Representación de fracciones y la música

Respecto a la representación de fracciones, se ha encontrado que estas pueden representarse de manera geométrica, discreta y simbólica-numérica o literal- (^{Rico, 1997}).

En las representaciones discretas, la unidad se compone de un conjunto discreto de objetos. En cuanto a las representaciones numéricas, existen diferentes formas de utilizar los números para indicar una fracción que se basa en los diferentes usos de la fracción (^{Kieren, 1980}): como cociente (3/5), como razón (3:5), con una escritura en número decimal (0,6) y en porcentaje (60%). En el caso de las representaciones literales se pueden distinguir de diferentes formas: tres quintos, tres sobre cinco y una relación de tres a cinco (Llinares y Sánchez 1996).

Pero es la representación geométrica, modelo de área o lineal, la que se utiliza comúnmente durante la instrucción de fracciones (^{Sidney et al., 2019}), por ser una forma común para apoyar la comprensión de los niños sobre ese concepto (^{Siegler et al., 2010}; ^{Siegler et al., 2013}).

El uso de la notación musical como herramienta de representación de fracciones está dentro de lo que se denomina representación mediante modelos discretos. La particularidad de este modelo de representación se halla en el hecho de que la fracción, en este entorno, es representativa de la relación entre una parte de un conjunto de elementos discretos y un todo (^{Malet, 2010}).

Particularmente, para la aplicación de la simbología musical en la representación gráfica se hace uso de las figuras musicales aprovechando la relación que existe entre ellas (figura 1).

Figura 1 Duración: sistema de signos musical y fracciones. 

Equivalencia y orden de fracciones a través de la música

La equivalencia de fracciones es una propiedad fundamental para poder comprender y realizar con éxito diferentes manipulaciones con fracciones, como son la reducción a común denominador o la ordenación de fracciones (^{Maza y Arce, 1991}). La base para comprender la equivalencia de fracciones es entender la fracción como un ente que es un par ordenado de números que representa a un sólo número (^{Maza, 1999}). El completo dominio de las fracciones equivalentes tiene una especial dificultad, porque se aplican reglas en su proceso de enseñanza-aprendizaje y no se les instruye con materiales realistas (^{Kamii y Vlark, 1995}). Así, entre los errores más frecuentes para obtener fracciones equivalentes, que se han presentado en trabajos previos son: a) cuando el alumna-do olvida la regla y al tratar de aplicarla lo que hace es sumar o restar, en vez de dividir y multiplicar numerador y denominador por el mismo número (^{Brown y Quinn, 2006}); b) multiplicar por números distintos al numerador y al denominador (^{Morales, 2014}).

En cuanto a la propiedad de orden de las fracciones, tiene una importancia crítica en campos como el álgebra, el razonamiento proporcional y la probabilidad (^{Clarke y Roche, 2009}). Esto requiere, por parte de los alumnos, capacidad para determinar la magnitud relativa de dos o más fracciones. En este caso, son cinco los métodos que indica la bibliografía estudiada (^{Cuchillo, 2020}; ^{Maza, 1999}): reducción a común denominador, expresión decimal, representación en la recta, fracción intermedia o complemento a la unidad. Para este caso, los dos errores comunes que se cometen son: a) la obtención de fracciones equivalen-tes cuando hay más de dos fracciones a ordenar (^{Kerslake, 1986}); b) la ordenación de numeradores o denominadores como si fuesen números naturales (^{Godino, 2004}).

Siguiendo las ideas de ^{Kamii y Vlark, (1995)}, quienes en su estudio tienen una contextualización de situaciones, el sistema de signos musical permite una conexión directa con estas dos propiedades.

Adición de fracciones a través de la música

El uso de la notación musical como herramienta de adquisición del concepto de fracción y, en particular, de la adición de estos números, está dentro de lo que se denomina adición mediante modelos discretos. La tradición escolar aboga por un proceso de enseñanza-aprendizaje de las fracciones basado en los modelos continuos (^{Rico, 1997}), pero desligarlos de un contexto discreto (^{Kieren, 1993}) provoca que el alumnado no sea capaz de desenvolverse en contextos en los que subyacen otros significados o subconstructos de la fracción, por ejemplo, como medida, razón u operador. De ahí la importancia de enseñar fracciones en el contexto de la música con un modelo discreto.

