Introducción

Una gran cantidad de fenómenos naturales ocurren cada año en México, entre los que se encuentran terremotos, huracanes, inundaciones, sequías, etc. (^{Meli et al, 2001}; ^{Medina Martínez, 1997}; ^{Lugo Hubp, 2002}; ^{García Acosta y Suárez Reynoso, 1996}; ^{García Acosta, 2001}, y ^{Lugo Hubp e Inbar, 2002}). Algunos de estos fenómenos naturales son clasificados como desastres (catástrofes) debido al efecto económico que producen en las poblaciones afectadas. Por ejemplo, según el Centro Nacional para Prevención de Desastres (Cenapred) un terremoto se clasifica como desastre si causa cien o más pérdidas de vidas humanas o pérdidas económicas significativas a nivel nacional (^{Gutiérrez Martínez et al, 2001}). A nivel mundial, de 1970 a 2001, según ^{SwissRe (2002)}, los cinco desastres naturales más caros en pérdidas para el sector asegurador fueron (en dólares de 2001): el huracán Andrew que en los Estados Unidos y Bahamas ocasionó pérdidas en daños asegurados por 20 185 millones de dólares en agosto de 1992, el terremoto de Northridge que en los Estados Unidos ocasionó pérdidas en daños asegurados por 16 720 millones de dólares el 17 de enero de 1994, el tifón Mireille que en Japón ocasionó pérdidas en daños asegurados por 7 338 millones de dólares en septiembre de 1991, la tempestad Daria que en Francia, el Reino Unido y otros países ocasionó pérdidas en daños asegurados por 6 221 millones de dólares en enero de 1990 y la tempestad Lothar que en la Europa Occidental ocasionó pérdidas en daños asegurados por 6 164 millones de dólares en diciembre de 1999.

En cuanto a pérdidas de vidas humanas las cinco catástrofes más grandes de 1970 a 2001 fueron: las tempestades e inundaciones en Bangladesh con 300 mil víctimas en noviembre de 1970, el terremoto de Tangshan (8.2 en la escala de Richter) en China con 250 mil víctimas el 28 de julio de 1976, el tifón tropical Gorky en Bangladesh con 138 mil víctimas en abril de 1991, el terremoto en Perú (7.7 en la escala de Richter) con 60 mil víctimas el 31 de mayo de 1970 y el terremoto de Gilan en Irán con 50 mil víctimas el 21 de junio de 1990. El terremoto del 19 de septiembre de 1985 en México (8.1 en la escala de Richter) ocupa el decimocuarto lugar en número de víctimas con 15 mil (^{SwissRe, 2002}).

En México, según ^{Bitrán Bitrán (2001)}, de 1980 a 1999, los principales desastres en cuanto al número de damnificados fueron: i) tipo meteorológico: el huracán Paul en 1982 con 257 mil damnificados, las inundaciones de 1982 con 285 511 damnificados y el huracán Paulina en 1997 con 202 mil damnificados; ii) tipo geológico: erupción del volcán Chichonal en 1982 con 150 mil damnificados y el terremoto del 19 de septiembre de 1985 con 150 mil damnificados.

La necesidad de contar con instrumentos financieros que le permitan al gobierno federal y/o local obtener fondos adicionales para afrontar dichos desastres, mediante la transferencia del riesgo a inversionistas, es una necesidad urgente en México.

Un bono catastrófico es equivalente a un bono ordinario pero con la peculiaridad de que el pago de los cupones o hasta el principal al inversionista es contingente a la ocurrencia del hecho catastrófico. En caso de que el evento catastrófico ocurra, el emisor del bono cuenta con los fondos derivados de no pagar a los inversionistas alguna parte o hasta el total de su inversión. Generalmente, la ocurrencia o no ocurrencia del evento catastrófico se especifica mediante cierta medida objetiva o índice relacionado con la magnitud del evento que rebase cierto umbral. Así, por ejemplo, un bono catastrófico para inundaciones provocadas por tormentas puede estar referido a la cantidad de agua descargada por la tormenta durante cierto tiempo en cierta región o un bono catastrófico para terremotos a la magnitud en escala Richter en el epicentro. Si el bono catastrófico es emitido por alguna aseguradora la ocurrencia del evento catastrófico puede estar referida a que el monto de las pérdidas entre los asegurados de la compañía rebase determinado umbral. La utilización de estas medidas objetivas o índices es necesaria para no dejar duda alguna respecto a la ocurrencia o no del evento y, por tanto, de los beneficios que deben recibir los inversionistas con el bono catastrófico. Por supuesto, estas medidas objetivas o índices deben reflejar o estar muy correlacionadas con la magnitud de la pérdida económica que ocasionaría el evento.

