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Introducción
En el diseño de sistemas de riego de multisalidas existe la necesidad de calcular las pérdidas de energía por fricción en tuberías (Pimenta et al., 2018) y determinar el diámetro más económico y óptimo (Espinosa et al., 2016; Melo et al., 2019). Está pérdida se debe a la fricción entre las partículas del fluido y la pared de la tubería (Nosrati et al., 2017), para ello existen las ecuaciones de Manning, Hanzen & Williams y Darcy & Wesbach. Estas ecuaciones poseen un coeficiente de salidas múltiples o un factor de salidas o de fricción que dificulta el cálculo del número de emisores goteros (emisores).
Además, la ecuación de Hanzen & Williams sobreestima los costos de pérdidas de energía por fricción en 13% en comparación con Darcy & Wesbach (Flecha et al., 2010), lo cual encarece la operación de los equipos de riego. Alegret y Martínez (2019) propusieron un coeficiente a la ecuación de Hazen & Williams basado en la rugosidad relativa y el número de Reynolds, obteniendo valores muy semejantes a las pérdidas de energía de la ecuación de Darcy & Wesbach. Adams (2016) combinó la rugosidad de granos de arena con la ecuación de Darcy & Wesbach y la ecuación Coolebrock & White y determinó el coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams con una desviación de 2.3%.
Jamil y Mujeebu (2019); Jamil (2019) determinaron una ecuación para calcular las pérdidas de energía con Darcy & Wesbach sin el uso del factor de fricción y número de Reynolds. Jiménez y Ramírez (2018) combinaron la ecuación de Manning y Darcy & Wesbach con el factor de salidas múltiples de Christiansen para determinar el número de salidas a través del método numérico de Newton Raphson. Wang et al. (2016) realizaron un análisis hidráulico de una unidad de riego por goteo con elementos finitos y un método iterativo de eliminación gaussiana y determinó que una línea regante por multisalidas es una alternativa a un sistema ramificado. Hassan (2017), desarrolló un modelo matemático de programación lineal en el que evaluó los costos y pérdidas de energía en diferentes diámetros de tuberías y determinó que las mejores ecuaciones para pérdidas de energía fueron las de Darcy & Wesbach y Manning. Se realizó un análisis físico matemático a las ecuaciones de pérdidas de energía por rozamiento en tuberías y accesorios para generar al menos una ecuación determinística basada en la ecuación de Manning y Darcy & Wesbach para el diseño hidráulico del riego por multisalidas.
Materiales y métodos
El presente trabajo se llevó a cabo en las instalaciones del Instituto Tecnológico de Torreón, localizado en el ejido Ana, carretera Torreón San Pedro kilómetro 7.5, en los paralelos 25° 36’ 53’’ de latitud norte y 103° 22’ 21’’ de longitud oeste.
Ecuación de pérdida de energía
Hassan (2017), desarrolló un modelo matemático de programación lineal en el que evaluó los costos y pérdidas de energía en cinco diámetros nominales de tuberías 3”, 3-1/2”, 4”, 5” y 6” con las ecuaciones de Hazen-Williams, Manning, Scobey y Darcy & Weisbach y determinó que las mejores ecuaciones para pérdidas de energía fueron las de Darcy & Wesbach y Manning. Por tal motivo en este trabajo se utilizaron las ecuaciones de Manning y Darcy & Wesbach.
Ecuación de pérdida de energía por rozamiento
A continuación, se presenta la ecuación 1 de pérdidas de energía por fricción de
Manning.
Ecuación de pérdida de energía localizada
La ecuación de pérdidas de energía localizada de Darcy & Wesbach.
Análisis de una línea regante
En la Figura 1, se presenta una línea regante de emisores. Al analizar la línea regante de derecha a izquierda, en el tramo de tubería uno circula un caudal ‘q’, en el tramo número 2 circula un caudal ‘2q’, en el tramo número 3 circula un caudal ‘3q’, en el tramo número 4 circula un caudal ‘4q’ y así sucesivamente. Esto significa que el caudal aumenta un ‘q’ en cada tramo de tubería hasta llegar al gasto máximo de la tubería ‘Nq’ en el tramo ‘NL’. Por lo tanto, las pérdidas de energía por fricción y localizada se están acumulando en un ‘q’ en cada tramo de tubería por donde circula el agua hasta tener las pérdidas de energía total en el tramo ‘NL’ y caudal máximo ‘Nq’.
