2.1 Rejillas trinomiales y multinomiales

A continuación, es desarrollado el modelo de valoración multinomial con dos variables de estados y volatilidad cambiante. Se constituye en dos tramos: desde t = 1 hasta T = n adopta un formato trinomial modificado para una variable de estado (precio, ςp ), con volatilidad cambiante, al estilo Kamrad y Ritchken (¹⁹⁹¹) con ajuste en el parámetro para la amplitud de los nodos. Desde el periodo t=1 hasta t=0 la rejilla trinomial se empalma con el modelo multinomial, con dos variables de estado (precio, ςp ), y cantidades, ςq ), siguiendo la lógica propuesta por Herath y Kumar (²⁰⁰⁷), conocida con las siglas MKR (Modified Kamrad y Ritchken).

Para estimar las futuras cantidades el horizonte de proyección se separa en tres tramos: Desde t=0→1 se plantean tres escenarios de producción: alta (qa,t) media (q(m,t)) y baja (q(b,t)) , tomando la forma de una rejilla trinomial. Proyectado el primer periodo, por cada escenario y hasta t=5 , se supone que las cantidades evolucionan condicionadas por las características de cada escenario, en base a un factor de crecimiento. Finalmente, las cantidades se estabilizan con los valores alcanzados en t=5 hasta t=31, final de vida útil estimada. Los tres escenarios tienen la misma pendiente μq y volatilidad σq .

La proyección del precio del bien se divide en dos tramos: Desde t=1→5 sigue un comportamiento trinomial con volatilidades variables por año. Igual que las cantidades, desde t=5→31 el precio se estabiliza. El proceso estocástico del precio se describe con pendiente μp y volatilidad cambiante. La volatilidad presenta tres tramos: σpmax(t=1)>σp(t=2)>σp(t=3)>σp(t=4→∞) , siendo el primer periodo el de máxima volatilidad.

2.2 Desarrollo del modelo para una variable de estado (precio)

Seguidamente se presentan el conjunto de ecuaciones a ser utilizadas en la valoración de estrategias. La secuencia lógica para su implementación es detallada en el apartado 2.4, gráficos 1 y 2.

Para calcular los flujos de fondos libres correspondientes a cada escenario de producción se emplea la siguiente expresión,

Donde %C(a,s) representa el porcentaje de los costos de operación sobre ingresos. El subíndice indica si los costos corresponden a la estrategia de adquirir (a) o diferir la adquisición (s) . Las cantidades proyectadas para cada escenario son representadas por la variable q(e,t) . En este caso, el único componente estocástico es el precio ςpt , extendiéndose en su aplicación desde t=1→∞ . El subíndice (e) indica los diferentes escenarios de producción: alta, media y baja. Finalmente, la variable τ representa la tasa de impuesto a las ganancias³. La variable ςpt sigue un proceso de trinomial, adoptando tres posibles estados

El movimiento ascendente responde a la siguiente expresión

El movimiento descendente se obtiene de la expresión d=1/u y la centralidad determinada por m=u.d=1 . El coeficiente de variación correspondiente a la variable precio es 1/θ , donde θ=μp/σpmax(t=1) . El modelo KR no provee un camino explicito para seleccionar el valor de λ , por lo general se define ad-hoc. Esto trae los siguientes inconvenientes: (a) no se garantiza un confiable conjunto de probabilidades, (b) el valor de las probabilidades dependen del valor de λ sobre el valor de la opción. El modelo MKR adaptado a una variable de estado subsana los inconvenientes asegurando un conjunto de probabilidades positivas 0≤pi≤1 . Para ello, Herath y Kumar (²⁰⁰⁷) proponen la condición de borde sobre el parámetro λ :

Aplicando la ecuación 4 y ∑piσ(t)=1 , se obtienen las expresiones correspondientes a las probabilidades de transición para el periodo t=1→2 , este considerado el de máxima volatilidad:

Las volatilidades de periodos intermedios σp(t=2),  σp(t=3), σp(t=4→∞) implican probabilidades de transición ajustadas (^{Haahtela, 2010} y ²⁰¹¹); (^{Milanesi, 2022}). Con las ecuaciones 5.1, 5.2 y 5.3, se obtienen las probabilidades de transición intermedias,

El horizonte explícito de proyección se extiende desde t=1 hasta t=5 . Desde dicho periodo hasta el final de la vida útil del yacimiento se supone estabilidad de precios y cantidades para cada escenario t=5 →31 . En efecto el precio se estabiliza en el valor alcanzado para cada nodo ςpt=5 . El valor actual en t=5 obtenido de actualizar desde t=31 en cada nodo por escenario, es obtenido con la siguiente expresión,

En la ecuación anterior se utiliza la tasa libre de riesgo (r) como tasa de actualización, ya que el precio es el componente estocástico en los n×2+1 nodos de la rejilla por escenario de producción. La variable T representa el horizonte final y t el quinto año.