El primer bono catastrófico fue emitido, según ^{Cox y Pedersen (2000)}, en 1984 por la compañía Svensk Exportkredit que lo vendió a compañías de seguros que aceptaban una tasa de interés menor en intercambio de redimir sus bonos en valor nominal si un terremoto sacudía Japón. En los Estados Unidos, los primeros bonos catastróficos fueron conocidos como bonos "Act of God" y fueron utilizados para cubrir el evento de huracanes severos en Florida y emitidos por la compañía de seguros USAA. La ocurrencia del evento catastrófico se definió como un huracán que ocasionara pérdidas superiores a mil millones de dólares para USAA. Dichos bonos pagaban una tasa superior en tres puntos a la tasa LIBOR mensual en caso de no ocurrir el evento catastrófico. El primer bono catastrófico emitido por un gobierno fue el California Earthquake Authority (CEA) Bond en 1996 (^{Nowak, 1999}).

Actualmente, en los mercados de bonos catastróficos de diferentes países se emiten miles de millones de bonos para diferentes eventos, como terremotos, inundaciones y huracanes. Entre los bonos catastróficos más populares se encuentran el USAA Hurricane Bond, el California Earthquake Authority (CEA) Bond y el Winterthur Windstorm Bond. Desafortunadamente, en México no existe un mercado formal para estos instrumentos. En caso de ocurrir un desastre natural el gobierno federal hace uso del Fondo de Desastres Naturales (Fonden), cuyas reglas de operación fueron publicadas en el Diario Oficial de la Federación del 23 de mayo de 2003.

Los bonos catastróficos presentan las siguientes ventajas sobre seguros o reaseguros tradicionales que el gobierno pudiera adquirir (^{Croson y Kunreuther, 1999}): i) en el bono catastrófico no existe riesgo de crédito, es decir, la posibilidad de que el asegurador o reasegurador no pague al gobierno no existe ya que el dinero para el pago de las pérdidas fue entregado por el inversionista al comprar el bono; ii) en caso de ocurrir el evento catastrófico el gobierno cuenta inmediatemente con fondos para hacer frente al desastre y no tiene que esperar el pago por parte del asegurador y/o reasegurador; iii) el costo para el gobierno del bono puede ser inferior a la prima del seguro si existiera alguna compañía de seguros dispuesta a asegurar los daños ocasionados por el evento catastrófico; iv) el bono catastrófico no está correlacionado con el mercado financiero por lo que es útil en la diversificación de carteras de inversión, v) la emisión de estos bonos puede evitar grandes desajustes en el presupuesto del gobierno debido a la ocurrencia de eventos catastróficos que pudieran hacer necesario un incremento en los impuestos o un impuesto especial para financiar el gasto del gobierno en reparar los daños ocasionados por el evento.

En el artículo de ^{Jaffee y Russell (1997)} se presentan las ventajas de que sea el gobierno el proveedor de seguros para eventos catastróficos al señalar los problemas que las aseguradoras privadas tienen para ofrecer este tipo de seguros en los Estados Unidos. También, ^{Lewis y Murdock (1996)} presentan un esquema de seguro para eventos catastróficos en el que el gobierno federal de los Estados Unidos participa con la emisión de opciones para exceso de pérdida en estos eventos en el mercado del reaseguro.