Al respecto de la adición de fracciones, la investigación ha demostrado que muchos estudiantes aprenden operaciones con fracciones a través de instrucción basada en la memoria y orientada a procedimientos o reglas, atribuyendo poco significado a tales operaciones y cometiendo por tanto errores con el paso del tiempo (^{Behr et al., 1992}; ^{Cramer y Henry, 2002}; ^{Cramer et al., 2002}; ^{Kennedy y Steve, 1997}). El Rational Number Project Curriculum apuesta por un aprendizaje de las fracciones a través de contextos de la vida cotidiana que se ven reflejados en los problemas verbales. Otros como ^{Braithwaite et al. (2017)} apuestan por contextos como la recta numérica; o en el mismo sentido que en este estudio, hay quienes ven la aritmética musical como una base para el proceso de enseñanza-aprendizaje de las fracciones (^{Oshanova et al., 2022}).

Intervención

La intervención está basada en el trabajo de ^{Azaryahu et al. (2020)}, pero en el presente trabajo no se evalúa la adquisición de conceptos matemáticos, sino que el sistema de signos musicales es la función semiótica utilizada para obtener resultados acerca de cuatro conceptos específicos con fracciones.

Sesión 1

La primera intervención, se inicia con la parte introductoria de las fracciones, así como una breve introducción de cómo estas tienen gran importancia en el mundo de la música.

Para realizar esta introducción a la realidad matemática, al alumnado se le introduce al concepto de fracción desde el entorno musical de la orquesta. Para ello, se usa como apoyo un retrato de una famosa intérprete de violonchelo figura 2a, instrumento culturalmente conocido, así como de la simbología musical figura 2b. Se debe reseñar, que en el currículum de España (^{LOMLOE, 2022}) el alumnado, en cursos previos a séptimo grado ya han sido introducidos tanto a la simbología musical como a los instrumentos de cuerda.

Figura 2 Imágenes introductorias, a) Retrato de Guilhermina Suggia; b) Símbolos de duración. 

Sesión 2

En el manual usado en el aula (^{Colera y Gaztelu, 2020}) se presentan los modelos de representación continuo y lineal. Para el primero se hace uso de figuras planas típicas (círculos y rectángulos), el modelo lineal se presenta de forma usual usando una recta y colocando la fracción correspondiente sobre ella.

Con esta sesión se trata de abordar parte del objetivo del trabajo, valuar el efecto que tiene la notación musical como función semiótica sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje de la representación de fracciones.

Para ello se le presentan al alumnado, tras la introducción de los modelos vistos en el manual, un modelo lineal y un modelo discreto y simbólico de representación de fracciones desde un punto de vista musical. Esto se realiza usando como apoyo las imágenes de la figura 3.

Figura 3 Representación de fracciones utilizando la música, a) Modelo lineal; b) Modelo discreto y simbólico. 

En la intervención se introduce, mediante las cuerdas del violonchelo, el modelo de representación lineal, figura 3a. Esta parte se contextualiza de forma histórica exponiendo cómo Pitágoras descubrió la relación entre las longitudes de una cuerda y la frecuencia del sonido que producían, aunque se remarca que Pitágoras dividió la cuerda en dos, y en nuestro caso, para realizar una asociación entre el modelo lineal y discreto, utilizamos los medios y los cuartos.

Seguidamente, se introduce el modelo discreto y simbólico a través de la simbología musical figura 3b. Con este se expone la utilidad de esta simbología como un elemento codificador que es usado para aumentar la velocidad con la que los intérpretes son capaces de leer las partituras.

En consecuencia, en esta sesión se cubre, entre otras, la parte del currículo correspondiente a representación gráfica de fracciones, que corresponde a Q1 del pre-test y post-test.

Sesión 3

Tiene como finalidad principal explicar la adición y la sustracción de fracciones con mismo denominador utilizando elementos musicales. En su caso, el manual (^{Adiel, 2021}), se limita a refrescar el proceso algorítmico de esta operatividad. Además, introduce un ejemplo gráfico haciendo uso de un modelo continúo basado en el modelo de área o del pastel.

