Análisis de frecuencia de crecientes

La planeación, diseño, construcción y revisión hidrológica de las obras hidráulicas, como embalses, diques de protección, canalizaciones, puentes y el drenaje pluvial urbano se realizó con base en las llamadas crecientes de diseño (CD), que son gastos máximos del río relacionados con bajas probabilidades de excedencia. La estimación más confiable de las CD se llevó a cabo con el análisis de frecuencia de crecientes (AFC).

Hacia mediados de la primera década del siglo XX se realizaron las primeras aplicaciones de los conceptos probabilísticos al problema de la estimación de las CD. Su objetivo fundamental fue remplazar las técnicas basadas en curvas envolventes y en fórmulas empíricas por un método más objetivo y exacto. Para mediados del siglo pasado, la existencia de amplios registros de gastos máximos anuales y los avances teóricos que desarrollaron nuevos modelos probabilísticos permitieron llegar a un enfoque estándar para el AFC (^{Merz & Blöschl, 2008}).

El AFC consiste básicamente en ajustar una función de distribución de probabilidades (FDP) a la secuencia ordenada de gastos máximos anuales, para extrapolar su cola derecha, y realizar predicciones o estimaciones con bajas probabilidades de excedencia. Este proceso consta de cuatro pasos: (1) verificación de la aleatoriedad del registro de crecientes por procesar; (2) ajuste de varias FDP, por medio de los métodos de momentos, máxima verosimilitud y momentos L; (3) selección del mejor ajuste, a través de medidas cuantitativas, como los errores estándar de ajuste y absoluto medio, y (4) obtención de las predicciones buscadas (^{Kite, 1977}; ^{Stedinger, Vogel, & Foufoula-Georgiou, 1993}; ^{Rao & Hamed, 2000}; ^{Meylan, Favre, & Musy, 2012}; ^{Stedinger, 2017}).

El AFC implica varias debilidades o incertidumbres hidrológicas, que se pueden concretar en tres aspectos. El primero refiere la representatividad del registro disponible de crecientes en el futuro, donde puede ser alterado por cambios físicos en la cuenca o bien por el cambio climático regional o global. Lo anterior también implica que todos los registros pueden contener errores de medición o de muestreo. El segundo generador de incertidumbre está asociado con la extrapolación que se debe hacer para estimar periodos de retorno de 100, 500 y 1 000 años, ya que por lo general, los registros disponibles de crecientes no exceden los 80 años. Finalmente, la tercera fuente de incertidumbre radica en el propio método, al tener que seleccionar una FDP para llevar a cabo las predicciones (^{Merz & Blöschl, 2008}).

Procedimiento UNCODE

^{Botto, Ganora, Laio y Claps (2014)} expusieron el procedimiento llamado Uncertainty Compliant Design Flood Estimation (UNCODE), un enfoque novedoso que parte del intervalo o rango de valores posibles para cada CD y que converge en un diseño único. Por medio del UNCODE se pueden estimar las CD conforme a la incertidumbre hidrológica, pues permite seleccionar estimaciones de crecientes significativas procedentes de su FDP, que se tiene en cada valor del periodo de retorno (Tr), al plantear restricciones adicionales basadas en el criterio de costo-beneficio, las cuales se resuelven de forma numérica, por medio de un esquema de simulación.

El criterio de costo-beneficio mínimo se puede consultar en ^{Campos-Aranda (2015)}. ^{Botto, Ganora, Claps y Laio (2017)} presentan un resumen del proceso operativo del UNCODE, y en ^{Kjeldsen, Lamb y Blazkova (2014)} es posible consultar los aspectos generales relativos a la incertidumbre en los AFC; para aspectos más específicos, revisar ^{Burn (2003)}, y ^{Cheng, Chang y Hsu (2007)}.

