1. Introdução

A infraestrutura ou fundação é a parte da estrutura que normalmente se coloca sob a superfície do solo e que transmite as cargas para o solo ou rocha subjacente. Cada edifício possui a necessidade de resolver um problema de fundação. As fundações são classificadas em rasas e profundas, que têm diferenças importantes quanto a sua geometria, ao comportamento do solo, a sua função estrutural e aos seus sistemas construtivos (^{Bowles, 1996}; ^{Nilson, 1999}; ^{Das et al., 2006}).

As fundações rasas, cujos sistemas construtivos em geral não apresentam grandes dificuldades, podem ser de vários tipos, de acordo com a sua função: sapata isolada, sapata associada, sapata corrida ou radier (^{Bowles, 1996}; ^{Das et al., 2006}).

O trabalho usual de análise estrutural é feito normalmente com as hipóteses de que a estrutura dos edifícios está embutida no solo, isto é, apoiada em um material não-deformável (^{Calavera-Ruiz, 2000}; ^{Tomlinson, 2008}).

A distribuição de pressão do solo sob uma sapata depende do tipo de solo, da rigidez relativa do solo e da fundação, e a profundidade da fundação ao nível de contato entre a sapata e o solo. Uma sapata de concreto apoiada em solos granulares grossos (solos arenosos) terá uma distribuição de pressões semelhante à da Figura 1(a), quando uma sapata rígida está apoiada sobre solo arenoso, a areia perto das bordas da sapata tende a mover-se lateralmente quando o carregamento é aplicado na sapata, tendendo a reduzir a pressão do solo perto das bordas, enquanto que o solo distante das bordas da sapata está relativamente confinado. Em contrapartida, a distribuição da pressão sob uma sapata apoiada em solos finos (argilosos) é similar à Figura 1(b), quando a sapata é carregada, o terreno sob a sapata desvia em uma depressão em forma de concha, aliviando a pressão por baixo do centro da sapata. Para fins de projeto, é comum assumir que a pressão do solo é distribuída de forma linear. A distribuição da pressão será uniforme se o centróide da sapata coincidir com a resultante das cargas aplicadas, como mostrado na Figura 1(c) (^{Bowles, 1996}; ^{Nilson, 1999}).

Figura 1 Distribuição de pressão sob a sapata: (a) Sapata em solos granulados grossos; (b) Sapata em solos finos (argilosos); (c) Distribuição uniforme equivalente. 

Uma sapata associada é uma larga sapata que suporta dois ou mais pilares (normalmente dois) alinhados (^{Kurian, 2005}; ^{Punmia et al., 2007}; ^{Varghese, 2009}).

As sapatas associadas são utilizadas quando: 1) A relação entre as cargas, a capacidade admissível do solo da fundação e a distância entre pilares adjacentes impedem a construção de sapatas isoladas. 2) Um pilar de divisa que está tão próximo da divisa da propriedade que não possibilita centralizar uma sapata isolada sob ele (^{Nilson, 1999}; ^{Kurian, 2005},. ^{Punmia et al., 2007}; ^{Varghese, 2009}).

As sapatas associadas são projetadas de modo que o centro de gravidade de área da sapata corresponda com a resultante das cargas dos dois pilares. Isto produz uma pressão de contato uniforme ao longo de toda a área e evita a tendência de inclinar a sapata. Vistas de planta, estas sapatas são retangulares, trapezoidais ou em forma de T, e os detalhes de sua forma se adaptam para coincidir seu centroide e a resultante (^{Nilson, 1999}; ^{Kurian, 2005}; ^{Punmia et al., 2007}; ^{Varghese, 2009}).

Outro recurso que é usado quando uma sapata simples não pode se centrar um pilar de divisa, envolve a locação da sapata para o pilar periférico de forma excêntrica e conectá-lo com a sapata do pilar interno mais próximo por uma viga alavanca. Esta viga alavanca, estando balanceada pela carga do pilar interno, resiste à tendência da inclinação da sapata de divisa excêntrica e iguala as pressões sob esta. Este tipo de fundação é conhecido como sapatas com vigas alavanca, em balanço ou conectadas (^{Nilson, 1999}; ^{Kurian, 2005}; ^{Punmia et al., 2007}; ^{Varghese, 2009}).