A este aspecto, en la intervención realizada, se exponen dos modos gráficos de realización o comprobación de estas operaciones desde un ámbito musical: uno lineal y uno discreto. Para ejemplificar el modelo lineal se hace uso de las cuerdas de un violonchelo (figura 4a), en cambio, para ejemplificar el modelo discreto se utilizan las figuras musicales figura 4b.

Figura 4 Adición de fracciones con cuerdas del violonchelo, a) Modelo lineal; b) Modelo discreto y simbólico. 

Sesión 4

Se cubren contenidos del currículo relacionados con la equivalencia de fracciones. Estos contenidos resultan de una gran importancia pues son la base para otros contenidos relacionados con las fracciones como la simplificación o la reducción a común denominador (^{Colera y Gaztelu, 2020}).

Para cumplir con este objetivo, se hace uso de las figuras musicales, modelo discreto y simbólico, en conjunto con el modelo lineal (figura 5), pues se muestra sobre la recta unidad. La motivación de utilizar estos dos modelos conjuntamente no es otra, sino facilitar la asociación de un valor fraccionario al modelo musical presentado.

Figura 5 Equivalencia de duración de las figuras musicales. 

Sesión 5

Se trabaja de nuevo la adición y sustracción de fracciones, pero con la particularidad de que el denominador difiere. Al igual que en la sesión anterior, el soporte gráfico que brinda la representación musical sigue siendo el elemento que promueve la consecución de evaluar el efecto que tiene la música en la adquisición de conocimientos sobre fracciones.

Como ejemplo práctico, se le presenta al alumnado la figura 6 donde se muestra el proceso seguido para realizar la suma de dos fracciones con distinto denominador y, a la vez, la representación gráfica desde la perspectiva musical que se ha venido utilizando en las anteriores sesiones, específicamente con el uso del modelo lineal que integra las figuras musicales que son un modelo discreto.

Figura 6 Adición de fracciones con distinto denominador. 

Sesión 6

El objetivo principal de esta sesión es plantear al alumnado una situación más realista, en el ámbito musical, en el que deben hacer uso directo de la adición de fracciones.

Para tal fin, se utilizó un extracto de cuatro compases de la Sinfonía nº 9, la Oda de la alegría (^{van Beethoven, 1824}), comúnmente llamada Himno de la Alegría (figura 7), se muestra cómo el modelo de representación discreta expuesto en las sesiones anteriores no es una construcción artificial. El alumnado comprueba que esta codificación que se les ha presentado anteriormente es, en realidad, utilizada por los compositores e intérpretes en su día a día. El alumnado observa que el compás indica la métrica musical y está compuesto por varias figuras musicales entre líneas divisorias, cuyos valores (duraciones) suman la métrica indicada.

Figura 7 Extracto del Himno de la Alegría, para ejemplificar la adición de fracciones. 

Los alumnos, también observan que ellos mismos hacen uso de esta codificación durante sus clases de música en el centro. Se espera, pues, que llegados a este punto vean una utilidad manifiesta de las fracciones. Utilidad de la cual ellos mismos eran usuarios sin saberlo, creando así esa contextualización que despierta su atención e interés.

Sesiones 7, 8 y 9

En ellas se realiza un compendio de actividades que tienen como finalidad la consolidación de los conocimientos y objetivos propuestos en el presente trabajo. Una breve exposición de estas actividades puede verse en la tabla 1.

Tabla 1 Relación de actividades en las sesiones 7, 8 y 9 

Actividad	Contenido Curricular	Objetivo definido en el trabajo
Eso me suena	Operación y equivalencia	Interacción gráfica: suma y resta. Resolución de problemas
Batucada	Operación y equivalencia	Interacción gráfica: suma y resta. Resolución de problemas
De menor a mayor	Operación, equivalencia y ordenación	Interacción gráfica: suma y resta. Fracciones equivalentes y ordenación

En la actividad Eso me suena, los alumnos deben utilizar todos los conceptos expuestos en las sesiones realizadas hasta este momento, en la intervención. Se trata de que ellos determinen la posición de las líneas divisorias en algunos fragmentos musicales (figura 8). Para ello tendrán que sumar los valores (duraciones) de las figuras musicales, en número fraccionario, hasta que el resultado de dicha suma sea igual al del compás del fragmento.

