1. INTRODUCCIÓN

Después de la asignatura de español, matemáticas ocupa el mayor número de horas para su estudio en la educación primaria en México. De las 900 horas anuales que se tienen programadas, 200 están destinadas al estudio de las matemáticas (^{Secretaría de Educación Pública [SEP], 2011}).

En los últimos años México lleva a cabo ejercicios de evaluación a gran escala de los aprendizajes de los alumnos. Los resultados obtenidos muestran, de manera general, que los estudiantes de educación primaria (entre 6 y 12 años) alcanzan niveles deficientes en el aprendizaje de las matemáticas.

Los resultados de las pruebas aplicadas en el marco del Plan Nacional para la Evaluación de los Aprendizajes (PLANEA) 2015 para sexto grado, indican que la mayoría de los alumnos se ubica en los niveles de logro 1 y 2, donde solo escriben, comparan y resuelven problemas aritméticos con números naturales. Solamente unos pocos (cerca de 7%) son capaces de resolver problemas que involucran números naturales, decimales y fraccionarios; o en donde el cálculo de promedios y medianas, así como la comparación de razones se ven involucrados (^{Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación [INEE], 2015}).

En el ámbito internacional, México también ha participado en evaluaciones a gran escala. En el Tercer Estudio Regional Comparativo y Explicativo (TERCE), aplicado en junio de 2013 a una muestra nacional de escuelas primarias, los resultados obtenidos mostraron que cerca de una cuarta parte (23%) de los estudiantes alcanzó el nivel 1, esto es, pueden realizar tareas como “ordenar números naturales y decimales” (^{Flores y Díaz, 2016}). 40% se ubicó en el nivel 2, donde son capaces de “resolver problemas simples con números naturales, decimales y fracciones” (^{Flores y Díaz, 2016: 21}). 23% obtuvo el nivel 3, algunas tareas que pueden realizar son: resolver problemas que contengan proporciones que involucran tanto las fracciones como los decimales (^{Flores y Díaz, 2016}). Solo 14% consiguió el nivel 4; además de efectuar las tareas de los niveles anteriores, son “capaces de interpretar datos de tablas o gráficas complejas para resolver problemas que incluyen conversión de unidades de medida y uso de números decimales y fracciones” (^{Flores y Díaz, 2016: 22}).

Los Exámenes de Calidad y Logro Educativo (Excale) aportan información acerca de la dificultad que, para los alumnos de educación primaria, representan las fracciones y los decimales. En 2009, por ejemplo, en la aplicación en 6º grado un tercio de los estudiantes (32%) respondió correctamente reactivos relacionados con operaciones de fracciones, con denominadores distintos o sumar dos fracciones con diferente denominador. Solamente 18% pudo ordenar en forma ascendente números decimales hasta milésimos, o resolver problemas de fracciones que relacionan dos números que representan la parte y el todo (INEE, 2012).

Los resultados anteriores son ejemplo de que, si bien a la asignatura de matemáticas se le otorga un lugar importante en el currículo de educación primaria, los alumnos no alcanzan los aprendizajes esperados. Si se considera que una de las figuras importantes en el aprendizaje escolar la constituye el profesor, sus conocimientos al respecto -tanto matemáticos como didácticos- se vuelven significativos. De ellos depende, en gran medida, la manera en que promueven los aprendizajes. Al respecto ^{Hill, Rowan, y Ball (2005)} señalan que los profesores necesitan un tipo de conocimiento matemático que les permita proporcionar explicaciones a sus estudiantes, analizar sus respuestas y emplear diversos recursos para representar conceptos matemáticos.

Las fracciones y los decimales son temas en que los docentes y los estudiantes para profesores presentan dificultades, tanto en su comprensión como para la enseñanza. Diversas investigaciones (^{Ball, 1990}; ^{Contreras, Carrillo, Zakaryan, Muñoz-Catalán y Climent, 2012}; ^{Durmuş, 2005}; ^{Gairín, 2013}; ^{Montes et al., 2015}; ^{Newton, 2008}) resaltan las carencias de los estudiantes para profesores en los conocimientos acerca de dichas temáticas.

