1.1. Marco teórico y la especificación de la pruebas de convergencia absoluta y condicional

La hipótesis de convergencia fue desarrollada por ^{Barro y Sala-i-Martin (1991} y ¹⁹⁹²; ^{Sala-i-Martin, 1996}), como resultado del modelo de crecimiento económico neoclásico para economías cerradas (^{Solow, 1956}; ^{Cass, 1965}, y ^{Koopmans, 1965}). La hipótesis original establece que el crecimiento de la relación capital-trabajo (K/L) está inversamente relacionado con su nivel inicial (^{Galindo y Malgesini, 1994}), pero debido a que el ingreso por habitante depende de la relación capital-trabajo, la predicción establece, para economías con niveles de ingreso diferentes inicialmente pero similares en preferencias y tecnologías, que aquellas más pequeñas tienden a crecer a tasas mayores que las más ricas, de forma que en el largo plazo alcanzan el mismo nivel de ingreso de equilibrio.

La implicación más importante es que las desigualdades de ingreso por habitante entre las diferentes economías se reducen hasta desaparecer en el equilibrio de largo plazo. Este planteamiento se conoce como la hipótesis de convergencia absoluta y la especificación original es una función del crecimiento económico de corte transversal en tiempo discreto y lineal, que se soluciona como una ecuación en diferencias de primer orden. Esta hipótesis de convergencia y sus resultados empíricos han sido criticados, ya que el supuesto de homogeneidad en preferencias y tecnologías de las economías resulta poco realista. En su lugar, se ha propuesto el concepto de convergencia condicional, que establece que las economías tienden a reducir sus desigualdades pero no desaparecen en su totalidad, debido a que cada economía tiende a su propio nivel de ingreso de equilibrio de largo plazo. Para ello, los modelos de corte transversal simples se modificaron para incorporar diferenciación económica por medio de variables exógenas (^{Mankiw et al., 1992}) o para considerar economías heterogéneas con preferencias y tecnologías diversas, por medio de los llamados efectos fijos o aleatorios y parámetros individuales para establecer dinámicas al equilibrio para cada economía en una especificación panel lineal (^{Islam, 1995}, ¹⁹⁹⁸).

En la siguiente ecuación se puede resumir toda la discusión teórica y metodológica anterior. En primer lugar, es importante establecer que los niveles de ingreso por habitante están en logaritmo natural y_n,t = In (Y_n,t), por lo que la tasa de crecimiento se define como el diferencial de los ingresos, en logaritmo: Δy_n,t = y_n,t - y_n,t-1

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Con las restricciones que se tienen en una especificación de corte transversal, las preferencias y las tecnologías son idénticas (δ) y la dinámica al equilibrio (β) es la misma para cada economía, lo cual implica que, al resolver la ecuación implícita en diferencias para el equilibrio de largo plazo y aplicando esperanzas, el resultado muestra que, en promedio, las economías tiendan al mismo nivel de ingreso de largo plazo E (y_n) = δ/β, siempre y cuando la condición de convergencia se cumpla; esto es, que el parámetro β sea negativo y en valor absoluto menor que uno.

Por ello, a la hipótesis de convergencia absoluta también se le conoce como convergencia absoluta beta. En una especificación del crecimiento tipo panel, la hipótesis de convergencia es condicional, puesto que ahora el tiempo discreto es importante; las preferencias y las tecnologías son diversas (δ_n), y las rutas al equilibrio (β_n) pueden ser diferentes para cada economía. Por lo tanto, el ingreso de equilibrio de largo plazo es específico para cada una de las economías E (y_n) = δ_n/β_n.

La dinámica al equilibrio individual y la convergencia condicional beta se puede cumplir en dos esquemas de hipótesis: si al mismo tiempo se comprueba que las dinámicas individuales de las economías al equilibrio son convergentes a cada uno de sus niveles de equilibrio |β| < 1 ∀n, y si las dinámicas individuales son iguales entre el grupo de economías y, como tal, se cumple la condición de convergencia en conjunto |β_n| = |β| < 1-

