Introducción

La simulación dinámica es una técnica que, en los últimos años, se ha aplicado a los sistemas mecánicos y biológicos (^{Carcamo et al., 2014}; ^{Thornley & France, 2007}). La simulación de un modelo matemático permite entender y conocer el comportamiento de un sistema de crecimiento de un cultivo determinado bajo distintas condiciones climáticas o nutricionales (^{Soltani & Sinclair, 2012}). Este tipo de modelos son descritos por un conjunto de ecuaciones dinámicas en forma continua o discreta (^{Wallach, Makowski, Jones, & Bruns, 2014}), y por lo general contienen conocimiento empírico, parámetros y variables para explicar el rendimiento del cultivo (^{Bhatia, 2014}; ^{López-Cruz, Ramírez-Arias, & Rojano-Aguilar, 2005}). En este sentido, el uso de simulación en los cultivos ha permitido estimar y predecir rendimientos potenciales, así como controlar los factores que limitan la producción y rentabilidad de los mismos (^{Haefner, 2012}; ^{Radojevic, Kostadinovic, VlajKovic, & Veg, 2014}).

En el caso específico del cultivo de jitomate, debido a que es un sistema biológico con interacciones químicas y físicas, lo que hace que sea altamente no lineal, es apto para analizarlo mediante simulación (^{Vargas-Sállago, López-Cruz, & Rico-García, 2012}). Este cultivo requiere de condiciones climáticas óptimas para su crecimiento, principalmente temperatura, humedad relativa, radiación y CO₂ (^{Food and Agriculture Organization of the United Nations [FAO], 2001}), además necesita grandes cantidades de agua y nutrimentos, particularmente nitrógeno, para lograr altos rendimientos (^{FAO, 2013}). Lo anterior conlleva, comúnmente, a una lixiviación de nitratos (NO₃ ^-) y consecuente contaminación de aguas subterráneas (^{Aristizábal-Gutiérrez & Cerón-Rincón, 2012}; ^{Gallardo et al., 2011}).

Se han desarrollado diversos modelos matemáticos dinámicos para estimar el crecimiento del jitomate, algunos de estos son Koning, TOMSIM, TOMGRO y TOMPOUSSE (^{López-Cruz et al., 2005}; ^{López-Cruz, Arteaga-Ramírez, Vázquez-Peña, López-López, & Robles-Bañuelos, 2009}), los cuales requieren una gran cantidad de variables de estado y parámetros debido a su estructura en cuanto a ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales (^{Wallach et al., 2014}). En este trabajo se utilizó el modelo VegSyst, el cual permite estimar biomasa del cultivo (DMP _i ), nitrógeno en la planta (N _i ) y evapotranspiración del cultivo (ET _c ), admeás, considera el tiempo térmico y se puede adaptar a diferentes fechas de siembra y diferentes prácticas en el invernadero. Sin embargo, el modelo asume que los cultivos no tienen limitaciones de agua y nutrimentos (^{Gallardo et al., 2011}; ^{Gallardo, Thompson, Giménez, Padilla, & Stöckle, 2014}). Por lo tanto, el objetivo de este trabajo fue simular y evaluar el modelo VegSyst para predecir el crecimiento del cultivo de jitomate y el contenido de nitrógeno en la planta bajo condiciones de invernadero.

Materiales y métodos

El modelo dinámico VegSyst fue propuesto por ^{Gallardo et al. (2011)} y cuenta con tres variables de entrada, trece parámetros y tres variables de salida en un conjunto de ecuaciones en diferencias en tiempo discreto. Requiere como variables de entrada datos diarios de temperatura máxima [Tmax (°C)], temperatura mínima [Tmin (°C)] y radiación fotosintéticamente activa [PAR (MJ·m^-2·día^-1)]. El modelo considera dos etapas en el ciclo del cultivo: 1) del trasplante a la máxima intercepción de PAR y 2) de la máxima intercepción de PAR a la madurez del cultivo (^{Giménez et al., 2013}).

El modelo dinámico está escrito en ecuaciones en diferencias en forma discreta y utiliza la acumulación de tiempo térmico [CTT(i) (°D)], la cual es obtenida por el método de triangulación (Ecuación 1) propuesto por ^{Zalom, Goodell, Wilson, Barnett, y Bentley (1983)} y retomado por ^{Gallardo et al. (2011}, ²⁰¹⁴) y ^{Giménez et al. (2013}).

