1. INTRODUCCIÓN

El Instituto Tecnológico de Costa Rica (ITCR) es una institución de educación superior pública, que ha aplicado la prueba de aptitud académica (PAA) desde su apertura en 1973 para seleccionar a los candidatos. Esta prueba está conformada por dos componentes: matemático y verbal, cuyos ítems se han enfocado en la medición de las habilidades de razonamiento en ambas áreas.

En el 2009 se realizó una investigación descriptiva con la finalidad de identificar esas habilidades verbales y matemáticas y ajustar la tabla de especificaciones de la PAA al perfil de entrada de los estudiantes y a las nuevas demandas cognoscitivas de las carreras para garantizar una muestra representativa de estas habilidades (^{Moreira-Mora, 2010}). No obstante, el proceso de validación involucra la acumulación de evidencia relevante para proveer una amplia base científica para la interpretación de las puntuaciones de acuerdo

con los propósitos de su uso. De ahí surgió la necesidad de obtener nuevas evidencias relacionadas con las estrategias de razonamiento usadas por los examinados en la resolución de problemas matemáticos.

Román y Carbonero (2002, citados por ^{Carbonero y Coromoto, 2006}), plantean que la deficiente utilización de estrategias cognitivas y metacognitivas es una de las causas de los fracasos de los alumnos y por lo tanto se requiere contemplar en la instrucción matemática, el desarrollo de heurísticos o estrategias para analizar o resolver conflictos, razonamiento inductivo e intuitivo, y la comprobación de hipótesis (p. 349). La identificación de estas estrategias cognitivas permite obtener evidencias asociadas a los procesos de respuesta.

Según ^{Padilla y Benitez (2014)}, la mayoría de los estudios de validación se han enfocado en las evidencias asociadas al contenido y al constructo; no obstante, los estudios basados en los procesos de respuesta de los participantes fueron estudiados solo en 1,8% de los artículos analizados. Según estos autores, la mayoría de estos estudios han sido en el área de salud y, en general, buscan identificar los elementos de los ítems que pueden causar desajustes entre los procesos de respuesta y las especificaciones delineadas en la prueba.

A pesar de la relevancia de las estrategias cognitivas en la resolución de pruebas estandarizadas de ingreso a las universidades costarricenses como la Universidad de Costa Rica (UCR), Universidad Nacional (UNA) y el ITCR, en el país no se han llevado a cabo estudios que permitan identificar las estrategias ejecutadas por los estudiantes al resolver estos ítems. Únicamente se ha realizado un estudio relacionado con las habilidades verbales de la prueba de aptitud académica de la UCR y la UNA (^{Brizuela, Jiménez, Pérez y Rojas, 2016}); por lo tanto, el objetivo del presente estudio fue analizar las estrategias cognitivas ejecutadas por los estudiantes para la resolución de ítems de matemática de la PAA del ITCR.

2. ANTECEDENTES

A partir del estudio de ^{Valle, Juárez y Guzmán (2007)} con estudiantes de la Olimpiada Mexicana de Matemática, se identificaron dificultades para compren-der los problemas planteados, así como un mejor desempeño en la definición de estrategias de solución entre quienes habían recibido entrenamiento previo. Para el análisis de los datos recurrieron a descripción verbal de las estrategias, al cálculo de la frecuencia de uso de ellas y de la incidencia en las distintas áreas de la matemática a la que pertenecían los problemas.

^{Vergel, Duarte y Martínez (2015)} desarrollaron una investigación que consistió en correlacionar la planificación de estrategias para la enseñanza de las matemáticas con el desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes de cálculo integral de universidades de Santander; concluyeron que las actividades del docente para mejorar la comprensión de los temas de mayor dificultad, está relacionada con el nivel de desarrollo de pensamiento. Al respecto ^{Marugán, Martín, Catalina y Román (2012)}, señalan que la elaboración de una estrategia cognitiva facilita una mejor comprensión, retención y recuperación informativa, de tal forma que a mayor elaboración mayor codificación y recuperación de la información.

En otro estudio con estudiantes mexicanos que inician carreras universitarias y otros que están concluyendo su formación se encontró que el desempeño cognitivo mejora cuando: el estudiante se enfrenta a problemas que le son familiares, cuando hay conexión entre la capacidad del estudiante para representar gráficamente una situación mediante dibujos, diagramas, gráficas o esquemas lo que a su vez constituye un mecanismo de autocontrol del propio razonamiento (^{Waldegg y Agüero, 1999}).