Figura 8 Apartado de la actividad Eso me suena. Fragmento de Gymnopedie 1. 

Para resolver esta actividad existen tantas posibilidades como voces hay en cada partitura. Estas posibilidades se exponen durante la corrección de la actividad. Al finalizar la misma, los alumnos escuchan las piezas utilizadas en el ejercicio y se les expone, de nuevo, la realidad matemática existente en la composición y lectura de partituras. Asimismo, se les presenta la realidad de estar usando matemáticas sin saberlo mediante el uso de una codificación que no requiere, por parte del usuario, el conocimiento de su fundamentación.

En la segunda actividad, Batucada, los alumnos tienen que completar fragmentos que se han eliminado de unas partituras de percusión (figura 9). Estos huecos se pueden rellenar haciendo uso de sus conocimientos musicales. No obstante, se les pide a los alumnos, explícitamente que, realicen la tarea apli-cando las nociones matemáticas vistas en las intervenciones.

Figura 9 Apartado de la actividad Batucada. 

Se pretende que el alumno, a través del ejercicio, descubra de forma indirecta que en realidad el camino musical para resolver el problema no es más que una solución matemática escondida tras una codificación. De este modo se integra esa realidad matemática que era ajena a los alumnos hasta ese momento. Otro ejercicio de esta actividad le brinda al alumnado la posibilidad de crear su propia obra rítmica. En esta ocasión los estudiantes ven las matemáticas como una herramienta para crear algo propio en lugar de un elemento utilizado para solucionar problemas asépticos.

Para finalizar, la última actividad, De menor a mayor, consiste en la ordenación de fracciones, pero, de nuevo, haciendo uso de los conocimientos vistos en las intervenciones (figura 10).

Figura 10 Fichas usadas en la actividad De menor a mayor. 

Se pide al alumno que ordene las fichas calculando el valor (duración) que tiene cada una de ellas. Al igual que sucedía en las otras actividades, el alumnado puede comprobar si ha realizado correctamente la actividad usando sus conocimientos musicales.

Instrumento y Variables de Investigación

Para obtener datos de la investigación se hace uso de un test de lápiz y papel con 4 cuestiones diferentes. En este caso, el cuestionario se considera una herramienta apropiada pues permite la producción y recogida de datos de una forma estructurada (^{Meneses y Rodríguez-Gómez, 2011}).

Aunque cambian algunos datos en las cuestiones entre el pre-test y el post-test, se conserva el isomorfismo entre ambos para hacer posible una evaluación sobre la comprensión conceptual que desarrolla el alumnado referente a las fracciones.

Resultados Q1

Como se puede ver en la tabla 2, en el pre-test, 7 de 12 alumnos han representado con éxito a la fracción 14 empleando un modelo de área. Así pues, tal y como se comenta en ^{Siegler et al. (2013)}, parece ser que el modelo de área sigue siendo el protagonista en la enseñanza de fracciones, al menos, en las etapas iniciales. Cabe destacar que solamente dos alumnos han optado por dejar la respuesta en blanco.

En cuanto a los errores del pre-test, es interesante mencionar que no son intrínsecos a la representación. Dos alumnos han contestado a la cuestión construyendo fracciones equivalentes cuando no es lo que se pide, mientras que otro alumno ha optado por escribir una respuesta aleatoria. Este último error se da cuando el alumno simplemente desconoce el procedimiento para llegar a la respuesta correcta y, en lugar de dejar el espacio vacío, escribe cualquier cosa (^{Ciscar y García, 1997}). No se trata, por tanto, de un error provocado por defectos en la comprensión de los procedimientos ni por descuidos o distracciones.

Al analizar lo ocurrido en el post-test, 11 de 12 alumnos respondieron correctamente. De estos, todos han hecho uso nuevamente del modelo de área (figura 11), pero 5 de 12 alumnos además utilizan el modelo discreto (figura 11), de ellos, uno utiliza también el modelo lineal (figura 11c).

