Introducción

Esta investigación tiene como origen el análisis de riesgo de falla por desbordamiento del proyecto hidroeléctrico Aguamilpa realizado por ^{Marengo (2006)}, donde se plantea que si los túneles de desvío se hubieran construido con rugosidades compuestas, se habría alcanzado hasta un 50% más en la confiabilidad del funcionamiento hidráulico de la obra en conjunto. El concepto de rugosidades compuestas en este caso se define como el hecho de colocar una plantilla de concreto hidráulico en el piso y concreto lanzado en paredes y bóveda de los túneles de sección tipo baúl.

Al hacer una revisión del análisis de conducciones con base en rugosidades compuestas, se encontró que se mencionan en ^{Chow (1959)}, ^{USBR (1992)}, y en ^{Yen (2002)}, quien hace un planteamiento teórico de la capa límite y la superficie de resistencia de las paredes del flujo; compara la energía de los coeficientes de resistencia con respecto al momentum; en cuanto a las rugosidades compuestas, menciona que hay 17 ecuaciones para su evaluación, en las que no está definido cuáles de éstas ―con sus respectivas subsecciones en las que se dividen― son las más adecuadas ni qué fórmulas nuevas se pueden plantear con base en la mecánica de fluidos, y establece que debe ser investigado.

Considerando lo anterior, es necesario tomar en cuenta que la rugosidad en túneles excavados en roca sin revestimiento está gobernada por la estructura de la roca y la técnica con que se excavó el túnel (voladuras convencionales hacia aguas arriba o hacia aguas abajo, y hoy en día, con máquinas tuneleras, también llamadas TBM, por sus siglas en inglés). En algunas ocasiones, la estructura de la roca hace que la distribución de la rugosidad sea extremadamente irregular; sin embargo, si el macizo rocoso es denso y de buena calidad sin un fracturamiento frecuente de la roca, la rugosidad de los túneles puede ser uniforme a lo largo de su trayectoria, lo cual sucede en pocas ocasiones. De cualquier modo, los túneles siempre presentarán irregularidades y protuberancias, con lo que la rugosidad de los mismos usualmente se considerará por lo menos como una “superficie ligeramente ondulada”.

Por esta razón es común que el cálculo de las pérdidas de carga en prototipos se haga por medio de las ecuaciones de Manning, Chezy y Colebrook; pero en opinión de Yen, no hay claridad ni ventajas teóricas de un coeficiente sobre otro, por lo que una comparación de los tres coeficientes en un problema específico puede ser muy útil.

Históricamente, la estimación del coeficiente de fricción λ tiene la ventaja de estar relacionada con el desarrollo de la mecánica de fluidos por parte de los científicos y en ocasiones es minimizado para aplicaciones prácticas por parte de los ingenieros, ya que la ecuación de Chezy ―que es más simple― que la de Manning tiene la ventaja de ser constante en todos los casos de flujo turbulento.

Desde el punto de vista del diseño de túneles hidráulicos, en Noruega se han desarrollado estudios (^{Czarnota, 1986}; ^{Elfman, 2005}), que caracterizan el flujo de agua con base en las ecuaciones de ^{Nikuradse (1933)}, pretendiendo definir el comportamiento hidráulico de los túneles al considerar sólo la rugosidad de los mismos (KS); sin embargo, esto no es del todo válido, pues además de la propia rugosidad relativa para estimar las pérdidas de carga, también interviene el factor de fricción que representa las características del escurrimiento.

La principal dificultad de emplear la ecuación de Colebrook-White es que conlleva la estimación del factor de fricción de manera implícita, y entonces requiere de un proceso iterativo para su estimación. La solución de un problema necesita de una gran cantidad de cálculos y simulaciones que no siempre resultan aplicables de forma sencilla. De hecho, el uso de la gráfica de Moody como alternativa elimina el requerimiento de las iteraciones; con todo, es una herramienta gráfica que no resulta conveniente para cálculos computacionales.

Para conocer el comportamiento hidráulico de los túneles con estas condiciones de rugosidad, tratando de encontrar la validación que se requiere, se construyeron modelos hidráulicos (^{Marengo, 2016}) en los que para su estimación se partió del criterio propuesto por ^{Elfman (2005)}, que como se señaló, toma como base las ecuaciones de Nikuradse, quien parte de adoptar como premisa que la velocidad máxima en las secciones estudiadas con sección baúl se presenta en el centro de las secciones analizadas, lo cual es aplicable sólo a tubos circulares, lo que se considera que no es del todo exacto si las secciones analizadas no poseen esta geometría.