3. MARCO TEÓRICO

3.MÉTODO

En función del objetivo de esta investigación se optó por un diseño descriptivo y transversal, la técnica de la entrevista cognitiva y un protocolo para la recolección de los reportes verbales y las respuestas sobre las tareas cognitivas.

La técnica se basa en entrevistas uno a uno realizadas con apoyo de un cuestionario guía (^{Jobe, 2003}); que permite al entrevistado revelar los motivos de sus respuestas, la elaboración de ellas, las dificultades en la comprensión de las preguntas y las tareas de recuperación de información, entre otras (^{Briceño, Álvarez, Barco, Álvarez, Delgado y Zúñiga, 2016, p. 191}). Al respecto ^{Smith y Molina (2011)} señalan que al entrevistado se le piden dos cosas básicas: decir en voz alta todo lo que está pensando mientras completa el cuestionario (autorreporte verbal) y contestar una serie de preguntas (pruebas cognitivas de reporte verbal). Como resalta ^{Hernández (2002)}, el pensamiento en voz alta permite al investigador hacer patentes comportamientos representativos de los procesos complejos que se dan en la solución de problemas y, además, ofrece una idea de la estructura y la forma en que trabaja la mente.

En cuanto a la construcción del protocolo fue necesario la revisión de litera-tura y un riguroso proceso de validación como se describe en las siguientes etapas del procedimiento metodológico.

5. RESULTADOS

La estrategia de análisis de esta investigación se fundamentó en la triangulación de la información obtenida en diferentes fuentes: los reportes verbales de la entre-vista cognitiva, las soluciones escritas de los estudiantes en los folletos de examen, las observaciones del equipo de investigadores y las evaluaciones de los jueces. Como lo destacan ^{Okuda y Gómez-Restrepo (2005)}, la triangulación ofrece la alternativa de poder visualizar un problema desde diferentes ángulos, le confiere a un estudio rigor, profundidad, complejidad y permite dar grados variables de consistencia a los hallazgos.

En función del objetivo de esta investigación se describen de manera individual cada una de las categorías de razonamiento matemático, según las etapas del modelo teórico de Polya, para destacar las particularidades y similitudes en las estrategias ejecutadas por los participantes en los diferentes ítems.

En la categoría de razonamiento deductivo se incluyeron dos ítems, uno basado en un silogismo y el otro en un algoritmo, de los que debían deducir una conclusión que con certeza fuera verdadera. Estos ítems se aplicaron a un total de 12 estudiantes, quienes durante el reporte verbal y las preguntas abiertas (pruebas cognitivas) expresaron sus estrategias de razonamiento.

Como se muestra en la tabla 3, las tres tareas de la etapa de comprensión fue-ron ejecutadas por la mayoría de los participantes. Por ejemplo, al consultarles si relacionó la pregunta con ejercicios resueltos, uno manifestó:

En general, se observó que algunos participantes necesitaron volver a leer el ítem para comprenderlo.

En la etapa siguiente relacionada con la elaboración del plan, solo ejecuta-ron dos tareas; en tanto que la representación de la información de manera diferente fue ejecutada solo por dos participantes. Una posible explicación es que el ítem de silogismo es difícil representarlo de otra manera y el segundo estaba organizado en forma gráfica. Además, como lo indica uno de los jueces:

J1: “Es después de leer la pregunta que se le ocurre utilizar las respuestas para descartar y llegar a la respuesta. El ensayo y error fue parte de lo que definió su estrategia”.

En general, la elaboración del plan se centra en relacionar la información clave con algún procedimiento conocido y definir una estrategia rápida, que no necesariamente aparece de forma inmediata.

En la ejecución del plan, las tres tareas fueron ejecutadas por todos, lo que demuestra que son relevantes para la deducción de nuevas proposiciones verdaderas y el uso de conectores lógicos.