Al sumar las pérdidas de energía por rozamiento en cada tramo de derecha a
izquierda, usando la ecuación 1, resulta la ecuación (4).
Solucionando la sumatoria de la ecuación (6) y sustituyéndola en la misma
ecuación, resulta la ecuación (7).
Solución del polinomio de energía de la línea regante
Se extrae el termino constante de la ecuación (8) y si se analiza algebraicamente
resulta la ecuación (8.1).
A continuación, se presenta la ecuación (10) que soluciona la ecuación (9) al
generar la solución real de la ecuación.
Análisis de la solución real del polinomio de energía total de la línea regante
La ecuación 11 está integrada por tres términos (1o, 2o y
3o), los dos primeros términos contienen una variable y el tercer
término es una constante, dichos términos se presentan a continuación
(ecuaciones 11.1, 11.2 y 11.3, respectivamente).
Análisis estadístico del número de salidas
Se determinó el error relativo porcentual, para ello se adaptó la ecuación de
Olivares et al.
(2019), quedando la siguiente ecuación.
Para estimar este error se utilizó el apoyo de una hoja de cálculo electrónica (Excel) para cada una de las ecuaciones que determinan el número de salidas. En el Cuadro 1 se observa el valor numérico de ‘N’ número de emisores (11), el error en el porcentaje de ‘N’ número de emisores con relación al primer término ‘1er’ (11.1), la solución parcial de los términos (1°, 2° y 3°) a la solución total del polinomio, así como la aportación a la solución en porcentaje de cada uno de los términos.
Cuadro 1 Análisis de la solución real del polinomio de energía total de la línea regante.
| K | N | Error ‘N’ (%) | Soluciones parciales | Aportación a la solución (%) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1° | 2° | 3° | 1° | 2° | 3° | 1°+3° | ||||
| 2.8 | 1 | 10.38 | 1.1 | 0.4 | -0.5 | 110.38 | 39.71 | -50.09 | 60.29 | |
| 25 | 2 | 15.52 | 2.32 | 0.19 | -0.5 | 115.52 | 9.37 | -24.89 | 90.63 | |
| 77 | 3 | 12.33 | 3.38 | 0.13 | -0.5 | 112.33 | 4.30 | -16.63 | 95.7 | |
| 171 | 4 | 10.01 | 4.41 | 0.1 | -0.5 | 110.01 | 2.48 | -12.49 | 97.52 | |
| 319 | 5 | 8.38 | 5.42 | 0.08 | -0.5 | 108.38 | 1.61 | -9.99 | 98.39 | |
| 533 | 6 | 7.2 | 6.44 | 0.07 | -0.5 | 107.2 | 1.13 | -8.33 | 98.87 | |
| 825 | 7 | 6.3 | 7.44 | 0.06 | -0.5 | 106.3 | 0.84 | -7.14 | 99.16 | |
| 1 206 | 8 | 5.6 | 8.45 | 0.05 | -0.5 | 105.6 | 0.65 | -6.25 | 99.35 | |
| 2 288 | 10 | 4.58 | 10.46 | 0.04 | -0.5 | 104.58 | 0.42 | -5 | 99.58 | |
| 10 673 | 17 | 2.79 | 17.48 | 0.02 | -0.5 | 102.79 | 0.15 | -2.94 | 99.85 | |
| 51 268 | 29 | 1.67 | 29.49 | 0.01 | -0.5 | 101.67 | 0.05 | -1.72 | 99.95 | |
| 257 445 | 50 | 0.98 | 50.49 | 0.01 | -0.5 | 100.98 | 0.02 | -1 | 99.98 | |
| 1 339 615 | 87 | 0.57 | 87.5 | 0 | -0.5 | 100.57 | 0.01 | -0.57 | 99.99 | |
| 458 199 | 133 | 0.37 | 133.5 | 0 | -0.5 | 100.37 | 0 | -0.38 | 100 | |
| 20 015 200 | 215 | 0.23 | 215.5 | 0 | -0.5 | 100.23 | 0 | -0.23 | 100 | |
| 78 955 400 | 340 | 0.15 | 340.5 | 0 | -0.5 | 100.15 | 0 | -0.15 | 100 | |
| 576 300 000 | 660 | 0.08 | 660.5 | 0 | -0.5 | 100.08 | 0 | -0.08 | 100 | |
| 2 003 002 000 | 1 000 | 0.05 | 1 000.5 | 0 | -0.5 | 100.05 | 0 | -0.05 | 100 | |
Datos calculados con las ecuaciones 11.1, 11.2, 11.3, 12 y 13. Donde: K= constante del polinomio; N= número de emisores; 1°= primer término; 2°= segundo término; y 3°= tercer término de la ecuación.