Outra solução para projetar sapatas associadas para pilares sob flexão biaxial é considerar a pressão máxima do solo e esta é considerada uniforme em todos os pontos de contato (^{Calavera-Ruiz, 2000}; ^{Tomlinson, 2008}).

Alguns documentos publicados recentemente considerando a pressão real do solo são: Projeto de sapatas isoladas de forma retangular usando um novo modelo (^{Luévanos-Rojas et al., 2013}); Projeto de sapatas isoladas circulares usando um novo modelo (^{Luévanos-Rojas, 2014}); Projeto de sapatas associadas retangulares de divisa usando um novo modelo (^{Luévanos-Rojas, 2014b}), esta sapata considera apenas um lado restringido.

Este trabalho apresenta um novo modelo para o projeto de sapatas associadas retangulares de divisa com dois lados opostos restritos para obter: 1) Os momentos em torno de um eixo longitudinal (um eixo a-a com uma largura "b₁" e um eixo b-b com uma largura "b₂", que são paralelas ao eixo "Y-Y"; 2) Os momentos em torno de um eixo transversal (eixo c-c, eixo d-d e um eixo e-e que são paralelos ao eixo "X-X"); 3) A força cortante unidirecional (cortante por flexão) sobre os eixos f-f, g-g, h-h e i-i; 4) A força cortante bidirecional (punção), sobre uma seção retangular formada pelos pontos 5, 6, 7 e 8 para o pilar 1 (borda esquerda) e a seção retangular formada pelos pontos 9, 10, 11 e 12 para o pilar 2 (borda direita). A pressão real do solo que atua na superfície de contato da sapata é diferente nos quatro vértices, esta pressão se apresenta em termos dos elementos mecânicos que atuam em cada pilar (carga axial, momento em torno do eixo "X", e momento em torno do eixo "Y"). A abordagem matemática sugerida neste trabalho produz resultados que têm uma precisão tangível para todos os problemas, a parte principal desta pesquisa envolve encontrar a solução mais econômica.

2. Modelo proposto

2.2. Modelo para dimensionamento

Na Figura 2 é apresentada uma sapata retangular combinada de divisa com dois lados opostos restringidos, apoiando dois pilares retangulares de diferentes dimensões, cada pilar sujeito a uma carga axial e momento em duas direções (flexão bidirecional).

Figura 2 Sapata retangular combinada de divisa com dois lados opostos restringidos. 

O valor de "a" é fixo e pode ser expresso em termos de "L" como se segue:

a=L+c12+c32 (2)

onde:

a: dimensão da sapata paralela ao eixo "Y".

Substituindo A = ab, I_x = ba³ /12, I_y = ab³/12, y = a/2, x = b/2 na equação (1) se obtém:

σ=Rab± 6MxTba2± 6MyTab2 (3)

onde:

b: dimensão da sapata paralela ao eixo "X",

R = P₁ +P₂ , M_yT = M_y1 +M_y2: momento total em torno do eixo "Y",

M_xT = M_x1 +M_x2 + P₁ (a/2-c₁ /2)-P₂ (a/2-c₃ /2): momento total entorno do eixo "X".

Se for considerado que a pressão sobre o solo deve ser igual a zero, pelo fato do solo não ser capaz de resistir a tração, o valor de "b" é obtido por:

b=6MyTaRa-6MxT (4)

Se for considerado que a pressão sobre o solo deve ser a capacidade de carga admissível disponível do solo "σ_adm" o valor de "b" é obtido por:

b=Ra+6MxT+Ra+6MxT2+24σadmMyTa32σadma2 (5)

La capacidad de carga admisible disponible del suelo se obtiene de la siguiente manera:

A capacidade de carga admissível disponível do solo é obtida da seguinte forma:

σadm=qa-γppz-γpps (6)

onde: q_a representa a capacidade de carga admissível do solo, γ_ppz é o peso da sapata, γ_pps é o peso próprio do enchimento do solo.

