Artículos

 

Análisis metodológico de la distribución espacial de la precipitación y la estimación media diaria*

 

Methodological analysis of the spatial distribution of rainfall and the average daily stimation

 

Mauro Íñiguez Covarrubias¹, Waldo Ojeda Bustamante^1§, Carlos Díaz Delgado², Khalidou Mamadou Bâ² y Roberto MercadoEscalante¹

 

¹ Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. Paseo Cuauhnáhuac 8532. Colonia Progreso, Jiutepec, Morelos, México. C. P. 62550. Fax. 01 777 3194220. (mic@tlaloc.imta.mx), (wojeda@tlaloc.imta.mx), (rmercado@tlaloc.imta.mx). ^§Autor para correspondencia: wojeda@tlaloc.imta.mx.

² Universidad Autónoma del Estado de México. Cerro de Coatepec s/n. Toluca, México. Fax. 52 722 2965550. (cdiaz@uaemex.mx), (khalidou@uaemex.mx).

 

* Recibido: abril de 2010
Aceptado: febrero de 2011

 

Resumen 

El objetivo del trabajo consistió en mostrar un análisis metodológico geoestadístico, para generar un patrón espacial de la lluvia, asociado a la precipitación media diaria. Caracterizar y conocer la distribución espacial de la precipitación, también conocida como "campo de tormenta" y asociarla a un modelo de distribución o sustituirla por una precipitación media por métodos convencionales, es un reto importante en estudios de las ciencias del agua. La metodología propuesta requiere de la construcción de un variograma, elaborado por un ajuste de datos experimentales de un campo de tormenta, que sirva como base para generar la distribución espacial de la lluvia con la aplicación del método geoestadístico del "krigeado". Esto permite determinar la precipitación media diaria de una cuenca hidrográfica. Los resultados muestran que es posible obtener una función que relacione la lluvia media con el campo de tormenta, mediante los parámetros α y β del variograma ajustado a un modelo esférico. Para validar la aplicación de la metodología se analizaron varios eventos, aquí se presentan dos eventos de precipitación observada en la cuenca del río Juchipila, y río Calvillo, entre los estados de Aguascalientes y Zacatecas. Los resultados muestran una relación única de la lluvia media diaria con la distribución espacial, representada por el campo de tormenta. Asimismo, se encontró que el valor óptimo de la función es mínimo al compararlo con los resultados obtenidos por cuatro métodos convencionales: promedio aritmético, polígonos de Thiessen, método de isoyetas y método de krigeado lineal.

Palabras clave: krigeado, polígonos de Thiessen, precipitación media, variograma.

 

Abstract

The aim of the study was to show a geostatistical methodological analysis to create a spatial pattern of rain, related to average daily rainfall. Defining and knowing the spatial distribution of rainfall, also known as the "storm field" and related to a distribution model, or replacing it to an average rainfall using conventional methods, is an important challenge in the study of water science. The methodology suggested requires the construction of a variogram, created by adjusting experimental data of a storm field, which serves as a base to generate the spatial distribution of rain using the geostatistical method of "Kriging". This helps determine the daily average rainfall of a watershed. Results show that it is possible to obtain a function that relates average rainfall with the storm field, using parameters α and β of the variogram, adjusted to a spherical model. To validate the application of the methodology, several events were analyzed. Here we present two rainfall events observed in the basin of rivers Juchipila and Calvillo, between the states of Aguascalientes and Zacatecas. Results show a single relation between average daily rainfall and spatial distribution, represented by the storm field. It was also found that the optimum value of the function is minimal when comparing it to results obtained using four conventional methods: arithmetical average, Thiessen diagrams, isohyet method and linear Kriging method.

Key words: average rainfall, Kriging, Thiessen diagrams, variogram.