Con frecuencia se da por hecho que quienes ingresan a una institución para formarse como profesores cuentan con suficientes conocimientos matemáticos y que solo requieren un entrenamiento en didáctica, cuando en verdad muchos tienen pocas habilidades matemáticas y una pobre comprensión de los conceptos matemáticos, en especial de las fracciones, e incluso pueden tener muchas de las limitadas y erróneas comprensiones de los alumnos de educación básica (^{Newton, 2008}). La deficiente formación matemática con que ingresan muchos estudiantes a las instituciones formadoras de docentes es reportada en otros estudios, por ejemplo ^{Montes et al. (2015)}, quienes reportan que la mayoría tuvo su último contacto con las matemáticas varios semestres, o incluso años atrás.

Gairín (2004) hace un recuento de las limitaciones de los estudiantes para maestros en cuanto a sus conocimientos sobre los números racionales positivos: menciona que otorgan a la fracción un significado casi exclusivo como relación parte-todo, asociado además a modelos físicos; la notación decimal se reconoce exclusivamente como significado numérico, sin asociación a cantidades de magnitud; la relación entre las notaciones fraccionaria y decimal se da exclusivamente mediante procesos algorítmicos; solo se utilizan técnicas de cálculo para establecer relaciones de orden entre facciones, sin recurrir a modelos; solamente una tercera parte de los estudiantes considerados en este estudio establece relaciones de orden entre números decimales aplicando el principio del valor posicional; no admiten la densidad respecto al orden de los números racionales.

En general, las deficiencias que los profesores tienen se centran en: a) Otorgar a las fracciones un significado casi exclusivo como relación parte-todo; b) Un manejo de los números decimales como si fueran números enteros (^{Ávila y García, 2008}; Gairín, 2004).

Consideramos que los conocimientos matemáticos que los profesores adquieren antes de incorporarse al servicio docente resultan indispensables para el desarrollo de los aprendizajes de los estudiantes de primaria. Se espera que durante sus estudios los futuros profesores consoliden sus conocimientos matemáticos y adquieran los didácticos “que les permitan diseñar y aplicar estrategias didácticas eficientes para que los alumnos de educación primaria se apropien de las nociones, conceptos y procedimientos” (^{SEP, 2013: 5}).

Coincidimos con ^{Contreras, Carrillo, Zakaryan, Muñoz-Catalán y Climent (2012:453)} en que “el conocimiento especializado, que formará parte de su formación como maestros, necesita de un fuerte conocimiento matemático común previo, por ello no podemos obviar esta cuestión; al contrario, debemos tomarla como punto de partida”. Bajo este supuesto, en este trabajo analizamos el Conocimiento Común del Contenido acerca de las fracciones y decimales de estudiantes que aspiran a ser profesores de primaria. Nos centramos en estos números, entre otras razones, a causa de los resultados que obtienen los alumnos de primaria en las distintas evaluaciones, por el valor que este tipo de números tienen en sí mismos y debido a sus aplicaciones en otros contenidos matemáticos pero, sobre todo, por la importancia que en esto tiene la participación del profesor. Para ello empleamos el Modelo del Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT, por sus siglas en inglés) desarrollado por ^{Ball (2000}, ²⁰⁰³⁾.

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

3. METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

Se trata de una investigación cuantitativa en donde empleamos el método de la encuesta. Como instrumento de obtención de información se diseñó y administró un examen de conocimientos sobre fracciones y decimales enseñados en la escuela primaria, compuesto por 30 reactivos. La Tabla 1 muestra el propósito de cada reactivo de la prueba.

Un total de 275 estudiantes para profesores de la Licenciatura en Educación Primaria (LEP) de dos Escuelas Normales del estado de Durango, en México, respondieron la prueba. 96 (62 de 5º semestre y 34 de 7º) de una Normal urbana y 179 (84 de 5º y 95 de 7º) de una Normal rural.

