1. INTRODUCCIÓN

Las matemáticas de la educación superior han generado un campo fértil de investigación, en el que se ha evidenciado el interés por parte de algunos investigadores como ^{Sierpinska (1987)}, ^{Tall (1991)}, ^{Dreyfus (1991)}, ^{Artigue (1995)} en profundizar en el estudio de fenómenos asociados a la enseñanza y el aprendizaje del cálculo diferencial e integral.

En particular, la enseñanza del cálculo diferencial y, en especial, el concepto de límite se ha constituido uno de los mayores desafíos de la educación matemática. Al respecto, ^{Blázquez y Ortega (2000)} afirman que “para los estudiantes éste es un concepto árido, poco atractivo, demasiado abstracto, que olvidan totalmente con demasiada facilidad y, en suma, es uno de los más difíciles de enseñar y aprender” (p. 331).

Autores como ^{Cornu (1991)}, ^{Tall (1992)}, ^{Hitt (2003)}, ^{Vracken et al. (2006)}, entre otros, han reflexionado sobre el aprendizaje y enseñanza del cálculo y exponen que existen dificultades de aprendizaje en torno al concepto de límite

que impiden de manera natural la comprensión del mismo. Entre estas dificultades, se pueden destacar: las generadas por el lenguaje y el uso de términos como “límite”, “tender” o “aproximarse”, los cuales tienen un significado ordinario que distorsiona el concepto matemático formal; el deseo de reducir el límite a una operación algebraica; la identificación de una cantidad que se hace cada vez más pequeña, un infinitésimo, y si es una cantidad que se hace arbitraria-mente grande sugiere la idea del infinito; dificultades relacionadas con si el límite es un valor que se alcanza o no, y la confusión sobre el paso de lo finito a lo infinito.

Así mismo, ^{Cornu (1991)} menciona que una de las grandes dificultades al aprender el concepto de límite no emana solo de su complejidad o de su riqueza,

… sino en entender que todos los aspectos cognitivos del concepto de límite resultarán muy difíciles de aprender a partir de su definición matemática, una de las múltiples facetas del concepto de límite es la idea de aproximación. Muchas veces la idea de aproximación es el primer encuentro que los estudiantes tienen del concepto de límite a través de la noción dinámica de límite. (p. 153)

Por su parte, ^{Cornu (1991)}, ^{Hitt (2003}) y ^{Kidron (2014)} enfatizan que el aprendizaje del concepto de límite es fundamental para la construcción adecuada de los conceptos del cálculo, a su vez que requiere de un conocimiento sobre los procesos infinitos. Además, ^{Hitt (2003)} menciona que si la enseñanza del cálculo se restringe a sus aspectos algebraicos sin poner atención al uso de representaciones diferentes a las algebraicas, difícilmente los alumnos llegarán a una comprensión profunda del cálculo. Del mismo modo resalta el desarrollo de las habilidades que están ligadas a la visualización matemática ya que podrán impulsar a los alumnos a un nivel más profundo de los conceptos fundamentales del cálculo.

En ese sentido, para lograr la comprensión de conceptos matemáticos ^{Blázquez (1999)} plantea la necesidad de recurrir a los diferentes tipos de representación (en el sentido de ^{Duval, 2006}), porque según este autor todo concepto está asociado a ciertas imágenes visuales, ciertos vínculos con otros conceptos y con el lenguaje habitual, diferentes propiedades en diferentes contextos, que pueden parecer intrínsecas al propio concepto y se pueden expresar utilizando distintos sistemas de representación. Además, todo forma parte de una imagen conceptual, que no siempre es coherente con la definición del concepto. Es por lo que, para ^{Tall y Vinner (1981)}, comprender un concepto no se centra en entender su definición, sino crear una imagen conceptual rica y coherente.

Las diferentes dificultades han generado que, desde la didáctica de la matemática, surjan investigaciones que busquen indagar sobre los problemas en el aprendizaje en torno al concepto de límite de una función. Entre las investigaciones, resaltan las que usan la noción de aproximación y tendencia para la coordinación de los procesos vinculados a la comprensión del límite de una función (^{Blázquez y Ortega, 2002}; ^{Blázquez et al., 2006}; ^{Valls et al., 2011}). Por su parte, ^{Kidron (2010)} y ^{Fernández (2010)} en sus investigaciones han utilizado los diferentes tipos de representación para analizar el desarrollo de la comprensión del límite de una función. También encontramos estudios que analizan cuáles son esas concepciones, intuiciones y definiciones utilizadas en el aula de clase (^{Przenioslo, 2004}; ^{Gücler, 2013}; ^{González et al., 2021}). Y otras que muestran cómo el uso de herramientas tecnológicas potencializa la visualización matemática y da un panorama dinámico de lo que se esconde detrás de la definición formal del concepto de límite de una función (^{Rangel et al., 2014}; ^{Betancur et al., 2015}).