Figura 11 Extractos de respuestas de diferentes alumnos, a) Modelos: área y discreto; b) Modelos: área y discreto, y representación numérica (decimal); c) Modelos: área, discreto y lineal 

Además, 2 alumnos han expresado la fracción en notación decimal (figura 11bxref>), notación que entra dentro de las representaciones simbólicas (^{Rico, 1997}). Esto no es considerado como error en esta cuestión, se acepta como representación simbólica, debido a que el enunciado no explicita que la representación debe de ser gráfica y se puede malinterpretar. En cuanto a los errores, se puede apreciar que hay 4 alumnos que identifican las fracciones equivalentes como una forma de representar otra fracción, tanto simbólica (figura 12a) como a través de representación gráfica (figura 12b).

Figura 12 Extractos de diferentes errores extraídos de las respuestas: a) Fracciones equivalentes; b) Representaciones de fracciones equivalentes. 

En cuanto a la evolución del alumnado, los alumnos que en el pre-test utilizaron el modelo de área, siguen usándolo en el post-test (^{Siegler et al., 2010}). No obstante, 3 de ellos (S1, S3, S7) han ampliado sus respuestas añadiendo otros modelos, entre ellos el modelo discreto o simbólico, siguiendo los resultados de trabajos precedentes en los que se indica que aquellos que ya representaban, la notación musical les permite una representación discreta o simbólica de las fracciones (^{Azaryahu et al., 2020}; ^{Courey et al., 2012}; ^{Lovemore et al., 2022}). Además, la mitad de los alumnos participantes (S1, A3, S4, S7, S12, S15) han utilizado, al menos, dos modelos distintos de representación.

En cuanto a los errores, se comprueba que la idea de utilizar fracciones equivalentes como una representación sigue estando presente y que, son más alumnos los que la utilizan tras la intervención, relacionado con el uso gráfico continuado para la construcción de fracciones equivalentes. En particular, se observa que el alumno S9, ha cometido este error tanto en el pre-test como en el post-test. A su vez, el alumno S2 parece que no ha evolucionado al mismo ritmo que el resto de sus compañeros al no haber realizado ninguna representación y, a su vez, haber cometido el error de responder a la cuestión construyendo fracciones equivalentes a la propuesta.

Resultados Q2

De la columna de pre-test de la tabla 3, se deduce con facilidad que la ordenación de fracciones resulta una actividad más compleja que la representación de las mismas (Q1), tal y como ya disponían en su trabajo ^{Behr et al. (1983)}.

Como puede verse, solamente, 3 de los 12 alumnos han respondido correcta-mente a la tarea, siendo su método la conversión a expresión decimal (figura 13).

Figura 13 Ordenación de fracción a través de expresión decimal. 

En cuanto a los errores de Q2 (figura 14), es destacable que todos los alumnos que han fallado la respuesta (9/12) han cometido el mismo tipo de error: ordenar las fracciones basándose únicamente en los numeradores o en los denomina-dores de las mismas de forma exclusiva, error reportado en otros estudios, por ejemplo en ^{Godino (2004)}.

Figura 14 Error en la ordenación de fracciones 

Viendo ahora la columna del post-test, se observa que 9 de 12 alumnos han proporcionado una respuesta correcta a la pregunta. Por tanto, se puede decir que hay una evolución positiva tras la intervención. Con respecto a los métodos de resolución, 4 alumnos han usado la expresión decimal y 3 han usado algún modo de representación gráfica (figura 15). No obstante, hay que remarcar que dos alumnos han usado varios métodos (ver tabla 4).

Figura 15 Ordenación de fracciones apoyada en representación: a) Discreta, b) Continua. 

Con respecto a los errores en el post-test se tiene que un total de 3 alumnos han fallado en sus respuestas. Un alumno ha cometido un error en el proceso de reducción a común denominador mientras que dos alumnos han vuelto a cometer el error de ordenación que se observó de manera generalizada en el pre-test (figura 14).