En este cuadro se aprecia que la aportación del primer término ‘1°’ en la columna
de soluciones parciales la parte decimal de estos valores tienden a ser
constante a medida que N aumenta y en la columna de aportación a la solución
tiende a disminuir. La aportación del segundo término ‘2°’ en la columna de
soluciones parciales tiende a cero cuando N’ toma valores iguales o mayores de
87 y en la columna de aportación a la solución tiende a un valor pequeño cuando
‘N’ es igual a 87 salidas. Asimismo, la aportación del tercer término ‘3°’ sirve
como factor de corrección a la solución y tiende a disminuir significativamente
en el mismo número de salidas en la columna de aportación a la solución. Esto
significa que la solución compacta de la ecuación (9) se resume en el primer ‘1°
y tercer ‘3°’ término de la ecuación (11), dando como resultado la ecuación 13.
La ecuación 13 está formada por dos subtérminos variables, los cuales se
presentan a continuación
En el Cuadro 2 se observa el valor numérico de ‘N’ número de emisores (11), los valores del ‘subtérmino 1’ (13.1) y ‘subtérmino 2’ (13.2), el valor numérico de ‘N modificada’, calculada con la suma de las ecuaciones 13.1 y 13.2 que representa la ecuación (11.1); el ‘error de N’ determinada con los valores de ‘N modificada’ y los valores de ‘N’, calculado con la ecuación (12).
Cuadro 2 Análisis de los subtérminos de la ecuación 21 (solución real del polinomio de energía total de la línea regante).
| K | N | Subtérmino 1 | Subtérmino 2 | N modificada | Error de ‘N’ (%) |
|---|---|---|---|---|---|
| 2.9 | 1 | 0.7 | 0.7 | 1.1 | 10.8 |
| 25 | 2 | 6.3 | 6.2 | 2.3 | 15.5 |
| 77 | 3 | 19.3 | 19.2 | 3.4 | 12.3 |
| 171 | 4 | 42.8 | 42.7 | 4.4 | 10 |
| 319 | 5 | 79.8 | 79.7 | 5.4 | 8.4 |
| 533 | 6 | 133.3 | 133.2 | 6.4 | 7.2 |
| 825 | 7 | 206.3 | 206.2 | 7.4 | 6.3 |
| 1 206 | 8 | 301.5 | 301.5 | 8.4 | 5.6 |
| 2 288 | 10 | 572 | 572.0 | 10.5 | 4.6 |
| 4 886 | 13 | 1 221.5 | 1 221.5 | 13.5 | 3.6 |
| 10 673 | 17 | 2 668.3 | 2 668.2 | 17.5 | 2.8 |
| 51 268 | 29 | 12 817 | 12 817 | 29.5 | 1.7 |
| 257 445 | 50 | 64 361.3 | 64 361.2 | 50.5 | 1 |
| 1 339 615 | 87 | 334 903.8 | 334.903.7 | 87.5 | 0.6 |
| 4 758 199 | 133 | 1 189 549.8 | 1 189 549.7 | 133.5 | 0.4 |
| 11 761 000 | 180 | 2 940 250 | 2 940 250 | 180.5 | 0.3 |
| 20 015 200 | 215 | 5 003 800 | 5 003 800 | 215.5 | 0.2 |
| 78 955 400 | 340 | 19 738 850 | 19 738 850 | 340.5 | 0.1 |
| 576 300 000 | 660 | 144 075 000 | 144 075 000 | 660.5 | 0.1 |
| 2 003 002 000 | 1 000 | 500 750 500 | 500 750 500 | 1 000.5 | 0 |
Datos calculados con las ecuaciones 11, 13.1, 13.2 y 12.