En el presente artículo se calcula el precio de un bono catastrófico desde un enfoque actuarial. Existen otros enfoques para el cálculo de un bono catastrófico y otros tipos de instrumentos que ofrecen protección contra eventos catastróficos como opciones u otros derivados financieros. Como señala ^{Aase (2001)}, entre los enfoques que se utilizan para el cálculo del precio de estos instrumentos se encuentran el uso del principio de no arbitraje (^{Cummins y Geman, 1994} y ¹⁹⁹⁵), la utilización de la ecuación de Feynman-Kac (^{Chang, Chang y Yu, 1996}) y la bursatilización de contratos de reaseguro (^{Kielholz y Durres, 1997}, y ^{Smith, Canelo y Di Dio, 1997}). Otro enfoque empleado para el cálculo de seguros contra estos eventos es el uso de la teoría de opciones reales (^{Boulatov y Jaffee, 2003}). ^{Cox y Pedersen (2000)} utilizan un enfoque de mercados incompletos para calcular el precio de un bono catastrófico, ya que consideran que no existe ninguna cartera de acciones que sea capaz de reiterar el bono catastrófico; además, utilizan un procedimiento en dos etapas para el cálculo del bono: i) seleccionan un modelo para la estructura de tasas de interés y ii) estiman la probabilidad de ocurrencia del evento catastrófico. ^{Cox y Pedersen (2000)} consideran la independencia entre los hechos del mercado financiero que determinan la estructura de tasas de interés y el hecho que define la ocurrencia del evento catastrófico. Por tanto, las medidas de probabilidad asignadas a la estructura de tasas de interés y a la ocurrencia del evento catastrófico se consideran independientes y el precio del bono catastrófico es el valor esperado, utilizando estas dos medidas de probabilidad, de los beneficios que otorga el bono.

A diferencia de ^{Cox y Pedersen (2000)}, en este trabajo se considera que al ser el gobierno el emisor del bono catastrófico no existe necesidad de asignar una medida de probabilidad a la estructura de tasas de interés ya que la tasa de referencia que utilizamos es la que proviene de la utilizada por el gobierno para emitir deuda pública (Certificados de la Tesorería, Cetes) y que puede fijarla al momento de vender el bono para toda la vigencia de éste. Otra diferencia entre el presente trabajo y el de ^{Cox y Pedersen (2000)} es que únicamente se consideran bonos que no ofrecen el pago de cupones al final de ciertos periodos. ^{Aase (2001)} deriva el precio de futuros y opciones contra eventos catastróficos a partir de modelar el proceso del cociente de pérdidas ocasionadas por eventos catastróficos entre el total de primas cobradas como un proceso de saltos en el que el tamaño del salto está dado por el monto de las reclamaciones a las compañías aseguradoras ocasionadas por el evento catastrófico en puntos en el tiempo determinados por la ocurrencia de ese evento y considerando un mercado de futuros utilizando funciones de utilidad con agentes con aversión al riesgo. El monto de las reclamaciones ocasionadas por el evento catastrófico se modela como una cadena de Markov. A diferencia de ^{Aase (2001)}, en este artículo no se modelan las pérdidas ocasionadas por el evento catastrófico como un proceso estocástico, ya que el monto de los fondos con los que contará el gobierno para hacer frente al evento dependerá de la cantidad y precio de los bonos catastróficos que el gobierno sea capaz de vender. En este sentido, en el presente trabajo se determinan cotas al disponible que tendrá el gobierno en caso de ocurrir el evento. Tampoco se utilizan conceptos relacionados con la teoría de utilidad ya que se considera que la aversión o no aversión de un agente al riesgo, como señalan ^{Cox y Pedersen (2000), p. 77}, quedará implícita en el precio del bono catastrófico.

El presente trabajo se divide en tres secciones. En la sección I se desarrolla el cálculo actuarial del precio de emisión del bono catastrófico en el caso general de un proceso de Poisson con memoria, en el que la tasa de ocurrencia del evento catastrófico puede variar en el tiempo. En la sección II se incluye un resumen de los precios de emisión y restricciones de los diferentes tipos de bonos considerados en este trabajo además de algunas consideraciones adicionales respecto al cálculo del bono catastrófico en el caso especial de un proceso de Poisson sin memoria (homogéneo), es decir, en el que la tasa de ocurrencia del evento es constante en el tiempo (^{Cox y Miller, 1965}). La aplicación de la metodología propuesta se ejemplifica en la sección III al caso especial de un proceso de Poisson sin memoria. Por último, se presenta las conclusiones del presente trabajo.

I. Cálculo actuarial del bono catastrófico

Desde un punto de vista actuarial el precio de un bono catastrófico puede definirse como la cantidad de dinero que el inversionista debería aportar por participar en una apuesta. Dicha apuesta se basa en dos posibles resultados: i) el evento catastrófico ocurre durante la vigencia del bono o ii) no ocurre durante la vigencia del bono.