En este caso las estrategias a valorar son:

La expresión empleada para seleccionar la estrategia es la siguiente,

La ecuación indica el valor al ejercicio de la opción ς(VOR)t=5 , siendo el máximo valor entre el ejercicio de compra del yacimiento ς(V)a, t=5-I5 y continuar con las operaciones ς(V)s, t=5 . El subíndice indica el valor de los costos empleados en los flujos actualizados desde t hasta T. En el caso de adquirir el yacimiento (a) , se elimina el costo relacionado con la compra del insumo. Si no se adquiere el yacimiento (s) se mantienen los costos de operaciones empleados en el cálculo del flujo de fondos desde t=5 hasta t=1.

La resolución de rejilla es recursiva desde t=5 hasta t=1 con las probabilidades de transición en el siguiente orden: desde t=5 hasta t=2 ecuaciones 6.1, 6.2 y 6.3; desde t=2 hasta t=1 ecuaciones 5.1, 5.2 y 5.3. La expresión utilizada es la ecuación 9.

Esta expresión se utiliza para establecer el valor actual en cada periodo y nodo, a partir del valor obtenido en la ecuación 8. Para su resolución se utilizan las probabilidades de transición del periodo, el valor actual de la estrategia calculado para el nodo del periodo posterior (t+1) actualizado a la tasa libre de riesgo (e-r) y el flujo de fondos correspondiente al periodo ς(FFL)s, t . El subíndice s indica flujos de fondos son obtenidos computando costos sin adquisición %C(s) , puesto que la compra del yacimiento se ejerce en t (año 5).

La valoración de la estrategia alternativa (compra del yacimiento en t=0), requiere resolver recursivamente la rejilla trinomial construida con los flujos de fondos ς(FFL)a, t y valor (V) obtenido en t=5. Este valor es calculado con la estructura de costos con adquisición %C(a) . Para ello se utiliza la ecuación 7, cuya resolución recursiva aplica la siguiente expresión,

Igual que en el caso anterior, la ecuación 10 se emplea en el cálculo del valor actual para cada periodo y nodo. Son utilizadas probabilidades de transición del periodo, el valor correspondiente a cada nodo del periodo posterior (t+1) , actualizado a la tasa libre de riesgo (e-r) ; más el flujo de fondos correspondiente al periodo ς(FFL)a, t . El subíndice s indica que los flujos de fondos son obtenidos computando costos con adquisición %C(a) .

Sintetizando, las ecuaciones 9 y 10 son aplicadas para resolver los nodos contenidos dentro del intervalo de tiempo que va desde t=5 hasta t=1, con única variable de estado (precio) por cada escenario (cantidades).

2.3 Desarrollo del modelo para dos variables de estado (precio y cantidades)

El siguiente paso consiste en determinar el valor actual de cada estrategia. Implica el desafío de combinar dos variables de estado: precio y cantidades desde el momento t=1 hasta t=0. Se plantean los diferentes estados de cada variable y los parámetros necesarios para obtener los coeficientes equivalentes ciertos acorde con el modelo MKR. Los posibles estados son los siguientes,

La combinación de las variables en t=1 (precio ζ1P y cantidad ζ1q ), presentan movimientos ascendente (ui=eλiσit) , descendente (d=1/ui) y centralidad mi=ui.di=1 . Las variables tienen coeficiente de variación igual a 1/θi siendo θ=μi/σi Las variables precedentes permiten derivar los parámetros λ1 y λ2 , cuyas condiciones de borde son:

Las probabilidades de transición resultan ser las siguientes,

Se supone correlación ρ entre las fuentes de incertidumbre. La valoración de la primer estrategia se realiza a partir de la ecuación 9, mediante el valor de los 3 nodos en t=1 cuya variable aleatoria es ζ1P=ζ1Pu, ζ1Pm, ζ1Pd y las cantidades expresadas en tres escenarios ζ1q=ζ1qu, ζ1qm, ζ1qd . En este caso, el modelo multinomial con dos variables de estado presenta 5 nodos a partir de combinar los escenarios de precio y cantidades. El valor actual de la estrategia de no invertir y diferir se calcula con la ecuación 13, en donde io representa la inversión operativa.