 

INTRODUCCIÓN

La estimación de los recursos hídricos de una cuenca, que incluye sus áreas de agricultura de riego y temporal, demanda conocer la distribución espacial de la precipitación. Es difícil obtener dicha representación cuantitativa de la precipitación, insumo básico de los modelos relación lluvia-escurrimiento, ya que es un fenómeno intermitente con alta variabilidad espacial y temporal, usualmente dicha variable se estima sólo en algunos puntos de monitoreo de una cuenca a través de una red de pluviómetros (Mirás-Avalos et al., 2007).

La interpolación espacial de la lluvia se ha estudiado con diferentes enfoques dependiendo de la aplicación, información disponible y precisión requerida. El principio básico de la mayoría de los métodos es transformar los valores puntuales de la precipitación, a través de ponderadores espaciales, para representar la distribución de la precipitación sobre una superficie (Damant et al., 1983). Los métodos más usados para estimar el promedio espacial de la precipitación a partir de datos observados en estaciones pluviométricas son: promedio aritmético, polígonos de Thiessen e isoyetas. El método de Thiessen, el más usado en hidrología, asigna una ponderación diferencial a cada estación, generando una distribución espacial no uniforme pero asumiendo una variación lineal entre estaciones. Una de las limitaciones del método de Thiessen está en que la ponderación es fija, independientemente de la variabilidad temporal y espacial de la tormenta. Aunque el método de las isoyetas mejora esta limitación al generar isoyetas para cada tormenta, es tedioso por la planimetría requerida para estimar la precipitación media sobre una cuenca (Damant et al., 1983).

Los métodos anteriores, tradicionalmente han sido útiles para estimaciones espaciales exploratorias (Mirás-Avalos et al., 2007). Morin y Paquet (1995) presentaron una aplicación de la variación espacial de la lluvia diaria usando los polígonos de Thiessen para simular la relación lluvia-caudal; así también, Batin et al. (1984) presentan una aplicación para localizar el mejor sitio de estaciones pluviométricas.

Actualmente, los métodos geoestadísticos se usan entre otras aplicaciones, como herramienta de interpolación para analizar el comportamiento espacial de una variable sobre un área determinada (Cisneros et al., 1998), usualmente en programas comerciales para la generación de mapas de lluvia (Goovaerts, 2000). El uso de métodos geoestadísticos, en particular el krigeado ordinario, como herramienta de interpolación para la construcción de campos de tormenta como ha sido reportada por Cisneros et al. (1998) para representar la variabilidad espacial de la lluvia.

Los métodos geoestadísticos requieren de un preprocesamiento de los datos observados para establecer parámetros sobre el patrón espacial de la precipitación con la construcción de su variograma. La generación de variogramas para estudiar la variabilidad espacial de la lluvia ha sido reportada por Lebel y Bastin (1985). La aplicación de técnicas geoestadísticas que integran la variabilidad espacial de una variable en un variograma es una herramienta muy útil, ya que el error de la estimación no depende directamente de los datos sino del patrón espacial de los datos y de la semivarianza del variograma generado (Burrough y McDonnell, 1998).

Un variograma es un modelo matemático que define la dependencia espacial de la variable de estudio, con fines de interpolación espacial (Goovaerts, 2000) y cuyos parámetros son ajustados con datos experimentales. Existen varios modelos teóricos que pueden generarse para ajustar variogramas de variables. Aunque se han reportado diversos estudios para caracterizar espacialmente las variables hidrológicas usando métodos geoestadísticos (Level y Bastin, 1985), existen pocos estudios para representar la variación espacial de patrones de tormentas, con fines de estimación en la relación lluvia-escurrimiento.

Existe la necesidad de estudiar el tipo de modelos para variogramas que mejor representen el comportamiento espacial de la lluvia y buscar una relación que puede ser utilizada como estructura espacial en la determinación de la precipitación media de una cuenca. El objetivo del trabajo consistió en mostrar un análisis metodológico geoestadístico, para generar un patrón espacial de la lluvia, asociado a la precipitación media diaria.

