Introducción

Las industrias de la construcción y fabricación de artículos de madera requieren información de los módulos de elasticidad y de rigidez para mejorar el diseño y la calidad de los productos constituidos con dicho material (^{Köhler, Sørensen, & Faber 2007}; ^{Olsson & Källsner, 2013}). El conocimiento de los módulos de elasticidad y rigidez de la madera es de gran importancia cuando se toman decisiones relacionadas con la explotación y uso de los recursos naturales, y en los campos de la ingeniería, construcción y arquitectura. Los módulos también son importantes para la fabricación de instrumentos musicales de madera (^{Brémaud, Gril, & Thibaut, 2011}). Igualmente, en diversas especialidades de ingeniería y en ciencias de los materiales, los parámetros elásticos son necesarios para el modelado del comportamiento mecánico de la madera por el método del elemento finito (^{Mackerle, 2005}; ^{Tankut, Tankut, & Zor, 2014}) y para el análisis por medio de redes neurales artificiales (^{Tiryaki & Hamzaçebi, 2014}).

En el caso del comportamiento mecánico de la madera en condiciones estáticas, la determinación de los módulos de elasticidad y de rigidez son derivados de la relación esfuerzo-deformación (^{Adamopoulos & Passialis, 2010}). Cuando los parámetros son derivados de pruebas dinámicas, los parámetros experimentales a determinar en las probetas son la frecuencia (^{Yoshihara, 2012a}) o la velocidad de onda (^{Keunecke, Sonderegger, Pereteanu, Lüthi, & Niemz, 2007}). Los resultados experimentales son ponderados por la densidad de la madera, su temperatura, el contenido de humedad al momento del ensayo (^{Gorišek & Straže, 2013}; ^{Hernández, Passarini, & Koubaa, 2014}) y por las direcciones de anisotropía en que las probetas están alineadas (^{Brémaud et al., 2011}).

Con respecto a los módulos de rigidez, algunos autores como ^{Naruse (2003)}; ^{Keunecke et al. (2007)}; ^{Yoshihara (2012b)}; ^{Ozyhar, Hering, Sanabria, y Niemz (2013)}; ^{Kránitz, Deublein, y Niemz (2014)}; ^{Nadir, Nagarajan, y Midhun (2014)} y ^{Sotomayor (2015)} han reportado datos de diversas maderas. La información de módulos de elasticidad determinados por métodos no destructivos e índices de calidad de maderas mexicanas es escasa, con excepción de ^{Sotomayor-Castellanos, Guridi-Gómez, y García-Moreno (2010)}. Además, es notoria la ausencia de datos derivados de pruebas mecánicas que puedan aplicarse en el estudio del comportamiento de productos de madera funcionando en condiciones dinámicas o para fines de diseño sísmico de estructuras de madera.

El módulo de rigidez es útil para el cálculo de elementos y conexiones donde aparecen deformaciones fuera de plano, ocasionadas por esfuerzos cortantes. Por ejemplo, en vigas trabajando en flexión y en torsión, así como en conexiones entre elementos estructurales en edificaciones y en artículos de madera. En el mismo contexto, el aserrío de madera produce usualmente paralelepípedos para uso estructural, recortados en el plano radial-tangencial con al menos dos de sus caras mostrando planos longitudinales-tangenciales. De esta forma, cuando la madera está en servicio, trabaja como viga en flexión o como elemento resistente en productos compuestos de madera, el módulo de rigidez para el plano longitudinal-tangencial es el parámetro requerido para el diseño y cálculo.

El objetivo de esta investigación fue determinar el módulo de rigidez para el plano longitudinal-tangencial de siete especies de maderas mexicanas, realizando pruebas de vibraciones en torsión. Las especies estudiadas fueron: Enterolobium cyclocarpum (Jacq.) Griseb., Tabebuia donnell-smithii Rose, Tabebuia rosea (Bertol.) DC., Swietenia humilis Zucc., Lysiloma acapulcensis (Kunth) Benth., Cordia elaeagnoides A. DC. y Tabebuia chrysantha (Jacq.) G. Nicholson.

Materiales y métodos

Diseño experimental

El experimento se diseñó siguiendo las recomendaciones de ^{Gutiérrez y de la Vara (2012)}. Las variables respuesta fueron la densidad y el módulo de rigidez. La especie se consideró el factor de variación. Las pruebas se hicieron en 20 réplicas (probetas) de cada especie, con un total de 140 muestras observadas para cada una de las dos variables de respuesta.

Previo a las pruebas dinámicas, se midieron las dimensiones y la masa de las probetas. El contenido de humedad se calculó de acuerdo con la norma ISO 13061-1:2014 (^{International Organization for Standardization [ISO], 2014}), empleando cinco probetas complementarias por cada especie estudiada. La densidad (ρ) se calculó con la relación entre la masa y el volumen de las probetas, medidos en el momento del ensayo.

