Investigación

Properties of the spectra of asymmetric molecules: matrix evaluation in bases of spherical harmonics and common generating function

E. Ley–Koo and R. Méndez–Fragoso

Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México, Apartado postal 20–364, 01000 México, D. F., México, e–mail: eleykoo@fisica.unam.mx andrmf@fisica.unam.mx

Recibido el 6 de noviembre de 2007
Aceptado el 30 de enero de 2008

Abstract

The Schrodinger equation for the rotational states of asymmetric molecules is known to be separable in spheroconal coordinates and integrable in terms of Lame functions. However, the numerical evaluation of the latter has not been developed efficiently, thereby limiting the practical application of such solutions. In this article, the matrix evaluation of the rotational states is formulated and implemented numerically for any asymmetric molecule, using the familiar bases of spherical harmonics. The matrix of the Hamiltonian – in a frame of reference fixed in the molecule and oriented along its principal axes – is constructed in the chosen basis and shown to separate into blocks of (+1) ×(+1) and ×for each value of the angular momentum quantum number . The diagonalization of the successive blocks leads to accurate values of eigenenergies and eigenvectors for all values of the asymmetry parameters. The connection between these rotational states and their Lame function representation is also established, identifying at the same time a common generating function for spherical harmonics and spheroconal harmonics.

Keywords: Asymmetric molecules; rotation spectra; matrix evaluation; spherical harmonics; Lamé functions; spheroconal harmonics; generating function.

Resumen

Se sabe que la ecuación de Schrödinger para los estados rotacionales de moléculas asimétricas es separable en coordenadas esferoconales e integrable en términos de funciones de Lame. Sin embargo, la evaluación numérica de las últimas no se ha desarrollado eficientemente, limitando por lo tanto la aplicación práctica de tales soluciones. En este artículo, la evaluación matricial de los estados rotacionales se fórmula e implementa numéricamente para cualquier molécula asimétrica, usando la base familiar de armónicos esféricos. La matriz del Hamiltoniano – en un sistema de referencia fijo en la molécula y orientado a lo largo de los ejes principales – se construye en la base escogida y se muestra que se separa en bloques de ( + 1) × (+ 1) y ×, para cada valor del numero cuántico de momento angular . La diagonalización de los bloques sucesivos conduce a valores precisos de las eigenenergías y los eigenvalores para todos los valores de los parámetros de asimetría. También se establece la conexión entre estos estados rotacionales y su representación en términos de funciones de Lame, identificando al mismo tiempo una función generadora común para armónicos esféricos y armónicos esferoconales.

Descriptores: Moleculas asimétricas; espectro rotacional; evaluación matricial; armónicos esféricos; funciones de Lamé; armónicos esferoconales; función generadora.

PACS: 33.20Sn; 33.15.Mt; 33.20.–t; 31.15.Hz

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