Al aplicar la ecuación de Colebrook-White se ha identificado como aquello con más validez para conocer de una manera más asertiva el comportamiento del flujo en un régimen de transición y turbulento; en este artículo se desarrolla tal criterio, el cual permite estimar el comportamiento hidráulico de los túneles al operar como tubo lleno en modelos (que es poco frecuente en la literatura técnica), y se pretende validarlo en los modelos hidráulicos estudiados, dejando para investigaciones futuras su comprobación en prototipos.

Con dicha perspectiva, este trabajo se presenta como sigue: primero se plantean las ecuaciones básicas que rigen el fenómeno, se comenta entonces el modelado hidráulico que se hizo considerando cuatro materiales diferentes y se introduce el nuevo criterio de análisis; se comparan los resultados obtenidos para el caso acrílico-lija, acrílico-plástico y acrílico-carpeta, y por último se muestra un análisis de sensibilidad basado en el criterio de ^{Bombardelli (2003)}, con lo que se emiten las conclusiones correspondientes.

Análisis de Aldama-Marengo

Las hipótesis del planteamiento son las siguientes:

Combinando la Ecuación (14), Ecuación (15), Ecuación (16) y considerando la Ecuación (10), Ecuación (11) y Ecuación (12), se encuentra:

Nótese que esta hipótesis es aproximada, porque los coeficientes de la ecuación de Colebrook, que contienen los argumentos de las funciones logarítmicas en las ecuaciones anteriores, son estrictamente válidos para conductos de sección circular. No obstante, expresiones similares para canales anchos contienen variaciones no significativas para dichos coeficientes (^{Yen, 2002}), por lo que se supondrá que el efecto dominante de la geometría se absorbe a través del radio hidráulico.

En este análisis se define:

También se define:

Esta hipótesis representa el principio de conservación de masa.

Esta expresión es similar a la propuesta por ^{Yen (1992)} para la ecuación de Manning.

A partir de la Ecuación (13) y combinándola con la Ecuación (21) se obtiene:

Sustituyendo la Ecuación (30) y Ecuación (31) en la Ecuación (20) se obtiene:

Sustituyendo la Ecuación (25), Ecuación (27), Ecuación (30) y Ecuación (31) en la Ecuación (22) y Ecuación (23), y simplificando se llega a:

Si la Ecuación (25), Ecuación (27), Ecuación (22) y Ecuación (23) se sustituyen en la Ecuación (28) se tiene:

Sustituyendo entonces la Ecuación (33) y Ecuación (34) en la Ecuación (35):

Sustituyendo la Ecuación (33) y Ecuación (34) en la Ecuación (29):

Igualando la Ecuación (36) y Ecuación (37):

Sólo se tiene como incógnita el valor de α y se puede resolver con algún método numérico. De hecho, se presentan dos casos de análisis:

Caso I. Si se conoce el factor de rugosidad λ de manera experimental y además se sabe la rugosidad del fondo Kb, entonces se pueden calcular la rugosidad de las paredes y bóveda Kw . En este caso, también son incógnitas λw, λb, Vb, Vw, Ab, Aw, Kw y α.

Caso II. Para un análisis específico se conocen la rugosidad absoluta del piso y paredes (Kb, Kw ) y se determinan los perímetros mojados (P_b , P_w ) a partir de la geometría de los túneles. En esta situación, las incógnitas son λ, λb, Vb, Vw, Ab, Aw, Kw, Pw y α.

Modelos hidráulicos con un material

Los autores de este artículo (^{Marengo, 2016}) hicieron una experimentación con modelos que se construyeron para analizar el comportamiento del flujo de agua en túneles con rugosidad compuesta. Los materiales utilizados fueron acrílico, lija, plástico y carpeta.

El aparato experimental empleado para la modelación se muestra en la Figura 2. Los ensayes se hicieron con túneles que tienen un ancho de sección 2b = 0.133 m (De=0.14179 m); la pendiente es variable con 9 m de longitud. Las aristas de entrada y salida fueron redondeadas. Se modelaron diferentes gastos con cada uno de los materiales señalados, con el objeto de conocer sus propiedades hidráulicas en cada uno de ellos. Posteriormente se hizo la modelación con materiales combinados, utilizando el acrílico como material de fondo, y lija, plástico y carpeta en paredes y bóveda en cada uno de los túneles ensayados. En el análisis se consideró el criterio de similitud de Froude.

Para determinar el gradiente hidráulico entre dos secciones de los túneles estudiados se usaron como mediciones del fenómeno físico las cargas piezométricas en las secciones a distancia 6De y 28De de los túneles modelados (L_1-2 = 3 119 m). De acuerdo con la geometría de las aristas de la entrada de los túneles hay un fuerte efecto de la mezcla agua-aire aguas arriba de la sección 6De, así como aguas abajo de la sección 28De, por lo que los estudios como tubo lleno se ubicaron en este tramo. Como mediciones propias del fenómeno físico, sólo se utilizaron las cargas piezométricas ya indicadas.