En particular, en esta investigación se aprovechan algunas de las ideas mencionadas, con el fin de diseñar, implementar y evaluar una secuencia de actividades (organizada para su implementación en seis talleres) que permita caracterizar los niveles de comprensión del concepto de límite de una función en un punto, en estudiantes que participan de un curso de cálculo diferencial en el que se exploran las nociones de aproximación y tendencia. En este artículo se exhibe una síntesis de los resultados generales de la investigación, mediante un estudio de caso de un estudiante al que hemos llamado Kevin.

2. ASPECTOS TEÓRICOS Y CONCEPTUALES

El sustento teórico de la investigación se centra en tres aspectos fundamentales: en primera instancia, usamos la teoría de ^{Pirie y Kieren (1989)} porque nos permite ofrecer descriptores de la comprensión de un objeto matemático a partir de acciones y expresiones. Esta teoría ha sido usada por investigaciones en didáctica del cálculo como las reportadas por ^{Villa-Ochoa (2011)}, ^{Londoño (2011)}, entre otros. Por otra parte, nos acercamos a las concepciones de la enseñanza y del aprendizaje del límite desde autores como ^{Blázquez y Ortega (2002)}, ^{García, Serrano y Díaz (2002)}, ^{Pons (2014)} y ^{Mira (2016)}, que

nos mostraron orientaciones didácticas para la estructura de la secuencia de actividades. Y, por último, para diseñar los talleres nos acogimos a la propuesta metodológica de ^{Fiallo y Parada (2018)}, pues engrana la interacción con los objetos matemáticos de estudio (mediante GeoGebra), la resolución de problemas y debate en el aula.

3. ASPECTOS METODOLÓGICOS

La investigación que se realizó fue de corte fenomenológico, entendida en términos de ^{Aguirre y Jaramillo (2012)}, quienes exponen que este tipo de estudios aportan significativamente al conocimiento de realidades escolares y que justamente estos privilegian las vivencias de quienes participan en el proceso educativo. El estudio se organizó en las siguientes ocho fases:

Fase I: Estudio preliminar. El punto de partida fue un diseño didáctico para el estudio del concepto de límite en estudiantes de bachillerato o de primer semestre universitario realizado por ^{Betancur et al. (2015)}. El planteamiento y el análisis de los resultados del diseño didáctico antes mencionado, nos permitió seguir explorando sobre dicho fenómeno a través de la siguiente pregunta de investigación ¿Qué comprensiones logran, sobre el concepto de límite de una función en un punto, estudiantes que participan en un curso de cálculo diferencial donde se exploran las nociones de aproximación y tendencia?

Fase II: Breve revisión teórica y epistemológica del límite de una función en un punto. La revisión de varios libros de historia de las matemáticas, y algunas tesis de Maestría y Doctorado (^{Fernández, 2010}; ^{Pons, 2014}; ^{Mira, 2016}), han permitido vislumbrar aspectos históricos que dan cuenta de la evolución del concepto de límite, y lo complejo que ha sido su conceptualización, al igual que los obstáculos epistemológicos que ha tenido el concepto a lo largo de la historia (^{Sierpinska, 1987}; ^{Cornu, 1991}), y las dificultades que se presentan en la enseñanza del límite de una función (^{Tall, 1992}; ^{Hitt y Páez, 2003}). Esta revisión, nos permitió considerar algunos aspectos que han contribuido en el desarrollo del concepto y a su vez tomarlos como referencia para el diseño de la secuencia de actividades; además, fue necesario revisar el texto guía Cálculo: Transcendentes Tempranas de ^{Zill y Wright (2011)}, el cual se utiliza en el curso de cálculo diferencial de la UIS, con el fin de identificar: el orden de los contenidos, el planteamiento metodológico de las actividades y los problemas que se utilizan para el estudio del límite de una función en un punto.