Las principales variantes de la ecuación 1 que se han propuesto han consistido en especificar que los ingresos por habitante de las economías siguen un proceso dinámico hacia el equilibrio con respecto a una promedio ; a una economía líder g_n,I,t = y_n,t -y_1,t o, en el marco del análisis de cointegración en panel, si la hipótesis de convergencia es individual o en conjunto. Si se examinan las desigualdades del ingreso y su dinámica con el equilibrio con respecto a la economía promedio, utilizando el método de integración y cointegración en panel, la ecuación 2 es equivalente a la 1, en el sentido de que se considera la heterogeneidad de las economías. En el marco del análisis de integración y cointegración en panel, ahora las condiciones de convergencia beta se analizan con el parámetro ρ_n

2

La especificación de la ecuación 2 se construye con el enfoque de una prueba Dickey-Fuller aumentada para el análisis de integración y cointegración; para corregir los sesgos por problemas de autocorrelación serial, se incorpora a la especificación la variable endógena rezagada p periodos: . Las propuestas metodológicas de estimación econométrica, para probar la diversidad de hipótesis de convergencia beta, han sido resueltas en el análisis de integración en panel por ^{Levin y Lin (1993}), actualizada por ^{Levin, Lin y Chu (2001}) y por ^{Im, Pesaran y Shin (1997}), mientras que para el análisis de cointegración en panel, por ^{Pedroni (1999}) y ^{Larsson (2001}).

En este esquema general y de menos restricciones analíticas de una especificación de corte transversal de la ecuación de crecimiento lineal, se pueden probar las hipótesis de convergencia beta absoluta y por lo menos dos tipos de convergencia beta condicional. De acuerdo con la ecuación 2, la hipótesis de convergencia beta absoluta entre economías con similares preferencias y tecnologías (δ_n = δ) se cumple cuando la tasa de crecimiento del diferencial del ingreso por habitante con respecto a la media es la misma función negativa del diferencial inicial del ingreso por habitante (|-ρ_n| = |-ρ| <1). Para analizar la convergencia beta condicional, una opción es establecer que las economías son diferentes en preferencias y tecnologías (δ_n = δ ), lo que se resuelve estimando un modelo panel con efectos fijos o aleatorios y comprobando que la dinámica al equilibrio sea la misma para todas las economías (|-ρ_n| = |-ρ| <1). El segundo tipo de hipótesis de convergencia beta condicional resulta de revisar si la dinámica al equilibrio es convergente de forma individual para cada economía (|-ρ| <1 ∀n) y comprobar por tanto que cada economía tiende a su propio nivel de ingreso de equilibrio.

Existe otra forma de concebir la β-convergencia: se dice que existe β-convergencia entre regiones si se cumple la relación negativa entre la tasa de crecimiento del ingreso per cápita y el valor inicial del ingreso per cápita, lo cual implica que las regiones más pobres crecen a un ritmo más acelerado que las ricas. En la década de los noventa, diversos estudios se enfocaron sobre la relación entre la tasa de crecimiento del ingreso per cápita y diferentes medidas de estándares de vida en secciones cruzadas, para investigar el proceso de crecimiento.

La hipótesis de convergencia absoluta establece que, si los países convergen, entonces comparten la misma trayectoria en estado estacionario; mientras que la convergencia condicional se refiere a la existencia de rutas paralelas, aunque no precisamente coincidentes. Otra forma de examinar el fenómeno de convergencia regional es la convergencia sigma, la cual consiste en analizar la dispersión del ingreso por persona entre las economías; se dice que este fenómeno se encuentra presente si este indicador tiende a reducirse a través del tiempo.

1.2. La literatura empírica sobre el tema

Los principales estudios que han probado convergencia regional en México (^{Caraza-Herrasti, 1993}; ^{Juan-Ramón y Rivera-Batiz, 1996}; ^{Díaz-Pedroza et al., 2009}; ^{Esquivel, 1999}; ^{Cermeño, 2001}; ^{Carrillo, 2001}; ^{Díaz-Bautista, 2003}, y ^{Mendoza, 2004}) coinciden en definir dos grandes periodos, tomando como punto de inflexión 1985, con la finalidad de indagar si, a partir del proceso de liberalización comercial, se ha presentado un proceso de convergencia en comparación con el periodo previo, en el cual la economía mexicana se mantenía prácticamente cerrada.