Las pruebas de vibración en torsión se hicieron con base en el protocolo recomendado por la norma ASTM C1259-14 (^{American Society for Testing and Materials [ASTM International], 2014}). La probeta se posicionó sobre soportes aislantes en medio de las probetas, formando una cruz. La probeta fue solicitada en la dirección radial, perpendicularmente a la dirección longitudinal en el plano tangencial-radial, lo que ocasionó vibraciones en torsión en el plano correspondiente a las direcciones longitudinal y tangencial; de tal forma, que el módulo de rigidez calculado corresponde al plano longitudinal-tangencial, conforme al modelo elástico de la madera, propuesto por ^{Sotomayor-Castellanos y Hernández-Maldonado (2012)}. Estos autores publicaron valores de módulos de rigidez para los diferentes planos de ortotropía del modelo elástico de la madera a partir de ecuaciones de predicción, empleando la densidad de la madera con 12 % de humedad como parámetro de referencia. La metodología propuesta en la presente investigación emplea probetas de dimensiones pequeñas y requiere únicamente de la frecuencia natural de vibraciones en torsión como parámetro medido experimentalmente.

De acuerdo con la norma ASTM E1876-01 (^{ASTM International, 2001}), se aplicó un impacto en cada una de las 20 probetas de cada especie, empleando una esfera de acero de 0.005 m de diámetro, adherida a un cabo elástico de 0.01 m de longitud y 0.002 m de espesor por 0.007 m de ancho. El impacto se aplicó en el punto P de la superficie de la probeta, localizado en la intersección 0.25 del ancho b y 0.25 del largo l de cada espécimen (Figura 1). El movimiento de la probeta en el punto s se registró con un aparato Grindosonic® (modelo MKS, Bélgica) en una posición simétrica respecto al punto de impacto. La lectura del sensor piezo-eléctrico de movimiento se transforma en una señal eléctrica, la cual, a su vez, se convierte en la frecuencia natural f del sistema con una precisión de lectura de 0.005 %.

Figura 1 Diagrama de las pruebas de vibraciones en torsión. P: Posición para aplicar el impacto, s: Posición para medir la frecuencia natural, R: Dirección radial (t = espesor), T: Dirección tangencial (l = largo), L: Dirección longitudinal (b = ancho). Adaptado de la norma ASTM C1259 (^{ASTM International, 2014}). 

El módulo de rigidez dinámico de la madera por vibraciones en torsión se calculó con la siguiente fórmula (^{ASTM International, 2014}):

En el cual:

donde:

G =	Módulo de rigidez dinámico (Pa = N·m-2)
f =	Frecuencia natural de resonancia (Hz)
m =	Masa de la probeta (g)
l =	Largo de la probeta (dirección tangencial) (m)
t =	Espesor de la probeta (dirección radial) (m)
b =	Ancho de la probeta (dirección longitudinal) (m)
A y B =	Factores de ajuste geométrico

Resultados y discusión

El contenido de humedad de la madera fue en promedio de 11.5 %. El Cuadro 1 presenta las densidades, frecuencias naturales y módulos de rigidez para el plano longitudinal-tangencial de las siete maderas estudiadas. Los estadígrafos presentados para cada especie son: media aritmética (x-), desviación estándar (σ) y coeficiente de variación (CV). Tabebuia donnell-smithii presentó un CV de G_LT hasta dos veces el promedio de las otras seis especies. Las pruebas de normalidad de apuntalamiento y de sesgo confirmaron que los datos de todas las muestras provinieron de una distribución normal.

Las magnitudes y los CV de la densidad de las maderas estudiadas fueron similares a los resultados de ensayos de vibraciones en flexión transversal de 23 especies analizadas (seis especies coinciden en la presente investigación) por ^{Sotomayor (2015)}. La Figura 2 compara gráficamente los resultados de ambos estudios. Asimismo, se confirma que la densidad es predictor del módulo de rigidez con un coeficiente de determinación (R²) de 0.98 para los resultados de esta investigación y de 0.83 para los de ^{Sotomayor (2015)}. Los datos del módulo de rigidez para el plano longitudinal-tangencial reportados por ^{Sotomayor (2015)} provienen de ensayos donde emplearon barras con longitud de 0.5 m, sección transversal de 0.05 m x 0.05 m; para especies con densidades en un intervalo de 338 kg·m^-3 y 1,147 kg·m^-3 y contenido de humedad de 11.5 %.

Figura 2 Módulos de rigidez dinámicos en el plano longitudinal-tangencial (G_TL) en función de la densidad (ρ) de la madera. Comparación de resultados de esta investigación (2015) y de ^{Sotomayor (2015)}. 