Fase III: Diseño de la secuencia de actividades. En esta fase, se tuvieron en cuenta algunos acercamientos didácticos a la comprensión del concepto de límite de una función en un punto, planteados por ^{Fernández (2010)}, ^{Pons (2014)} y ^{Mira (2016)}. La estructura conceptual propuesta por estos autores coincide en varios aspectos, a pesar de que parten de diferentes marcos teóricos. En dichas estructuras se hace uso de las nociones de aproximación y tendencia, las concepciones dinámica, óptima y métrica del límite, así como el uso de las diferentes formas de representar una función (tabular, gráfica, algebraica), los cuales favorecen la comprensión del objeto matemático de estudio. Esos acercamientos nos permitieron hacer el planteamiento de los siguientes talleres para la secuencia de actividades: T1. Conocimientos previos; T2. Nociones de aproximación y tendencia; T3. Concepción dinámica del límite de una función en un punto; T4. Concepción óptima del límite de una función en un punto; T5. Concepción métrica del límite de una función en un punto; y T6. Conocimientos finales.

Fase IV: Pilotaje de la secuencia de actividades. Se realizó con un grupo de tres estudiantes que estaban cursando por primera vez la asignatura cálculo diferencial. La aplicación de la prueba piloto se llevó a cabo durante el primer semestre académico del año 2018, en un espacio extra-clase durante diez horas, con una duración de dos horas para cada uno de los talleres. Esta aplicación nos permitió reformular algunas preguntas de los talleres y los tiempos del uso de la tecnología para el desarrollo de la secuencia.

Fase V: Descriptores a priori de los niveles de comprensión. En esta fase se tuvo en cuenta el análisis a priori realizado a los talleres de la secuencia de actividades y la revisión teórica que se realiza del concepto de límite de una función. Esos elementos permitieron realizar la caracterización de los primeros cinco niveles de comprensión matemática en términos de las complementariedades de la acción y expresión. A continuación, se mencionan algunos de los descriptores asociados a cada nivel (tabla 2).

Fase VI: Trabajo de campo. La secuencia de actividades se implementó en el transcurso de un semestre académico regular, en las sesiones ordinarias de la clase durante siete sesiones de dos horas, distribuidas en tres semanas (tiempo estipulado para su estudio, según la programación dada por la institución para la asignatura de cálculo diferencial). Las sesiones de clase, en las que se desarrollaron los talleres fueron dirigidas por el primer autor de este artículo, que a su vez era el profesor titular del curso. Las interacciones entre el profesor y los estudiantes fueron guiadas por la metodología de ^{Fiallo y Parada (2018)}, descrita en el apartado 2.2. Mediante los talleres planteados en la investigación se desarrolló el contenido relacionado con límites de una función y, a su vez, los datos se recogieron en un curso real con una programación y evaluación ya definida.

La recolección de datos se hizo a través de las hojas de trabajo de los estudiantes, las videograbaciones de clases con su respectiva transcripción y la narrativa de una entrevista semiestructurada, entre el investigador y los estudiantes (sujetos de estudio), en la que se cuestionó sobre algunas respuestas o procedimientos realizados en los talleres.

Fase VII: Selección del caso de estudio. Se recopilaron datos de 38 estudiantes que realizaron el curso de cálculo diferencial, 18 de ellos asistieron a todas las sesiones de trabajo y 10 de estos últimos desarrollaron todo el proceso. De los 10 estudiantes se seleccionó a Kevin, como caso de estudio, por ser el único que tenía completa la información y el único que logró transitar por los niveles de comprensión matemática previstos.

Fase VIII: Análisis de los datos y reporte de resultados. Los datos recolectados se analizaron desde la teoría de ^{Pirie y Kieren (1989)} con el análisis a priori de las actividades y la caracterización a priori para los cinco primeros niveles (^{Guarin, 2018}), con el fin de describir la comprensión del límite de una función en un punto, en términos de las complementariedades de la acción y la expresión realizadas por el caso de estudio durante la implementación de la secuencia de actividades.

