | 6300 | 16058 | ||||
| 4797 | 0 | 6350 | 13255 | ||||
| 6397 | 0 | ||||||
En la Figura 2 o en la Tabla 7 se pueden seleccionar infinitas parejas de Qp y V, que satisfacen el periodo de retorno conjunto de diseño y que se definen como subgrupo de parejas críticas por estar dentro de la porción curva de cada gráfica de
Las combinaciones de gasto pico y volumen que tienen el mismo periodo de retorno bivariado de diseño, establecen crecientes o hidrogramas que producirán diferentes efectos en el embalse que se diseña o revisa; adoptando por seguridad, el que genera las condiciones más críticas. Para formar cada hidrograma de diseño, existen métodos teóricos y empíricos (Aldama, 2000).
Contraste de los periodos de retorno bivariados
En la Tabla 8 se muestran los cálculos realizados para llevar a cabo la verificación de la ecuación 26. Se observa y comprueba que en todos los casos el T
XY
es menor de los T y por el contrario, el
Tabla 8 Diferencias entre los Periodos de retorno univariados y bivariados estimados con la FC de Gumbel-Hougaard, en las crecientes de entrada a la Presa Venustiano Carranza, México
| T = TX= TY | QT | VT | C[FX(x),FY(y)] | TXY |
|
|---|---|---|---|---|---|
| 100 | 2773 | 864 | 0.9872451 | 78.4 | 138.0 |
| 500 | 6534 | 1798 | 0.9974464 | 391.6 | 691.4 |
| 1000 | 9403 | 2429 | 0.9987227 | 782.9 | 1382.9 |
| 5000 | 21781 | 4797 | 0.9997446 | 3915.4 | 6915.6 |
| 10000 | 31224 | 6397 | 0.9998721 | 7818.6 | 13831.2 |
Conclusiones
La ventaja fundamental de usar las funciones Cópula (FC) en el análisis de frecuencias de crecientes bivariado, consiste en poder construir fácilmente la distribución de probabilidades conjunta, con base en unas distribuciones univariadas marginales diferentes, previa estimación de la dependencia entre las variables aleatorias: gasto máximo (Q) y volumen (V) de las crecientes anuales.
El enfoque práctico de aplicación de las FC, requiere una acuciosa selección de las distribuciones marginales y para ello, se empleó el diagrama de cocientes L, para contrastar las tres mejores distribuciones de probabilidad, según sus errores de ajuste y magnitud de sus predicciones y así adoptar las más representativas para Q y V.
Este enfoque práctico de aplicación de las FC, utiliza Cópulas de un solo parámetro de ajuste (θ), que se estima con base en el cociente tau de Kendall o con el coeficiente rho de Spearman, observados entre Q y V. Tal enfoque aplica las FC de Clayton, Frank, Gumbel-Hougaard y Plackett, seleccionando la de mejor ajuste a los datos y que además reproduzca la dependencia (λ U ) observada para los registros disponibles. Bajo tales condiciones se adoptó la FC de Gumbel-Hougaard.
La aplicación numérica descrita, con la muestra de 52 datos de las crecientes anuales de entrada a la Presa Venustiano Carranza (Don Martín), del estado de Coahuila, México; mostró en la Figura 1, una reproducción fidedigna de las probabilidades conjuntas empíricas y teóricas. La Figura 2, relativa a los periodos de retorno conjuntos de diseño de tipo AND, permitirá definir infinitas parejas de Q y V críticas, por estar en la región curva de cada gráfica.
