Educación

 

Simetría y Degeneración: partícula atrapada en una caja cúbica con paredes impenetrables

 

A.O. Hernández-Castillo y R. Lemus

 

Instituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autónoma de México Apartado Postal 70-543, Circuito Exterior, C.U., 04510 México, D.F., México.

 

Received 4 July 2014;
Accepted 3 March 2015

 

Resumen

La importancia de la simetría es ampliamente reconocida tanto en el campo de la física como en el de la química. En particular se sabe que en el dominio de sistemas lineales, la degeneración de los sistemas está estrechamente relacionada con la simetría; la degeneración de un estado estacionario corresponde a la dimensión de una de las representaciones irreducibles del grupo de simetría. La importancia de identificar el grupo de simetría es por lo tanto fundamental para el etiquetado de los estados propios del sistema. En ocasiones el espectro presenta degeneración accidental sistemática, hecho que indica que el grupo de simetría supuesto es en realidad un subgrupo. Esta situación se presenta, por ejemplo, en el átomo de hidrógeno no relativista, pero también en el caso de una partícula atrapada en una caja cúbica con paredes infinitas. En esta contribución se presenta un procedimiento que permite identificar el grupo de simetría que explica la degeneración del sistema de una partícula en una caja. Siguiendo dicho procedimiento se presentan ejemplos para ilustrar los conceptos involucrados, así como las consecuencias de identificar erróneamente el grupo de simetría para el cálculo de las reglas de selección.

Palabras clave: Simetría; degeneración; caja cúbica; reglas de selección.

 

Abstract

In physics as well as in chemistry the importance of symmetry is widely acknowledged. It is of common knowledge that the systems' degeneracy, in the domain of linear physical systems, is tightly related with symmetry. The stationary state degeneracy should correspond with the dimension of the symmetry group irreducible representations (irreps) associated. Therefore identifying the symmetry group is essential for labeling the energy levels. Sometimes the spectrum presents systematic accidental degeneracy, which means that the supposed symmetry group is actually a subgroup. This is the case for a particle in a cubic box, with impenetrable walls. This article presents the procedure that allows the identification of the new symmetry group that explains the degeneracy. Furthermore examples to illustrate the concepts are presented as well as the consequences implied in the selection rules.

Keywords: Symmetry; degeneracy; cubic well potential; selection rules.

 

PACS: 02.20.-a; 03.65.-w

 

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Agradecimientos

Este trabajo fue parcialmente apoyado por DGAPA-UNAM bajo el proyecto No. IN109113.

 

Referencias

1. F.l. Stancu, Group Theory in Subnuclear Physics, Academic Press, (New York 1959).         [ Links ]

2. E.P. Wigner, Group Theory and its Applications to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press, (New York 1959).         [ Links ]

3. W.M. Gibson and B.R. Pollard, Symmetry Principles in Elementary Particle Physics Cambridge Monographs of Physics, Cambridge University Press. (Cambridge, 1976).         [ Links ]

4. E.P. Wigner, Symmetries and Reflections OX BOW PRESS. Woodbridge, (Connecticut, 1979).         [ Links ]

5. M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems. Dover Publications, (Inc. New York. 1962).         [ Links ]

6. M. Tinkham, Group theory and Quantum Mechanics. Dover Publications, (Inc. New York. 1992).         [ Links ]

7. F. Iachello, Beauty in Nature: Symmetry 1488 (2012) 402-412.         [ Links ]

8. P.R. Bunker and P. Jensen, Molecular Symmetry and Spectroscopy. NRC Research Press, (Ottawa. 1988).         [ Links ]

9. R. Lemus, Symmetry 4 (2012) 667.         [ Links ]

10. H.V. Mcintosh, Symmetry and Degeneracy in Group Theory and Its Applications. Edited by E.M. Loebl. Academic Press, (New York. 1971). Vol. I. 75-144.         [ Links ]

11. S.L. Altmann, Induced Representations in Crystals and Molecules. Point, Space and Nonrigid Molecule Groups. (Academic Press, 1977).         [ Links ]

12. V. Heine, Group Theoryin Quantum Mechanics. over Publications, INC. New York,1993.         [ Links ]

13. A. Jellal, M. Daoud y Y. Hassouni, Phys. Lett. B. 474 (2000) 122-129.         [ Links ]

14. A. Pallares-Rivera, F. de J. Rosales-Aldape y M. Kirchbach, J. Phys. A: Math. Theor. 47 (2014) 085303.         [ Links ]

15. G. Lévai, F. Cannata y A. Ventura, J. Phys. A: Math. Theor. 35 (2002) 5041-5057.         [ Links ]

16. B.G. Wybourne, Classical Groups for Physicists. Wiley, (New York. 1974).         [ Links ]

17. H. Goldstein, Classical Mechanics. Addison-Wesley, (New York. 1980).         [ Links ]

18. V. Bargmann, Z. Physik 99 (1936) 576-582.         [ Links ]

19. V. Fock, Z. Physik 98 (1935) 145-154.         [ Links ]

20. F. Leyvraz, A. Frank, R. Lemus and M.V. Andrés, Am. J. Phys. 65 (1997) 1087-1094.         [ Links ]

21. D.C. Harris y M.D. Bertolucci, Symmetry and Spectroscopy. An Introduction to Vibrational and Electronic Spectroscopy. Dover Publications, INC., (New York. 1978).         [ Links ]

22. S.L. Altmann and P. Herzig, Point-Group Theory Tables. Clarendon Press, (Oxford. 1994).         [ Links ]

23. D.M. Bishop, Group Theory and Chemistry. Dover Publications, INC., (New York. 1973).         [ Links ]

24. A.O. Hernández-Castillo and R. Lemus, J. Phys. A: Math, Theor. 46 (2013) 465201.         [ Links ]

25. G.B. Shaw, J. Phys. A. 7 (1974) 1537-1546.         [ Links ]

26. M.E. Rose, ElementaryTheory of Angular Momentum. (Dover Publications, INC., New York. 1957).         [ Links ]

27. D.M. Brink y G.R. Satchler, Angular Momentum. (Oxford Science Publications, New York. 1993).         [ Links ]

28. A.R. Edmons, Angular Momentum in Quantum Mechanics. (Princeton University Press, New Jersey. 1960).         [ Links ]

29. J.Q. Chen, Group Representation Theory for Physicists. (World Scientific, Singapore, 1989).         [ Links ]

30. R. Lemus, Mol. Phys., 101 (2003) 2511.         [ Links ]

31. O. Álvarez-Bajo, R. Lemus, M. Carvajal and F. Pérez-Bernal, Mol. Phys. 109 (2011) 797.         [ Links ]

32. R. Lemus, A. Frank, M.V. Andrés y F. Leyvraz, Am. J. Phys. 66 (1988) 629.         [ Links ]

33. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics. Non-Relativistic Theory (Pergamon Press, New York. 1977).         [ Links ]

34. L.I. Schiff, Quantum Mechanics. (McGraw-Hill, New York. 1968).         [ Links ]