Para la validación de los reactivos que conformaron la prueba se emplearon los supuestos de la Teoría Clásica de los Test (TCT). Una de las ideas que la TCT sostiene es que, para validar una prueba, es necesario calcular el Índice de Confiabilidad y el Error de Medida, además de estimar el Índice de Discriminación y el Índice de Dificultad de cada reactivo. Con base en los resultados que obtuvimos en una aplicación piloto, ajustamos algunos reactivos y eliminamos otros. Con los resultados de los análisis anteriores concluimos que la prueba resultaba confiable, aunque moderadamente fácil de resolver para los estudiantes para profesores. El cálculo del Índice de Confiabilidad se elaboró mediante el coeficiente del alfa de Cronbach, obteniendo un valor de 0.808. El error de medida fue de 0.192.⁶

4. RESULTADOS

Para el análisis, las respuestas fueron codificadas de la siguiente manera: 0 (cero) para una respuesta incorrecta y 1 para una respuesta correcta. Dado que el total de reactivos fue de 30, un puntaje para quien respondió correctamente todos los ítems fue de 30 aciertos; para el que respondió de forma incorrecta todo el examen, su puntaje sería de 0 (cero).

El promedio de aciertos para el total de la muestra fue 24.1 (s = 4.2),⁷ el cual es muy similar al reportado por ^{Newton (2008)} (con un promedio de 23.25 de un total de 30 reactivos, para las habilidades de cálculo, en un examen previo a un curso de matemáticas contestado por estudiantes para profesores, y a un promedio de 27.6 posterior al citado curso). El puntaje de aciertos más alto fue de 30 y el menor de 10.

El promedio (24.1) sugiere que, en general, los participantes respondieron correctamente casi todos los reactivos. Lo que nos lleva a considerar, de entrada, que los estudiantes para profesores de las escuelas en donde realizamos el estudio cuentan con conocimientos que les permiten resolver problemas y algoritmos que involucran fracciones y decimales estudiados en la escuela primaria (^{Ball, Thames y Phelps, 2008}).

Conviene matizar el hallazgo anterior porque 10 estudiantes obtuvieron 15 o menos respuestas correctas, lo cual llama la atención, pues el examen fue elaborado considerando contenidos matemáticos que se estudian en la escuela primaria (ver Tabla 1). De estos 10, cuatro cursaban 7° semestre de la LEP y en breve serían profesores en servicio, con un grupo de alumnos de primaria a su cargo.⁸

Se calculó el promedio de aciertos por escuela, semestre y grupo. Los estudiantes de la Normal urbana obtuvieron un promedio de 24.6 (s = 3.9) aciertos, mientras que los de la Normal rural alcanzaron 23.8 (s = 4.3). Aun cuando la diferencia en los promedios fue menor a un punto, se consideró pertinente analizar si resultaba estadísticamente significativa. Dado que los datos no presentaron una distribución normal⁹ empleamos la prueba U de Mann-Whitney,¹⁰ mediante la cual se encontró que entre los resultados globales de ambas Escuelas Normales no existen diferencias estadísticamente significativas (esto es, sin hacer distinción entre semestres y grupos).

Realizamos una comparación entre el promedio de aciertos por escuela y semestre que cursaban los estudiantes. Lo anterior porque nos resulta útil distinguir los conocimientos entre alumnos de diferentes semestres y con base en el supuesto de que los conocimientos de los alumnos de 7° eran distintos a los de 5°, no solo por los dos semestres de distancia sino también debido a la experiencia al frente de un grupo de alumnos de primaria que proporcionan las jornadas de práctica intensiva que realizan los estudiantes de 7°, además de que este análisis contribuye a una descripción más detallada de los conocimientos sobre fracciones y decimales de los futuros profesores. En la Figura 2 aparece esta comparación.

Considerando que todos los alumnos ya cursaron las asignaturas de la licenciatura que se relacionan con la enseñanza de las matemáticas,¹¹ se esperarían resultados similares en todos los semestres. Sin embargo, las diferencias nos plantean situaciones interesantes. La diferencia más grande de los promedios entre semestres es cercana a los 3 puntos y medio (de 5° a 7° semestres de la Normal urbana). Llama la atención el hecho de que la diferencia entre los semestres de la Normal rural no sea ni de un dígito.