Los datos de entrada del modelo son los flujos asociados con cada una de las pendientes, las cargas piezométricas medidas y las rugosidades obtenidas para los modelos construidos con un solo material (Tabla 1), donde se indica el coeficiente de rugosidad K_Cb encontrado con el criterio de Colebrook, que se considera como valor verdadero en el estudio, y los obtenidos con las expresiones de ^{Nikuradse (1933)}, ^{Haaland (1983)Churchill (1973)} y ^{Swamee (1976)}.

Se reportan para las pendientes probadas A1-0.0007, A2-0.001 y A3-0.004; para cada uno de los gastos estudiados, la velocidad media V = Q/A, y el número de Reynolds utilizado (4Re), que considera un valor de la viscosidad cinemática del agua con valor ν = 0.000001 m²/s; se obtiene el valor del coeficiente de rugosidad K_b para cada criterio y, como se señaló, el de Colebrook-White, el que se usa en la modelación teórica de la rugosidad compuesta para el material del fondo.

En la Tabla 2 se muestran los parámetros hidráulicos para la lija, con pendientes L1-0.001, L2-0.004 y L3-0.008. En cada caso se estimó la rugosidad absoluta evaluada con la ecuación de Colebrook-White K_Cb , que se reporta como valor medido.

La Tabla 3 muestra los parámetros hidráulicos para el plástico con pendientes L1-0.001, L2-0.004 y L3-0.008. En cada caso se estimó la rugosidad absoluta evaluada con la ecuación de Colebrook.

La Tabla 4 muestra finalmente los parámetros hidráulicos para la carpeta con pendientes C1-0.001, C2-0.004 y C3-0.008.

Para este análisis, el número de Reynolds se reduce en comparación con los otros modelos estudiados, pero el efecto de la rugosidad es significativo y en el Ábaco de Moody estos modelos caen fuera de la zona de transición.

Aplicación y validación del nuevo criterio (Aldama-Marengo-Romero)

Los resultados experimentales del modelo acrílico-lija se muestran en el Anexo I, donde se pueden observar en las tablas correspondientes los resultados de las pruebas de modelos hechas para cada material y para las combinaciones acrílico-lija, acrílico-plástico y acrílico-carpeta con pendientes S1 = 0.001, S2 = 0.004, S3 = 0.008.

De las tablas elaboradas para el caso de acrílico-lija se obtuvieron los resultados de la rugosidad absoluta que, en cada caso como era de esperarse, muestran valores menores a los obtenidos sólo con el material de lija.

Los valores del número de Reynolds oscilan entre 140 000 y 203 000, cayendo claramente en la zona de transición. Se aplica entonces el criterio para el Caso I, y se obtiene el valor K_CW medio, que es el de la rugosidad absoluta, calculado en paredes y bóveda.

Para validar los modelos se sigue lo planteado para el Caso II, comentado líneas arriba. Se parte de conocer que en el piso Kb = 0.000387 (promedio del criterio de Colebrook obtenido para el acrílico), y se trata de conocer o suponer las magnitudes de la rugosidad absoluta Kw, calculado de las paredes y bóveda del túnel analizado, lo que se hace con los valores del coeficiente de rugosidad previamente calculados con el Caso I; entonces se pueden estimar los parámetros λ, λb, Vb, Vw, Ab, Aw, Pw y α, lo que permite conocer el valor de K medio validado, que se muestra para fines comparativos en la Tabla 5.

Puede observarse que se obtiene una buena correlación entre los resultados obtenidos para el K_{CW medido} en el modelo y el K_{cw medio} validado.

Los resultados conseguidos permiten concluir que el modelo teórico es enteramente aplicable a un caso práctico. Se sigue el mismo procedimiento para la combinación acrílico-plástico, que permite comparar los valores medios y los validados, como se muestra en la Tabla 6.

Para la pendiente AP-001, a partir del gasto Q = 0.020 m³/s, V = 1.266 m/s, 4Re = 168 450, λ = 0.035409. Considerando en la plantilla una rugosidad con valor K_b = 0.0000387 mm se obtiene en el análisis un valor α = 0.160, para el cual A_b = 0.0025, A_w = 0.0133, λ_b = 0.02049, λ_w = 0.04126, y el resultado de la rugosidad para paredes y bóveda es K_w = 0.001947.