4. ACCIONES Y EXPRESIONES EN LA COMPRENSIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO EN UN CURSO DE CÁLCULO DIFERENCIAL

En este apartado se describen algunas de las acciones y expresiones realizadas por Kevin durante la implementación de la secuencia de actividades, las cuales permiten situarlo en el nivel de formalización para la comprensión del límite de una función en un punto. En las evidencias, algunas de las figuras se señalan con las siguientes convenciones: recuadros amarillos, para las complementariedades de la acción y recuadros rojos para las expresiones de Kevin capturadas de las hojas de trabajo. Además, se exhibirán transcripciones de episodios de la entrevista y de los videos de clase en los que se llevó a cabo la aplicación de la secuencia de actividades.

Al examinar las acciones y expresiones en el Taller 1: Conocimientos previos, se pretendía identificar la relación que el estudiante establece entre aproximación y tendencia en un contexto geométrico y un contexto funcional, al igual que el uso de los diferentes registros de representación. En este caso, la respuesta de Kevin al ítem a) del numeral 4 en el Taller 1 (figura 1), se observa que la primera acción realizada por Kevin fue evaluar los extremos del intervalo [-20,20]. En esta parte el estudiante no se detuvo a analizar los valores que toma la función de acuerdo con la variación de la variable independiente, de tal manera que lo lleva a expresar que la función toma valores entre [-0.05,0.05]. Esto nos permitió inferir que en este momento el estudiante no reconoció la variación de la función en el intervalo mencionado.

El siguiente episodio hace parte de la entrevista del investigador con Kevin al momento de indagar sobre sus respuestas a la actividad (en la trascripción se menciona a Kevin como K y al investigador como I):

De ese episodio, se pudo concluir que el estudiante no lograba determinar cuáles eran los valores que tomaba fx en ese intervalo; por ello, se le solicitó realizar una exploración de la función numéricamente, para luego hacer una representación gráfica, de lo cual Kevin expresó lo siguiente:

La exploración de la función de manera numérica y gráfica son acciones que le permitieron al estudiante analizar la variación y los valores que toma fx=1x cuando x varía entre -20 y 20, al igual cuando se toman valores próximos a x=0, para así decidir y expresar cuáles son los valores que toma la función a medida que está variando la variable independiente.

Durante la exploración a la función fx=1x, se pudo observar que Kevin realiza una resignificación resignificación de conocimientos sobre el concepto de función, en la cual reexamina sus conocimientos acerca del dominio y rango de una función, al igual que su representación gráfica, esto con el fin de lograr analizar la variación de la función en ciertos intervalos. De acuerdo con ^{Thom y Pirie (2006)} “como observadores, nunca podremos saber exactamente el conocimiento primitivo de otra persona. Sin embargo, podemos construir diversas interpretaciones de la evidencia que se tenga a nuestra disposición a través de unas acciones físicas, verbales o escritas” (p. 189).

En los razonamientos expuestos por Kevin para la actividad 4 (Taller 2: Nociones de aproximación y tendencia), se le solicitó realizar una tabla de valores con el fin de establecer aproximaciones a un valor "x", relacionando las aproximaciones en el dominio de la función, con la tendencia de f(x) a través del registro numérico (acción que realiza en una tabla de valores para (xi, f(x1) que se muestra en la figura 4. Para lo anterior, Kevin fue refinando aproximaciones, acción que le permitió ir buscando la aproximación a 3 que indicara la existencia de tendencia a medida que las aproximaciones laterales coincidieran en un mismo punto.

Durante esta actividad el estudiante realiza las siguientes complementariedades de la acción; la primera fue escoger dos sucesiones numéricas que se aproximen a 3, una por derecha y otra por izquierda (figura 4), y la segunda identificar que la distancia entre los valores tomados y 3 se aproximan a cero (recuadro amarillo de la figura 5). Y la complementariedad de la expresión se da cuando el estudiante logra expresar que “la función f(x) toma valores más cercanos a 8 cuando me acerco por izquierda a x=3” (figura 5). El mismo razonamiento es presentado cuando Kevin analiza los valores próximos a derecha de 3.

Esas aproximaciones realizadas por el estudiante le permitieron justificar que “cuando x se aproxima a3,f(x)tiende a 8 por izquierda y por derecha”, (utilizando el teorema de los límites laterales y dibujando dos flechas que indican tendencia, para señalar que estos son iguales, tal como se visualiza en la figura 6, elementos que indican otra complementariedad de la expresión), ese valor sería el límite de la función en ese punto.