Con el fin de observar si las diferencias eran estadísticamente significativas, elaboramos pruebas de contraste de hipótesis. La Tabla 2 muestra un resumen de los datos contrastados, la prueba empleada¹² y su resultado. Tenemos que en las comparaciones donde intervienen los resultados de los alumnos de 7° semestre de la Normal urbana resultan estadísticamente significativas. Parece entonces que dichas diferencias no se deben al azar.

Estos resultados sugieren diversas explicaciones, por ejemplo, pueden deberse a los conocimientos que los estudiantes de 7° semestre de la Normal urbana hubieran adquirido durante su paso por la educación básica y media superior (por tener mejores profesores o mejores condiciones de aprendizaje). Otra posible explicación es que las diferencias en realidad se deban a los conocimientos que desarrollaron durante los cursos de matemáticas que estudiaron como parte de su formación docente, donde quizá lograron consolidar los conocimientos acerca de las fracciones y decimales que se consideraron en el examen (debido tal vez, también a mejores profesores y estrategias de enseñanza) o, lo que es lo mismo, un desarrollo en el conocimiento común del contenido matemático.

Se calculó el promedio de aciertos por grupo en cada semestre de ambas escuelas normales; la Tabla 3 contiene dicha información y en ella aparecen resaltados con doble asterisco (**) los más bajos y señalados con un asterisco (*) los más altos. En la Normal rural la diferencia entre los grupos B y D de 7° es de 5 aciertos. Se advierte que los resultados del grupo B de 7° semestre de la Normal rural son similares a los obtenidos por el grupo de 7° de la Normal urbana.

Aunque en conjunto existe una diferencia estadísticamente significativa entre el promedio de aciertos de los alumnos del 7° semestre de la Normal urbana y los de la Normal rural, al analizar el promedio de aciertos por grupo encontramos que el de 7° B de la Normal rural es muy similar al 7° U de la Normal urbana. Lo más notorio es la diferencia entre los resultados de una misma escuela, en este caso en el 7° semestre de la Normal rural.

Resalta también que todos los grupos de 5° semestre de la Normal rural obtuvieron un promedio de aciertos por encima del 5° B de la Normal urbana. Incluso el 5° D de la Normal rural obtuvo un valor ligeramente mayor al 5°A de la Normal urbana. Estas diferencias entre grupos, independientemente del tipo de escuela e incluso el semestre, hacen suponer, como posible explicación, que las diferencias se deben al o los docentes que les impartieron los cursos relacionados con la formación matemática, o al menos el de “Aritmética: su aprendizaje y enseñanza”, donde se estudian las fracciones y los decimales. Se puede inferir así, como lo sugieren Conteras et al. (2012), el potencial que puede tener la Escuela Normal para lograr mejores aprendizajes aritméticos de los futuros profesores, a pesar de su origen sociocultural y sus antecedentes académicos.

Hicimos un proceso de análisis más detallado al examinar el porcentaje de respuesta correcta para cada reactivo. Con lo anterior se pretendió ir configurando los conocimientos de los futuros profesores sobre fracciones y decimales. Para ello analizamos el porcentaje de respuesta correcta para cada reactivo. La Tabla 4 presenta cada uno de ellos y el conocimiento que se pretendía medir con cada reactivo. Los porcentajes de respuesta correcta más altos corresponden a los reactivos que involucraron números decimales, mientras que los más bajos fueron aquellos que implicaron el uso de fracciones. Este hecho quizá tenga una explicación en que los decimales tienen una ventaja sobre las fracciones, pues resulta más fácil operar con ellos, pues los algoritmos son los mismos que se emplean en los números naturales, solo que existe la dificultad al elegir el lugar en dónde se debe colocar el punto decimal en el resultado (^{Ávila y García, 2008}).

Para analizar con mayor detalle las respuestas de los estudiantes, se organizaron los reactivos que conformaron el examen en grupos, de acuerdo con el conocimiento que implicaron para su solución. Formamos cinco conjuntos de reactivos que involucraron:

La Tabla 5 presenta los porcentajes de respuesta correcta para los reactivos que involucraron el uso de operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) con números decimales. Se incluyeron cuatro reactivos (1, 2, 4 y 15), tres presentados como problemas y uno que implicó la resolución de un algoritmo de suma (1).

