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1. Introducción
El objeto de estudio de este trabajo es el análisis de los planes de consumo en el futuro por parte de un consumidor cuando se encuentra en las edades más avanzadas del ciclo de vida. En particular, se analiza el caso de las personas que deciden no dejar un legado a sus descendientes, esto es, se consumen toda su riqueza antes de morir. Naturalmente, no es la intención de esta investigación explicar cada una de las decisiones que toma un individuo con respecto a sus últimos años de vida. En este documento solo se estudia un aspecto importante para la planeación a futuro: aquel tiene que ver con prescindir de una cobertura mediante el pago de anualidades, o bien, tener este tipo de cobertura.
Aunque no todas las personas reparen en la trascendencia de este punto a diario se toman decisiones en este sentido, los individuos ingresan cantidades de dinero a partir de su trabajo y, por otro lado, este dinero se emplea para consumir bienes y servicios a lo largo de toda su vida. Para comprender bien este proceso de ingreso y consumo se deben tener en cuenta cuáles son los criterios en los que un individuo basa sus decisiones, es decir, qué variables o indicadores observa para determinar sus futuros ingresos con los cuales hará frente a su consumo futuro. La interpretación de la realidad económica por parte del individuo juega un rol fundamental. En economía, al individuo se le llama consumidor-inversionista y, por ende, el problema antes descrito se encuentra dentro de la teoría del consumidor, la solución al problema implica establecer un plan de consumo óptimo. Además, es necesario que tanto el gobierno como las aseguradoras tomen en consideración el riesgo de longevidad, derivado del incremento en la esperanza de vida de los individuos.
Olivieri y Pitacco (2009) se enfocan en el número anual de muertes en una cohorte dada, la cual modelan mediante una tasa de mortalidad aleatoria. Extienden el modelo de Poisson asumiendo un parámetro aleatorio distribuido por Gamma e introducen la dependencia del tiempo en el parámetro mismo. Mediante un procedimiento inferencial bayesiano para actualizan los parámetros para hacer simulaciones. Luego, el modelo se implementa con fines de asignación de capital para una determinada cartera de rentas vitalicias, en base a objetivos de solvencia que podrían ser adoptados dentro de modelos internos. Barrieu et al (2012) exponen el problema del riesgo de longevidad y su implicación en la industria de los seguros. En su análisis se establece que se debe tener en cuenta las mejoras en la longevidad, el envejecimiento de la población y la financiación de las pensiones. Igualmente, señalan que los planes de pensiones de beneficio definido han sido reemplazados continuamente por planes de contribución definida, obteniendo el mismo resultado.
En México, el problema de las pensiones ha sido atendido tomando en cuenta diferentes vertientes. Por ejemplo, Leal (2013) destaca las precarias condiciones de diferentes secretarias de estado vinculadas a este tema, además, destaca algunos problemas legales originados desde la Suprema Corte. En el mismo tenor, Damián (2016) hace énfasis en la reducción de beneficios ocasionada por las reformas al sistema de pensiones. Kato y Cárdenas (2013) también consideran al riesgo de longevidad como una causa de problemas en los sistemas de pensiones, sin olvidar la precariedad laboral y la escasez de empleo para los adultos mayores. Villagómez (2014) recurre a un concepto diferente de ciclo de vida para manifestar que, en parte, el problema de las pensiones se encuentra en la baja capacidad de ahorro de los mexicanos.
En el plano internacional, Choudhry et al. (2012) analizan los efectos de las crisis financieras en los jóvenes, quienes durante estos periodos están expuestos a altas tasas de desempleo y, como consecuencia, a un bajo nivel de ahorro. Guido et al consideran necesario tomar en cuenta la heterogeneidad de los consumidores en la tercera edad en el diseño de estrategias para servicios y productos financieros. Afirman que las diferencias demográficas por sí solas no son adecuadas para definir segmentos de mercado de manera efectiva. Ebbinghaus (2015) indica que la crisis del 2008 dio como resultado que la privatización del sistema de pensiones y su respectiva exposición a las fuerzas del mercado implica problemas a corto plazo e incertidumbre a largo plazo sobre la sostenibilidad social de este esquema.