 

MATERIALES Y MÉTODOS

La aplicación se realizó para la cuenca del río Juchipila, considerado conjuntamente con el río Calvillo y afluentes del río Santiago, que constituyen uno de los sistemas hidrológicos más importantes de los estados de Zacatecas y Aguascalientes, México. La cuenca está localizada en una zona semiárida, con una área de 5 640 km², las lluvias se concentran en el periodo julio-septiembre; normalmente llueve en toda la cuenca pocos días del año. La información de precipitación diaria, base del estudio, procede de 63 estaciones climatológicas (Figura 1).

Se digitalizó la cuenca del río Juchipila en una proyección ortogonal, la longitud y latitud se presentan en el sistema de coordenadas UTM (universal transversal de mercator), como se observa en la Figura 1. La fuente de datos pluviométricos, fue el paquete computacional ERIC III (IMTA, 2009). La clave oficial de las estaciones usadas se presenta en el Cuadro 1, además para un mejor entendimiento se incluye la latitud y longitud en unidades UTM.

El estudio se realizó en el periodo 1949-1984, seleccionándose el año 1984 por contar con información completa para las estaciones del área de estudio; la información se organizó por estación y por día. Se eliminaron los días que no presentaron lluvias en la cuenca, quedando sólo 105 días con datos de precipitación en al menos una estación. Para validar la aplicación de la metodología se analizaron 105 eventos, pero de estos sólo se presentan dos eventos de precipitación contrastante en la cuenca estudiada que corresponden a los días 111 y 149. Con los datos de la lluvia ERIC III de las 63 estaciones (Cuadro 1), se construyó el variograma experimental para ambos eventos, apoyándose con el software Geopack (USDA/ARS, 1990).

Obtención del variograma

Como parte metodológica se describen los pasos, presentados a detalle por Samper y Carrera (1990), para la construcción del variograma, ajuste del modelo, validación y su aplicación. Durante la construcción del variograma experimental, inicialmente se utilizaron los valores de la lluvia expresada como la variable z de las estaciones pluviométricas, que cubren el área de la cuenca; paso seguido, se seleccionó una dirección angular θ que presenta el mayor gradiente pluviométrico, así como la selección de la distancia o lag, h para lo cual se calcula la semivarianza (*) para valores de h, 2h, 3h, ..., nh, de acuerdo a la ecuación 1; y finalmente, se gráfica γ* para diferentes distancias espaciales entre dos puntos x, expresados como valores de h, 2h, 3h, ..., nh.

La interpolación entre los puntos del variograma experimental, no garantiza la existencia tampoco unicidad de la solución del sistema de krigeado, por lo que hay que proponer un modelo de ajuste al variograma experimental (Sampler y Carrera, 1990). Para este trabajo, se ajustó el variograma a un modelo esférico ampliamente usado por lo práctico, flexible y sencillo para estimar los parámetros (β y α, que fueron utilizados para interpolar los campos de tormenta por el método del krigeado. El modelo esférico tiene un comportamiento lineal en el origen; la pendiente es igual a 1.5 α/(β y representa fenómenos continuos pero no diferenciables (Chua y Bras, 1982) como es el caso de la lluvia. Las expresiones matemáticas del modelo esférico de ajuste se presentan en la ecuación 2.

Donde, el parámetro α es el rango y define la distancia h a la cual el valor del semivariograma es estacionario y en consecuencia refleja la dependencia espacial, también se le conoce como alcance; y β es el umbral que define la distancia a partir de la cual el variograma permanece fijo, y se le conoce como meseta y representa la máxima variabilidad entre pares de observaciones próximas.

Para modelar la distribución espacial de la variable en la cuenca una vez resuelto el ajuste de los datos observados al modelo esférico y estimados los parámetros de ajuste α y β, se desarrolló una interfaz computacional para facilitar la interpolación mediante krigeado. Esta interfaz se basa en la solución del método de krigeado (ecuación 3), para cada uno de los puntos de la malla previamente seleccionada y se resuelve con el modelo ajustado, obteniéndose el valor de la lluvia en todos los puntos. En forma matricial, este sistema tiene la siguiente expresión: Si -γ(h) es condicionalmente definida positiva, la matriz del sistema es siempre regular, por lo que siempre existe la solución (Sampler y Carrera, 1990).