Como se observa, la gran mayoría de los estudiantes respondió de manera correcta los reactivos de este grupo, lo cual nos lleva a suponer que los futuros profesores, en general, cuentan con el conocimiento para resolver problemas que implican el uso de suma, resta, multiplicación y división con números decimales. Es importante recordar que los reactivos hacen referencia a contenidos que se estudian en la escuela primaria.

Aunque los resultados anteriores nos hacen pensar que los estudiantes poseen los conocimientos básicos sobre fracciones y decimales, nos propusimos analizar el tipo de respuestas proporcionadas por estos futuros profesores. Observamos que quienes contestaron de manera incorrecta, por lo general cometían el mismo error. La Figura 3 muestra la forma en que uno de los participantes resolvió el reactivo 1. Como se aprecia, el acomodo de los sumandos que hace es erróneo. El error es colocar los números decimales en posición inadecuada, pues el número 6 del segundo sumando (12.6) que se ubica en la posición de los décimos, al resolver la suma, el alumno lo coloca en el lugar de los centésimos. Este error ^{Centeno (1988)} lo identifica como uno de los más comunes, y se relaciona con el concepto de número decimal. Además, resulta interesante que el porcentaje de alumnos que respondieron de manera incorrecta este reactivo (10.8%) representa 29 estudiantes, la mayoría de ellos (20) de la Normal rural.

En la Tabla 6 se presenta el porcentaje de aciertos para los reactivos que implicaron el manejo de alguna propiedad de los decimales. El reactivo 5 registró el menor porcentaje de respuesta correcta. En dicho reactivo se solicitó transformar el número 8.05 a una fracción decimal (Figura 4).

Aunque casi todos los estudiantes (86.6%) respondieron el reactivo 5 de manera correcta, el resto, 36 estudiantes (13.4%), lo hizo incorrectamente. Estos alumnos, en su mayoría, seleccionaron la opción D como correcta. Encontramos respuestas como la que muestra la Figura 4 La solución del estudiante hace suponer que al trasformar el número 8.05 a una fracción decimal consideró la cantidad de cifras que lo componen (3) y, con base en ello, seleccionó un número con la misma cantidad de ceros (en este caso 1000). Sobresale su confusión respecto a la posición del numerador y del denominador.

En la Tabla 7 aparecen los porcentajes de respuesta correcta en los reactivos que involucraron la resolución de operaciones básicas con fracciones. Alrededor de ocho de cada 10 futuros profesores fue capaz de resolver problemas que implicaron operaciones básicas (suma, resta, multiplicación o división) con fracciones, lo anterior nos permite sostener que quienes participaron en este estudio poseen el conocimiento matemático que demandan situaciones como las planteadas en los reactivos.

Al analizar las respuestas de los estudiantes con relación a este conjunto de preguntas centramos la atención en el reactivo 26, donde se esperaba que los estudiantes resolvieran un problema que implicaba la suma de tres fracciones propias con denominadores equivalentes. Cerca de una tercera parte de los futuros profesores (28%, que representan 77 alumnos) no fue capaz hacerlo. Resulta interesante que la mayoría eran alumnos de la Normal rural (32 de 5° semestre y 31 de 7°). Al analizar las respuestas que respondieron incorrectamente se encontró que una cantidad importante (12.3%, es decir 33 estudiantes) siguió un procedimiento de resolución muy parecido al que presenta la Figura 5.

Con el propósito de resolver el problema del reactivo 26, el estudiante trans forma las fracciones a decimales. Para ello, divide el numerador entre el deno minador (como señalan las flechas) de cada fracción. Con las cantidades que obtiene realiza una suma (0.66 + 0.16 + 0.08), cuyo resultado es 0.90; con base en tal cantidad intuye que, para alcanzar un entero, falta 0.10 que es igual 110 , por lo que selecciona la opción C. Con este procedimiento no es posible encon trar la respuesta correcta (opción D), pues el cociente de la división en la fracción 23 es un número decimal periódico (0.66666666) y el estudiante solo considera dos (0.66). Lo anterior llama la atención pues el reactivo consiste en un problema que puede ser resuelto obteniendo fracciones equivalentes. Esto es, calcular para 23, 16 y 112 fracciones equivalentes que tengan denominador común, en este caso 12.