Con tal fin, estos trabajos emplean el logaritmo natural del PIB por habitante de las 32 entidades federativas, mediante la construcción del indicador de convergencia sigma y la desviación estándar del logaritmo del PIB por habitante. ^{Díaz-Pedroza et al. (2009}) sostienen que la hipótesis de convergencia sigma se cumple para el periodo 1970-1985, mientras que prevalece un proceso de divergencia regional para las entidades federativas de la república mexicana en el periodo 1985-2004.

La mayoría de los estudios sobre convergencia regional en México ha sido efectuada bajo el enfoque de convergencia tipo beta, considerando como economía líder al PIB per cápita promedio nacional. Sus resultados se pueden clasificar en dos grandes grupos. El primero tiene que ver con la hipótesis de convergencia absoluta, la cual sostiene que las economías más pobres tienden a crecer a tasas mayores que las de las economías ricas, de modo que a largo plazo tienden al mismo estado estacionario. En el segundo grupo se ubican los resultados que muestran evidencia a favor de la hipótesis de convergencia condicional, cuyo principal postulado es que cada economía tiene su propio estado estacionario y es más bajo el estado estacionario de la economía con la menor tasa de ahorro (la economía pobre).

No obstante, en ambos grupos los años estudiados son importantes para la inferencia. Por ejemplo, ^{Esquivel (1999}) y ^{Mendoza (2004}) encuentran evidencia que tiende a soportar ambas hipótesis si el periodo analizado empieza en 1940, mientras que, si se considera 1970 como el punto de partida, no es posible soportar la hipótesis de convergencia absoluta pero sí la de convergencia condicional.

Por su parte, ^{Cermeño (2001}), por medio de un modelo panel con restricciones en los parámetros, modela la tasa de crecimiento del PIB por habitante de las 32 entidades, con el fin de analizar el proceso de convergencia condicional de 1970-2000. Sus resultados muestran evidencia de convergencia condicional para el total de entidades, así como excluyendo a Campeche y Tabasco (los estados petroleros).

^{Mendoza (2004}) emplea cuatro modelos de panel con la finalidad de probar la convergencia condicional entre 1970-2002. Comprobó que la especificación más congruente es el modelo de efectos aleatorios, en virtud de que sus parámetros son más estables y muestran evidencia de convergencia condicional en las dos muestras consideradas con todas las entidades y excluyendo Campeche y Tabasco, con tasas de convergencia de 2.6 y 2.5%, respectivamente.

Dentro de los estudios realizados para probar convergencia a la economía líder regional se destaca el de ^{Díaz-Pedroza et al. (2009}), quienes efectúan pruebas de raíces unitarias y de cointegración en panel para probar la convergencia de los estados de la de república mexicana con el Distrito Federal, de 1970 a 2004. Mediante la estimación de la versión irrestricta de la prueba (no se establecen restricciones a priori sobre los parámetros) con el método de ^{Mark y Sul (2003}), descubren evidencia a favor de la convergencia condicional. Sus estimaciones de la velocidad de convergencia individual indican que ésta es más rápida en las regiones más ricas que en las pobres.

La aparición de bases de datos desagregadas y las peculiares condiciones de las unidades territoriales ha propiciado el surgimiento de diversos estudios empíricos sobre la convergencia regional. Por ejemplo, ^{Cermeño et al. (2009}) analizan la dinámica del valor agregado manufacturero per cápita, como proxy del ingreso per cápita de los municipios de México y condados de los Estados Unidos, por medio de un panel dinámico sin regresores exógenos, en el cual consideran el problema del sesgo. Esto demostró que la dinámica del valor agregado per cápita de los condados de Estados Unidos presenta convergencia condicional y poca dispersión de sus estados estacionarios. Por el contrario, en el caso de México, estos autores, encontraron una dinámica congruente con crecimiento estratificado.

En general, los estudios sobre crecimiento regional en México se han enfocado en indagar si se cumple o no la hipótesis de convergencia y de divergencia, como dos aspectos independientes; sin embargo, no consideran la posibilidad de que ambas sean fases del mismo proceso en un modelo de crecimiento regional no-lineal.

Más recientemente, la literatura sobre el crecimiento se ha enfocado en la existencia de clubes de convergencia a nivel de países (^{Mora, 2005}), es decir, de grupos de economías que presentan un patrón homogéneo y convergencia hacia un estado común estable. En este enfoque se emplean diversos métodos de estimación, como los instrumentos de estadística espacial que permiten identificar la dependencia espacial, heterogeneidad espacial y escala espacial, con el fin de detectar la posible presencia de clusters, los cuales pueden depender de la distribución del ingreso per cápita a nivel de regiones (^{Dallerba, 2005}).