En caso de que el evento catastrófico no ocurra el inversionista se hace acreedor a ciertos beneficios, los cuales deben ser superiores a los que otorga un bono ordinario con las mismas condiciones y calculado con la tasa de referencia libre de riesgo del mercado. En caso de que el evento ocurra, el emisor del bono tendrá el derecho de adjudicarse cierta parte o el total de la inversión especificada en el contrato del bono catastrófico.

Por otra parte, si ocurre el evento catastrófico, en este trabajo se propone diferir el pago de beneficios (inferiores a los beneficios pagados en caso de que el evento no ocurra) a la fecha de la finalización del contrato del bono catastrófico o a una fecha posterior a la de la finalización del contrato, de manera que el emisor del bono pueda dividir el total del dinero recaudado por la venta de los bonos en dos fondos: i) uno destinado a crear la reserva necesaria para hacer frente al pago de los beneficios futuros para los inversionistas y ii) otro destinado para mitigar el efecto económico del evento catastrófico inmediatamente después de la ocurrencia de éste.

De esta manera la apuesta resulta atractiva tanto al inversionista como al emisor, ya que el inversionista puede obtener, con una alta probabilidad, puesto que los eventos catastróficos ocurren con una frecuencia muy baja, rendimientos superiores a los ofrecidos por la tasa libre de riesgo, mientras que el emisor obtiene un seguro contra el evento catastrófico a un precio que puede ser inferior al que le ofrecería una compañía de seguros, suponiendo que existiera una dispuesta a ofrecerle este seguro.

Para obtener el precio de esta apuesta se emplea un enfoque actuarial en el que se supone que en promedio el valor presente de los beneficios y pérdidas del emisor del bono deben ser iguales, es decir, en el largo plazo, al vender el bono catastrófico una gran cantidad de periodos, los beneficios acumulados y pérdidas acumuladas del emisor deben ser iguales, en promedio. Para el cálculo del bono se definen las siguientes variables y notación:

A continuación se desarrolla el cálculo actuarial del precio de emisión del bono catastrófico en las siguientes dos situaciones: i) periodo de diferimiento con duración fija (S): en caso de ocurrir el evento los beneficios al inversionista se pagan S años después del momento de la ocurrencia del evento (en T + S), y ii) duración del periodo de diferimiento aleatorio: en caso de ocurrir el evento los beneficios al inversionista se pagan al final de la vigencia del bono (en R). En ambos casos, al no ocurrir el evento catastrófico los beneficios al inversionista se pagan al final de la vigencia del bono.

II. Resumen de los tipos de bonos catastróficos considerados para el caso de un proceso de Poisson sin memoria

Como puede deducirse de la sección anterior, el precio de emisión de un bono catastrófico es una función de T, el tiempo de espera aleatorio para la ocurrencia del evento catastrófico a partir del inicio de la vigencia del bono, R, la duración de la vigencia del contrato del bono, S, el periodo de diferimiento para el pago de beneficios al inversionista en caso de ocurrencia del evento, γ_E, la porción del valor nominal del bono que el emisor (gobierno) retiene para mitigar los efectos del evento, δ_E0 y δ_E1, las fuerzas de interés anual que se pagan al inversionista en caso de que el evento ocurra (δ_E0 es la fuerza de interés vigente del inicio de la vigencia del bono al momento de la ocurrencia del evento, es decir, en el intervalo [0, T] con T ≤ R y, δ_E1, es la fuerza de interés vigente del momento de la ocurrencia del evento al final de la vigencia del contrato del bono catastrófico, es decir, en el intervalo [T, R] o [T, T S] con T ≤ R), δ_NE, la fuerza de interés anual que se paga al inversionista del inicio de la vigencia del contrato del bono hasta el final de éste, es decir, en el intervalo [0, R], en caso de que el evento no ocurra, de δ_Cetes, la fuerza de interés anual de Cetes y del valor nominal del bono N₀. Es decir,

A continuación se detalla los diferentes tipos de bonos considerados en este trabajo y las restricciones en las variables S, γ_E, δ_E0, δ_E1, δ_NE, δ_Cetes y N₀ para cada uno de ellos dada la siguiente clasificación:

III. Ejemplos numéricos

En el Cuadro 1 se presenta los valores numéricos del precio de emisión del bono catastrófico, P₀, y de las cotas del disponible para el emisor (gobierno) en caso de que el evento ocurra durante la vigencia del bono, αP₀ y ωP₀. En el cuadro se utiliza el valor de λ = 0.05, es decir, en promedio el evento ocurre 5 veces cada 100 años, R = 1, es decir, una duración de la vigencia del bono de un año y, una tasa de interés efectiva anual de Cetes igual a 5% de manera que δ_Cetes = ln(1.05) = 0.048790. El valor nominal del bono se fija en 100 pesos. En cuanto a la porción del valor nominal que se retiene al inversionista, en caso de que el evento ocurra durante la vigencia del bono, γ_E, se utilizan los valores de 0, 0.1, 0.25, 0.50, 0.75 y 0.90. Los valores de α y ω utilizados son los puntos medios entre sus cotas inferiores y superiores.

^a Con P₀ = 95.94, N₀ =100 y α y ω seleccionadas como el promedio de sus cotas inferiores y superiores. La tasa i *_NE la tasa de interés efectiva anual en caso de no ocurrir el evento catastrófico, B_R/2 en S + (R/2) representa el beneficio del inversionista en S + (R/2) en caso de que el evento ocurra a la mitad de la vigencia del bono y B_NE representa el beneficio al final de la vigencia del bono en caso de no ocurrir el evento. A representa la diferencia entre el valor presente, al inicio del bono, del beneficio al inversionista en caso de no ocurrir el evento B_NE y el precio de emisión del bono, P₀

Cuadro 1 Ejemplos numéricos de los distintos tipos de bonos catastróficos (1a, 1b y 2)^a 

Como resultados en el Cuadro 1 se presenta B_R/2 en S + (R/2) que representa el valor al tiempo S + (R/2) del beneficio que recibe el inversionista en caso de ocurrir el evento catastrófico después de R/2 años de la emisión del bono (a la mitad de la vigencia del bono). Este beneficio se calcula al tiempo S + (R/2) para poder hacer comparables los beneficios de los bonos tipos 1b y 2 con los del bono tipo 1a: para el bono tipo 1b, que paga beneficios al inversionista en caso de ocurrir el evento catastrófico al momento de su ocurrencia, este beneficio se lleva S años hacia adelante considerando la misma tasa de Cetes utilizada en el cálculo de emisión del bono. Similarmente, para el bono tipo 2, en el cual el pago del beneficio por ocurrencia del evento se hace al final de la vigencia del bono, este beneficio se lleva S - (R/2) años hacia adelante con la misma tasa de Cetes con la cual se calculó el precio de emisión del bono para hacerlo comparable con el beneficio en caso de ocurrencia del evento del bono tipo 1a en el cual el beneficio se paga S + (R/2) años después de la emisión del bono. Se fijó el valor del precio de emisión del bono en

de manera que el valor de P₀ es la cantidad que tendría que aportar el inversionista a tasa de interés de Cetes para que al final de R años (la vigencia del bono catastrófico) recibiera N₀= 100. Con la tasa de interés de Cetes de 5% utilizada P₀= 95.24 para los bonos tipo 1a, 1b, 2 y 3 y, por tanto, P₀< N₀.

También se incluye el valor de B_NE, el beneficio al final de la vigencia del bono que recibe el inversionista si no ocurre el evento catastrófico, e i*_NE, la tasa de interés efectiva anual que recibe el inversionista sobre su inversión inicial, P₀, en caso de no ocurrir el evento

en la que

Respecto al beneficio del emisor (gobierno) en caso de ocurrir el evento catastrófico se incluyen los valores de las cotas al disponible, D_T, siendo la cota inferior αP₀ y la cota superior ωP₀. En el Cuadro 1 se nota que en los casos de los bonos 1a-1, 1b-1 y 2-1, en los que, por ejemplo, 1b-1 representa el primer caso del bono tipo 1b, los valores de las cotas inferior y superior al disponible son negativas ya que no se satisface la restricción P₀ ≥ N₀ (1 - γ_E). Para los bonos tipo 1 y 2 los valores de la cota inferior al disponible, αP₀, son iguales ya que los valores de R y S son iguales (R = S = 1).