Los mismos criterios son aplicados en la valoración de la estrategia 2. En el caso de adquisición el valor actual de la estrategia se obtiene mediante la ecuación 14, donde Io representa el valor de adquisición.

Finalmente, la elección entre ambas estrategias obedece a lógica expuesta en la ecuación 15. La elección de la estrategia D(0) será función del valor dada la información disponible presente,

2.4 Mapa gráfico para la valoración de estrategias: modelo multinomial con dos variables de estados correlacionadas y volatilidad cambiante precio

El primer gráfico presenta el mapa conceptual y las ecuaciones empleadas para valorar la estrategia 1. El planteo consiste en no adquirir y reservar la opción de compra con precio de ejercicio equivalente al valor actual del yacimiento más la tasa de interés de corto. El modelo consta de tres etapas de proyección: desde t=5→31 se suponen tres escenarios de producción (alta, media y baja). En el periodo t=5 se produce el ejercicio de la opción de compra del yacimiento o continuar adquiriendo el insumo del yacimiento para cada escenario de producción. Desde t=5 hasta t=1 cada escenario se valorado recursivamente como rejilla trinomial independiente. Los tres comparten la misma variable de estado (precio) con volatilidad cambiante, ajustado al flujo del periodo. Desde t=1 hasta t=0 el modelo es transformado a multinomial, pues existen dos fuentes de incertidumbre: precio y cantidades.

Elaboración: elaboración propia

Gráfico 1 Proceso de valoración estrategia 1 diferimiento adquisición - continuidad operaciones 

El segundo gráfico representa la estrategia de compra y las expresiones utilizadas para su valuación. El planteo es similar al caso anterior, con la diferencia que no existe flexibilidad estratégica en t=5 y la inversión (compra) es irreversible. El modelo consta de tres etapas de proyección: desde t=5 a 31 se suponen tres escenarios de producción (alta, media y baja). Desde t=5 hasta t=1 cada escenario se plantea como una rejilla trinomial compartiendo la misma variable de estado (precio) con volatilidad cambiante, ajustado al flujo y valor a las cantidades proyectadas. Desde t=1 hasta t=0 son dos fuentes de incertidumbre (precio y cantidades) siendo el modelo multinomial.

Fuente: elaboración propia

Gráfico 2 Proceso de valoración estrategia 2 adquisición - continuidad operaciones  

4.1 Valoración de estrategias desde la perspectiva del desarrollador del proyecto

La siguiente tabla desarrolla la rejilla trinomial correspondiente al precio del bien (ςpt) , con las ecuaciones 2 y 3.

Las siguientes tablas exponen el porcentaje que representan los costos (tabla 4) sobre precio del litio (tabla 8) para las estrategias analizadas.

Valoración de la estrategia 1 desde t=5 a t=1: Las siguientes tablas surgen de valorar recursivamente la estrategia 1 para los tres escenarios de producción. El flujo de fondos (ecuación 1) se construye de las proyecciones de producción (qt) , precio (ςpt) y costos operativos sin adquisición (%C(s)) . El valor del proyecto en t=5 se obtiene mediante la ecuación 7 (valor desde t=5 hasta t=31). La estrategia 1 incorpora el ejercicio de la opción de comprar o continuar con las operaciones (ecuación 8). La resolución recursiva se desarrolla con la ecuación 9. Las tablas que se destacan en negritas itálicas indican la decisión adoptada en cada nodo. Para la resolución recursiva desde t=5 hasta t=1 es utilizada la ecuación 9.

Valoración de la estrategia 2 desde t=5 a t=1: Nuevamente se utiliza la ecuación 1 para estimar el flujo de fondos. Este surge de las proyecciones de producción (qt) , precio (ςpt) y costos operativos en este caso con adquisición (%C(a)) . Aplicando la ecuación 7 se obtiene el valor de continuidad, resuelto recursivamente hasta el momento t=1, (ecuación 10).

Valoración de la rejilla multinomial desde t=1 hasta t=0: Las siguientes tablas presentan la resolución de la rejilla multinomial para el periodo t=1 hasta t=0. Combina las dos variables de estado, arrojando 5 escenarios para t=1 (2n+1). Para valorar la estrategia 1 se utilizan la ecuación 13.