En el examen se incluyeron problemas en los que era necesario usar dos algoritmos (suma, resta, multiplicación o división) que involucraron fracciones para resolverlos. El porcentaje de respuesta correcta para estos reactivos aparece en la Tabla 8. Fue en este conjunto de reactivos donde se registró el porcentaje de respuesta correcta más bajo. Estos resultados coinciden con el estudio de ^{Newton (2008)}, quien encontró en estudiantes para profesores un mayor número de errores en tareas de resolución de problemas de multiplicación y división de fracciones. Entre los datos mostrados resalta el reactivo 25, donde se planteó encontrar el área de un triángulo rectángulo, lo cual implicaba, primero, realizar una multiplicación y luego una división.

El reactivo 25 se muestra en la Figura 6. Se esperaba que los estudiantes reali zaran la multiplicación entre las fracciones 12 y 45; después una división del producto obtenido (410) entre 2, para con ello obtener la respuesta correcta (opción C). Sin embargo, cerca de 40% (120) de los futuros profesores eligieron la opción B; esta respuesta se obtiene al omitir la división. La mayor proporción de quienes respondieron de manera incorrecta fueron alumnos de la Normal rural (86), aunque en la Normal urbana una cantidad considerable (63 estudiantes) también respondió de forma equivocada. El error que cometen los estudiantes puede no deberse a su conocimiento acerca de cómo resolver algoritmos con fracciones, sino más bien a la omisión de algún “paso” (la división entre dos, por ejemplo) al emplear de manera inadecuada la fórmula para calcular el área de un triángulo, lo que, de todas formas, muestra una comprensión deficiente del problema planteado. Ser capaces de realizar los algoritmos pero sin tener una comprensión global del problema (que implica el reconocimiento de valores implícitos) parece reflejar un conocimiento del contenido matemático fragmentado, como lo refiere ^{Newton (2008)}.

El reactivo 22 es otro de los que llama la atención por el bajo porcentaje de respuesta correcta. En él se pretendía que los futuros maestros realizaran una suma de fracciones que incluía tres sumandos, para luego restar el resultado a un total no explícito (véase Figura 7).

El proceso de solución de la Figura 7 muestra cómo cerca de una cuarta parte de los estudiantes (23%) resolvió el problema. Se observa que el estudiante suma dos de las fracciones 15+14 ; al resultado (920) suma la otra fracción (13). Con ello demuestra que tiene el conocimiento para resolver sumas de fracciones propias empleando el algoritmo convencional de la suma de fracciones. El resultado que obtiene (4760) no responde correctamente el problema, pues es necesario restar esta cantidad a un total no explícito, es decir, el sueldo del sujeto mencionado en el problema, y que para solucionarlo debe ser un entero. Este es uno de los problemas en el aprendizaje de las fracciones al que ^{Fandiño (2009)} llama “dificultades en la realización de operaciones” con fracciones; es uno de los temas que durante mucho tiempo ha sido de interés para los investigadores en el área de didáctica de las matemáticas. ^{Fandiño (2009)} señala que uno de los errores que con mayor frecuencia cometen los alumnos es identificar cuándo se deben emplear qué operaciones, tal y como sucede en el ejemplo de la Figura 7, en donde el participante solo usa un algoritmo (suma).

En el examen también se exploraron conocimientos acerca del manejo de algunas propiedades de las fracciones, como la equivalencia o la densidad. La Tabla 9 ofrece el porcentaje de aciertos para estos reactivos. En este conjunto de reactivos se incluyeron otras preguntas relacionadas con ubicar fracciones en la recta numérica, o el orden de estos números. Se puede decir que los estudiantes que participaron en el estudio son capaces de resolver problemas cuya solución implica el conocimiento de alguna de las propiedades de las fracciones que se preguntaron en el examen.