^{Thom y Pirie (2006)} mencionan que el primer momento en la comprensión de un concepto matemático surge cuando se realizan acciones (físicas o mentales) con el fin de crear una idea del nuevo tema o concepto. En el caso de Kevin se evidencia que logró crear una imagen para el límite de una función en un punto, porque sus acciones estuvieron encaminadas en la realización de la imagen que hace a través del uso de la representación tabular. Además, logró identificar la relación entre aproximación y tendencia para analizar el límite de una función como lo que sucede cerca del punto.

Por otro lado, Kevin mostró expresiones enfocadas en el análisis de la imagen al realizar la distinción entre las nociones de aproximación y tendencia. Esas expresiones se dieron en el momento que tuvo que generar las dos sucesiones numéricas y aproximarse a un valor c en el dominio de la función (por la izquierda y la derecha de 3), con base en la disminución de la distancia (haciendo referencia a calcular el error absoluto); y también cuando identificó que las magnitudes cada vez se pueden mejorar, aproximándose más a un valor en el dominio de la función, a través del registro numérico para determinar la existencia o no del límite de la función en un punto.

En ese sentido, en el desarrollo del Taller 3: Concepción dinámica del límite de una función en un punto, la actividad 4 es una actividad retadora que se plantea con el fin de observar y analizar la forma en que el estudiante interpreta cada una de las condiciones dadas, además que las debe utilizar todas para trazar la gráfica de una función. En la solución del estudiante se observa que logró interpretar todas las condiciones dadas en el enunciado de la figura 7, puesto que le permitieron realizar una representación gráfica de la función que cumpliera con las condiciones.

El estudiante en primera instancia identificó que la función a bosquejar pasaba por los puntos (-3,2), (2,0) y 0,32. También logró interpretar que el límite de la función x cuando tiende a 0 no existe, porque cuando x se aproxima a 0 “solo por derecha”, es decir toma valores como 0,01, 0,001, 0,0001, f(x) tiende a 2 y cuando x toma valores próximos a 0 “solo por izquierda”, los valores de f(x) tienden a 1, de modo que el límite de la función en ese punto no existe porque los límites laterales no coinciden. Además, Kevin identificó que cuando x tiende a -2, el límite de la función existe y este es único, haciendo referencia a que cuando x se aproxima a -2+ y -2+ la función debe tender al mismo valor, aunque en las condiciones no se menciona si f(-2) está definido el estudiante decide representar un hueco en x=-2, pero sigue reconociendo la existencia del límite de la función en ese punto y que el valor es cero. Por último, analizó que cuando se hacen aproximaciones a x=3, tanto por derecha como por izquierda los valores de f(x) tienden a -∞. El interpretar cada una de las condiciones le permitió a Kevin realizar una representación gráfica de la función (figura 7).

Como se logró evidenciar en las actividades descritas, el estudiante ha logrado adquirir una concepción dinámica del límite de una función en un punto, ya que establece coordinación entre las aproximaciones en el dominio, con las aproximaciones en el rango de la función, diferenciando cuándo las aproximaciones laterales coinciden o cuándo no coinciden (^{Valls et al., 2011}).

En este apartado se evidencia que Kevin ha transitado por los niveles de comprensión de la imagen y observación de la propiedad. El estudiante transitó en el nivel de comprensión de la imagen, porque logró desarrollar imágenes asociadas a la existencia del límite de una función en un punto, vislumbradas en la complementariedad de la acción a través de la visualización de la imagen; imágenes que para ^{Villa-Ochoa (2011)} están vinculadas “a una sola actividad y se reemplazan por una imagen mental. El desarrollo de esas imágenes mentales, o más precisamente imágenes orientadas por un proceso mental, libera las matemáticas del estudiante con la necesidad de realizar acciones físicas particulares” (^{Villa-Ochoa, p. 204}), que logran expresarse mediante la complementariedad de la expresión de la imagen, que se perciben en las actividades a través de la coincidencia entre las aproximaciones laterales, mediante el uso de las diferentes maneras de representar una función.

Por otra parte, en el nivel de observación de la propiedad, Kevin ha logrado construir varias imágenes del concepto de límite, desde la representación gráfica, numérica y algebraica; permitiéndole examinar, establecer conexiones y distinciones entre las diferentes imágenes que ha logrado construir para el concepto de límite de una función. Para ^{Thom y Kieren (2006)} este nivel es una forma de “caminar atrás y reflexionar sobre la comprensión existente a fin de promover ese entendimiento” (p. 190). De acuerdo con ^{Pirie y Kieren (1989)}, la diferencia entre el nivel de comprensión de la imagen y el nivel de la observación de la propiedad es la habilidad para resaltar una conexión entre imágenes y explicar el método para verificar la conexión.