2.1. Análisis de la convergencia con modelos autorregresivos panel de umbral (TAR)¹

De acuerdo con ^{Beyaert y Camacho (2008}), la metodología propuesta tiene fundamento en la prueba planteada por ^{Evans y Karras (1996}), quienes emplean la especificación de la ecuación (2) con el fin de probar la hipótesis de convergencia con datos panel.

Si ρ_n = 0 en (2), entonces las N economías consideradas en la muestra divergen, mientras que, si se cumple 0 < -ρ_n <1 para todo n, existe convergencia. En tanto, la convergencia es absoluta si δ_n = 0 para todo n, y, si esto no se cumple, la convergencia es condicional. Se reconoce que el proceso de convergencia no es uniforme; es decir, ciertas economías convergen únicamente si determinadas circunstancias institucionales, políticas o económicas se cumplen; de no ser así, ocasionan divergencia. En otras palabras, puede ser que se cumpla que 0 < -ρ_n <1 para todas las economías o regiones consideradas en la muestra bajo determinadas condiciones, pero que ρ_n = 0 sea válido en caso de que éstas no se cumplan. Al respecto, ^{Beyaert y Camacho (2008}) aceptan la posibilidad de que la tasa de convergencia dependa de las condiciones particulares: puede ser que 0 < -ρ_n <1 se cumpla para todos las economías en la muestra, pero que su valor específico difiera de acuerdo con las condiciones prevalecientes en el tiempo (t). Según estos autores, un modelo capaz de representar tal comportamiento se puede especificar como:

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donde I_{x} es una función indicadora que toma el valor de 1 cuando x es verdadero y cero en los otros casos. De esta manera, la dinámica del PIB per cápita puede seguir uno de los dos regímenes posibles en el tiempo (t), los cuales se denominan regímenes I y II, dependiendo de si z_t-1< λ o z_t-1 ≥ λ, respectivamente. Así, el parámetro λ representa un "umbral" y la ecuación (3) es propiamente un modelo autorregresivo de umbral (threshold autoregressive, TAR) de la clase introducida primeramente por ^{Tong (1978}). A diferencia de la propuesta de Tong, la de ^{Beyaert y Camacho (2008}) representa un avance en dos sentidos: primero, extiende el modelo uniecuacional al modelo panel, y, segundo, considera la posibilidad de que los datos no sean estacionarios.

De acuerdo con el planteamiento de ^{Beyaert y Camacho (2008}), en el modelo (3) hay divergencia si ρ^I_n = ρ^II_n = 0 para toda n; convergencia global si 0 < -ρ^I_n <1 para todo n e i = I, II, y convergencia parcial si 0 < -ρⁱ_n <1, pero ρⁱ_n = 0 para toda n e i ≠ j. A z en (3) se le conoce como variable de transición, la cual puede ser endógena o exógena. En el procedimiento de estimación de ^{Beyaert y Camacho (2008}), se calcula endógenamente y es el enfoque que se sigue aquí. Estos autores proponen estimar la variable de transición, a partir de:

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para algún m y algún 0 < d ≤ p, donde m y d no se fijan a priori, sino que también son determinados endógenamente. De esta forma, z_i puede ser estacionaria si las economías convergen, todas ellas y para todo régimen, o para algún régimen. Esto quiere decir que la transición de un régimen a otro se relaciona con la tasa de crecimiento de la economía j en los últimos d periodos.

Aunque se puede elegir un p lo suficientemente grande para propiciar que ε_n,t sea ruido blanco para cada n, no es posible excluir la posibilidad de correlación contemporánea entre las economías de sección cruzadas del panel. Lo anterior es crucial, ya que, aunque los choques no están serialmente correlacionados, es probable que las economías convergentes se vean afectadas por ellos. Bajo estos supuestos, la matriz de los errores ε no es diagonal y es muy probable que tenga la siguiente estructura:

5

donde Ω = [σ_nm]_n,m=1,...,N y σ_nm = cov (ε_n,t , ε_m,t ) para todo t. Debido a que la estructura de matriz de Ω es desconocida, el modelo planteado en la ecuación se estima a través del método de mínimos cuadrados generalizados factibles (MCGF). En el proceso de estimación, se impone la restricción 0 < π₁ ≤ P (z_t-1 ≤ λ) ≤ 1 - π₁ , de forma que ningún régimen tiene lugar en menos de la fracción π₁ de la muestra total. ^{Beyaert y Camacho (2008}) establecen este π₁ alrededor de 0.10 y 0.15; si π₁ cae por debajo de este límite se prefiere el modelo lineal.