Donde i es el día, Tmax (°C) y Tmin (°C) son la temperatura diaria máxima y mínima, respectivamente, y Tlow (°C) y Tup (°C) son los niveles óptimos de temperatura máxima y mínima, respectivamente, en donde no se detiene el crecimiento, es decir, 12 y 28 °C, respectivamente, para el jitomate de acuerdo con la ^{FAO (2013)}.

Para calcular el tiempo térmico relativo en las dos etapas del cultivo (RTT), el modelo VegSyst utiliza las siguientes ecuaciones (^{Gallardo et al., 2011}, ²⁰¹⁴; ^{Giménez et al., 2013}):

donde CTT _f es el acumulado de CTT(i) en el día donde se presentó la máxima intercepción de PAR (°D) y CTT _mat es el valor de CTT(i) en el día donde se presentó la madurez del cultivo (°D). El cálculo de la fracción interceptada de PAR (f _i-PAR ) en las dos etapas del cultivo se realiza por medio de las Ecuaciones 4 y 5:

donde f ₀ es la fracción inicial de PAR en el cultivo, f _f es la fracción máxima interceptada de PAR, f _mat es la fracción de PAR en la madurez del cultivo, α ₁ y α ₂ son coeficientes de ajuste, B ₁ y B ₂ son funciones calculadas por la Ecuación 6 y 7, en donde RTT _0.5 es el tiempo térmico relativo en la mitad del ciclo del cultivo.

A partir de las ecuaciones anteriores, se propone la Ecuación 8 para calcular materia seca diaria en el cultivo [DMP _i (g·m^-2)].

Donde PAR _i es el PAR diario en el cultivo (MJ·m^-2·día^-1) calculado mediante el producto de f _i-PAR del cultivo y las mediciones de PAR registradas por el sensor y RUE es el uso eficiente de radiación (g·MJ^-1·PAR^-1).

Para calcular el contenido de nitrógeno en la planta [N _i (%)] el modelo utiliza la siguiente ecuación:

donde a y b son coeficientes de ajuste, y para calcular el nitrógeno consumido por la planta (N _upk (g·m^-2)] se multiplicó DMP _i por N _i .

Los valores nominales de Tup y Tlow se tomaron de la FAO (2013), y CTT _f y CTT _mat se obtuvieron a partir de la Ecuación 1. Los otros coeficientes de las Ecuaciones 1 a 9 se presentan en el Cuadro 1, los cuales se tomaron de ^{Gallardo et al. (2011)} y ^{Giménez et al. (2013)}.

La variable de materia seca diaria se utilizó para calcular la altura de la planta (Alt), el número de frutos (Nfrutos), el número de nodos (Nnodos), la materia seca de frutos (DMP _Frutos ) y el peso fresco de frutos (Pfresfr). Las ecuaciones para estas variables se propusieron con base en el modelo expo-lineal y logístico (^{Cárdenas, Giannuzzi, Noia, & Zaritzky, 2017}; ^{Posada & Rosero-Noguera, 2007}):

donde c ₁ , c ₂ , d, e, g ₁ , g ₂ , g ₃ y h son coeficiente de ajuste.

Con respecto a las variables del clima que requiere el modelo VegSyst, estas se obtuvieron mediante una tarjeta Arduino™, la cual se programó para adquirir los datos provenientes de dos sensores. El primero para medir la temperatura y humedad relativa del aire, y el segundo para obtener datos de PAR. Las características de estos sensores se muestran en el Cuadro 2.

El sensor de temperatura y humedad se colocó en medio de un tubo de PVC (ploricloruro de vinilo) de 3 plg de diámetro y 50 cm de largo, el cual se forró con papel aluminio y al interior se colocó un ventilador en sentido de extractor para la circulación de aire y evitar que la radiación y el calor generado por las temperaturas altas afectaran las mediciones. Esto sirvió como garita de protección para los sensores (^{Erell, Leal, & Maldonado, 2003}, ²⁰⁰⁵; ^{Lee et al., 2016}). Mientras que el sensor de PAR se instaló en una base metálica asegurando un ángulo de 90 ° con respecto a la superficie.

Las variables climáticas se midieron con los sensores cada 5 s y se promediaron cada 5 min para almacenarlas en una memoria SD.