En la actividad retadora del Taller 4: Concepción óptima del límite de una función en un punto (figura 8), Kevin logra reconocer que al refinar las aproximaciones a un valor c en el dominio de la función (señala la representación gráfica de la hoja de trabajo y menciona “me aproximo tanto por izquierda como por derecha del valor de c”), y si estas aproximaciones coinciden, le van a permitir decidir si el límite de f(x) en ese punto existe o no.

En esta actividad, el estudiante recurre a la representación gráfica, para establecer qué sucede con la función para valores próximos a 53 y así decidir si existe o no el límite de f(x), a lo que expresó:

Durante el desarrollo de esta actividad, y en el episodio anterior, se pudo observar que Kevin, realiza una resignificación de conocimientos con el fin de reexaminar las imágenes que había construido en la comprensión del límite de una función. En ese sentido, Kevin logró reconocer que es posible analizar el límite de una función f(x) en un punto c, haciendo un proceso de aproximación infinito.

En el nivel de observación de la propiedad se evidencia que Kevin posee las complementariedades de la predicción de la propiedad y el registro de la propiedad. Esto al interpretar de manera numérica y gráfica el comportamiento de los límites laterales de una función f(x) de modo que pueden hacerse arbitrariamente próximos a un número L al tomar x suficientemente cerca por izquierda y por derecha, pero sin que sea igual. De igual manera, ^{Meel (2003)} menciona que “la predicción de la propiedad relaciona la imagen con una propiedad observada por el estudiante, mientras el registro de la propiedad se incorpora dentro de la estructura cognitiva del estudiante la propiedad observa-da como algo que existe y parece funcionar” (p. 18).

Las acciones de Kevin en la primera actividad del Taller 5: Concepción métrica del límite de una función en un punto, están centradas en lograr identificar las variables de la situación, además de reconocer la relación de interdependencia entre el área y el radio del disco circular (figura 10); esto le permitió calcular el valor del radio "r" que generaba el disco circular con un área de 9π cm2.

En el ítem c de la actividad 1, el estudiante utiliza la representación algebraica del área del disco y el error que puede cometer el tornero sobre el área del disco que se desea fabricar. En este episodio se puede observar que una de las expresiones de Kevin fue calcular el error mínimo y máximo en el radio del disco circular, en términos de la distancia del radio ideal y el aproximado, usando el valor absoluto (figura 11).

En ese mismo taller, en la exploración dirigida de la actividad 2, en el ítem b) se le solicita a Kevin realizar aproximaciones a un punto (radio ideal) y al límite del área del disco que se desea fabricar. Además, en el ítem c) se le pregunta: ¿Cómo son las distancias conforme se aproxima a 3? con el fin de observar el comportamiento de disminución de las distancias de las aproximaciones en el dominio y en el rango de la función. Para ello debería usar un registro tabular y gráfico, con el fin de deducir el límite de la función por concepción métrica (figura 12).

Como se puede ver en la expresión de Kevin tomada textualmente del recuadro rojo de la figura 12 (y en relación con las operaciones que se encierran en el recuadro amarillo), dice que “las distancias tienden a cero cuando se aproxima a 3”, esas acciones y expresiones al parecer le permitieron decidir sobre la existencia del límite de la función en ese punto. El investigador quiso seguir indagando al respecto, y encontró lo que se muestra a continuación:

Para ^{Mira (2016)}, este puede ser el paso previo a la conceptualización métrica de límite de una función en un punto, que el estudiante coordine la tendencia de las distancias al punto y de sus imágenes al límite, a fin de establecer que tienden a cero.

En estas actividades se logró identificar que Kevin está realizando complementariedades de la acción y expresión del nivel de formalización. Para ^{Pirie y Kieren (1989)} el estudiante en este nivel es capaz de conocer las propiedades para abstraer las cualidades comunes de las clases de imágenes del concepto de límite en los diferentes registros de representación. Aquí está reconociendo que es posible realizar aproximaciones desde el rango con aproximaciones en el dominio de la función, a partir de la disminución de las distancias. Además, cae en cuenta de que tiene objetos mentales de clases similares construidos a partir de propiedades observadas con cualidades comunes, al coordinar las distancias en el rango con las distancias en el dominio de la función, al producir entornos más reducidos e intentar deducir el límite por la concepción métrica.