En caso de ocurrir el evento catastrófico el bono que ofrece el mejor beneficio al inversionista, para cualquiera de los distintos valores de γ_E considerados, es el bono tipo 2, seguido del tipo 1b, tipo 1a y al final el tipo 3 como se esperaba, ya que en el bono tipo 1b el inversionista recibe su beneficio al momento de la ocurrencia del evento catastrófico, y suponiendo que lo puede reinvertir a la misma tasa de Cetes con la que se calculó el precio de emisión del bono o superior, obtendrá intereses mayores a los del inversionista en el bono tipo 2 al cual se le retiene su inversión hasta el final de la vigencia del bono obteniendo una fuerza de interés anual, del momento de la ocurrencia del evento hasta el momento del pago del beneficio, igual a δ_E1 < δ_Cetes. Similarmente, para el inversionista en el bono tipo 1a, si S ≥ R, en caso de ocurrir el evento, el inversionista obtendrá una tasa inferior a Cetes (δ_E1 < δ_Cetes) durante un periodo más largo que en el bono tipo 2. Finalmente, en el bono tipo 3 el inversionista pierde toda su inversión. Es obvio que el valor del beneficio al inversionista disminuye, en todos los tipos de bonos, conforme aumenta el valor de γ_E. Respecto al emisor, la cota inferior al disponible, αP₀, más grande, para cualquier valor de γ_E, se obtiene para el bono tipo 3, seguido de los bonos tipo 1a y 2 y, en el último lugar, el 1b. La misma pauta se observa para la cota superior al disponible, ωP₀.

En caso de no ocurrir el evento catastrófico: el bono que ofrece el mejor beneficio, para distintos valores de γ_E, es el tipo 3, seguido del tipo 1a, el tipo 2 y, finalmente, el tipo 1b. Esta pauta es de esperarse ya que en el bono tipo 3 el inversionista corre el mayor riesgo (perder toda su inversión) seguido del tipo 1a en el que el riesgo del inversionista consiste en el diferimiento del pago y del bono tipo 2, en el que el diferimiento de pago es menor que en el tipo 1a y, por último, en el 1b, en el que el pago se hace inmediatamente al momento de la ocurrencia del evento catastrófico.

Lo más importante es que, a excepción de los casos 1a-1, 1b-1 y 2-1, el inversionista siempre recibe tasas efectivas anuales, i*_NE, mayores a la tasa de Cetes, i_Cetes, y como es de esperarse i*_NE aumenta conforme aumenta γ_E hasta el límite que es el bono tipo 3 el que obtiene el máximo valor de i*_NE = 10.3835% que es superior a la tasa Cetes en 5.3835% y que puede ser muy atractiva para un inversionista aun sabiendo que, en caso de ocurrir el evento catastrófico, perderá toda su inversión inicial, P₀.

La cantidad A=BNEe-δCetesR−P0 representa el valor de la cantidad que el emisor del bono debe aportar al momento de su emisión para que, a tasa de Cetes, logre tener, al final de la vigencia del bono, la cantidad de dinero suficiente para pagar el beneficio B_NE al inversionista. Si al emisor del bono se le ofrece un seguro con suma asegurada igual a αP₀, cuya prima se representa por PS, entonces el bono catastrófico será más barato que el seguro para el emisor si E(A) < Prima, en el que E(A) representa el valor esperado de A. En la última columna del Cuadro 1 se incluye el valor de A para los bonos para los cuales αP₀ > 0.

Conclusiones

Se presenta el cálculo actuarial de bonos catastróficos para desastres naturales en México. Los bonos catastróficos propuestos en este trabajo tienen la peculiaridad, a diferencia de otros bonos catastróficos actualmente ofrecidos en el mercado, de que el inversionista puede recibir beneficios a pesar de que el evento catastrófico ocurra. Las relaciones entre las distintas variables que determinan el precio de emisión del bono permiten garantizar un valor mínimo y máximo para el disponible del emisor en caso de que ocurra el evento y una tasa atractiva, que se puede ajustar de acuerdo con el grado de riesgo que el inversionista quiera asumir, en caso de que el evento no ocurra.