En este cuadro se observa la aportación del subtérmino 1 y subtérmino 2, en donde
se observa que existe poca diferencia entre las dos columnas cuando ‘N’ toma
valores de uno a siete y los valores de los dos subtérminos son iguales cuando N
es igual o mayor a ocho. Esto es debido a que la resta de un doceavo al segundo
término de la ecuación no afecta al valor del subtérmino dos, al comparar la
aportación de los dos subtérminos cuando ‘N’ toma un valor de 87 el ‘error de N’
calculado con la ecuación 12 es de 0.6 por ciento. Por lo tanto, se elimina el
valor de -1/12 del ‘subtérmino 2’, dando origen a la ecuación (13.21).
Al fusionar el subtérmino 1 (13.1) con el subtérmino 2 (13.21) resulta la
ecuación (14) que se presenta a continuación:
Ecuaciones determinísticas
Al unir la ecuación (8.1) con la ecuación (14) resulta la ecuación (15).
A la ecuación (15) al agregarle el término constante (11.3) el cual posee un
valor de (-1/2) resulta la ecuación (16).
En el Cuadro 3 se observan los ‘valores de N’ calculados con las ecuaciones (15) y (16) y sus respectivos errores relativos tomando como base la ecuación (11), calculados con la ecuación (12). La ecuación (16) a medida que N es mayor de 87 emisores los errores son cero en comparación con la ecuación (11), mientras que en la ecuación (15) los errores tienden a cero a partir de los 87 emisores. La ecuación (16) es la que tiene un mejor ajuste que la ecuación (15) con errores que van del -37.28% para un emisor y del -0.01% para 87 emisores. La ecuación (15) tiene un menor ajuste en comparación con la ecuación (11) con errores que van del 12.35% para un emisor y del 0.56% para 87 emisores.
Cuadro 3 Errores relativos de las ecuaciones 15 y 16, con relación a la ecuación 11.
| K | Valores de ‘N’ en las ecuaciones | Errores de ‘N’ (%) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 15 | 16 | 15 | 16 | ||
| 2.9 | 1 | 1.1 | 0.6 | 12.35 | -37.28 | |
| 25 | 2 | 2.3 | 1.8 | 15.54 | -9.35 | |
| 171 | 4 | 4.4 | 3.9 | 10.01 | -2.48 | |
| 533 | 6 | 6.4 | 5.9 | 7.2 | -1.13 | |
| 1 206 | 8 | 8.4 | 7.9 | 5.6 | -0.65 | |
| 2 288 | 10 | 10.5 | 10 | 4.58 | -0.42 | |
| 10 673 | 17 | 17.5 | 17 | 2.79 | -0.15 | |
| 51 268 | 29 | 29.5 | 29 | 1.67 | -0.05 | |
| 257 445 | 50 | 50.5 | 50 | 0.98 | -0.02 | |
| 1 339 615 | 87 | 87.5 | 88.3 | 0.56 | -0.01 | |
| 11 761 000 | 180 | 180.5 | 180 | 0.28 | 0 | |
| 78 955 400 | 340 | 340.5 | 340 | 0.15 | 0 | |
| 576 300 000 | 660 | 660.5 | 660 | 0.08 | 0 | |
| 2 003 002 000 | 1 000 | 1 000.5 | 1 000 | 0.05 | 0 | |
Datos calculados con las ecuaciones 11, 12, 15 y 16.
Validación de las ecuaciones determinísticas
Para la validación de las ecuaciones determinísticas (11, 15 y 16) fue necesario diseñar una línea regante en una hoja de cálculo Excel. Para ello se presentan los siguientes datos y cálculos.
Diseño de una línea regante
Se diseñó una línea regante con la metodología propuesta por el Centro Nacional de Métodos Avanzados de Riego (CANAMAR, 1979) perteneciente a la Secretaría de Agricultura y Recursos Hidráulicos (SARH).
Selección del gotero
Se seleccionó un gotero no auto compensado con un gasto mayor a un litro por hora, el gotero seleccionado fue el de bajo gasto Rivulis E1000 (Rivulis Irrigation Inc; San Diego, CA, EUA), los datos técnicos se presentan en el Cuadro 4.
Modelo hidráulico del gotero
Los datos técnicos del gotero se sometieron a un análisis de regresión potencial en una hoja de Excel, los resultados se presentan en la Figura 2.