Resolviendo el sistema matricial (ecuación 3) se determinan los parámetros λ_i, donde Σ_i λ_i=1 , permiten estimar el valor de la precipitación Z*(x₀) al resolverse la ecuación 5.

Para el método de krigeado se propone una interpolación esférica, sin sesgo y de error cuadrático medio mínimo expresado por las expresiones 6 y 7.

Una vez caracterizado el campo de tormenta de la distribución espacial de la lluvia sobre la cuenca, se calcula la precipitación media con la ecuación 8. Para ello se generó otra aplicación computacional "lluvia-promedio":

Donde: PMD_i— precipitación media del día i (mm); P_j= precipitación en el punto de la j de la malla en mm; a_j= área de la celda o cuadro j (km²); A_T= Área total de la cuenca (km²).

Para estimar la lluvia media sobre la cuenca fue necesario discretizar el área de interés en celdas o elementos cuadráticos; para este ejercicio, se seleccionaron celdas de 6 km por lado. Se consideraron las líneas o divisiones de la cuenca con cuencas externas e internas. Esta subdivisión fue realizada manualmente. De este modo, en cada elemento parcial queda caracterizada la variable y el porcentaje de superficie que ocupa respecto al área total. Para cada evento se determina la distribución espacial de la lluvia con el método de interpolación por krigeado.

Un parámetro que puede ser asociado a la construcción de campos de tormenta es el estimador de la varianza de la muestra y se considera en esta investigación como criterio de calidad del ajuste. La varianza se determina por la ecuación 9.

Donde: S²_e= varianza; x_i= precipitación de la estación enésima; x_ei= precipitación interpolada para la estación i.

Para determinar la precipitación interpolada se efectúa una validación cruzada que consiste en omitir los registros de una estación y modelarlos con base en el resto de las estaciones; para comparar los valores observados x_i con los interpolados x_ei, mediante el cálculo de los errores e= x_i-x_ei de los eventos, para finalmente calcular la variancia de los errores con la ecuación 9.

Por último, se estimó la precipitación media sobre la cuenca con técnicas convencionales, como son: el método aritmético, los polígonos de Thiessen y el método de isoyetas (gráfico), con la finalidad de compararlos con el método del krigeado.

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Los parámetros resultantes del ajuste al modelo esférico para el día 111 fueron α= 19.31 y β= 37 663; para un segundo evento (día 149), los valores resultantes fueron α= 42.5 y β= 25 892. Se observa que el variograma experimental (Figura 2) tiene una plataforma definida, que no tiene derivada y no existe discontinuidad en el origen; por lo tanto, no tiene efecto pepita.

Sólo con el fin de apreciación visual (Figura 2), al variograma experimental se ajustó también los modelos: exponencial (ecuación 10) y potencial (ecuación 11), donde α y β son parámetros de ajuste.

En el Cuadro 2 se presentan los valores del variograma experimental, para los tres modelos estudiados (día 111).

Con los datos de la distribución de lluvia o campo de tormenta (Figura 3), se aplicó la ecuación 8 para obtener la lluvia media sobre la cuenca y para el día 111 fue de 0.609 mm y 1.7 mm para el día 149.

Análisis en la estimación de campos de tormenta con modelo esférico

El análisis consistió en explorar el campo de tormenta buscando su relación con la precipitación media diaria. Se inicia con analizar la sensibilidad del modelo respecto al parámetro α éste se hizo variar con valores de ±5 y considerando β= 37 663 constante; el valor de la lluvia media con este análisis no varió. Lo anterior significa que el valor de lluvia media, no es función de la variación de α cuando β es constante. Un segundo análisis fue mantener el parámetro α= 19.31 constante, y variar β con valores de ±5 000, los resultados se muestran en el Cuadro 3.

