Investigación

The hydrogen atom via the four-dimensional spherical harmonics

G.F. Torres del Castilloª y J.L. Calvario Acócal ^b

ª Departamento de Física Matemática, Instituto de Ciencias, Universidad Autónoma de Puebla, 72570 Puebla, Pue., México.

^b Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autónoma de Puebla, Apartado postal 1152, 72001 Puebla, Pue., México.

Recibido el 8 de junio de 2007
Aceptado el 15 de agosto de 2007

Abstract

Using the fact that the Schrödinger equation for the stationary states of the hydrogen atom is equivalent to an integral equation on the unit sphere in a four-dimensional space, the eigenvalues, the eigenfunctions, and a dynamical symmetry group for this problem are obtained from the four-dimensional spherical harmonics and the group of rotations on the sphere. It is shown that the four-dimensional spherical harmonics separable in Euler angles correspond to solutions of the time-independent Schrödinger equation that are separable in parabolic coordinates.

Keywords: Hydrogen atom; hidden symmetries; four-dimensional spherical harmonics.

Resumen

Usando el hecho de que la ecuación de Schrödinger para los estados estacionarios del átomo de hidrógeno es equivalente a una ecuación integral sobre la esfera de radio 1 en un espacio de dimensión cuatro, los eigenvalores, las eigenfunciones y un grupo de simetría dinámica para este problema se obtienen a partir de los armónicos esféricos en dimensión cuatro y el grupo de rotaciones sobre la esfera. Se muestra que los armónicos esféricos en dimensión cuatro separables en ángulos de Euler corresponden a soluciones de la ecuación de Schrödinger que son separables en coordenadas parabólicas.

Descriptores: Átomo de hidrógeno; simetrías ocultas; armónicos esféricos en dimensión cuatro.

PACS: 03.65.-w; 02.20.-a; 02.30.Gp

DESCARGAR ARTÍCULO EN FORMATO PDF

Acknowledgment

One of the authors (J.L.C.A.) wishes to thank CONACyT and Dr. Roberto Cartas Fuentevilla for financial support.

References

1. W. Pauli, Z. Physik 36 (1926) 336, reprinted in Sources of Quantum Mechanics, ed., B.L. van der Waerden, (Dover, New York, 1968).        [ Links ]

2. L.I. Schiff, Quantum Mechanics, 3rd ed., (McGraw-Hill, New York, 1968).        [ Links ]

3. W. Greiner and B. Müller, Quantum Mechanics, Symmetries, 2nd ed., (Springer, Berlin, 1989).        [ Links ]

4. K. Gottfried and T.—M. Yan, Quantum Mechanics: Fundamentals, 2nd ed., (Springer, New York, 2003).        [ Links ]

5. V. Fock, Z Physik 98 (1935) 145, reprinted in Dynamical Groups and Spectrum Generating Algebras, Vol. 1, (World Scientific, Singapore, 1988).        [ Links ]

6. V. Bargmann, Z Physik 99 (1936) 576, reprinted in Dynamical Groups and Spectrum Generating Algebras, Vol. 1, (World Scientific, Singapore, 1988).        [ Links ]

7. M. Bander and C. Itzykson, Rev. Mod. Phys. 38 (1966) 330.        [ Links ]

8. G.F. Torres del Castillo and J.L. Calvario Acocal, Rev. Mex. Fis. 44 (1998)344.        [ Links ]

9. D.G.W. Parfitt and M.E. Portnoi, J. Math. Phys. 43 (2002) 4681.        [ Links ]

10. H. Hochstadt, The Functions of Mathematical Physics, (Wiley -Interscience, New York, 1971, reprinted by Dover, New York, 1986).        [ Links ]

11. G. Szegö, Orthogonal Polynomials, (American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1939), §4.7.        [ Links ]

12. W.W. Bell, Special Functions, (Van Nostrand, London, 1968, reprinted by Dover, New York, 2004), Sec. 8.1.        [ Links ]

13. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. (Academic Press, San Diego, 1985), Chap. 12.        [ Links ]