En el caso de la estrategia 2 es empleada la ecuación 14 para estimar el valor actual

A partir de la información disponible en la actualidad, el agente selecciona el curso de acción de mayor valor (ecuación 15). Como todo modelo de analítico de toma de decisiones, la información suministrada se traduce a valores presentes cursos secuenciales de acciones futuras. Las conclusiones serán válidas en un punto del tiempo, ya que el conjunto de información tiende a variar (^{Massé, 1963}). En este caso, la diferencia de valor entre la estrategia 1 y 2 asciende a u$74.367.965, a favor de la primera.

Otra perspectiva de análisis reside en calcular el valor marginal de ambas estrategias, desde la perspectiva de la compra versus diferimiento de la inversión. El resultado obtenido deriva del máximo valor entre el incremento en el valor teórico de la cantera en t=5, y el valor de la opción de diferir, capitalizada al mismo horizonte. La tabla ratifica la elección de la estrategia 2.

El comportamiento del precio del litio es un factor exógeno común para ambas estrategias. El diferencial está dado por los costos variables, el valor de adquisición del yacimiento y momento de ejercicio de la compra. Bajo las condiciones analizadas, la estrategia 2 aporta mayor valor que la estrategia 1, sin perjuicio de que la decisión elegible en el caso analizado carece de flexibilidad estratégica. Por ello se procede a sensibilizar los valores correspondientes a costos por toneladas y precio de adquisición del yacimiento, a los efectos de comparar directamente las estrategias suponiendo similares condiciones.

La estrategia 1 implica costos por u$5.600 la tonelada y valor de adquisición (ejercicio) u$296.074.146 en t=5, arrojando un resultado de u$7.432.320.121 conforme es destacado en la tabla. La estrategia 2, en cambio, implica costos por u$4.100 la tonelada y valor de adquisición en t=0 de u$300.000.000, arrojando un valor de u$7.506.688.076. Bajo estas circunstancias la elección recae sobre la inversión sin diferimiento. Si se supone similares condiciones de costos y valor de adquisición para cada estrategia, en todos los casos la estrategia 1 es elegible antes que la estrategia 2. El valor añadido se encuentra en su flexibilidad estratégica incorporada en el diferimiento de la decisión a la espera de mayor información sobre los factores de incertidumbre. Esa ventaja redunda en un mayor valor ante igualdad de condiciones, conforme surge de la tabla.

Seguidamente es sensibilizado el valor frente a cinco posibles escenarios de costos, con el objeto de trazar un comportamiento gráfico. Los escenarios son: estrategia 1 (E1: $6.000, E2: $5.600; E3: $4.100; E4: $3.600; E5: $2.500) y estrategia 2 (E1: $6.000, E2: $4.100; E3: $3.500; E4: $3.000; E5: $2.500). La valoración de cada estrategia es expuesta en la siguiente tabla,

Atendiendo a las circunstancias del contexto, la estrategia 2 es la que presenta mayor valor, siempre que las condiciones iniciales de información para proyectar no varíen. El siguiente gráfico ilustra los valores obtenidos de sensibilizar costos.

Fuente: elaboración propia

Gráfico 3 Perfil valor estrategias de diferimiento y adquisición 

La línea punteada corresponde a la estrategia 1, asemejándose su comportamiento a un call, a partir del escenario 3 sus beneficios son superiores a los generados por la estrategia 2. El caso puntual evaluado (escenarios 2 a 3) hace que la estrategia 2 arroje valores por encima de la 1.

4.2. Negociación y valuación del yacimiento

En el proceso de negociación¹¹ se deben estimar las bandas de valores, máximo y mínimos a ofertar ajustadas a cada curso de acción. Desde la perspectiva del comprador, los valores a ofertar por el yacimiento surgen del modelo analítico desarrollado para la valoración de las estrategias 1 y 2. Los cursos de acción se reducen a dos estrategias de negociación:

La situación de acuerdo entre las partes (A-A) el precio ofertado asciende a u$300.000.000, valor planteado para la valoración de las estrategias en el modelo analítico. El otro extremo presenta conductas sin acuerdo y supone por defecto la estrategia 1. El precio a ofertar en t=5, a valores actuales, se conecta con el valor determinado en el anexo, u$230.582.777.

El precio anterior es un piso de referencia para la presente negociación al no acordar. De verificarse la tendencia en las proyecciones, el margen de negociación permite incrementar el precio en u$192.040.154, que surge de la diferencia entre el valor de la estrategia 1 con opción de compra (u$7.432.320.121) y el valor de la misma estrategia sin la opción de compra ni reducción de costos de operación (u$ 7.240.279.967). El último valor es el resultante de una estrategia 1 sin ejercicio de opción de compra. En el anexo se desarrolla el proceso de cálculo para estimar el valor indicado.