2.3. Novo modelo para projeto de sapatas

A Figura 3 mostra o diagrama de pressão para sapatas retangulares combinadas de divisa com dois lados opostos restringidos, submetidas a uma carga axial e de momento em duas direções (flexão bidirecional) em cada pilar, onde a pressão é apresentada de forma diferente nos quatro vértices e variando de forma linear ao longo de toda a superfície de contato.

Fig. 3 Diagrama de pressão para sapata retangular combinada de divisa com dois lados opostos restringidos. 

A Figura 4 mostra sapatas retangulares combinadas de divisa com dois lados opostos restringidos para obter a pressão em qualquer lugar sobre a superfície de contato do elemento estrutural, devido à pressão exercida pelo solo.

Figura 4 Sapata retangular combinada de divisa com dois lados opostos restringidos. 

A pressão do solo no sentido transversal é:

Para o pilar 1 é:

σP1x, y=P1b1b+ 12My1xb1b3+ 12Mx1+P1b1/2-c1/2ybb13 (7)

Para o pilar 2 é:

σP2x, y=P2b2b+ 12My2xb2b3+ 12Mx2+P2b2/2-c3/2ybb23 (8)

A pressão do solo no sentido longitudinal é:

σx, y=Rab+ 12MyTxab3+ 12MxTyba3 (9)

onde: b₁ = c₁ + d/2 é a largura da superfície de ruptura do pilar 1, b₂ = c₃ + d/2 é a largura da superfície de ruptura do pilar 2.

2.3.1. Momentos

As secções críticas para os momentos são mostradas na Figura 5. Estas são apresentadas nas seções a-a, b-b, c-c, d-d e e-e.

Figura 5 Seções críticas para os momentos 

2.3.1.1. Momentos em torno do eixo "a-a"

A força resultante "F_Ra" se encontra através do volume (bulbo) de pressão da área formado pelo eixo a-a com uma largura b₁ = c₁ + d/2 e a extremidade livre da sapata retangular, onde a maior pressão é apresentada:

FRa=∫-b1/2b1/2∫c2/2b/2σP1x, ydxdy=P1b2+3My1b+c2b-c22b3 (10)

O centro de gravidade “x_ca” é obtido por:

xca=∫-b1/2b1/2∫c2/2b/2xσP1x, ydxdy∫-b1/2b1/2∫c2/2b/2σP1x, ydxdy=P1b2b+c2+4My1b2+bc2+c224P1b2+3My1b+c2 (11)

O momento em torno do eixo "a-a" se obtém através da seguinte equação:

Ma-a=FRaxca-c22 (12)

Substituindo a equação (10) e (11) na equação (12) se obtém:

Ma-a=P1b2+2My12b+c2b-c228b3 (13)

2.3.1.2. Momentos em torno do eixo "b-b"

A força resultante "F_Rb" é obtida através do volume (bulbo) de pressão da área formada pelo eixo b-b com uma largura b₂ = c₃ + d/2 e a extremidade livre da sapata retangular, onde a maior pressão é apresentada por:

FRb=∫-b2/2b2/2∫c4/2b/2σP2x, ydxdy=P2b2+3My2b+c4b-c42b3 (14)

Agora, o centro de gravidade "x_cb" é obtido por:

xcb=∫-b2/2b2/2∫c4/2b/2xσP2x, ydxdy∫-b2/2b2/2∫c4/2b/2σP2x, ydxdy=P2b2b+c4+4My2b2+bc4+c424P2b2+3My2b+c4 (15)

O momento em torno do eixo de "b-b" é obtido por meio da seguinte equação:

Mb-b=FRbxcb-c42 (16)

Substituindo a equação (14) e (15) na equação (16) se obtém:

Mb-b=P2b2+2My22b+c4b-c428b3 (17)