Actualmente existe una amplia literatura relacionada al problema de las decisiones de consumo e inversión. No obstante, la mayoría de los artículos de investigación asumen que el consumidor tiene un tiempo de vida finito, el cual es conocido, ejemplo de ello es el trabajo de Modigliani (2015). Por otra parte, se asume que el horizonte temporal del problema es infinito, Palafox-Roca, A. O., y Venegas-Martínez, F. (2014b), esto implica que el consumidor tiene vida infinita. Ambos enfoques tienen ventajas técnicas al momento de lidiar con los cálculos de los modelos que presentan estas investigaciones.
Evidentemente, ambos escenarios representan casos extremos en el análisis económico.
Por un lado, más allá de la simplificación matemática, un escenario temporal con
horizonte finito conocido,
Por otro lado, se justifica un horizonte temporal infinito cuando el consumidor no es individuo en particular. En este caso se asume, de forma implícita o explícita, que los individuos tienen descendencia y también destinan parte de sus recursos al consumo. Matemáticamente, en este tipo de planteamientos suele suponerse la condición de transversalidad, esto hace menos complicados los cálculos encaminados a la solución de los modelos que incluyan este supuesto. Análogamente con el caso con horizonte finito, la heterogeneidad genera resultados con un consumidor promedio, ver Palafox-Roca, A. O., y Venegas-Martínez, F. (2014b).
Las bases sobre las que se construyó el modelo del ciclo de vida de un consumidor tiene como punto de partida, aunque no de manera directa, a Adam Smith (1776), quien asume en su investigación que la riqueza de las naciones se debe a la cantidad de trabajo asignado a la producción de capital. John Rae (1834) notó en esa explicación algunos inconvenientes; en particular, Smith no especifica cuáles son los determinantes de esta asignación. La respuesta de Rae, como la de von Böhm Bawerk (1889) de la escuela austríaca, proponía que eran factores psicológicos sobre el deseo de acumulación los que determinan la asignación. Ninguno de estos autores hizo algún señalamiento destacable respecto a la vida del consumidor. Esta idea estuvo presente en la obra de Marshall (1890), quien dijo “Así como puede haber una mancha de egoísmo en el deseo de un hombre de hacer lo que parece beneficiar a sus compañeros de trabajo, también puede haber un elemento de orgullo personal en su deseo de que su familia prospere durante su vida -la de él- y después de ella.”. Es evidente que Marshall tiene en cuenta tanto el bienestar del consumidor como el de sus descendientes. Sin embargo, sus observaciones no fueron más allá de este tipo de menciones.
Por su parte, Fisher (1930) al hablar sobre la preferencia temporal o la impaciencia de un individuo menciona que “… la brevedad de la vida tiende poderosamente a incrementar el grado de impaciencia, o la tasa de preferencia temporal, más allá de lo que sería de otra manera.”. Posteriormente, señala que estas preferencias temporales se ven afectadas cuando el individuo tiene herederos. En este sentido argumenta que “… la brevedad y la incertidumbre de la vida tienden a incrementar la impaciencia, su efecto es mitigado en gran medida por la quinta circunstancia, la solicitud por el bienestar de los propios herederos. Probablemente la causa más poderosa que tiende a reducir la tasa de interés es el amor a los hijos y el deseo de proveer para su bien”.
Por otra parte, la hipótesis del ingreso permanente planteada por Friedman (1957) supone una suavización de la función del consumo a lo largo del tiempo. Esta hipótesis asume que tanto el consumo como el ingreso son explicado por dos factores llamados permanentes y transitorios. Formalmente,
La ecuación (1) define una relación
entre el ingreso permanente,
Previo al trabajo de Friedman, Modigliani (2015) realiza un estudio empírico mediante el cual afirma que la proporción de ingresos ahorrados es esencialmente independiente de los ingresos; y que las desviaciones sistemáticas de la tasa de ahorro del nivel normal se explican en gran medida por el hecho de que las fluctuaciones a corto plazo de los ingresos en torno a la capacidad básica de ingresos del hogar, así como los cambios graduales en esta capacidad de ingresos, pueden provocar que el ahorro acumulado salga de la línea de los ingresos y la edad actuales. Este trabajo es conocido en la actualidad como el modelo del ciclo de vida y asume como conocido el tiempo restante de vida del consumidor.