Una vez que el modelo de ^{Beyaert y Camacho (2008}) se ha estimado, en la ecuación (3), es necesario probar la superioridad de éste con respecto al modelo lineal de Evans y Karrans, planteado en la ecuación (2). Si el modelo no lineal es superior, el siguiente paso es probar convergencia en los coeficientes ρ de (3); si se encuentra evidencia de convergencia, se procede a determinar si ésta es absoluta o condicional por medio de los coeficientes δ.

Desde el punto de vista de la linealidad, la hipótesis nula a probar es que el modelo (2) es el apropiado en lugar del modelo alternativo, planteado en (3). El problema aquí es que bajo las pruebas estadísticas convencionales, como la razón de verosimilitud, Wald o las pruebas LM, no siguen la distribución estándar bajo la hipótesis nula, debido a que algunos parámetros, denominados λ, m y d, no están identificados bajo esta hipótesis, pero sí bajo la alternativa. Con el fin de superar este problema, ^{Beyaert y Camacho (2008}) sugieren realizar un procedimiento similar al propuesto por ^{Hansen (1999}) y ^{Caner y Hansen (2001}) en el modelo TAR uniecuacional, que consiste en obtener los valores críticos a través de simulaciones por bootstrap. El modelo empleado por ^{Beyaert y Camacho (2008}) funciona precisamente al extender esta solución al modelo TAR con datos panel. De esta forma, se busca probar la siguiente hipótesis:

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para todo n =1,...,N y para todo i=1,..., p, contra la alternativa de que no todos los coeficientes son iguales en ambos regímenes. Con tal fin, el modelo (2) se estima por mínimos cuadrados generalizados factibles (FGLS, por sus siglas en inglés), y el modelo (3), por el método "grid-FGLS".² Posteriormente, se calcula el valor de la función de verosimilitud en el punto de estimación y obtenemos L₁₂ = -2In(L₁1/ L₂ ), donde L₁ es el valor de verosimilitud del modelo lineal de un régimen, ecuación (1), y L₂ es el valor de verosimilitud del modelo de dos regímenes, expresado en la ecuación (3). De esta forma, se rechaza la hipótesis nula de linealidad si L₁₂ es relativamente grande. Los valores críticos para L₁₂ se obtienen de acuerdo con ^{Beyaert y Camacho (2008}), en su extensión de la metodología de ^{Caner y Hansen (2001}), en la cual emplean el procedimiento bootstraping en el modelo uniecuacional, para permitir la presencia de correlación contemporánea de sección cruzada de los errores descrita en la ecuación (5). En virtud de que no se conoce si las series poseen o no una raíz unitaria, se realizan dos conjuntos de simulación a través de bootstraping. Al primero de ellos se le denomina simulación "bootstrap sin restringir", y se basa en la estimación no restringida del modelo lineal, especificado en (2), mientras que el segundo es el "bootstrap restringido", el cual impone una raíz unitaria limitando ρ_n = 0 en la ecuación (2). A partir de estas simulaciones, la inferencia acerca de la linealidad se basa en el resultado más conservador, es decir, sobre el valor-p más alto del boostraping. Si se rechaza el modelo lineal, el resto del análisis se lleva a cabo sobre el modelo TAR, en la ecuación (3); en caso de que no sea posible rechazarlo, el estudio se lleva a cabo sobre la versión de bootstrap del procedimiento de Evans-Karras propuesto por ^{Beyaert (2006}).