El equipo se instaló en un invernadero de producción comercial localizado en Aquixtla, Puebla, México (19° 28’ 21’’ latitud norte y 97° 33’ 10’’ longitud oeste, a 2 129 m de altitud), con una superficie de 2 000 m², cubierta de plástico tetra térmica con 15 % sombra, ventilación cenital y cuatro ventilas laterales (con área total de 263 m²).

Para evaluar el modelo se compararon simulaciones y mediciones de las variables de crecimiento en un cultivo de jitomate (Solanum lycopersicum L.) híbrido tipo saladette conocido como “Reserva”, de hábito de crecimiento indeterminado, producido en suelo. Los nutrimentos se aplicaron en el agua de riego (fertirrigación). Los datos del cultivo se tomaron durante dos ciclos agrícolas. El primero a los 150 días después del trasplante (ddt), de febrero a agosto de 2016, y el segundo a los 131 ddt, de agosto a diciembre de 2016. El muestreo para la obtención de los datos se llevó acabo cada 15 días durante los dos ciclos de cultivo. Las variables medidas fueron: materia seca, contenido de nitrógeno, altura de planta, número de hojas, número de nodos, número de flores y número de frutos.

Para determinar la materia seca se tomaron cuatro plantas por cada muestreo, la cuales se sometieron a un proceso destructivo para después depositarlas en bolsas de papel. Cada muestra se colocó en una estufa de secado a 70 °C durante 72 h, posteriormente se pesaron para obtener la materia seca de la planta.

El contenido de nitrógeno en la planta se determinó por el método de Kjeldhal. Para ello, se tomaron 0.2 g de materia seca de la planta y se mezclaron con selenio, ácido sulfúrico concentrado, hidróxido de sodio, ácido bórico al 4 %, ácido clorhídrico 0.1 %, rojo de metilo y rojo de metileno; la mezcla se sometió a up’n proceso de digestión y destilación (^{Jarquín-Sánchez, Salgado-García, Palma-López, Camacho-Chiu, & Guerrero-Peña, 2011}). Por su parte, el nitrógeno consumido por la planta se obtuvo al multiplicar el contenido de nitrógeno por el contenido de materia seca (^{Gallardo et al., 2011}, ²⁰¹⁴; ^{Giménez et al., 2013}).

Resultados y discusión

Para realizar la simulación con el modelo VegSyst, se deben emplear técnicas de calibración y validación del modelo (^{Giménez et al., 2013}), ya que cuando se utilizan parámetros propuestos para otras zonas de estudio las simulaciones no se ajustan a las mediciones hechas en el cultivo. Por ello, se hizo el análisis de sensibilidad y la calibración del modelo. La primera técnica se utiliza para determinar cómo las variables que predice el modelo son afectadas por la incertidumbre de los parámetros (^{López-Cruz et al., 2014}), y con la segunda se encuentran los valores de esos parámetros (^{Soltani & Sinclair, 2012}).

Calibración del modelo VegSyst

Con la técnica de mínimos cuadrados no lineales y el algoritmo de Levenberg-Marquardt se encontraron los valores de los cinco parámetros más sensibles del modelo VegSyst (RUE, a, b, f _f y f _mat ) y, adicionalmente, se encontraron los ocho parámetros de ajuste de las Ecuaciones 10 a 14 (Cuadro 4).

Cuadro 4 Valores estimados de los parámetros del modelo VegSyst. 

Parámetros	Antes de la calibración	Después de la calibración en el primer ciclo de cultivo	Después de la calibración en el segundo ciclo de cultivo
RUE	4.3	4.19	4.01
a	7.55	7.66	7.93
b	-0.126	-0.22	-0.24
f f	0.71	0.69	0.716
f mat	0.65	0.89	0.89
c 1	0.005	0.079	0.01
c 2	0.01	0.049	0.037
d	-2	-2	-2.2
e	-0.02	-0.02	-0.04
g 1	0.03	0.049	0.047
g 2	9	10	9.94
g 3	0.1	0.05	0.07
h	0.1	0.13	0.12

Las simulaciones antes y después de la calibración para el primer y segundo ciclo del cultivo se muestran en las Figuras 1 y 2 , respectivamente; en ambas se obtuvo un ajuste después de la calibración.

Figura 1 Comportamiento del modelo VegSyst sin y con calibración para el primer ciclo del cultivo. 

Figura 2 Comportamiento del modelo VegSyst sin calibración y con calibración para el segundo ciclo del cultivo. 

