Modelo de distribución de velocidad media de von Kármán

En la literatura se encuentran diferentes modelos para representar la distribución de velocidades en un flujo de canal abierto (^{Spalding, 1961}); sin embargo, en la práctica de la ingeniería hidráulica, el modelo más utilizado es el de von Kármán, el cual presenta tres condiciones. La primera es para representar la subcapa viscosa o laminar donde los esfuerzos turbulentos no tienen influencia y dominan las fuerzas de viscosas (v) (Ecuación 3).

La segunda representa la zona de transición, también llamada de amortiguamiento, donde los esfuerzos turbulentos y viscosos son del mismo orden (^{Shih, Povinelli, Liu, Potapczuk, & Lumley, 1999}) (Ecuación 4).

La tercera considera la zona exterior o región turbulenta donde los esfuerzos viscosos no tienen influencia (Ecuación 5). A esta condición se le conoce como ley logarítmica (^{George, 2007}).

La ley logarítmica tienen dos variables empíricas: la constante de von Kármán (κ) y la de adición (A). De acuerdo con ^{Zanoun et al. (2003)}, se consideran adecuados los valores de 0.4 para κ y de 5.5 para A, parámetros utilizados en la práctica para un flujo en canal abierto (Ecuación 6).

Cada una de las ecuaciones que componen el modelo de von Kármán tienen un rango de validez en función del parámetro yu _* /v, e indican la zona de evaluación de las tres regiones del flujo: subcapa viscosa, de transición y exterior.

Estimación de la velocidad de corte

Para el estudio experimental es importante conocer los límites de la región exterior (Ecuación 6). De acuerdo con resultados experimentales de ^{Tominaga y Nezu (1992)}, el punto más cercano al fondo en flujos de velocidad media en la vertical u-m menor a 40 cm·s^-1 debe ser de una profundidad mayor a 3 mm (y > 3 mm) y en el caso de flujos de velocidad u-m mayor a 40 cm·s^-1 es admisible considerar puntos de medición a 1 mm del fondo (y ≥ 1 mm).

La Ecuación 6 utiliza la estimación de la velocidad de flujo promediada u-; sin embargo, en este caso, la estimación de la velocidad instantánea (u) de corte se hizo con separación de escalas de velocidad, una es la promediada y la otra la fluctuante u=u-+u'. El equipo de medición utilizado para tal caso fue un velocímetro acústico de efecto Doppler (ADV, por sus siglas en inglés) con frecuencia máxima de muestreo de 100 Hz.

Para el procesamiento de los datos experimentales, se evaluó que la medición de la velocidad perteneciera a la zona exterior para descartar lo puntos fuera del rango de análisis. Posteriormente, se estimó el valor de corte con la velocidad instantánea (ui,j) mediante la Ecuación (7).

El subíndice i indica el punto de análisis en el perfil de velocidades y j el número de muestra temporal. Para poder incluir la frecuencia alta se reemplazó la velocidad media u- por la velocidad instantánea ui,j.

La Ecuación 7 no es explícita puesto que la velocidad de corte se encuentra en ambos lados de la expresión; por tanto, para su solución se aplicó el algoritmo de punto fijo descrito por ^{Burden y Faires (2011)}.

De acuerdo con ^{Schmid y Lazos-Martínez (2000)}, en la medición de una variable aleatoria, los resultados siguen generalmente, en buena aproximación, una distribución normal. En el caso de la velocidad del flujo se tienen resultados que validan en cierto grado dicha hipótesis. Este tema es ampliamente discutido por ^{Frisch (1995)} y ^{Davidson (2004)}; sin embargo, en este caso se desconoce la función de densidad de probabilidad (PDF, por sus siglas en inglés) de los datos que se obtienen al evaluar la Ecuación 7. Por lo anterior, el valor final representativo de la velocidad de corte u _* se calculó con la mediana de los valores u _*i,j obtenidos.

Prueba Anderson-Darling del modelo de corte

Como parte del análisis de datos se realizó la prueba de normalidad de Anderson-Darling para determinar si los datos siguen una distribución normal; lo anterior mediante el cálculo del valor estadístico de la prueba (Ecuación 8).