En particular, los trabajos de Marshall y Fisher dieron pie a una tercera propuesta, la cual consiste en asumir que el tiempo restante de vida del consumidor es una variable aleatoria, un supuesto bastante desarrollado en las ciencias actuariales. Esta idea fue expuesta por primera vez por Yaari (1965), quien fue el primer economista en introducir las anualidades dentro del modelo del ciclo de vida. Su artículo de investigación es el más citado en la literatura económica de anualidades vitalicias, a la fecha cuenta con 3683 citas. Yaari estudió cómo los consumidores debieran gastar su riqueza considerando sus probabilidades de supervivencia y actitudes frente al riesgo de longevidad de manera que gradualmente su nivel de vida se reduzca o se suavice con el paso de los años de manera racional.
En consecuencia, el propósito de esta investigación es presentar soluciones particulares que se desprenden de los planteamientos de Yaari. Para este propósito, se trabaja en todos los escenarios con una función de utilidad con aversión relativa constante al riesgo, CRRA por sus siglas en inglés, y se presentan diferentes leyes de mortalidad que modelan la sobrevivencia del consumidor a lo largo del tiempo. Estos resultados complementan la propuesta del ciclo de vida propuesto por Yaari, dado que en ese trabajo no se especifican funciones de utilidad, ni funciones de sobrevivencia, ni leyes de mortalidad, por ende, tampoco se expresan las soluciones del consumo óptimo en función de escenarios particulares, como sí queda de manifiesto en esta investigación.
Por último, se enfatiza el hecho de que se trabaja con fuerzas de mortalidad sin efectos aleatorios, pero modificadas para incluir la edad modal al momento de la muerte, con lo cual se obtienen soluciones que incluyen esta observación, un dato poco trabajado en la literatura actual. Teniéndose como única referencia destacada el trabajo de Huang et al (2012). Para el caso de fuerzas de mortalidad estocásticas, Huang et al (2017) resuelven un modelo de ciclo de vida en el que la edad cronológica del consumidor no se mueve al mismo ritmo que el tiempo del calendario, sino que la edad biológica aumenta a un ritmo estocástico no lineal de manera que el tiempo ocasionalmente puede retroceder. En tanto que Šiaulys y Puišys (2022) demuestran que el producto de una variable aleatoria con una fuerza de mortalidad es, nuevamente, una fuerza de mortalidad.
2. Literatura relacionada
En esta sección se hace un breve compendio de algunos de los principales aportes realizados para explicar las dinámicas de las poblaciones. A continuación, se presenta una breve recapitulación sobre las leyes de mortalidad más usadas en las ciencias actuariales, partiendo de los trabajos que dieron pie al desarrollo de las tablas de mortalidad. Se presentan en primer algunos trabajos pioneros sobre el crecimiento poblacional. En segundo lugar, se introduce formalmente el concepto de fuerza de mortalidad y otros conceptos relacionados a ella, como la función de sobrevivencia, entre otros. En tercer lugar, se presentan las distribuciones analíticas del tiempo restante de vida más conocidas, en especial aquellas que requieren de una menor cantidad de parámetros en su definición. Por último, se establece una relación con respecto a la edad modal al morir para redefinir las fuerzas de mortalidad previamente expuestas.
2.1 Algunas dinámicas poblacionales vinculadas al crecimiento y la mortalidad de las poblaciones
A lo largo de los años se han modelado diversos aspectos relacionados al crecimiento poblacional de los seres humanos. Quizás el primer trabajo reconocido dentro de las dinámicas poblaciones es el problema planteado por Leonardo de Pisa (Fibonacci) (Sigler, 2002) en su Liber Abaci (Libro de Cálculos) escrito en el año 1202 referente a la descendencia de una pareja de conejos. Una siguiente aportación fue hecha en 1662 a través del libro Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality. Se suele considerar a John Graunt como autor (Graunt, 1939) de este libro. Esta referencia es importante dado que considera tanto los nacimientos, contados mediante los bautizos, como el número de muertos, contados a partir del número de entierros, en Londres. Estas observaciones construidas a partir de los boletines informativos sobre las muertes de la población londinense tenían como finalidad reportar la evolución en el número de muertes debidas a la peste.