La frecuencia natural en vibraciones por torsión aumenta cuando la densidad de la madera incrementa. La frecuencia natural es un predictor del módulo de rigidez dinámico con una correlación de G_LT = 3.41ρ - 7,288 y R² = 0.81. Los valores del G_LT de las siete especies mexicanas son similares a los módulos de rigidez para el plano longitudinal-tangencial determinados por los autores ^{Naruse (2003)}, ^{Keunecke et al. (2007)}, ^{Yoshihara (2012b)}, ^{Ozyhar et al. (2013)}, ^{Kránitz et al. (2014)}, ^{Nadir et al. (2014)} y ^{Sotomayor (2015)}, para maderas con densidades y contenidos de humedad similares a los determinados en el presente estudio. La Figura 3 presenta una comparación gráfica entre los G_LT determinados en dichos estudios. Respecto a la información sobre los módulos de rigidez derivados de pruebas estáticas, ^{Naruse (2003)} empleó pruebas en cortante y determinó los módulos de rigidez de madera de Fagus crenata Blume con densidad de 740 kg·m^-3 y contenido de humedad de 8 %; sus resultados fueron: G_LR = 980 MPa, G_LT = 637 MPa y G_RT = 196 MPa, donde los subíndices indican los planos formados por las direcciones radial (R), tangencial (T) y longitudinal (L) de la madera. ^{Yoshihara (2012b)} empleó pruebas de flexión asimétrica en placas de madera de Picea sitchensis Carr. con espesor de 0.006 m, densidad de 400 kg·m^-3 y 12 % de humedad, y determinó un G_LT de 400 MPa. Por otro lado, ^{Nadir et al. (2014)} utilizaron pruebas de compresión cortante, determinaron módulos de rigidez de madera de Hevea brasiliensis Muell. Arg. con densidad de 605 kg·m^-3 y humedad de 10 %. La relación de anisotropía para los diferentes módulos fue: G_LR = 1,070 MPa, G_LT = 1,008 MPa y G_RT = 256 MPa. Respecto a los datos de pruebas dinámicas, ^{Keunecke et al. (2007)} emplearon ultrasonido y determinaron módulos de rigidez para las maderas de Taxus baccata L. y Picea abies L. Karst. con densidades de 650 kg·m^-3 y 400 kg·m^-3, respectivamente, y contenidos de humedad de 11 y 12 %, respectivamente. Los resultados obtenidos en la madera de T. baccata fueron: G_LR = 1,740 MPa, G_LT = 1,650 MPa, G_RT = 368 MPa; y en el caso de P. abies: G_LR = 617 MPa, G_LT = 587 MPa y G_RT = 53 MPa. También ^{Ozyhar et al. (2013)} utilizaron ondas de ultrasonido y determinaron el módulo de rigidez de madera Fagus sylvatica L. con densidad de 689 kg·m^-3 y 9.6 % de humedad. Los módulos de rigidez obtenidos fueron: G_LR = 1,370 MPa, G_LT = 1,010 MPa y G_RT = 430 MPa. Por otra parte, ^{Kránitz et al. (2014)} emplearon ultrasonido para la determinación del módulo de elasticidad en madera de P. abies con densidad de 465 kg·m^-3 y 12 % de humedad, y obtuvieron G_LR = 926 MPa, G_LT = 863 MPa y G_RT = 107 MPa.

Figura 3 Módulos de rigidez dinámicos en el plano longitudinal-tangencial (G_TL) en función de la densidad (ρ) de la madera. Comparación en resultados entre el modelo elástico de la madera (^{Sotomayor-Castellanos & Hernández- Maldonado, 2012}), datos de esta investigación (2015) y resultados de otros autores (2003- 2014). 

En el presente estudio, E. cyclocarpum presentó el valor menor del módulo de rigidez (695 MPa) y T. chrysantha presentó el mayor (2,807 MPa). Los valores de los módulos de rigidez fluctuaron alrededor de la recta de predicción propuesta por el modelo elástico de la madera (G_LT = 1,708ρ) de ^{Sotomayor-Castellanos y Hernández-Maldonado (2012)}.

Conclusiones

Los módulos de rigidez para el plano longitudinal-tangencial de las especies estudiadas, obtenidos con el método de vibraciones en torsión, fueron proporcionales a la densidad de la madera y a la frecuencia natural de las probetas. Las magnitudes de los valores promedio de los módulos de rigidez dinámicos de las maderas mexicanas son similares a los resultados obtenidos por otros investigadores para especies extranjeras y utilizando diferentes tipos de ensayo. Las pruebas son rápidas y es fácil orientar las probetas, debido a sus pequeñas dimensiones, en las direcciones de ortotropía de la madera. Esto facilitaría la determinación de los módulos de rigidez en los planos G_LR y G_RT al recortar las probetas en las direcciones apropiadas. Los resultados, comparables con los de autores que emplean diversas configuraciones y solicitaciones, sugieren que el método de vibraciones por torsión puede ser de utilidad para la caracterización mecánica de maderas mexicanas. El método requiere poco material y la realización de las pruebas dinámicas es rápida, cualidades que lo perfilan como una técnica de bajo costo para la caracterización dinámica del comportamiento mecánico de la madera.