Objetivo

^{Botto et al. (2017)} lograron concretar los resultados del UNCODE en un procedimiento muy simple, que corrige la CD estimada a través del AFC, mediante un factor correctivo, función del tamaño del registro (n) y del periodo de retorno (Tr). El resultado es una estimación de la CD considerando incertidumbre hidrológica (Q^Tr*). El objetivo básico de esta nota es divulgar tal procedimiento, exponiendo la parte operativa de los momentos L y una selección idónea de la FDP con base en la distancia absoluta mínima, calculada por medio de los cocientes de momentos L; lo anterior, en siete aplicaciones numéricas reales en registros de gasto máximo anual de la región hidrológica No. 10, Sinaloa, México.

Estimación del factor correctivo

^{Botto et al. (2014)} han demostrado que la CD obtenida aplicando el UNCODE (QTr*) siempre es un valor mayor que la estimada (Q _Tr ) con el AFC, a la que llaman libre de incertidumbres (uncertainty-free). Por otra parte, ^{Botto et al. (2017)} han definido que la diferencia relativa entre ambos valores corresponde con el factor de corrección (y), esto es:

Según ^{Botto et al. (2017)}, el valor de y aumenta con el Tr debido al incremento de la incertidumbre de la estimación de Q _Tr y para un Tr fijo también crece con la variabilidad en la distribución de probabilidades que permite estimar Q _Tr , la cual es la función del tamaño (n) del registro disponible de gastos máximos anuales utilizado en el AFC. A partir de la Ecuación (1) se puede obtener la estimación buscada de Q^Tr*, como:

El mejor estimador y^ del factor de corrección se consigue con la expresión siguiente, según resultados de ^{Botto et al. (2017)}:

Los coeficientes a ₀, a ₁ y a ₂ se citan en la Tabla 1 y dependen de la distribución de probabilidades utilizada en el AFC; se evaluaron aplicando de manera extensiva el UNCODE. ^{Botto et al. (2017)} usaron cinco distribuciones fuente u origen (parent distributions), ocho tamaños n de 30 a 100 en intervalos de 10 y 100 secuencias sintéticas para cada combinación de modelo fuente y tamaño n. Las distribuciones fuente fueron Log-Pearson tipo III (LP3), general de valores extremos (GVE), logística generalizada (LOG), Log-Normal (LN3) y Pearson tipo III (PT3).

Las distribuciones fuente de la Tabla 1 citaron el orden cronológico en que fueron aceptadas como FDP de aplicación bajo precepto. Por lo anterior, primero se expuso la distribución LP3, sugerida hacia finales de la década de 1970 en EUA; después la GVE propuesta en Inglaterra en 1975, y por último la LOG, que sustituyó a la GVE a partir de 1999. Después se citó a la LN3 de aplicación generalizada en los AFC desde el decenio de 1970 y por último a la PT3 de uso escaso en los AFC.

^{Botto et al. (2017)} indican que en 90% de los registros sintéticos sus propiedades estadísticas oscilaron en los intervalos siguientes, para los cocientes de momentos L: de variación 0.28 ≤ τ2 ≤ 0.40; de asimetría 0.14 ≤ τ3 ≤ 0.40, y de curtosis 0.07 ≤ τ4 ≤ 0.32. Los valores de Q_Tr procedentes del AFC y su estimador QTr* del valor exacto obtenido con el UNCODE se calcularon para cada uno de los 800 registros sintéticos generados para cada distribución fuente. Este paso se hizo al adoptar una distribución adecuada a cada serie sintética seleccionada de entre los cinco modelos fuente (LP3, GVE, LOG, LN3 y PT3). Lo anterior reproduce la situación real del AFC, de no conocer a priori la distribución fuente; así, el error debido a la incorrecta especificación de la distribución probabilística está incluido en los resultados. Los periodos de retorno (Tr) procesados fueron los cinco siguientes: 50, 100, 200, 500 y 1 000 años.