Con el reactivo 9, que registró el porcentaje más bajo en este grupo problemas, se intentó explorar el conocimiento de los futuros profesores para encontrar una fracción contenida entre otras dos distintas: la densidad. La propiedad de densidad de una fracción significa que entre cualesquiera dos fracciones distintas puede siempre encontrarse otra fracción (^{Peterson y Hashisaki, 1980}). En la Figura 8 se muestra el reactivo 9 del examen administrado. Al analizar las respuestas de los estudiantes resalta que 45 eligieron la opción A como correcta, aunque no lo fuera. Esta opción, 23, pareciera ser la que responde al problema, pues tanto el numerador como el denominador, si se toman como números naturales, se encuentran entre el numerador y denominador de las fracciones 12 y 35. De nueva cuenta, la mayor cantidad de participantes que respondieron de forma incorrecta el reactivo se presentó en la Normal rural.

La Tabla 10 presenta los porcentajes de respuesta correcta para dos preguntas que involucraron la realización de operaciones básicas con números decimales y fracciones. El porcentaje más bajo se registró en el reactivo 18, en el cual se esperaba que los estudiantes emplearan una división (entero entre fracción mixta) para resolverlo.

Al analizar las respuestas de los alumnos se observó que hubo quienes recurrieron a transformar la fracción a números decimales para hacer más fácil el manejo (ver Figura 9) y a un procedimiento de tanteos que, en este ejemplo, solo lo acercó a una de las opciones de respuesta. Como reporta Gairín (2004), en este caso la relación entre fracciones y decimales se establece mediante procesos algorítmicos, más que conceptuales. Con ello se confirma que a los estudiantes les resulta más sencillo el manejo de los números decimales pues, como mencionamos, se observó que emplearon esta estrategia para resolver otros reactivos. Fueron 51 estudiantes de la Normal rural quienes registraron el menor porcentaje de aciertos, en comparación con los 17 alumnos de la Normal urbana que respondieron incorrectamente este reactivo.

Vemos, pues, que los resultados del examen proporcionan un panorama de cuáles son los conocimientos sobre fracciones y decimales de los aspirantes a profesores. Como señalamos, el porcentaje de respuesta correcta es más bajo en los reactivos que involucraron el uso de fracciones que aquellos que implicaron números decimales.

5. CONCLUSIONES

El artículo reporta el análisis del Conocimiento Común del Contenido Matemático sobre fracciones y decimales de los estudiantes para profesores de educación primaria. Lo anterior a través de las respuestas a un examen con reactivos que involucraron el uso de fracciones y decimales. Estamos convencidos de la importancia del conocimiento común de los contenidos matemáticos en el quehacer de los docentes. Nos interesamos por estudiantes para profesores porque estamos seguros de que es una etapa fundamental para la formación matemática.

Partimos de la idea de ^{Ball, Thames y Phelps (2008)} cuando mencionan que los maestros necesitan un conocimiento matemático que les permita resolver los problemas y ejercicios que se proponen en el nivel educativo donde trabajan. En el caso de los futuros profesores, demostraron poseer el conocimiento que les permite resolver problemas que involucran fracciones o decimales, si bien estos problemas estuvieron basados en contenidos estudiados en la escuela primaria. Y esta es nuestra primera acotación: los estudiantes para profesores que participaron en nuestro estudio logran resolver problemas con fracciones y decimales diseñados para alumnos que estudian la educación primaria, en otras palabras, saben cómo operar con este conjunto de números, por ejemplo, resolver problemas que implican algunas de las operaciones básicas. Aunque, como se observa en el análisis de la información, existen algunos estudiantes que no lo hacen, así como ciertos contenidos que, a pesar de ser muy elementales, no fueron resueltos correctamente por un porcentaje considerable de participantes.