Se supone para los escenarios con conductas opuestas, quien toma la iniciativa impone precio, siendo aceptado o rechazado por la contraparte. Suponiendo conductas hipotéticas, en el caso de iniciativa a favor del comprador, la oferta asciende a u$251.407.943: valor intrínseco del yacimiento más 30% de la diferencia entre el máximo valor y el valor teórico. Si la iniciativa la toma el vendedor, el precio propuesto es el valor intrínseco de la cantera más el 60% de la diferencia entre el máximo valor y el valor de la cantera.

En base a los precios propuestos en la tabla anterior, es calculado el valor de la operación para las partes: adquirente (A) VAN=(VAI-C) , vendedor VAN=(I(cobro)-VC)

De estos valores se plantea un simple juego de única secuencia, a los efectos de anticipar potenciales conductas. Seguidamente se plantea el desarrollo matricial del mismo.

Cuando el comprador plantea una estrategia de acuerdo, el vendedor obtiene un mayor valor si no acuerda (VDB) y especula con el interés del comprador: Si  C acuerda→VDB>VAB→VDB . Si el comprador plantea una estrategia de iniciativa, para el vendedor aceptar la oferta (VAB) , implica una ganancia segura, en lugar de un futuro con un valor diferido: Si C impone→VAB>VDB→VAB .

Las reacciones del adquirente frente a la conducta del vendedor son espejos de las descriptas. Si el vendedor plantea una estrategia de acuerdo, el comprador obtiene un mayor valor no acordando (VDC) , especulando con una fuerte oferta de precio o simplemente el diferimiento: Si V acuerda→VDC>VAC→VDC . Si el vendedor toma la iniciativa, el comprador no tendría más remedio que aceptar la oferta (VAC) , pues estaría perdiendo el valor agregado de la estrategia 2: Si V impone→VAC>VDC→VAC .

En efecto, el equilibrio de Nash indica que ambos deben imponer precio, en el caso del comprador ofertar $251.407.943. En el caso del vendedor, debe preservar la iniciativa en el proceso $316.853.883¹².

En el caso de acuerdo de compra - venta el valor de la operación se encuentra entre ambas conductas, C=122.960.011;57.514.071→Vacuerdo=74.367.955 , similares consideraciones caben para el vendedor. No acordar y diferir, con un potencial pago bajo las condiciones planteadas, es una estrategia no deseable, puesto que el valor es nulo (para el vendedor) y negativo (para el comprador ya que se pierde de la ventaja de comprar y ahorrar costos)¹³. De optar por dicha acción, se supone que existe futuro colaborativo el cual debe ser incentivado (^{Axelrod, 1981} y ¹⁹⁸⁶), En tal caso, el adquirente puede disponer clausulas en base a penalidades monetarias frente al incumplimiento del compromiso de reservar la opción de compra. Si al precio pactado en t=5, el vendedor rechaza la oferta de compra (ejercicio de opción), el resarcimiento para el comprador estaría explicado por la siguiente expresión

La multa a pagar por el titular del yacimiento en el caso de incumplimiento es el máximo valor entre: diferencia de valor del proyecto con opción a partir de la estrategia 1 para el momento t=5→31 VORt y el valor del proyecto sin opción y consecuentemente sin variación en la estructura de costos Vs(t) ; versus el precio de venta Iv(t) menos el valor de ejercicio VCert .

Estrategias mixtas: Se puede explorar las probabilidades de elección de las estrategias en un planteo de juego mixto. En tal sentido p representa la probabilidad de acuerdo del comprador, 1-p la probabilidad complementaria de no acuerdo o iniciativa. Similares consideraciones son aplicables al vendedor, notándolas como q y 1-q respectivamente. Para estimar las probabilidades de indiferencia en cada estrategia se debe plantear el siguiente sistema de ecuaciones con los pagos para cada jugador VC y VC :

Despejando en función p se obtiene la siguiente expresión VC=p-179q+131+196q-74 . El flujo de pago a recibir por el comprador, cualquiera sea su estrategia está dado por la expresión entre corchetes, pues no depende de p . Para una probabilidad de q=0.73 el paréntesis se hace cero, entonces el comprador será indiferente ante cualquier valor de p . En el caso del vendedor el pago queda planteado como VC=q-37p+20+86p , siendo las probabilidad de indiferencia p=0.54 .