Así, con estos resultados, la evolución es muy resaltable en esta cuestión, ya que destaca el aumento de alumnos que han conseguido responder con éxito a las cuestiones. Al respecto del sistema de signos musicales o la notación musical, como función semiótica, son 3 los alumnos que han utilizado esa representación, y les ha permitido resolver con éxito la cuestión.

La tabla 4 muestra que, los alumnos que contestaron correctamente en el pre-test (S2, S4, S13) no han repetido el método de resolución, sino que han optado por utilizar la reducción a común denominador. Por otro lado, los alumnos S10 y S12 son los únicos que han cometido el mismo error tanto antes como después de la intervención.

Resultados Q3

Un análisis descriptivo de las respuestas a la tercera cuestión, producidas por el alumnado, se resume en la tabla 4.

Son 5 de los 12 alumnos quienes lograron escribir una fracción y producir su equivalente, aunque, estas respuestas estaban acotadas a las fracciones que representan la unidad o la mitad de la unidad (figura 16). Esto, probablemente, se debe a que los alumnos comprenden que las fracciones equivalentes tienen el mismo valor en magnitud, pero no recuerdan cómo proceder para obtenerlas si no se trata de las fracciones que representan esas magnitudes tan características.

Figura 16 Fracciones equivalentes en el pre-test: a) valor de 1/2; b) valor unitario. 

En cuanto a los errores en el pre-test, de 3 categorías diferentes, un alumno ha dejado la cuestión sin responder, tres alumnos han intentado obtener la fracción equivalente sumando en lugar de multiplicar (^{Brown y Quinn, 2006}). Por último, hay 3 alumnos que han dado respuesta a la pregunta sin una estrategia ni un método claro.

Analizando ahora la columna del post-test, se observa que prácticamente la totalidad de los alumnos han sido capaces de crear fracciones equivalentes sin confundirse en el proceso (11/12). Además, parece haber una preferencia para obtener las fracciones equivalentes a través de la multiplicación (8/12). Con respecto a los errores, en el post-test solamente un alumno ha cometido el error consistente en sumar un mismo número al numerador y denominador para tratar de obtener una fracción equivalente.

Finalmente, al respecto del uso de la representación gráfica para la obtención de fracciones equivalentes, son 5 de12 alumnos los que en el post-test han hecho uso de ella, y como se observa en la figura 17, todos la utilizan como apoyo para responder, ya que está combinada con el método de multiplicar numerador y denominador por un mismo número. Cabe notar que, en ese modelo gráfico de apoyo, aparece la representación asociada a la música (figura 17 b y c).

Figura 17 Representaciones gráficas con fracciones equivalentes a) continuo, b) discreto-musical, c) continuo-discreto- musical. 

Sobre la evolución individual (tabla 4), lo más destacable, en esta cuestión, es la correspondiente al alumno S7, que tras la intervención no solamente ha proporcionado las fracciones equivalentes, sino que, además ha realizado la representación de dos formas distintas (figura 17c). Por otro lado, el alumno codificado como S10 no ha sido capaz de realizar con éxito ninguna de las tareas de la cuestión ni en el pre-test ni en el post-test, alumno que le ocurrió lo mismo en Q2 y repite patrón más adelante en Q4. Cabe recordar que las fracciones equivalentes proporcionadas por los alumnos en el post-test ya no son las equivalentes al medio o a la unidad, sino que generan otras fracciones equivalentes como a, 23 o 14.

Resultados Q4

Tal y como se puede comprobar en la parte del pre-test en la tabla 5, solo un alumno de 12 ha conseguido realizar con éxito la adición de fracciones. Esto va en línea con lo que se obtiene en estudios precedentes (^{Braithwaite, 2017}) en los que se determina que el alumnado de 13 a 14 años sigue teniendo dificultades al realizar esta operación.

Se puede observar que el método utilizado en el pre-test, por el alumno que ha resuelto correctamente esta cuestión, ha implicado la manipulación de las fracciones (figura 18), pues ha obtenido la expresión decimal y ha operado con estas expresiones (^{Carpenter et al., 1976}). Si bien esto es una estrategia perfectamente válida, también confirma que en el momento de realizar el pre-test el alumno no recordaba las herramientas para contestar la cuestión operando sobre las fracciones, hecho que se evidencia en los errores cometidos.