Somos conscientes de que poseer un Conocimiento Común del Contenido no es suficiente para la enseñanza en matemáticas, éste se complementa con los otros tipos de conocimiento o subdominios. Consideramos que no basta con que un profesor pueda resolver problemas o ejercicios del grado o nivel educativo donde se desempeña, sino que es necesario que sea capaz de enfrentar problemas de grados o niveles educativos superiores. Estaríamos entonces, pisando el terreno del Conocimiento en el Horizonte Matemático y del Conocimiento Especializado del Contenido (^{Ball, 2003}; ^{Ball, Thames y Phelps, 2008}).

El análisis de los resultados refleja que los aspirantes a profesores, en general, resuelven de mejor manera los reactivos que involucran números decimales, no así aquellos que implicaron el uso de fracciones. En el análisis de las formas en que resuelven los reactivos propuestos pudimos detectar que cuando intentan resolver problemas con fracciones, optan por transformarlas en números decimales, de tal manera que les resulte más fácil el tratamiento. Quizá sea porque una ventaja de los números decimales sobre las fracciones comunes es que resulta más fácil operar con ellos, pues los algoritmos son los mismos que se emplean en los números naturales, solo que existe dificultad al elegir el lugar en dónde se debe colocar el punto decimal en el resultado (^{Ávila y García, 2008}). Sin embargo, como se mostró en los ejemplos presentados, esto no necesariamente conduce al resultado correcto.

Detectamos errores en los procedimientos de solución que son elementales en el manejo de fracciones o decimales. Por ejemplo, hubo participantes que, al resolver un problema que implicó suma de decimales, colocaron de forma incorrecta las cantidades (véase Figura 3). También se encontró que en algunos procedimientos de solución omitieron “un paso” para obtener la respuesta correcta (véase Figura 7). Más todavía, algunos resolvieron los problemas descartando opciones de respuesta (por eliminación), como se observa en la Figura 9.

Aunque los futuros profesores cuentan con un Conocimiento Común del Contenido sobre los temas que involucran decimales y fracciones en la educación primaria, nos dimos cuenta de que en una proporción considerable de ellos prevalecen errores que no se superaron en los niveles educativos previos y que los estudios superiores en la Escuela Normal no pudieron corregir. Como bien señalan ^{Contreras et al. (2012)}, las instituciones formadoras de profesores deben asumir el reto de reforzar o incluso completar la formación matemática de los futuros maestros.

Encontramos diferencias entre el promedio de aciertos de los estudiantes de ambas normales. Quienes asistían a una Normal rural, en general, obtuvieron promedios más bajos que quienes pertenecían a una Normal urbana. Creemos que estas diferencias se deben a que los alumnos de las Normales rurales generalmente provienen de medios sociales más desfavorecidos y con antecedentes escolares menos favorables. No obstante estos resultados generales, llama la atención que algunos grupos de la Escuela rural tengan promedios similares a ciertos grupos de la Escuela urbana. El problema de la desigualdad no ocurre únicamente entre la ubicación de las escuelas (rural o urbana), también se aprecia al interior de cada una, debido tal vez a los procesos de selección y conformación de los grupos, o a los profesores asignados a cada grupo.

Consideramos que el principal aporte de este artículo es mostrar las fortalezas en el Conocimiento Común del Contenido matemático de futuros profesores en un tema que históricamente ha sido complejo, tanto para la enseñanza como para el aprendizaje. Aunque también pone de manifiesto las debilidades de los estudiantes, las que sin duda se llevarán hasta el trabajo docente, es decir, los profesores que no tienen un conocimiento consolidado finalmente compartirán sus errores con los alumnos a quienes enseñarán.

Pensamos que la enseñanza de temas que incluyen fracciones y decimales, o de cualquier otro objeto matemático exige, y lo subrayamos, un Conocimiento Común del Contenido consolidado. Además, consideramos que esta consolidación debe lograrse desde y en la formación inicial de los maestros. Es necesario que los futuros profesores (re)construyan los conocimientos acerca de este conjunto de números que adquirieron durante su paso por educación básica y media superior.

Por último, queremos resaltar que, si bien en este artículo solamente exploramos el subdominio del Conocimiento Común del Contenido, somos conscientes de que existe una serie de relaciones entre los diferentes dominios que conforman el MKT, las cuales exploraremos en un estudio futuro.