2.3.1.3. Momentos em torno do eixo "c-c"

A força resultante "F_Rc" é o volume (bulbo) de pressão da área formada pelo eixo c-c e os vértices 1 e 2, e esta se apresenta como se segue:

FRc=∫a/2-c1a/2∫-b/2b/2σx, ydxdy =Ra2+6MxTa-c1c1a3 (18)

O centro de gravidade "y_cc" do bulbo de pressão da área formada pelo eixo c-c e os vértices 1 e 2 é obtido por:

ycc=∫a/2-c1a/2∫-b/2b/2yσx, ydxdy∫a/2-c1a/2∫-b/2b/2σx, ydxdy=Ra2a-c1+2MxT3a2-6ac1+4c122Ra2+12MxTa-c1 (19)

O momento em torno do eixo "c-c" é obtido por meio da seguinte equação:

Mc-c=FRcycc-a2-c1-P1c12+Mx1P1 (20)

Substituindo a equação (18) e (19) na equação (20) se obtém:

Mc-c=-P1c1+2Mx1a3-Ra2+2MxT3a-2c1c122a3 (21)

2.3.1.4. Momentos em torno do eixo "d-d"

Em primeiro lugar, deve-se localizar a posição do eixo d-d, que é onde o momento máximo está localizado. Quando a força cortante é zero, o momento é máximo, então a força cortante "Vy = F_Rd - P₁" à uma distância "y_m" é apresentada como segue:

Vy=∫yma/2∫-b/2b/2σx, ydxdy-P1=R-2P1a3+3MxTa2-2Ra2ym-12MxTym22a3 (22)

A força cortante "V_y" é igual a zero e o valor de "y_m" é obtido por:

ym=aR2a2+12MxTaR-2P1+36MxT2-Ra12MxT (23)

O centro de gravidade "y_cd" do volume de pressão da área formada pelo eixo d-d e os vértices 1 e 2 é obtido por:

ycd=∫yma/2∫-b/2b/2yσx, ydxdy∫yma/2∫-b/2b/2σx, ydxdy=Ra+4MxTa3-4Ra2+8MxTymym24Ra+3MxTa2-8Ra2+6MxTymym (24)

O momento em torno do eixo "d-d" é obtido por meio da seguinte equação:

Md-d=FRdycd-ym-P1a2-c12+Mx1P1-ym (25)

Substituindo a equação (22) e (24) na equação (25) se obtém:

Md-d=-4P1a-c1-2ym+2Mx1a3-Ra2+4MxTa+yma-2ym28a3 (26)

2.3.1.5. Momentos em torno do eixo "e-e"

A força resultante "F_Re" é o volume (bulbo) de pressão da área formada pelo eixo d-d os vértices 1 e 2, se apresenta como segue:

FRe=∫-a/2+c3a/2∫-b/2b/2σx, ydxdy=Ra2+6MxTc3a-c3a3 (27)

O centro de gravidade "y_ce" do bulbo de pressão da área formada pelo eixo e-e e vértices 1 e 2 é obtido por:

yce=∫-a/2+c3a/2∫-b/2b/2yσx, ydxdy∫-a/2+c3a/2∫-b/2b/2σx, ydxdy=Ra2c3+2MxTa2-2ac3+4c322Ra2+12MxTc3 (28)

O momento em torno do eixo "e-e" se encontra por meio da seguinte equação:

Me-e=FRea2-c3+yce-P1a-c12-c3+Mx1P1 (29)

Substituindo a equação (27) e (28) na equação (29) se obtém:

Me-e=-P12a-c1-2c3+2Mx1a3-Ra2+2MxTa+2c3a-c322a3 (30)

2.3.1.6. Equação de momentos entre os dois pilares

Para se obter a equação de momentos entre os dois pilares é conhecido que a derivada do momento é a força cortante, portanto, apresenta-se como se segue:

Vy=dMydy (31)

onde: M_y é o momento a uma distância "y", V_y é a força cortante a uma distância "y".