Figura 18 Método de expresión decimal para sumar fracciones. 

Se determina en el pre-test una tendencia generalizada por parte del alumnado (8 de 12) de cometer el mismo tipo de error: confusión con la regla del algoritmo de multiplicación de fracciones. El alumnado aplica el algoritmo de la multiplicación, pero adaptado a la suma (figura 19), así, suma numerador con numerador y denominador con denominador (^{Howard, 1991}; ^{Keller et al., 1940}; ^{NAEP, 2013}).

Figura 19 Errores al aplicar el algoritmo de la adición, uso del algoritmo de la multiplicación. 

Otro error que marcan los estudios precedentes (^{Mata y Porcel, 2006}), es la adaptación del uso del algoritmo de la división. Así, el alumno que lo utiliza en el pre-test, realiza una suma en cruz (figura 20).

Figura 20 Errores al aplicar el algoritmo de la adición, uso del algoritmo de la división. 

Esta confusión en las reglas de los algoritmos, verifica el hecho de que la regla es un aprendizaje memorístico, lo que implica que con el paso del tiempo se olvide o se confunda con reglas similares (^{Hart, 1981}).

Analizando ahora los resultados obtenidos tras la intervención -post-test- se observa un aumento significativo en el éxito obtenido por el estudiantado (10/12), lo que lleva a determinar que el uso de la música como metodología ha favorecido el proceso de enseñanza-aprendizaje (^{Azaryahu et al., 2020}; ^{Courey et al., 2012}; ^{Lovemore et al., 2022}), y en particular para la adición de fracciones. Esta afirmación se remarca, ya que el alumnado que ha participado en este estudio tenía cono-cimientos previos en la suma de fracciones, por ser un tema, que en el currículo español se inicia en 4º de Educación Primaria y se repite en 5º y 6º curso de este nivel primario, lo que indicaría que su conocimiento debería estar consolidado en el primer curso de educación secundaria, que como se ha comprobado en el pre-test, los resultados en este estudio arrojan otra información.

Si se analizan los métodos utilizados de quienes resolvieron correctamente la actividad Q4 después de la instrucción, se observa que la aplicación del algoritmo de la suma de fracciones es el proceso más utilizado por el alumnado (9/12), siendo un alumno el que ha optado por resolver las operaciones, excepcionalmente de manera gráfica (figura 21), resultado que también fue expuesto por ^{Rau et al., (2015)}.

Figura 21 Uso de la representación gráfica en la adición de fracciones. 

Finalmente, con respecto a los errores en el post-test cabe destacar que un alumno presenta la confusión en el uso del algoritmo de la división (figura 22). Este alumno, tal y como se ve en la tabla 5, venía de un error, aplicando el algoritmo de la multiplicación. Además, aparece un error relacionado con determinar el común denominador (^{Vinner et al., 1981}).

Figura 22 Errores al aplicar el algoritmo de la adición, común denominador. 

En cuanto a la evolución, en primer lugar, se destaca el aumento significativo de alumnos que han realizado ambas operaciones tras la intervención, pasando de uno a diez.

Con respecto a los métodos utilizados por los alumnos en la resolución, en el pre-test, el único alumno que realizó las operaciones lo hizo utilizando la expresión decimal de las fracciones propuestas, tal y como se ha explicado con detalle. En cambio, en el post-test se observa que ningún alumno hace uso de esta estrategia y, en su lugar, todos operan directamente con las fracciones e incluso hay un alumno que realiza las operaciones de forma gráfica (figura 21).

Otro aspecto positivo es que desaparecen las respuestas en blanco en el post-test, los dos alumnos (S15 y S16) pasan a una resolución algorítmica, una correcta (S15) y la otra con un error en la obtención del denominador común.

Siguiendo con los errores, el uso del algoritmo de la división persiste, aunque no lo mantiene S6 que lo hace en el pre-test, sino que es el alumno S10 quien pasa de uso del algoritmo de la multiplicación al de la división.