Edmond Halley formalizó matemáticamente la idea de tabla de mortalidad basándose en los datos recolectados para la ciudad de Breslaw (hoy Wroclaw, en Polonia), perteneciente al imperio de Habsburgo (Halley, 1693). Halley hizo uso de la tabla que construyó para el cálculo de las anualidades sobre vidas al notar la relación que existe entre la probabilidad condicional de alcanzar la edad x + n dado que el individuo tiene edad x y la cantidad que debe invertir a las edades x, x + 1, …, x + n para obtener una unidad monetaria al final del periodo de inversión en cada una de estas edades. Antes del trabajo de Halley, no se había establecido una relación pertinente entre las edades de los individuos y las anualidades que podían llegar a percibir.
En 1748 Leonhard Euler, uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos,
publica un tratado en latín intitulado Introductio in Analysin
Infinitorum (Introducción al Análisis del Infinito), en el cual el
sexto capítulo trata sobre exponenciales y logaritmos (Euler, 1748). Uno de los ejemplos planteados en esta sección
trata sobre el incremento de la población a partir de los seis sobrevivientes
después de la inundación provocada por el diluvio y el hecho de que toda la
humanidad descendería de ellos. Euler supone que tras doscientos años de haber
ocurrido la inundación la población es de un millón de personas y encuentra que
la tasa de crecimiento de la población durante ese periodo de tiempo debió ser
de aproximadamente
La idea central del ejemplo anterior fue desarrollada medio siglo más tarde por Malthus en su obra An Essay on the Principle of Population (Un Ensayo sobre el Principio de la Población). A partir de este trabajo, se suele llamar a su modelo de crecimiento poblacional como modelo de crecimiento exponencial. El trabajo de Malthus establece un crecimiento poblacional a una razón geométrica, en tanto que los elementos que proveen la subsistencia crecen a una razón aritmética (Malthus, 1798). Una propuesta alternativa a este modelo de crecimiento fue presentada por Verhulst en 1838 en una publicación intitulada Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement (Nota sobre la ley que sigue la población en su aumento), a este modelo se le conoce como el modelo logístico, el cual establece que, a mayor población, menor tasa de crecimiento. Ambos modelos ofrecen la posibilidad de modelar la tasa de crecimiento basada en los nacimientos y en la mortalidad.
2.2 Fuerza de mortalidad
Las tablas de mortalidad fueron construidas empíricamente. A partir de esta información se intentó deducir una formulación matemática que representara la mortalidad en las poblaciones. En este sentido, diferentes propuestas se han presentado a lo largo de muchos años para representar las leyes de la mortalidad. Para explicar estas leyes se han desarrollado conceptos tales como fuerza de mortalidad, la cual definimos a continuación como la función que representa la muerte instantánea, esto es,
En (4),
Ahora bien, a la probabilidad de que un recién nacido alcance la edad
x se le llama función de sobrevivencia, la cual no es más
que el complemento de la probabilidad de muerte dentro de ese rango de edad,
Integrando esta expresión de 0 hasta t se sigue que
En (6),
Una notación alternativa para (4) es
A partir de (8) se puede generalizar la idea de la función de sobrevivencia para edades diferente de 0, esto es
Se hace un cambio de variable dentro de la integral para poder hacer uso explícito del intervalo de sobrevivencia a considerar. La ecuación (9) es la probabilidad que una persona de edad x alcance la edad x + t.
2.3 Distribuciones analíticas del tiempo restante de vida, T
Una función F(t) se dice que es una distribución de probabilidad analítica si puede expresarse mediante una fórmula sencilla. Una fórmula analítica tiene la ventaja que puede ser calculada a partir de un pequeño número de parámetros. En seguida presentamos las distribuciones de probabilidad analíticas, más conocidas en las ciencias actuariales.