A equação da força cortante é:

Vy =6MxTy2a3+Rya+2P1-Ra-3MxT2a (32)

Substituindo a equação (32) na equação (31) e desenvolvendo a integral se obtém:

My=2MxTy3a3+Ry22a+2P1-Ra-3MxTy2a+C (33)

Agora, para avaliar a constante de integração "C" se substitui y = a/2 ̶ c1 e Mc-c que é mostrado na equação (21), o valor da constante é mostrado como se segue:

C=Ra-4P1a-c1-8Mx1+4MxT8 (34)

Substituindo a equação (34) na equação (33), a equação momento é obtida por:

My=2MxTy3a3+Ry22a+2P1-Ra-3MxTy2a  +Ra-4P1a-c1-8Mx1+4MxT8 (35)

2.3.2. Força cortante unidirecional (cortante por flexão)

A seção crítica para a força cortante unidirecional é obtida a uma distância "d" a partir da face do pilar, como se mostra na Figura 6, onde são apresentadas nas seções f-f, g-g, h-h e i-i.

Figura 6 As seções críticas para as forças cortantes unidirecionais. 

2.3.2.1. Força cortante no eixo "f-f"

A força cortante por flexão "V_ff-f" atuando no eixo f-f da sapata é obtida através do volume de pressão da área formada pelo eixo f-f com uma largura "b₁ = c₁ + d/2" e a extremidade livre da sapata retangular, onde a maior pressão é apresentada por:

Vff-f=∫-b1/2b1/2∫c2/2+db/2σP1x, ydxdy=P1b2+3My1b+c2+2db-c2-2d2b3 (36)

2.3.2.2. Força cortante no eixo "g-g"

A força cortante por flexão "V_fg-g" que atua no eixo g-g da sapata se encontra através do volume de pressão da área formada pelo eixo g-g com uma largura " b₂ = c₃ + d/2" e a extremidade livre da sapata retangular, onde a maior pressão é apresentada por:

Vfg-g=∫-b2/2b2/2∫c4/2+db/2σP2x, ydxdy=P2b2+3My2b+c4+2db-c4-2d2b3 (37)

2.3.2.3. Força cortante no eixo "h-h"

A força cortante por flexão "V_fh-h" que atua sobre o eixo h-h da sapata é a força "P₁" que atua no pilar 1 menos o volume (bulbo) de pressão da área formada pelo eixo h-h e vértices 1 e 2 da sapata e se apresenta como se segue:

Vfh-h= P1-∫a/2-c1-da/2∫-b/2b/2σx, ydxdy =P1a3-Ra2+6MxTa-c1-dc1+da3 (38)

2.3.2.4. Força cortante no eixo "i-i"

A força cortante por flexão "V_fi-i" que atua no eixo i-i da sapata é a força "P₁" que atua no pilar 1 menos o volume de pressão da área formada pelo eixo i-i e os vértices 1 e 2 da sapata e se apresenta como se segue:

Vfi-i=P1-∫-a/2+c3+da/2∫-b/2b/2σx, ydxdy=P1a3-Ra2+6MxTc3+da-c3-da3 (39)

2.3.3. Força cortante bidirecional (punção)

A seção crítica para a força cortante bidirecional aparece a uma distância "d/2" a partir da face do pilar em ambas as direções, como se mostra na Figura 7.

Figura 7 Seções críticas para as forças cortantes bidirecionais 

2.3.3.1. Punção para o pilar 1

A punção da coluna 1 "V_p1" que atua sobre a sapata é a força "P₁" a menos a área retangular formada pelos pontos 5, 6, 7 e 8, mostrado como se segue:

Vp1=P1-∫a/2-c1-d/2a/2∫-c2/2-d/2c2/2+d/2σx, ydxdy=P1a3b-Ra2+6MxTa-c1-d/2c2+dc1+d/2a3b (40)

2.3.3.2. Punção para o pilar 2

A punção do pilar 2 "V_p2" que atua na sapata é a força "P₂", a menos a área retangular formada pelos pontos 9, 10, 11 e 12, conforme é mostrado a seguir:

Vp2=P2-∫-a/2-a/2+c3+d/2∫-c4/2-d/2c4/2+d/2σx, ydxdy=P2a3b-Ra2-6MxTa-c3-d/2c4+dc3+d/2a3b (41)

3. Exemplo numérico

O projeto de uma sapata combinada retangular de divisa, com dois lados opostos restringidos, que apoia dois pilares quadrados é apresentado na Figura 2, com as seguintes informações básicas: Pilar 1 = 40x40 cm; Pilar 2 = 40x40 cm; L = 5.60 m; H = 2.0 m; P_D1 = 600 kN; P_L1 = 400 kN; M_Dx1 = 140 kN-m; M_Lx1 = 100 kN-m; M_Dy1 = 120 kN-m; M_Ly1 = 80 kN-m; P_D2 = 500 kN; P_L2 = 300 kN; M_Dx2 = 120 kN-m; M_Lx2 = 100 kN-m; M_Dy2 = 110 kN-m; M_Ly2 = 90 kN-m; f’_c = 21 MPa; f_y = 420 MPa; q_a = 220 kN/m² ; γ_ppz = 24 kN/m³; γ_pps = 15 kN/m³.

Onde: H é a altura da sapata, P_D é o peso próprio, P_L é a sobrecarga, M_Dx é o momento em torno do eixo "X-X" do peso próprio, M_Lx é o momento em torno do eixo "X-X" da sobrecarga, M_Dy é o momento em torno do eixo "Y-Y" do peso próprio, M_Ly é o momento em torno do eixo "Y-Y" da sobrecarga.

O projeto é realizado usando o critério da resistência última, e obtido pelo procedimento empregado por ^{Luévanos-Rojas (2014b)}.

Passo 1: As cargas e momentos que atuam no solo são: P₁ = 1000 kN; M_x1 = 240 kN-m; M_y1 = 200 kN-m; P₂ = 800 kN; M_x2 = 220 kN-m; M_y2 = 200 kN-m; R = 1,800 kN; M_yT = 400 kN-m; M_xT = 1,020 kN-m.

Passo 2: A capacidade de carga disponível no solo: é proposta a espessura "t" da sapata, a primeira proposta é a espessura mínima de 25 cm, de acordo com as normas do ACI, posteriormente, a espessura é revisada para atender as condições: momentos, cortante por flexão punção. Se estas condições não forem atendidas, uma maior espessura é proposta, até que as três condições acima sejam atendidas. A espessura da sapata que satisfaz as três condições acima referidas é de 85 cm. Utilizando a equação (6) se obtém a capacidade disponível do solo "σadm", que é 182,35 kN/m².

Passo 3: O valor de "a" da equação (2) se obtém: a = 6,00 m. O valor de "b" com a equação (4) é: b = 3,08 m, e pela equação (5) se obtém: b = 3,25 m. Por conseguinte, as dimensões da sapata são: a = 6,00 e b = m 3,30 m.

Passo 4: Os elementos mecânicos (P, M_x, M_y) que atuam sobre a sapata são: P_u1 = 1360 kN; M_ux1 = 328 kN-m; M_uy1 = 272 kN-m; P_u2 = 1,080 kN; M_ux2 = 304 kN-m; M_uy2 = 276 kN-m; R = 2440 kN; M_uyT = 548 kN-m; M_uxT = 1416 kN-m.

Passo 5: Os momentos que atuam na sapata. Os momentos em torno dos eixos paralelos ao eixo Y-Y são: M _a-a = 544,64 kN-m; M_b-b = 457,08 kN-m. Os momentos em torno do eixo paralelo ao eixo X-X são: M_c-c = -549,43 KN-m; M_d-d = -1652,53 kN-m; M_e-e = +102,49 kN-m.

Passo 6: A profundidade efetiva (curvatura efetiva). A curvatura efetiva para o momento máximo dos eixos paralelos ao eixo Y-Y é: d = 37,61 cm. A curvatura efetiva para o momento máximo dos eixos paralelos ao eixo X-X é: d = 31,95 cm. A profundidade efetiva após a realização de diferentes propostas é: d = 77,00 cm, r = 8,00 cm, t = 85,00 cm.