En términos generales, las regresiones obtenidas y propuestas por ^{Botto et al. (2017)} son confiables, al variar de 0.85 a 0.96 su coeficiente de determinación. Además, su análisis de residuos mediante el EAM y el EEM en la Tabla 1 definen un valor medio global de 0.0181, es decir, del orden de 2% de variación de y^, donde, para fines prácticos, en la estimación de una CD es despreciable.

Momentos y cocientes L

Los momentos L (λ_i) son combinaciones lineales de los momentos de probabilidad pesada (β_i) desarrollados por ^{Greenwood, Landwehr, Matalas y Wallis (1979)}, y se trata de parámetros estadísticos asociados con los datos ordenados. Los momentos L son un sistema eficiente y robusto para el ajuste de las FDP que están actualmente en uso o establecidas bajo precepto. Sus ecuaciones de cálculo son (^{Stedinger et al., 1993}; ^{Hosking & Wallis, 1997}; ^{Rao & Hamed, 2000}; ^{Stedinger, 2017}):

Además se definen los cocientes (τ) de momentos L, comenzando con L-Cv, análogo a este coeficiente, y después los de similitud, con los coeficientes de asimetría y de curtosis, los cuales son:

En una muestra de tamaño n, con sus elementos x_i arreglados en orden ascendente (x1≤x2≤⋯≤xn), los estimadores insesgados de β_r se obtienen con la expresión general siguiente:

Diagrama de cocientes L

Tiene en el eje de las abscisas a τ3 y en el de las ordenadas a τ4. Las FDP de tres parámetros de ajuste son líneas curvas con las siguientes ecuaciones de tipo polinomio (^{Hosking & Wallis, 1997}):

Logística generalizada (LOG):

Pareto generalizada (PAG):

Log-Normal (LN3):

Pearson tipo III (PT3):

y general de valores extremos (GVE):

siendo

Utilizando los logaritmos de los datos en la Ecuación (4), Ecuación (5), Ecuación (6), Ecuación (7), Ecuación (8), Ecuación (9), Ecuación (10) y Ecuación (11) se obtienen los cocientes L logarítmicos, y entonces se puede utilizar la Ecuación (15) para evaluar la FDP Log-Pearson tipo III (LP3). La Figura 1 indica el diagrama de cocientes de momentos L, procedente de ^{Hosking y Wallis (1997)}.

Selección de la mejor FDP

Uno de los enfoques recientes para la selección de la mejor FDP a utilizar en el AFC consiste en llevar al diagrama de cocientes L, los valores de la muestra (τ3 y τ4) y definir su cercanía a alguna de las curvas, para obtener el mejor modelo probabilístico. A fin de evitar la subjetividad en la selección de la FDP, se ha propuesto evaluar la distancia absoluta (DA) mínima con la expresión siguiente (^{Yue & Hashino, 2007}):

donde τ3obs y τ4obs son los cocientes L de asimetría y curtosis del registro o serie disponible de gastos máximos anuales y τ4τ3obs es el valor teórico del cociente L de curtosis calculado con cada FDP (Ecuación (12), Ecuación (13), Ecuación (14), Ecuación (15) y Ecuación (16)), para el valor observado del cociente L de asimetría. Una FDP con el menor valor de la DA es la mejor para los datos.

Figura 1 Diagrama de cocientes de momentos L, mostrando FDP de 2 y 3 parámetros de ajuste (^{Hosking & Wallis, 1997}). 

Ajuste de las FDP fuente

La distribución LP3 se aplicó exclusivamente con el método de momentos en el dominio logarítmico (^{WRC, 1977}; ^{Campos-Aranda, 2015}); en cambio, ^{Botto et al. (2017)} la ajustaron como una PT3 con base en los cocientes L logarítmicos. El resto de distribuciones de la Tabla 1 se ajustaron con el método de los momentos L, según procedimientos descritos por ^{Hosking y Wallis (1997)}. En todos los casos se evaluó el error estándar de ajuste (EEA).