De Moivre postuló en 1725
en su obra intitulada Annuities upon Lives: Or, The Valuation of
Annuities upon Any Number of Lives; as also of Reversions
(Anualidades sobre Vidas: O, La Valoración de Anualidades sobre Cualquier Número
de Vidas; como también de Reversiones) la existencia de una edad máxima
Gompertz postuló en 1824,
en su libro Moral Inquiries on the Situation of Man and of
Brutes (Investigaciones morales sobre la situación del hombre y de
los animales), que la fuerza de mortalidad crece exponencialmente. Lo cual
podemos verificar a partir de su función de densidad
Makeham modificó la propuesta de Gompertz (Makeham W. M., 1867), esta modificación consiste de tres
parámetros para representar la fuerza de mortalidad. A esta ley de mortalidad se
le conoce también como la fuerza de mortalidad Gompertz-Makeham, cuya función de
densidad es
La ecuación (11) y la (12) difieren tan sólo por la
constante
Weibull presentó a mediados del siglo pasado ante la Sociedad Americana de Ingenieros Mecánicos la función de distribución que lleva su nombre a través de varios ejemplos (Weibull, W., 1951). Al igual que en los casos anteriores partimos de la función de densidad para determinar la fuerza de mortalidad, i.e.,
Luego, se sigue que
Existen otras tantas distribuciones analíticas y, por ende, fuerzas de mortalidad, pero no es nuestra intención ser exhaustivos. Teugels y Sundt (2004) dan cuenta de estas otras opciones, las cuales consideran una mayor cantidad de parámetros para explicar la ley de mortalidad.
2.4 Fuerzas de mortalidad en términos de la edad modal al morir
Las fuerzas de mortalidad obtenidas en la sección anterior suelen ser modificadas
para considerar algunos aspectos estadísticamente relevantes, en especial, la
edad modal al morir, es decir, la edad donde más muertes hay. En este apartado
se dan a conocer las expresiones matemáticas de las fuerzas de mortalidad
previamente establecidas. Primeramente, introducimos el concepto del número de
sobrevivientes a la edad
Al dividir (11) entre
Despejando,
A continuación, se aplica esta relación a las fuerzas de mortalidad analizadas en esta investigación considerando algunas modificaciones pertinentes.
2.4.1 De Moivre
Este caso de fuerza de mortalidad es especial, pues proviene del supuesto de que es igualmente probable morir en cada edad x. Esto se traduce en la falta de una edad modal al morir. La relación (15) permite comprobar este hecho:
No obstante, esta expresión conduce a
lo que demuestra que no existe una edad modal al morir bajo la fuerza de mortalidad de De Moivre.
2.4.2 Gompertz
A partir de (11),
Este último resultado es similar, aunque no exactamente igual, al considerado por Huang et al (2012).
2.4.3 Makeham
Es conocido que la fuerza de mortalidad de Makeham suma una constante
Siguiendo (15) tenemos que
Desarrollando el cuadrado, simplificando términos nos da
esto resulta en
Luego,
de aquí se sigue que
Por lo tanto,
para simplificar la expresión anterior se aume que
2.4.4 Weibull
En (13) vimos que
Por lo tanto,
3. Modelo del ciclo de vida Yaari (tiempo restante de vida como variable aleatoria)
En su artículo de investigación Yaari parte de lo que llama análisis tipo Fisher de
asignación sobre el tiempo. En consecuencia, se supone conocido al número de años,
donde
Derivando la expresión anterior respecto a t se obtiene que el cambio con respecto al tiempo de los activos del consumidor se expresa como
donde
Formalmente, un plan de consumo
A este planteamiento se le llama el problema de Fisher, el cual no siempre tiene
solución. Si el problema tiene solución,
Hasta este punto, Yaari solo resumió el problema de Fisher mediante el planteamiento
del problema y al mostrar cómo cambia la tasa del gasto destinado al consumo a
través del tiempo. A continuación, Yaari introduce formalmente a
En (19)
En el artículo se define el concepto de nota actuarial, la cual el consumidor puede comprar o vender y permanece en la contabilidad hasta que el consumidor fallezca, en ese momento se cancela automáticamente. De hecho, esta nota actuarial corresponde a una anualidad. Esto significa que el consumidor que adquiere una nota actuarial, de hecho, está comprando una anualidad.
Dado lo anterior, Yaari propone dos escenarios posibles bajo la utilidad de Fisher (en el artículo original también se consideran los escenarios bajo la utilidad de Marshall):
Cuadro 1 Posibles combinaciones de la utilidad de Fisher considerando los activos disponibles del consumidor
| Función de utilidad de Fisher con restricción de riqueza | |
|---|---|
| Anualidad no disponible | Caso I |
| Anualidad disponible | Caso II |
Estos dos escenarios merecen una atención especial, puesto que los consumidores no
dejarán un legado, es decir, no heredarán y por consiguiente agotarán todos sus
recursos en el último día de sus vidas. Continuando con lo expuesto por Yaari, se
supone que la variable aleatoria
Evidentemente,
Por otra parte,
donde (26) representa el valor esperado de las utilidades descontadas con la tasa subjetiva de descuento, ρ, tomando en cuenta la sobrevivencia del individuo.