Los resultados permitieron determinar los componentes del modelo hidráulico de goteros, donde el valor de ‘k’ coeficiente fue igual a 0.6622 y el valor de ‘x’ de 0.4875 exponente (Figura 2).
Cálculo de la presión de operación de la línea regante
También se determinó la presión de operación de la línea regante de goteros con
la ecuación (17).
Cálculo de pérdida de energía permisible en la línea regante
El cálculo de la pérdida de energía permisible se determinó con la ecuación (18).
Selección de diámetros para el cálculo del número de goteros en la línea regante
Se seleccionaron ocho diámetros de tubería de PVC (policloruro de vinilo) para ello se seleccionó la serie inglesa Amanco (Orbia Inc; San Francisco CA, EUA) debido a que este tipo de tubería posee diámetros internos semi equidistantes (Cuadro 5).
Cuadro 5 Diámetros internos de tubería de PVC serie inglesa Amanco.
| Diámetro nominal (mm) | Diámetros internos de tuberías (mm) | |||
|---|---|---|---|---|
| RD-13.5 | RD-26 | RD-32.5 | RD-41 | |
| 13 | 17.5 | |||
| 25 | 27.8 | 29.8 | ||
| 38 | 40.5 | 43.9 | ||
| 50 | 50.7 | 55.1 | ||
| 75 | 81.5 | |||
| 100 | 104.9 | 106.7 | 108.1 | |
| 150 | 154.5 | 157.3 | 159.5 | |
| 200 | 201.3 | 204.9 | 207.9 | |
Amanco (San Francisco, USA).
Cálculo del número de goteros en diferentes diámetros internos de tubería
Se diseñó una línea regante determinando el número de goteros se pueden instalar
en diferentes diámetros internos de tubería (Cuadro 5) con la ecuación (19).
Cuadro 6 Valores de ‘N’ número de goteros con diferentes ecuaciones y errores relativos para diferentes diámetros internos de tuberías de PVC.
| Diámetro interno (mm) | Valores de ‘N’ en las diferentes ecuaciones | Errores relativos de ‘N’ (%) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 19 | 11 | 15 | 16 | 11 | 15 | 16 | ||
| 17.5 | 229.12 | 229.1 | 229.6 | 229.1 | -0.009 | 0.209 | -0.009 | |
| 27.8 | 460.35 | 460.33 | 460.83 | 460.33 | -0.004 | 0.104 | 0.004 | |
| 29.8 | 509.82 | 509.86 | 510.36 | 509.86 | 0.008 | 0.106 | 0.008 | |
| 40.5 | 795.11 | 795.09 | 795.59 | 795.09 | -0.003 | 0.06 | -0.003 | |
| 43.9 | 892 | 892.04 | 892.54 | 892.04 | 0.004 | 0.061 | 0.004 | |
| 50.7 | 1 093.85 | 1 093.92 | 1 094.42 | 1 093.92 | 0.006 | 0.052 | 0.006 | |
| 55.1 | 1 229.82 | 1 229.8 | 1 230.3 | 1 229.8 | -0.002 | 0.039 | -0.002 | |
| 81.5 | 2 118.86 | 2 118.83 | 2 119.33 | 2 118.83 | -0.001 | 0.022 | -0.001 | |
| 104.9 | 2 995.35 | 2 995.32 | 2 995.82 | 2 995.32 | -0.001 | 0.016 | -0.001 | |
| 106.7 | 3 065.76 | 3 065.73 | 3 066.23 | 3 065.73 | -0.001 | 0.015 | -0.001 | |
| 108.1 | 3 120.79 | 3 120.77 | 3 121.27 | 3 120.77 | -0.001 | 0.015 | -0.001 | |
| 154.5 | 5 069.87 | 5 069.84 | 5 070.34 | 5 069.84 | -0.001 | 0.009 | -0.001 | |
| 157.3 | 5194.59 | 5 194.56 | 5 195.06 | 5 194.56 | -0.001 | 0.009 | -0.001 | |
| 159.5 | 5 284.14 | 5 284.11 | 5 284.61 | 5 284.11 | -0.001 | 0.009 | -0.001 | |
| 201.3 | 7 247.19 | 7 247.17 | 7 247.67 | 7 247.17 | 0 | 0.007 | 0 | |
| 204.9 | 229.12 | 229.1 | 229.6 | 229.1 | -0.009 | 0.209 | -0.009 | |
| 207.9 | 326.98 | 326.97 | 327.47 | 326.97 | -0.003 | 0.15 | -0.003 | |
Datos calculados con las ecuaciones 11, 15, 16 y 19.