En el Cuadro 5 se presentan los valores de los estadísticos determinados para evaluar el comportamiento del modelo VegSyst antes y después de la calibración.

Cuadro 5 Valores de los estadísticos determinados para las variables predichas por el modelo VegSyst. 

	DMPi 1		N i		N upk		Pfresfr
	A. Cal	D. Cal	A. Cal	D. Cal	A. Cal	D. Cal	A. Cal	D. Cal
R2	0.9629	0.9673	0.88	0.97	0.71	0.67	0.88	0.93
MSE	780910	3588.7	4.26	0.31	530	400.58	4.70	0.55
RMSE	883.68	59.905	2.06	0.56	23	20.01	2.16	0.74
MAE	834.01	44.292	1.95	0.52	21.43	17.28	1.87	0.48
BIAS	834.01	4.9045	1.95	0.22	21.43	9.73	1.87	0.045
CV	0.5397	0.7848	0.16	0.40	0.47	0.34	0.83	1.23
VAR	413730	103140	0.215	0.2	236.24	211.3	10	6.51
	Alt		Nfrutos		Nnodos		DMP Frutos
	A. Cal	D. Cal	A. Cal	D. Cal	A. Cal	D. Cal	A. Cal	D. Cal
R2	0.9532	0.970	0.91	0.96	0.95	0.95	0.91	0.97
MSE	1508.2	108.92	99.49	32.92	115.25	5.45	17647	505.62
RMSE	38.83	10.43	9.97	5.73	10.73	2.33	132.84	22.48
MAE	34.48	8.98	8.67	2.43	10.05	2.02	126.27	18.86
BIAS	6.18	3.24	8.67	0.53	10.05	1.01	126.27	113.73
CV	0.25	0.624	0.50	0.94	0.62	0.60	0.54	1.07
VAR	738.71	3621	112.2	101.27	9.05	69.57	16549	15899

¹DMP _i = materia seca diaria del cultivo; N _i = nitrógeno en la planta; N _upk = nitrógeno consumido por la planta; Pfresfr = peso fresco de frutos; Alt = altura de la planta; Nfrutos = número de frutos; Nnodos = número de nodos; DMP _Frutos = materia seca de frutos; A. Cal = antes de la calibración; D. Cal = después de la calibración; R2 = coeficiente de determinación; MSE = cuadrado medio del error; RMSE = raíz del cuadrado medio del error; MAE = media del error absoluto; BIAS = promedio de la diferencia entre los datos medidos y calculados; CV = coeficiente de variación; VAR = varianza.

Los resultados presentados en el Cuadro 5 indican que hubo un ajuste de las variables de salida. El MSE disminuyó después de la calibración; es decir, se redujo el promedio de los errores al cuadrado entre las mediciones y las simulaciones (^{Soltani & Sinclair, 2012}). El RMSE presentó una situación similar en las ocho variables estimadas. Por su parte, el valor del MAE después de la calibración indicó que existió un ajuste después de la calibración (^{Wallach et al., 2014}). De acuerdo con ^{Soltani y Sinclair (2012)}, el valor del BIAS debe ser cercano a cero y el de R2 cercano a 1, valores similares a los obtenidos en este trabajo. El CV disminuyó únicamente para N _upk y Nnodos con respecto a los mostrados antes de la calibración. El valor estadístico de la VAR disminuyó para DMP _i , N _i , N _upk , Pfresf, Nfrutos y DMP _Frutos , lo que indica que hubo un ajuste para estas variables.

Para determinar cuál de los dos conjuntos de parámetros obtenidos en la calibración del modelo predice el crecimiento del cultivo, se realizó una validación cruzada (^{Vehtari, Gelman, & Gabry, 2017}) entre el conjunto de parámetros del primer ciclo con los datos de simulación del segundo ciclo, y viceversa. Los resultados estadísticos de esta validación se muestran en el Cuadro 6.

Cuadro 6 Valores de la validación cruzada de los parámetros en ambos ciclos de cultivos. 