3.1 Plan de consumo óptimo en el caso I
En este apartado se estudia la decisión óptima del plan de consumo de un
individuo que no se cubre ante el riesgo de longevidad. En este caso, se asume
que hay un tiempo T tal que en ese momento el individuo consume
todo lo que le queda de sus activos. Para simplificar los cálculos, se suponen
constantes tanto la tasa de interés real,
3.1.1 Planteamiento del problema para el caso I
Considerando los supuestos anteriormente señalados, el problema a resolver es el siguiente:
sujeto a
Resolviendo de manera general el problema para identificar los planes de
consumo óptimo se tiene que
Aplicando la ecuación de Euler obtenemos
Desarrollando la derivada con respecto al tiempo y simplificando términos, se sigue que
observar que
esto implica que
Resolviendo esta ecuación diferencial de primer grado no homogénea y no autónoma se tiene que
La ecuación (29) pone de relevancia el rol que desempeña la fuerza de mortalidad en el modelo del ciclo de vida toda vez que reduce la tasa de consumo en todo momento.
Por otra parte, de la restricción presupuestal sabemos que
la expresión anterior tiene como solución canónica a
o bien,
3.1.2 Planes óptimos de consumo en el caso I
A continuación, se presentan las cuatro fuerzas de mortalidad propuestas en
la sección 2.4, las cuales como hemos visto consideran la edad modal al
morir y sus respectivos planes de consumo considerando la restricción
3.1.2.1 De Moivre
El valor
Haciendo un cambio de variable,
la expresión anterior se asemeja a una función gamma incompleta, sin embargo, el límite superior no hace sentido, pues el resultado de esta diferencia es -x, lo cual implica una edad menor que 0. Como consecuencia, el límite se reescribe y se modifica el orden de integración
cuya solución es
Por lo tanto, el plan de consumo óptimo en este caso es
en donde todos los parámetros se suponen conocidos.
3.1.2.2 Gompertz
Procediendo de la misma forma que en el caso anterior, se tiene que
en la expresión anterior se han agregado términos para que esta nueva expresión de la integral coincida con la diferencia de dos gammas incompletas, es decir,
Despejando el consumo inicial,
Por lo tanto, el plan de consumo óptimo para el caso Gompertz es:
Al igual que en el plan de consumo anterior, se obtiene una fórmula cerrada con parámetros conocidos.
3.1.2.3 Makeham
Esta fuerza de mortalidad es parecida al caso previo, pero obviamente la
inclusión de la constante
Despejando respecto al consumo inicial y agrupando términos de manera tal que la integral represente, nuevamente, una gamma incompleta se tiene que
lo cual implica que
En consecuencia, el plan de consumo óptimo para el caso I bajo la fuerza de mortalidad Makeham es:
3.1.2.4 Weibull
Procediendo como en los casos previos, se tiene que
Para resolver esta integral se ajustan adecuadamente los términos de tal manera que la expresión represente un caso particular de las siguientes integrales (ver Gradshteyn y Ryzhik, 2014):
Siendo así,
Esto es igual a
Finalmente, sustituyendo la expresión anterior en el plan de consumo óptimo se tiene que
Considerando los resultados obtenidos de los planes de consumo óptimos para el caso I podemos observar que De Moivre es poco ilustrativo, toda vez que supone en cada edad igual probabilidad de morir. Por otra parte, la solución al plan de consumo óptimo con Weibull conduce a considerar una función de distribución normal estándar, lo cual es poco realista. Por lo tanto, se debe resaltar que las soluciones Gompertz y Makeham muestran mejores condiciones para realizar estudios empíricos.