Resultados y discusión
Al generar las ecuaciones determinísticas para el diseño de salidas múltiples (ecuación 11, 15 y 16) se realizó un análisis integral de pérdidas de energía en tuberías asociadas a la rugosidad, accesorios de acuerdo a Haddad (2019); Tas et al. (2020), y diámetros de acuerdo a Vilaça et al. (2017), en el diseño y análisis hidráulico se tomó en cuenta el caudal de salida del emisor de acuerdo a Sadeghi et al. (2016); asimismo, se determinó con precisión las pérdidas de energía en los accesorios de la línea regante ya que pueden variar de 6.3 a un 49% (Wang y Chen, 2018 ). Sin embargo, Wang et al. (2019) reportan que la relación entre la pérdida de carga menor y la total en una tubería puede llegar a un 71.71%.
De acuerdo con las discrepancias de literatura de pérdidas de energía en accesorios o localizadas, se tomó en cuenta la ecuación de pérdida de energía localizada algebraicamente (4) en la generación de las tres ecuaciones determinísticas (11, 15 y 16). Con lo que respecta a pérdidas de energía por rozamientos en tuberías, Monserrat et al. (2018) señala que la longitud máxima de una línea regante en suelo nivelado tiende a ser igual para cualquier pendiente y facilita la optimización económica, mientras que Wang et al. (2018) reportaron que las pérdidas menores y las de rozamiento están estrechamente relacionadas con el espaciamiento entre goteros, motivo por el cual se utilizó algebraicamente la ecuación de pérdidas de energía por rozamiento (5).
En el Cuadro 6, se muestran los errores relativos en por ciento de las tres ecuaciones determinísticas (11, 15 y 16) en comparación con la ecuación (19). La ecuación (11) tiene un valor mínimo de -0.009% y un valor máximo de 0.006%, la ecuación 15 tiene un valor mínimo de 0.007% y un valor máximo de 0.209% y la ecuación 16 tiene un valor mínimo de -0.009% a un valor máximo de 0.008%. La ecuación con mejor ajuste en orden descendente es la 16, 11 y 15, esto se debe a que las ecuaciones 16 y 11 poseen todos los términos de la solución de la ecuación cúbica (19). Sin embargo, el error general de las tres ecuaciones oscila de -0.009 a 0.209% (Cuadro 6).
Este rango de errores es menor al determinado por Baiamonte (2015) quien presentó un procedimiento de cuatro ecuaciones implícitas para diseñar líneas regantes de emisores con errores relativos menores al 2% y Baiamonte (2017), que simplificó un procedimiento analítico para el diseño óptima de líneas regantes de emisores con errores inferiores al 1.9%. Por otra parte, Monge et al. (2019) determinaron las pérdidas de energía en una tubería de conducción de bambú con multicompuertas usando las ecuaciones de Darcy &Wesbach, Manning y Hazen& Williams y determinaron que las ecuaciones Darcy & Wesbach y Manning estiman mejor las pérdidas de energía para tuberías rugosas. Asimismo, Taş y Ağıralioğlu (2018) calcularon las pérdidas de energía en tuberías y determinaron que las ecuaciones de Darcy & Wesbach y Manning son las mejores.
De acuerdo con los resultados de los autores antes mencionados y los resultados del Cuadro 6, los errores relativos de ‘N’ son aceptables para las ecuaciones 11, 15 y 16 y se pueden utilizar en el diseño de riego agrícola por goteo y aspersión.
Conclusiones
Fue posible generar tres ecuaciones determinísticas basadas en las ecuaciones de Darcy &Wesbach y Manning, (una de solución total ecuación (11) y dos ecuaciones compactas (15) y (16)) para el diseño de sistemas de riego agrícola por goteo. En las tres ecuaciones generadas se observó que a medida que aumenta el número de emisores (goteros) el error de las ecuaciones tiende a cero. El error relativo para el cálculo del número de emisores en diferentes diámetros internos de tubería de PVC para las tres ecuaciones osciló entre -0.009% y 0.209%.