Error estándar de ajuste

Es el indicador más común para el contraste de las FDP a datos reales (^{Chai & Draxler, 2014}). Se estableció a mediados de los años 1970 (^{Kite, 1977}) y se ha aplicado en México haciendo uso de la fórmula empírica de Weibull (^{Benson, 1962}). Hoy en día se recomienda su aplicación utilizando la fórmula de Cunnane (Ecuación (18)), que de acuerdo con ^{Stedinger (2017)} conduce a probabilidades de no excedencia (p) aproximadamente insesgadas para muchas FDP, ésta es:

La expresión del error estándar de ajuste (EEA) es:

Donde Q_i son los gastos máximos anuales ordenados de menor a mayor, cuyo número es n, y Q^i los gastos máximos estimados, para la probabilidad estimada con la Ecuación (18) y la FDP que se contrasta; np es el número de parámetros de ajuste de la FDP, con tres para las cinco que serán aplicadas.

Registros de crecientes por analizar

Para el desarrollo de las aplicaciones numéricas se escogió procesar los siete registros más amplios (43 ≤ n ≤ 56) de la información hidrométrica que procesó (^{Campos-Aranda, 2014}) de la región hidrológica No. 10, Sinaloa, México, que corresponden a las estaciones Huites, Santa Cruz, Jaina, Naranjo, Acatitán, Zopilote y El Bledal. En la Tabla 2 se citan dos características generales y los valores de los cocientes de momentos L de las siete estaciones seleccionadas.

En la Figura 1 se muestra la posición gráfica de cada registro según sus cocientes L de asimetría y curtosis; las siguientes se deducen como FDP convenientes (por su cercanía): Huites PAG, Santa Cruz LOG, Jaina GVE, Naranjo PT3, Acatitán LN3, Zopilote PAG y El Bledal GVE.

Verificación de la aleatoriedad de los registros

Para que los resultados del AFC sean exactos, el registro de gastos máximos anuales por procesar debe haber sido generado por un proceso aleatorio estacionario, lo cual implica que no haya cambiado en el tiempo. Por lo tanto, el registro de crecientes requiere estar integrado por datos independientes, exentos de componentes determinísticas.

Para probar lo anterior, se aplicó el Test de Wald-Wolfowitz, prueba no paramétrica utilizada por ^{Bobée y Ashkar (1991)}; ^{Rao y Hamed (2000)}, y ^{Meylan, Favre y Musy (2012)}, para verificar independencia y estacionariedad en registros de gastos máximos anuales. Su aplicación en los siete registros seleccionados demostró que están integrados por datos independientes y aleatorios.

Mejor FDP según DA mínima

Con base en los cocientes de momentos L de la Tabla 2 se aplicó la Ecuación (17) para encontrar las dos DA mínimas y así definir las dos FDP más adecuadas en la Tabla 3. La segunda opción se utilizará en las estaciones Huites y Zopilote debido a que ^{Botto et al. (2017)} no establecieron como distribución fuente la Pareto Generalizada en la Tabla 1.

Predicciones de diseño y sus correcciones

La Tabla 4 expone las predicciones estimadas con cada FDP más convenientes para los cinco periodos de retorno que analizaron ^{Botto et al. (2017)}. Además, se muestran sus factores correctivos (y^) calculados con la Ecuación (3), por último se tienen las CD corregidas (Q^Tr*) por incertidumbre hidrológica.

Se observó en la Tabla 4 que las correcciones (y^) más reducidas en el Tr = 50 años fueron menores de 1% en las estaciones Santa Cruz, Jaina y El Bledal; la más grande, de 5.6%, se tiene en Naranjo. En el Tr = 1 000 años, la corrección más baja es de 14.9% en Santa Cruz; la más grande asciende a 43.9% en Naranjo. En general, las correcciones de la distribución LP3 son mayores; las menores son del modelo LOG; lo anterior debe estar relacionado con la densidad de la cola derecha (^{El Adlouni, Bobée, & Ouarda, 2008}); de éstas, dos FDP de aplicación bajo precepto en EUA e Inglaterra.