3.2 Planes de consumo óptimo en el caso II con distribuciones analíticas de T
Manteniendo los supuestos de la sección anterior sobre la tasa de interés real,
3.2.1 Planteamiento del problema para el caso II
Considerando los supuestos anteriormente señalados, el problema a resolver es el siguiente:
sujeto a
Se debe tomar en cuenta que a partir de la restricción con respecto al cambio
en el stock de los activos financieros, o sea, las anualidades, el cambio en
el consumo con respecto al tiempo es de
Sustituyendo
Aplicando la ecuación de Euler obtenemos
Desarrollando la derivada con respecto al tiempo y simplificando términos, se sigue que
Entonces (30) se transforma en
esto implica que
En (31) se aprecia que el plan de consumo en el caso II es para todo t mayor que el obtenido en (29), toda vez que a (31) no se le descuenta continuamente la fuerza de mortalidad a lo largo del tiempo restante de vida del consumidor.
Por otra parte, retomando la restricción con respecto a las anualidades,
la expresión anterior tiene como solución canónica a
la cual evaluada en
La ecuación (32) es la base sobre la que se generan los diferentes planes de consumo óptimo en la siguiente subsección.
3.2.2 Planes óptimos de consumo en el caso II
De manera similar a lo hecho en la sección 3.1.2 ahora se desarrollan los casos de los planes de consumo óptimos con sus respectivas leyes de mortalidad modificadas por la edad modal al morir considerando una anualidad, lo cual representa una cobertura ante el riesgo de longevidad.
3.2.2.1 De Moivre
Nótese que este resultado no representa la probabilidad de sobrevivencia por
t años de un individuo que tiene edad
x, aunque la expresión es similar aquí el signo que
acompaña a la integral es positivo y en la definición de la probabilidad
antes mencionada se ocupa el signo negativo. Lo que sí representa la
expresión anterior, y en los siguientes casos por analizarse, es un valor
acumulado continuamente hasta T a una tasa
Al resolver estas integrales se obtienen como resultado expresiones de funciones integrales exponenciales, esto es,
Despejando al consumo óptimo en 0,
Luego, el plan de consumo óptimo bajo este escenario considerando la fuerza de mortalidad De Moivre es:
3.2.2.2 Gompertz
Sustituyendo en (32) y agrupando términos de forma similar a lo hecho en la sección 3.1.2,
lo cual da como resultado, resolviendo las integrales,
Despejando al consumo óptimo inicial, se tiene que
al sustituir la expresión anterior en el plan óptimo de consumo da como resultado:
este plan de consumo óptimo también presenta fórmulas cerradas expresadas en parámetros que se suponen conocidos.
3.2.2.3 Makeham
Como hemos visto, este caso presenta similitud con Gompertz, toda vez que la diferencia entre una y otra fuerza de mortalidad radica en la constante presente en Makeham tal que con ella se representan las muertes causadas por razones diferentes a la senectud. EN consecuencia, sustituyendo la expresión de arriba en (32) y agrupando términos de forma similar a lo hecho en caso Makeham en la sección 3.1.2, se sigue que
lo cual da como resultado, resolviendo las integrales,
Despejando el consumo óptimo inicial,
y sustituyendo la ecuación anterior dentro del plan de consumo óptimo se obtiene:
3.2.2.4 Weibull
A partir de la ecuación (32) en el tiempo T y ajustando términos para obtener el integrando que conduce a la representación de la diferencia entre funciones de distribución normal estándar acumuladas en diferentes puntos, se tiene que
de modo que resolviendo las integrales obtenemos la siguiente ecuación:
Despejando
Todos estos planes de consumo óptimo son superiores a sus contrapartes obtenidas en el caso I, toda vez que como ya se señaló previamente, el consumidor en el caso II deja de descontar su respectiva fuerza de mortalidad, lo que implica una cobertura ante el riesgo de longevidad. Claro está que anualidad percibida por este consumidor se suspende al momento de su muerte o cuando alcanza la edad x + T.
Nuevamente, se aprecian condiciones similares al caso I respecto a los planes de consumo óptimo, esto es, tanto la solución Gompertz como la solución Makeham conducen a considerar en ambos casos a la función gamma, la cual ciertamente es incompleta, pero suele ser una buena referencia para estudios de riesgo, como lo es este escenario.