Finalmente, en la verificación resalta que solo un estudiante utilizó otra estrategia para comprobar la respuesta; a pesar de ser una tarea muy pertinente para confirmar que la respuesta sea la correcta. En tanto que las tareas más frecuentes fueron volver a leer el enunciado y descartar opciones, como bien lo expresa uno de los participantes:

En suma, los participantes no realizan todas las tareas de verificación, probable-mente, por el poco tiempo disponible para resolverlo. Además, el hecho de que los ítems son de selección única y al encontrar entre las opciones la respuesta obtenida asumen que está correcta; por lo que no verifican el procedimiento.

Desde el punto de vista de los jueces, la tarea 4 de la etapa de verificación no fue relevante en el trabajo realizado por los participantes y con un nivel bajo de relevancia las tareas 3 de concebir el plan, 1 y 2 de verificación.

En la categoría de razonamiento inductivo se incluyeron dos ítems, en los cuales debían identificar un patrón para generar nuevos términos de una secuencia. Las tareas ejecutadas por los 12 participantes se resumen en la tabla 4.

Tal como se observa en la tabla 4, todos ejecutaron las 4 tareas de comprensión. En la etapa de concebir el plan, el relacionar información clave con algún procedimiento conocido y definir una estrategia de solución fueron las tareas más frecuentes y la menos frecuente fue representar la información de otra manera porque no era necesario. En ambos se requería identificar un patrón, en uno de ellos se debía encontrar un término desconocido y trabajar con él para luego responder, mientras que en el otro, lo que debían seleccionar era un término de la sucesión.

En la etapa de ejecutar el plan dos tareas son las más frecuentes, en especial, la tarea 2 que fue utilizada por todos. Ninguno de los ítems seleccionados para esta categoría requería encontrar una fórmula general.

En la última etapa, las tres primeras tareas fueron las más utilizadas, al igual que en la categoría de razonamiento deductivo. En uno de los ítems descartar opciones fue una tarea ejecutada por todos, mientras que en el otro no era necesario. Por ejemplo un participante indica:

E14: ...Lo que se puede hacer es verificar si en todos los datos de la sucesión coincide el mismo patrón …

Los jueces no consideraron relevante la tarea 3 de la etapa de ejecución y clasificaron en un nivel bajo las tareas 3 de concebir el plan y 4 y 5 de verificación.

En la categoría de resolución de problemas se trabajó con tres ítems en los cuales era necesario realizar algunas operaciones aritméticas y cuya solución podría encontrarse por diferentes caminos. Por ejemplo, podía ser útil el uso de ecuaciones de primer grado con una incógnita, el apoyo con diagramas o el análisis de casos particulares para deducir la solución general. Estos ítems fueron realizados por un total de 18 participantes, cuyas tareas ejecutadas se resumen en la tabla 5.

Como se puede observar, todos ejecutaron la tarea 1 de comprensión. Las tareas 2, 3 y 4 fueron realizadas por la mayoría, pero solamente 7 optaron por un planteamiento alternativo del problema. El 72% de ellos consideró que anterior-mente había realizado algún ítem similar, por ejemplo:

E14: Para unas más complejas ya tenía un procedimiento que había aprendido, es uno muy sencillo, usted empieza a dibujar cajitas, entonces al final usted suma resta los residuos y lo divide entre las cajitas, eso ayuda mucho.

Las tres tareas de la etapa concebir un plan fueron realizadas por la mayoría. A diferencia de los ítems de razonamiento deductivo e inductivo, en la resolución de problemas sí recurrieron a otras formas de representar la información. Por ejemplo, el uso del lenguaje algebraico, como lo comenta uno de ellos:

E16: Yo lo leí y ya sabía que R iba a ser una suma de varios números, entonces si yo ponía todos esos números en relación al primero podía obtenerlo a partir de una fórmula.

En la etapa de ejecución la tarea más realizada fue resolver operaciones aritméticas o ecuaciones. En tanto que, no más de la mitad de ellos realizó alguna representación gráfica o simplificó una expresión. Entre 56% y 92% realizó las otras tres tareas. Uno de los participantes muestra cómo recurrió a trabajo aritmético y algebraico:

E5: Lo que hice fue empezar con el dato que me daban y fui restando, sumando y dividiendo o multiplicando. Me dio una respuesta que no estaba entre las opciones, entonces me fui por otro método que es plantearlo con una variable.

Sobre las tareas de resolución de problemas, los jueces consideraron relevantes todas las tareas, pero con un nivel bajo la 3 de concebir el plan, la 6 de ejecución y la 4 y 5 de verificación.