De acuerdo con ^{Stephens (1974)}, el valor crítico es de 0.754 para un nivel de significación de 5 % y cuando el número de datos (n) es mayor a 100. Por lo tanto, si el valor estadístico A ² , de la prueba para la muestra, es menor a 0.754, se admite que una distribución normal representa los datos; en caso contrario, se rechaza la posibilidad de que los datos sigan una distribución de tendencia central.

Debido al desconocimiento de la PDF, y con la finalidad de asegurar una cobertura de 50 % de los datos alrededor del valor representativo de u _* , se calculó la ubicación del primer (Q ₁ ) y tercer (Q ₃ ) cuartil de los datos ordenados en forma creciente (Ecuaciones 9 y 10, respectivamente).

A partir de la ubicación del primer y tercer cuartil se localizaron los valores u _*i,j y se obtuvo el rango intercuartil.

Estación experimental

Las pruebas se llevaron a cabo en el canal experimental de pendiente variable del Laboratorio de Hidráulica del Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA); el cual tiene fondo liso de material metálico y es de forma rectangular, con 0.245 m de base y 5 m de longitud (Figura 1). La estación experimental cuenta con una bomba de 10 hp que abastece el caudal, un vertedor de aforo calibrado con la norma ISO 1438 (^{International Organization for Standardization, 2008}), una válvula para regular el caudal, entre otros componentes particulares que permiten condiciones estables para los experimentos.

Figura 1 Estación experimental. 

Para la medición de las velocidades instantáneas se utilizó el dispositivo ADV Vectrino Profiler™ de Nortek^® que permite muestrear las tres componentes de velocidad en un perfil de hasta 30 mm, con separación de 1 mm entre celdas y con frecuencia de muestreo de 1-100 Hz. El dispositivo se posicionó a 3.5 m de distancia de la entrada del flujo para evitar defectos en el perfil de velocidades causados por la entrada del flujo o por la salida de éste en caída libre al tanque de recirculación.

La pendiente del canal se modificó ligeramente con el gato mecánico, cuidando que las condiciones experimentales cumplieran con los criterios de repetibilidad y reproducibilidad. El número de Froude (F _r ) y Reynolds (R _e ) se calculó con la Ecuaciones 11 y 12, respectivamente.

Todas las pruebas se hicieron en régimen subcrítico, tal como lo indican los valores del número de Froude del Cuadro 1 (F _r < 1). Además, el flujo se consideró turbulento completamente desarrollado, siendo los valores de número del Reynolds suficientemente altos y lejanos del rango de transición (R _e > 1.2 x 10⁴).

Para todas las pruebas, la medición de las velocidades instantáneas se llevó a cabo en un perfil de 12 mm, lo más cercano posible a la pared, con una frecuencia de 100 Hz y tiempo de muestreo de 30 s.

Pruebas

La Figura 2 presenta los resultados de un muestreo de la velocidad instantánea con número de F _r = 0.67 y R _e = 4.22 x 10⁴ para la celda cinco a 8.6 mm de profundidad.

Figura 2 Registro de la velocidad instantánea (u) (dirección principal, x) tomada en el Laboratorio de Hidráulica del Instituto Mexicano de Tecnología del Agua (IMTA). 

Las pruebas se desarrollaron bajo las condiciones experimentales que se muestran en el Cuadro 1.

Los resultados del procesamiento de los datos experimentales se presentan en el Cuadro 2, en donde se indica el valor estadístico obtenido de la prueba Anderson-Darling con grado de significancia de 5 % y la velocidad de corte obtenida con el modelo de la Ecuación 7.

Los valores estadísticos de la prueba Anderson-Darling (Cuadro 2) corroboran que la PDF de los datos u _*i,j no es de tendencia central, ya que en todos los casos A ² > 0.754; por lo tanto, es correcto representar el valor de velocidad de corte u* con la mediana estadística y hacer uso del rango intercuartil para obtener una cobertura de 50 % alrededor del valor representativo.

En la Figura 3 se presentan cuatro perfiles adimensionales trazados a partir de la estimación de la velocidad de corte con diferente pendiente del fondo. Se puede apreciar que el modelo de von Kármán representa, con buena aproximación, los valores experimentales en su condición promediada.

Figura 3 Perfiles adimensionales de velocidades medias, modelo de von Kármán y valores experimentales. 

En los perfiles de las pruebas P-01, P-05 y P-09 se observa un punto de muestreo en la zona de transición; este caso se descartó del análisis de los datos, ya que el modelo de flujo logarítmico es sólo para la región exterior.