Ahora bien, si el modelo (3) es el apropiado, el siguiente paso consiste en probar convergencia contra divergencia con la siguiente hipótesis nula:

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en la ecuación (3). Si no es posible rechazar la hipótesis planteada en (7), se concluye que hay divergencia en ambos regímenes, en tanto que las hipótesis alternativas de interés que se desprenden de (7) son:

8a

8b

8b

Cuya interpretación es la siguiente: las alternativas (8b) y (8c) implican que la convergencia tiene lugar únicamente bajo el régimen I o el II, respectivamente. En caso de que se rechace la hipótesis nula a favor de alguna de estas dos hipótesis alternativas, ^{Beyaert y Camacho (2008}) lo denominan "convergencia parcial". Se debe notar que en el cumplimiento de la hipótesis, nula o alternativa, se supone que los coeficientes ρ satisfacen la misma propiedad para todos las economías en un tiempo específico, lo cual es consistente con la idea de que las series g_n,t- del panel son todas I (0) o I (1).

Con el propósito de discriminar entre las tres hipótesis alternativas planteadas en (8), ^{Beyaert y Camacho (2008}) sugieren el empleo de varios estadísticos. Uno de ellos es una prueba de tipo Wald para probar la hipótesis alternativa H_A,2a de convergencia global. En este caso, el estadístico está dado po r

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donde t_I y t_II son estadísticos tipo t asociados con la estimación de ρ^I_n y ρ^II_n respectivamente, en el modelo (3). Si es el parámetro estimado a través de "grid-FGLS" de ρⁱ_n para cada régimen, entonces el estadístico viene dado por, para i = I,II. Valores grandes de R₂ favorecen la hipótesis de convergencia. Ahora bien, para probar la hipótesis de convergencia parcial H_A,2b se emplea el estadístico t_p, mientras que para probar la hipótesis de convergencia parcial H_A,2c se utiliza el estadístico t_II. Estas dos últimas pruebas son del lado izquierdo. Si t_I (t_II ) es pequeño y t_II (t_I) no, los datos favorecen la hipótesis de convergencia bajo el régimen I (II) y divergencia bajo los regímenes II (I). En ambos casos, los valores de probabilidad apropiados se obtienen a través de simulaciones bootstrap. Por último, para concluir el análisis, es necesario discriminar entre convergencia absoluta y condicional. En términos del modelo (3), bajo la hipótesis de que ρ^II_n < 0, ∀n y ∀i, existe convergencia absoluta si δⁱ_n = 0 ∀n y ∀i. Por el contrario, si el proceso de convergencia toma lugar en sólo uno de los regímenes, por ejemplo en el I, entonces habrá convergencia absoluta en dicho régimen si δ^I_n = 0 ∀n. Al respecto, ^{Beyaert y Camacho (2008}) mencionan la posibilidad de que en el modelo de dos regímenes ocurra que haya evidencia de convergencia global, es decir, si ρⁱ_n < 0 para todo n e i, pero δⁱ_n = 0 en sólo un régimen. En este caso, se dice que hay convergencia absoluta en un régimen y convergencia condicional en el otro. Los estadísticos propuestos por estos autores se basan en el método de estimación "grid-FGLS" del modelo (3). De manera análoga, los estadísticos propuestos para p bar estas hipótesis son extensiones del modelo TAR univariado de Evan y Karrans (1996) para el caso lineal. Los estadísticos t vienen dados por con i = I, II, y n = 1,..., N, los cuales están asociados con los valores estimados de los términos constantes y están dados por dados por:

Al respecto, ^{Beyaert y Camacho (2008}) argumentan que, debido al carácter endógeno de la variable de transición, los valores p del método bootstrap se obtienen de ajustar el modelo lineal a los datos observados. Las reglas de decisión son las siguientes:

Si se rechaza H_O,2 en favor de H_A,2A y además ocurre alguno de los siguientes tres casos:

Si Φ_a es lo suficientemente grande, entonces hay convergencia condicional en ambos regímenes.

Si Φ_b es lo suficientemente grande pero Φ_c no lo es, entonces hay evidencia de convergencia condicional en el régimen I y convergencia absoluta en el régimen II.

Si Φ_c es lo suficientemente grande y Φ_b no lo es, la convergencia condicional se encuentra presente en el régimen II y la convergencia absoluta tiene lugar en el régimen I

O bien, si H_O,2 se rechaza en favor de H_A,2b y si ocurre que:

Φ_b(c) es lo suficientemente grande, por lo que la convergencia condicional está presente en el régimen I (II).

Φ_b(c) no es lo suficientemente grande, por lo cual la convergencia absoluta ocurre en el régimen I (II).