Debe señalarse que en los modelos estudiados con el material sólo del acrílico para un gasto similar, el coeficiente de rugosidad es de λ = 0.0177; el incremento a un valor λ_b = 0.02049 puede explicarse por la influencia de la rugosidad en las paredes y bóveda. Puede observarse que se obtiene una muy buena correlación entre K_{CW medido} en el modelo y el K_{cw medio} validado.

En la Tabla 7 se sigue el mismo procedimiento para los modelos acrílico-carpeta; es necesario notar que debido a la fuerte rugosidad que produce este material (carpeta), los números de Reynolds son uniformemente altos y el flujo se encuentra en una zona de turbulencia desarrollada por completo, a diferencia de los modelos anteriores, en los que se encuentran en zonas de transición e inicio de turbulencia desarrollada.

Cabe señalar que en los modelos estudiados con el material sólo del acrílico, el coeficiente de rugosidad es de λ = 0.0177; el incremento a un valor λ_b = 0.02049 puede explicarse por la influencia de la rugosidad en las paredes y bóveda.

Para la aplicación del Caso II, como se hizo para el caso anterior, se parte del valor del coeficiente de rugosidad en el piso (Kb = 0.000387), y se utilizan para su validación las magnitudes de la rugosidad absoluta Kw de las paredes y bóveda del túnel analizado con los valores de del coeficiente de rugosidad estimados con el Caso I.

En el Anexo I se muestran las tablas de cálculo que permiten obtener los resultados mostrados en la Tabla 5, Tabla 6 y Tabla 7.

Para visualizar los resultados obtenidos se preparó la Figura 3, que es el Ábaco de Moody, con un rango del número de Reynolds entre 60 000 y 600 000 se redujo a 240 000 donde se muestran los cálculos anteriores.

Con respecto a la Figura 3 se puede comentar lo siguiente:

La Figura 4 muestra el Ábaco de Moody ampliado, en el que se pueden apreciar con mayor detalle los resultados obtenidos.

Análisis de sensibilidad del coeficiente λ

Las fuentes de error más comunes en esta experimentación fueron las lecturas de los piezómetros (que influyen en la pérdida de energía), y la medición de la carga en el vertedor triangular aguas abajo en el modelo (que se refleja en el gasto y en consecuencia, en la velocidad media).

Para sensibilizar el análisis de errores, se aplicó la expresión sugerida por ^{Bombardelli (2003)}:

A la ecuación de Darcy-Weisbach da como resultado:

En la Tabla 8 y Tabla 9 se muestran los valores obtenidos al aplicar la Ecuación (38) al coeficiente (, considerando diferentes variaciones en los errores de la carga hidráulica medida y en la velocidad (2%Δh y 3%V; 3%Δh y 3%V; 3%Δh y 4%V; 4%Δh y 4%V; 4%Δh y 5%V).

La variación de la carga hidráulica entre 2 y 4% permite determinar que ésta no sea significativa en la estimación de los coeficientes de fricción calculados de forma teórica y los medidos de modo experimental.

La variación en la velocidad permite definir que la ecuación de Darcy se vuelva más sensible a la variación de la misma; pero en todos los casos, el cálculo teórico queda muy próximo al experimental, por lo que se valida el planteamiento teórico.

Discusión de resultados

Los resultados obtenidos permiten destacar lo siguiente:

Conclusiones

A partir del análisis efectuado se muestran las siguientes conclusiones:

Al comparar los resultados conseguidos con el nuevo modelo con los calculados de manera experimental se demuestra la validez de la comparación, al calcular los coeficientes de fricción λb, λw y λc al aplicar el Caso I y los calculados con el Caso II.

Dentro del trabajo experimental que debe realizarse más adelante, está el hecho de validar el empleo de los coeficientes de rugosidad estimados con un solo material (lija, plástico o carpeta), y la recomendación de que se obtenga para su uso en modelos de materiales combinados.

También necesitará validarse el criterio aquí empleado en túneles prototipo, lo que permitirá avanzar en el conocimiento de la mecánica de fluidos en materiales como el concreto hidráulico y el concreto lanzado, así como en la caracterización del flujo en túneles con rugosidad compuesta de gran tamaño.

Como resultado del análisis experimental efectuado, puede decirse que es posible agrupar las rugosidades absolutas por gastos y número de Reynolds, lo cual permite alcanzar mayor semejanza cinemática.

Puede concluirse que el análisis con la ecuación de Colebrook-White es un método más científico que el propuesto por Elfman con la ecuación de Nikuradse; se obtienen resultados más realistas y describe mejor los fenómenos estudiados desde el punto de vista de la mecánica de fluidos.

Sin duda será posible estudiar túneles con rugosidad compuesta aplicables a otras geometrías, como la herradura o circular.

Anexo I