La característica particular de la categoría de razonamiento con figuras es la habilidad de percibir formas y transformarlas mentalmente. En el primero de los ítems utilizados los participantes debían identificar el porcentaje sombreado de una figura, en el segundo reconocer un patrón a partir de una secuencia de figuras para generar un nuevo elemento y en el tercero comparar el área de dos figuras descritas en el enunciado. En la tabla 6 se muestran los datos de las tareas ejecutadas en esta categoría de razonamiento.

En la etapa de comprensión las tareas más relevantes fueron las dos prime-ras, enfocadas en la identificación de información y conceptos claves. Algunas no eran necesarias para esta muestra de ítems, tales como las tareas 6, 7 y 8; aunque sí para otros tipos de ítems de este razonamiento.

En la siguiente etapa, la tarea que fue ejecutada por los 18 participantes fue la elaboración de una estrategia, las tareas 4 y 5 resultaron irrelevantes, pues no fueron ejecutadas por la mayoría de los participantes en alguno de los tres ítems, a diferencia de la 2 y 3 que sí fueron ejecutadas por quienes resolvieron el tercer ítem. En lo que respecta a la tarea 6 no se puede afirmar que sea irrelevante, puesto que ningún ítem contenía una figura tridimensional. En este sentido uno de los jueces manifiesta:

J8: El estudiante no confeccionó ninguna figura de referencia, entonces muchas de las tareas dadas no las realizó, pero a mi criterio esto no significa que las tareas no sean relevantes.

De las 5 tareas de ejecución del plan, la más importante fue la realización de la estrategia definida inicialmente y, a pesar de que algunas tareas presentan baja frecuencia, sí son relevantes para la resolución de los ítems. La aplicación de propiedades de simetrías resultó irrelevante para la muestra de ítems.

En la etapa final de verificación, las 3 primeras tareas fueron las más utilizadas para la comprobación de la estrategia, los pasos y revisión del enunciado, como lo expresa un participante:

E4. Asegurándome de que los datos que puse inicialmente fueran los correctos, que me daban en el ejercicio. ¡Eh!, comprobé la multiplicación, era una multiplicación bastante sencilla…

Desde el punto de vista de los jueces, fueron relevantes las dos primeras tareas de la etapa de comprensión, la primera de concebir el plan y de ejecución y las tres primeras de verificación.

En los ítems de razonamiento probabilístico resultaba importante que los estudiantes identificaran el carácter aleatorio de las situaciones planteadas. En dos de los ítems era necesario calcular probabilidades mediante la definición clásica y en el otro debían identificar los casos probables y determinar cuáles eventos tenían mayor probabilidad de ocurrir.

Como se muestra en la tabla 7, todas las tareas de la etapa de comprensión fueron ejecutadas por al menos la mitad de los participantes. En uno de los ítems representar la información de una manera alternativa no resultó importante, probablemente porque ya se les presentaba en una tabla. Una dificultad presentada estuvo relacionada con la comprensión de que el evento era aleatorio y no podía seguir una secuencia. Esto lo resalta uno de los jueces:

J9: El estudiante había escogido la respuesta correcta desde el inicio. Sin embargo, luego, comienza a analizar los datos obtenidos como un patrón.

En la etapa de concebir el plan, los entrevistados definieron una estrategia toman-do en cuenta conceptos de probabilidad, conteo o conjuntos. Las tareas relacionadas con representación de información mediante diagramas, tablas o listas no fueron utilizadas por la mayoría. Es importante señalar que dos fallaron un mismo ítem para el que no ejecutaron la mayoría de las tareas, como indica un juez:

J2: Los estudiantes que fallaron en plantear la estrategia fallaron en la respuesta correcta.

En la etapa de ejecutar el plan solamente las tareas 1 y 4 fueron realizadas por la mayoría. Las tareas 2 y 5 resultaron relevantes solo para uno de los ítems.

En la etapa de verificación llama la atención que ningún participante intentó una segunda estrategia de solución para comprobar la respuesta. Solo 3 de ellos descartaron opciones. Las restantes tareas sí fueron realizadas por la mayo-ría, como lo expresa uno de ellos:

E3: Devolviéndome a leer el problema para ver que todos los datos los había apuntado bien, que había hecho la suma del total, que había visto cuántos eran los hombres de pelo negro, para tener los casos favorables y los casos posibles bien y ver que había hecho la división bien.