4. Conclusiones
En el presente documento se han desarrollado las ideas de las decisiones de consumo e
inversión de un consumidor jubilado. Se hizo una revisión histórica de algunas obras
de autores destacados en la literatura económica. Se observó que es normal suponer
en los modelos económicos que el tiempo restante de vida es conocido, ya sea con
horizonte finito o infinito. En contraste, se presentó un modelo de decisión de
consumo basado en aspectos actuariales, el autor, Yaari, llama notas actuariales a
las anualidades y, en particular, cuando compra este activo realmente adquiere una
anualidad. Este modelo, llamado caso II en esta investigación no sólo suaviza la
función de consumo a lo largo del tiempo, sino que le permite al consumidor
verdaderamente cubrirse ante el riesgo de longevidad, lo cual representa una gran
diferencia respecto al caso I, en donde el individuo se expone a este riesgo sin
cobertura y dependiendo completamente de una sola fuente de recursos. Este hecho se
aprecia claramente al comparar las modificaciones sufridas por las ecuaciones (28) y (30), las cuales representan las
soluciones generales de la tasa de consumo en el caso I y el caso II,
respectivamente. La diferencia consiste en el término
Se propusieron una serie de escenarios particulares asumiendo una función de utilidad con aversión relativa al riesgo constante en todos ellos, pero proponiendo cuatro diferentes fuerzas de mortalidad, las más frecuentes en la literatura de ciencias actuariales, para determinar los planes óptimos de consumo, así como las variantes correspondientes a los casos I y II, de personas en el retiro, de tal manera que en todos los escenarios se obtienen soluciones cerradas. A pesar de trabajar con las fuerzas de mortalidad con menos parámetros, se puede apreciar lo complicado que es identificar en cada escenario la anualidad correspondiente, que no es más que la diferencia entre las soluciones de los casos I y II de acuerdo a cada fuerza de mortalidad. Analizar otras fuerzas de mortalidad menos frecuentes, pero con mayor cantidad de parámetros sólo eleva el nivel de complejidad de los cálculos y no garantiza encontrar soluciones cerradas.
A saber, no existe una investigación similar tal que explore las trayectorias óptimas del trabajo de Yaari con diversas fuerzas de mortalidad sin perturbaciones estocásticas. Esta investigación resulta pertinente pues hace énfasis en la necesidad de disponer de una cobertura ante el riesgo de longevidad, lo cual permitirá mejores niveles en el consumo futuro. Los resultados obtenidos pueden ayudar a comprender la relevancia de la capacidad de ahorro en las primeras etapas de vida de un individuo. En específico las del caso II, pueden permitir mejorar los productos ofrecidos por las aseguradoras para el beneficio de los asegurados, de la misma manera los gobiernos pueden buscar incidir en estos parámetros para incrementar el bienestar de los pensionados.
Evidentemente, queda para una futura investigación realizar un ejercicio similar para el escenario donde el individuo desea dejar un legado a sus familiares al momento de su muerte. Del mismo modo, se pueden analizar fuerzas de mortalidad recientemente estudiadas en las ciencias actuariales y en la demografía, en especial, fuerzas de mortalidad estocásticas. Una extensión más se puede centrar en el estudio de la tasa subjetiva de descuento, la cual está íntimamente relacionada con el patrón de consumo del individuo, toda vez que esta tasa refleja el nivel de intercambio entre el consumo presente y el consumo futuro. Llevar estos modelos, incluidos los presentados en este trabajo que tienen en cuenta una edad modal al morir, al plano de la estadística ayudaría a plantear escenarios de política pública o a generar información útil para las aseguradoras respecto al patrón de consumo de los consumidores en los últimos años de sus vidas. Claro está, estos resultados son útiles para ser considerados en países en donde los individuos muestran mayor tendencia a vivir solos, sin descendencia o bien, sin responsabilidad económica alguna con respecto a alguna pareja o familiar cercano. Un estudio de esta naturaleza aplicado a México enriquecería la literatura en economía de la población, de manera que se podría arrojar luz sobre cómo se pudiera estar modificando la tendencia de las personas de la tercera edad respecto a sus decisiones de vida, en especial, su consumo, durante esta fase de la vida. Además, ayudaría a comprender cómo pueden influir estas decisiones, considerando la tasa de crecimiento actual de la población, la tasa de desempleo, los impuestos de seguridad social, entre otros, a los niveles de reserva actuarial en función de la tasa de interés ofrecida en los diferentes planes de pensión ofrecidos por el gobierno y las compañías aseguradoras.