	DMP i 1		N i		N upk		Pfresfr
	SC1	SC2	SC1	SC2	SC1	SC2	SC1	SC2
R2	0.9673	0.9732	0.96	0.896	0.697	0.844	0.938	0.978
MSE	4013	2505	0.29	0.495	580.91	458.92	0.622	0.157
RMSE	63.3509	50.0505	0.54	0.703	24.10	21.42	0.788	0.397
MAE	48.8829	39.9663	0.50	0.643	21.02	29.84	0.463	0.269
BIAS	20.2339	7.4181	0.26	0.122	19.97	18.73	0.025	0.083
CV	0.8016	0.7372	0.43	0.400	0.691	0.616	1.187	1.163
VAR	100170	84389	0.25	0.194	616.04	492.4	5.727	3.424
	Alt		Nfrutos		Nnodos		DMP Frutos
	SC1	SC2	SC1	SC2	SC1	SC2	SC1	SC2
R2	0.958	0.9723	0.958	0.9347	0.937	0.947	0.973	0.988
MSE	398.37	868.51	247.73	307.32	10.025	7.699	1777	450.33
RMSE	19.95	29.470	15.73	17.53	3.166	2.774	42.156	21.221
MAE	12.79	25.939	2.907	3.018	2.781	2.442	26.520	17.039
BIAS	7.147	25.939	2.17	2.5096	1.667	2.245	114.38	114.92
CV	0.678	0.599	0.905	0.905	0.678	0.599	1.098	1.049
VAR	5182	3142	172.44	91.06	74.63	53.111	23863	13104

¹DMP _i = materia seca diaria del cultivo; N _i = nitrógeno en la planta; N _upk = nitrógeno consumido por la planta; Pfresfr = peso fresco de frutos; Alt = altura de la planta; Nfrutos = número de frutos; Nnodos = número de nodos; DMP _Frutos = materia seca de frutos; SC1 = simulación del primer ciclo utilizando parámetros del segundo ciclo del cultivo; SC2 = simulación del segundo ciclo utilizando parámetros del primer ciclo del cultivo; R2 = coeficiente de determinación; MSE = cuadrado medio del error; RMSE = raíz del cuadrado medio del error; MAE = media del error absoluto; BIAS = promedio de la diferencia entre los datos medidos y calculados; CV = coeficiente de variación; VAR = varianza.

Con la simulación del segundo ciclo utilizando parámetros del primer ciclo del cultivo (SC2) se obtuvo un mejor desempeño en todos los estadísticos para las variables DMP _i , N _upk , Pfresf, Nnodos y DMP _Frutos , mientras que para N _i , Alt y Nfrutos el mayor desempeño estadístico con ambos conjuntos de parámetros fue alterno (Cuadro 6). Por lo anterior, no es posible afirmar que el conjunto de parámetros del primer ciclo de cultivo es el que valida al modelo para futuros experimentos; por lo tanto, dichos parámetros deben elegirse de los rangos presentados en el Cuadro 4.

Para determinar si el modelo predice las variables de crecimiento del cultivo de jitomate y el contenido de nitrógeno en la planta, se comparó el R2 antes de la calibración y después de la validación cruzada (Cuadro 7). Con este análisis se pudo afirmar que el R2 después de la calibración y la validación cruzada se puede predecir en un 95 % en materia seca de la planta, nitrógeno en la planta, peso fresco de frutos, altura de la planta, número de frutos, número de nodos y materia seca de frutos, y en 84 % el nitrógeno consumido por la planta.

Cuadro 7 Comparación de los coeficientes de determinación antes de la calibración y después de utilizar validación cruzada. 

Variable de crecimiento	Antes de la calibración	SC11	SC2
Materia seca de la planta	0.962	0.967	0.973
Nitrógeno en la planta	0.88	0.960	0.896
Nitrógeno consumido	0.71	0.697	0.844
Peso fresco de frutos	0.88	0.938	0.978
Altura	0.95	0.958	0.972
Número de frutos	0.91	0.958	0.934
Número de nodos	0.95	0.937	0.947
Materia seca de frutos	0.91	0.973	0.988

¹SC1 = simulación del primer ciclo utilizando parámetros del segundo ciclo del cultivo; SC2 = simulación del segundo ciclo utilizando parámetros del primer ciclo del cultivo.

Conclusiones

El modelo VegSyst y las ecuaciones propuestas, basadas en el modelo expo-lineal y logístico, permiten simular, evaluar y estimar variables de crecimiento del cultivo de jitomate y contenido de nitrógeno en la planta en 95 %. Además, el análisis de sensibilidad permitió identificar los parámetros que más contribuyen al modelo VegSyst, y con la técnica de mínimos cuadrados no lineales se ajustaron las simulaciones y las mediciones hechas en el cultivo.