Con los pares de valores β y lluvia media, para ambos eventos analizados se obtiene la función de variación. Los valores de la función se graficaron (Figura 4), y se observa que hay un valor mínimo que resulta ser el valor que hace óptima la relación. Se observa en la Figura 4 que al aumentar β partiendo del valor óptimo, aumenta el valor de la precipitación media hasta llegar al valor determinado de lluvia media por el krigeado lineal, lo cual indica la influencia de la distancia del umbral del modelo; por ejemplo, para el día 111 la precipitación media tiene una variación de 41% mayor, y para el día 149, es de 24% mayor respecto al óptimo (valor mínimo).

Comparación de resultados entre métodos de la precipitación media

Con fines de realizar una comparación cuantitativa de los resultados se realizó el cálculo de la precipitación media sobre la cuenca con cuatro métodos convencionales: promedio aritmético, polígonos de Thiessen, método de las isoyetas y método del krigeado lineal.

Realizando la comparación de los resultados obtenidos aplicando los cinco métodos (Cuadro 4), se encontró que la precipitación media determinada con la metodología propuesta fue la menor, y al tomarlo como referencia resultó, que el valor determinado por el krigeado lineal es superior 41%; el determinado por el método de las isoyetas es mayor 19.5%; el de los polígonos de Thiessen 39%; y el método aritmético 8%, estos valores son para el primer evento analizado, se presenta una tendencia similar para el segundo evento. Respecto al resultado por los métodos de las isoyetas (gráfico) y krigeado lineal, debería ser el mismo, ya que las isoyetas son las mismas, por lo que la diferencia en la estimación de la media, se debe al error asociado con la representación manual de la isoyeta media tal como se realiza en la práctica (Figura 5).

Análisis de la varianza

Este análisis se presenta sólo con fines cualitativos, ya que al suprimir cualquier valor del evento analizado este se convierte en otro evento, para lo cual será necesario otros parámetros del modelo esférico. Se observa que la varianza del error del campo de tormenta, determinado por el método del krigeado usando el modelo esférico es menor, que el determinado por el campo de tormenta usando un krigeado lineal (Cuadro 5) y para los otros métodos no es aplicable por las razones mencionadas.

De manera visual se presentan los mapas del campo de tormenta de los dos eventos analizados (Figuras 3 y 5), aunque son dos eventos independientes representados por el mismo modelo de variograma tipo esférico, el método del krigeado esférico genera los valores mínimos de la precipitación media sobre la cuenca (Cuadro 4). En consecuencia, el impacto del uso de la metodología propuesta es que el método del krigeado esférico no sobrestima la precipitación media sobre una cuenca. Lo anterior es de suma importancia en estudios sobre manejo hídrico de una cuenca para cuantificar volúmenes precipitados con mayor certidumbre. Los resultados indican que los métodos tradicionales sobreestiman el valor de la lluvia media, lo cual tiene repercusiones en la toma de decisiones para el manejo sustentable de los recursos hídricos de una cuenca.

 

CONCLUSIONES

El campo de tormenta atribuible a la cuenca del río Juchipila, y representado por el modelo esférico, tiene el variograma entre los llamados de anisotropía geométrica, ya que con la variación de α la precipitación media no cambia; y para valores diferentes del parámetro α, se optimiza el rango β. Por lo tanto, se puede representar un campo de tormenta por medio de un variograma tipo esférico, entonces existe una relación única de dicho campo con la lluvia media de una cuenca, además tiene la características que el valor es mínimo a compararlos con los obtenidos con métodos tradicionales.

Por ello, se recomienda que al realizar la estimación de los recursos hídricos de una zona, que incluya sus áreas de agricultura de riego y temporal y demande conocer la distribución espacial de la precipitación utilice el método propuesto, ya que se puede caracterizar una cuenca por medio de un campo de tormenta o más conocido como un patrón de distribución de la lluvia.

 

LITERATURA CITADA

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