En la etapa de comprensión los jueces consideraron relevantes todas, excepto la 4. En las etapas de concebir el plan y de ejecutarlo indicaron que son relevantes las tareas 1 y 4, en la fase de verificación consideraron relevantes la 2 y la 3.

6. CONCLUSIONES

En relación con la etapa de la descripción conceptual se encontró una diversidad de definiciones en la literatura, de manera que, se asumieron aquellas más apropiadas a la medición de las habilidades de razonamiento inductivo, deductivo, resolución de problemas, probabilístico y de figuras en una prueba estandarizada de aptitud académica. Para algunos autores estas categorías están incluidas en un concepto más amplio como el de resolución de problemas. No obstante, esta clasificación permitió identificar diferencias en la ejecución de las tareas según las categorías de razonamiento.

En cuanto a los hallazgos de la entrevista cognitiva se destaca que es la estrategia más apropiada para obtener evidencias de los procesos de respuesta y comprender la ejecución de las tareas desde el punto de vista de los entrevistados. Como lo destacan ^{Briceño et al. (2016)} esta técnica permite determinar los procesos cognitivos encubiertos y manifiestos que el entrevistado utiliza para responder. Para lograr este propósito fue necesario garantizar la calidad del protocolo de la entrevista, ya que, esto permitió evaluar la relevancia, la suficiencia y la representatividad de las preguntas y las tareas cognitivas descritas en cada una de las categorías del razonamiento matemático de una manera objetiva y más precisa. También fue acertado el criterio de selección de los participantes, lo que favoreció su desempeño en la entrevista.

De los principales resultados se tiene que la tarea más relevante ejecutada en la etapa de comprensión fue la identificación de la información clave que se utilizó en todas las categorías de razonamiento. También recordar conceptos matemáticos, fórmulas y procedimientos fue relevante para los ítems: inductivo, probabilístico, con figuras y resolución de problemas. Al respecto, ^{Hernández (2002, p. 143}) señala que en la primera lectura la mayoría de los estudiantes identifican lo que se pregunta en el problema, luego los datos que les provee para entenderla y tratan de relacionarla con algo visto anteriormente o con el cono-cimiento que tienen. Por otra parte, hay tareas muy específicas como fue el caso de identificar patrones para inductivo.

En la etapa de concebir el plan, señalar una estrategia para resolver el problema fue utilizada en todas las categorías. En el caso de tareas específicas relevantes, se encontró en razonamiento inductivo y deductivo relacionar la información con un procedimiento conocido; en probabilístico usar técnicas de conteo, definición y propiedades de la probabilidad y operaciones con conjuntos; en resolución de problemas plantear una operación o una ecuación y en razonamiento con figuras ordenar y variar la figura. Al respecto, ^{Iriarte et al. (2010)} indican que el procedimiento para la resolución de un problema empieza con tratar de comprender qué debe hacerse, segundo entender la información que se tiene para buscar la solución y tercero buscar estrategias adecuadas para llegar con esta información a la solución.

En la etapa de ejecución se encontró que la estrategia de solución inicial se implementó en todas las categorías de razonamiento. Además, de las siguientes tareas específicas: realizar operaciones aritméticas o una ecuación en resolución de problemas; visualizar la figura de otra manera; calcular probabilidades, identificar patrones y relacionar premisas.

En todas las categorías de razonamiento se incluyeron las mismas tareas de verificación, de las cuales las más relevantes fueron comprobar la estrategia seleccionada, los pasos ejecutados y releer el enunciado. Solamente en razona-miento deductivo 92% de los participantes descartaron opciones para encontrar la respuesta. En esta etapa la evaluación tiene dos propósitos: una justificar los resultados conseguidos; otra confirmar los objetivos alcanzados (Iriarte, 2002).

En definitiva, estos resultados pueden contribuir a la labor docente para desarrollar habilidades de razonamiento matemático, ya que brinda información específica sobre la ruta de resolución utilizada por estudiantes de alto desempeño, de manera que se trascienda el enfoque mecánico en la enseñanza de la matemática, como lo afirman ^{Pérez y Ramírez (2008)}.