Por último, en el análisis a las respuestas de Kevin durante el desarrollo del Taller 6: Conocimientos finales, se plantea un enunciado con el propósito de identificar cómo el estudiante comprende e interpreta el límite de una función en un punto (figura 15).

En esa actividad, Kevin inicia describiendo que el “límite de una función es cuando tomo valores cercanos a un punto”; aquí es de resaltar que el estudiante está creando una imagen para este concepto. Inferimos lo anterior, porque a través de esa expresión se evidencia que esta imaginando dos sucesiones numéricas que se aproximan a un punto, y que, además, está coordinando las aproximaciones en el dominio y en el rango para ver si estas coinciden tanto por izquierda como por derecha (recuadro amarillo de la figura 15).

En ese sentido, Kevin usa la notación con el fin de especificar que los límites laterales de la función en ese punto deben ser iguales, y si sucede eso, entonces el límite existe; además el estudiante plantea el caso en que los límites no sean iguales. Ante estas especificaciones dadas por Kevin podemos identificar que ha transitado a un nivel de comprensión de la imagen, porque está usando las imágenes para reconocer las propiedades globales de los objetos matemáticos.

De acuerdo con esas imágenes que ha ido desarrollando Kevin, explica el caso en el cual límite de la función no está definido, a lo que recurre a un ejemplo particular que se ve en el recuadro amarillo de la figura 16. Allí, el estudiante hace referencia a que cuando x toma valores próximos a cero por derecha f(x) tiende a infinito, y cuando x toma valores próximos a cero por izquierda f(x) tiende a menos infinito. Así, de tal manera que los límites no coinciden; estas expresiones evidencian que el estudiante está en un nivel de observación de la propiedad porque logró examinar una imagen mental y determinar distintos atributos aso-ciados con dicha imagen para determinar la existencia o no del límite.

Ahora Kevin decide expresar el caso en el que existe el límite de la función en un punto, pero este no es igual a la imagen de la función en ese punto (figura 16). El estudiante para ese caso decidió recurrir a la representación gráfica y además expresó literalmente “el límite existe porque no es cuando tomo el valor del punto si no valores cercanos”.

El estudiante fue capaz de conocer las propiedades para abstraer las cualidades comunes de las clases de imágenes que había desarrollado durante la secuencia de actividades. Todo lo anterior, nos permite situar a Kevin en un nivel de formalización para la comprensión del límite de una función en un punto, esto de acuerdo con las complementariedades de la acción y la expresión que se evidenciaron a lo largo de la secuencia de actividades. Aunque, el lenguaje usado por Kevin para describir el concepto no tiene un lenguaje matemático formal, la descripción suministrada en términos de aproximación, tendencia y contemplar la disminución de las distancias tanto en el dominio como en el rango de la función para decidir si existe o no límite de la función en ese punto es equivalente a la definición matemática apropiada.

5. REFLEXIONES FINALES Y PERSPECTIVAS DE INVESTIGACIÓN

Frente al propósito de la investigación, de la que se extrae el caso de estudio aquí reportado, se obtienen las siguientes reflexiones:

La investigación hace un aporte a la teoría de Pirie y Kieren, específicamente para el concepto de límite de una función en un punto, puesto que la caracterización de los niveles permite identificar y describir la comprensión que logran los estudiantes cuando participan de un curso de cálculo diferencial. Además, la secuencia de actividades es una contribución a la matemática educativa para que pueda ser usada por profesores de educación media o educación superior en sus aulas de clase para favorecer la comprensión de dicho concepto.

Es necesario resaltar que uno de los elementos particulares de la secuencia de actividades, es el uso de las nociones de aproximación y tendencia como un acercamiento a la comprensión del límite de una función en un punto, porque retoma el dinamismo que se esconde detrás de la definición formal del concepto de límite de una función. Además, se da una articulación entre el uso de un software de matemática dinámica y el trabajo a lápiz y papel realizado durante la investigación. El estudio mostró la importancia del proceso de comunicación entre el profesor y los estudiantes, pues permite el debate y la resignificación de ideas a la luz de los apoyos didácticos que se ofrecen en el aula de clase.