Passo 7: A força cortante por flexão (força cortante unidirecional). As forças cortantes sobre eixos paralelos ao eixo Y-Y, a força cortante por flexão permitida é: ∅_v V_cf = 400,26 kN; as forças cortantes por flexão atuantes são: V_ff-f = 361,15 kN; V _fg-g = 304,64 kN. Portanto, atendidas. As forças cortantes nos eixos paralelos ao eixo X-X, a força cortante por flexão permitida é: ∅_v V_cf = 1682,60 kN; as forças cortantes por flexão atuantes são: V_fh-h = 1176,23 kN; V_fg-g = - 826,48 kN. Portanto, atendidas.

Passo 8: A punção (força cortante bidirecional). A punção permitida é: ∅_v V_cp = 4191,22 kN; ∅_v V_cp = 7114,75 kN; ∅_v V_cp = 2711.96 kN. A punção atuante: para o pilar 1 é: V_cp1 = 1189,73 kN. Para o pilar 2 é: V_cp2 = 1023,91 kN. Portanto, atendidas.

Passo 9: A armadura.. w = 0,0425.

Passo 10. O comprimento das barras corrugadas:

a) Armadura superior

onde: ψ_t = 1,3, uma vez que tem mais de 30 cm de concreto fresco sob a armadura, ψ_e = λ = 1.

O comprimento disponível na direção longitudinal da sapata é: 300-50,19-8 = 241,81cm.

Em seguida, o comprimento de desenvolvimento é menor que o comprimento disponível. Por isso, não demanda nenhum gancho.

b) Armadura inferior

onde: ψ_t = 1, ψ_e = λ = 1.

O comprimento disponível na direção longitudinal da sapata é: 330/2 - 40/2 - 8 = 137 cm.

Então, o comprimento de desenvolvimento é menor que o comprimento disponível. Por isso, não demanda nenhum gancho.

As dimensões e a armadura da sapata retangular combinada de divisa com dois lados opostos restringidos são apresentadas na Figura 8.

Figura 8 Desenho final da sapata, de divisa, combinada retangular 

4. Conclusões

O modelo apresentado neste documento aplica-se apenas para o projeto de sapatas retangulares combinadas de divisa com dois lados opostos restringidos apoiando dois pilares. Supõe-se que o solo debaixo da sapata é um material elástico e homogêneo, e a sapata é rígida, que cumpre com a expressão da flexão bidirecional, isto é, a variação de pressão é linear.

As equações propostas oferecem diretamente as dimensões em planta da fundação, garantindo que a pressão admissível no terreno não seja excedida. Por outro lado, os elementos mecânicos de momentos, força cortante por flexão (força cortante unidirecional) e punção (força cortante bidirecional), também podem ser diferentes dos obtidos com uma pressão do solo constante. Neste trabalho, foram propostas também expressões para se obter estes elementos de projeto sistematicamente.

O modelo proposto apresentado neste artigo pode ser aplicado para os três tipos de sapatas associadas retangulares de divisa com dois lados opostos restringidos em termos das cargas aplicadas a cada pilar: 1) carga axial concêntrica, 2) carga axial e momento em uma direção (flexão unidirecional), 3) carga axial e momento em duas direções (flexão bidirecional).

Sugestões para pesquisas futuras: 1) Quando as sapatas associadas retangulares de divisa com dois lados opostos restringidos apoiam mais de dois pilares; 2) Quando um outro tipo de solo é apresentado, por exemplo, em solos totalmente coesivos (solos argilosos) e os solos granulares (solos arenosos), o diagrama de pressão não é linear e tem de ser tratado de modo diferente (Figura 1); 3) Quando o caso em que nem toda a base da fundação gerar compressões no solo, apenas trabalhando parcialmente sua superfície de contato, o que é permitido em algumas hipóteses de cargas pouco frequentes, especialmente em bases de equipamentos industriais, cuja solução é iterativa (^{Bowles, 1970}).