Introducción¹

El modelo de la TPA de ^{Ross (1976a)} supone que los individuos tienen creencias homogéneas en cuanto al proceso estocástico generador de rendimientos, el cual sería lineal y gobernado por k factores comunes, en el que k es mucho menor que n, el número total de títulos:

en el que r~it es el rendimiento aleatorio del i-ésimo activo en el periodo t; E0t es el rendimiento esperado del i-ésimo activo en el periodo t; F~jt representa el j-ésimo factor común (sistemático) de media 0 que afecta los rendimientos en el periodo t; b _ij cuantifica la sensitividad del rendimiento del i-ésimo activo a los movimientos del factor común F~j , y ε~it es el término de ruido o componente de riesgo idiosincrásico en el periodo t.

Además, el modelo supone que los factores comunes son completamente independientes entre sí, EF~iF~j=0 , que no están correlacionados con el término de ruido Eε~iF~j=0 y que el riesgo idiosincrásico es independiente entre títulos, Eε~iε~j=0,i≠j . Si este último supuesto no se cumple la interdependencia entre los componentes idiosincrásicos delataría la presencia de factores comunes adicionales. La teoría no dice nada respecto a la identidad de los factores de riesgo;² sin embargo, si existen sólo unos pocos componentes sistemáticos de riesgo se esperaría que estén relacionados a variables macroeconómicas fundamentales, como el producto interno bruto, la estructura de tasas de interés o la inflación (véase ^{Chen, Roll y Ross, 1986)}.

En ausencia de oportunidades de arbitraje, todas las carteras de inversión formadas a partir de n activos que satisfacen las condiciones de no usar riqueza y no tener riesgo (sistemático ni idiosincrásico) deben también poseer un rendimiento igual a 0 en promedio. Ello implica que existirán k +1 constantes, λ₀, λ₁, …, λ_k, tal que para todo i se cumple que

Si hay un activo libre de riesgo con rendimiento, E0t , entonces b0j=0 , para todo j, y E0t=λ0t , en el que E0t representa la tasa de rendimiento común de todos los aclivos de 0 β, es decir aclivos con b0j=0 , para todo j, y en particular la tasa de rendimiento libre de riesgo si tal activo existe. Con carteras de inversión con riesgo sistemático unitario para un factor y 0 para el resto de factores, cada λ _j puede ser interpretado como exceso de rendimiento o premio por riesgo de mercado para carteras de inversión que tienen solamente el factor común j de riesgo sistemático, λj=Ej-E0 . Esta es la ecuación central de la TPA; ella es exacta sólo en una economía grande (número infinito de títulos), y debe interpretarse como una aproximación para economías finitas (véase ^{Ross, 1976a} y ^b, y ^{Grinblatt y Titman, 1983)}.

Existen tres métodos para determinar los factores comunes. El primero es el análisis factorial, que busca determinar coeficientes de sensitividad (Factor Loadings);³ éste consiste en un análisis algorítmico de la matriz estimada de covarianza de títulos (véase ^{Roll y Ross, 1980}; ^{Chen, 1983}; ^{Lehman y Modest, 1988)}. Los otros métodos son el de variables macroeconómicas, en las que el investigador, basado únicamente en su juicio, escoge factores,⁴ para luego estimar los coeficientes de sensitividad y verificar si ellos explican el corte transversal de los rendimientos,⁵ y características de las empresas, similar al anterior, pero que usa regularidades empíricas (anomalías) presentes en los rendimientos, por ejemplo el efecto tamaño.⁶

El presente trabajo se enmarca en una TPA de la vertiente de variables macroeconómicas, que tiene la ventaja (en comparación con el análisis factorial) de permitir la interpretación económica de los factores y los premios por riesgo factoriales. Al igual que ^{Burmeister y McElroy (1988)}, consideramos cuatro factores macroeconómicos me di dos y un factor no observado; la presencia de factores no observados es una generalización del trabajo de ^{Chen, Roll y Ross (1986)}. Partiendo del modelo de factores, la teoría de precios por arbitraje (TPA) impone restricciones, las que son comprobadas empíricamente en el periodo 1991-2004. Además, el modelo de valoración de activos de capital (MVAC) está anidado en la TPA, lo cual permite someter a prueba el MVAC. En la sección I se revisa el modelo lineal de factores, así como las restricciones impuestas por la TPA y el MVAC. En la sección II presentamos un análisis de la muestra y los resultados de la estimación. Finalmente, resumimos las conclusiones del estudio.

I. Marco conceptual

El rendimiento del activo i en el periodo t se supone generado por un modelo lineal de K factores (MLF), según la ecuación (1) anterior. Suponemos, con ^{Burmeister y McElroy (1988)}que los K factores se componen de J factores no observados, denotados por ƒ, y (K - J) factores observados (medidos), denotados por g (y las sensitividades a los factores se denotan por b y c, respectivamente). Entonces, dividimos la muestra de N + J títulos en N títulos (cuyos rendimientos llamamos r _t )y J títulos, cuyos rendimientos denotamos por R _t . Luego el modelo de factores (1) puede ser escrito matricialmente como:

en los que r ^t , E ^t , ε ^t son vectores verticales de dimensión (N × 1), B y C son matrices de dimensión (N × J) y (N × (K - J)), respectivamente, y ƒ^t y g ^t son vectores de dimensión (J × 1) y ((K - J) × 1), respectivamente. De manera similar, en (4), Rt,EJt,εJt denotan los vectores de dimensión (J × 1), y B _J , C _J las matrices de dimensión (J × J) y (J × (K - J)), respectivamente.

Suponiendo que B _J es no singular (contiene las sensibilidades de los J últimos rendimientos respecto a los factores no observados), es posible resolver (4) para obtener los factores no observados en función de los J últimos rendimientos de títulos, los factores observados, y términos de error idiosincrásico:

Sustituyendo (5) en los primeros N rendimientos (3) se obtiene el rendimiento de los primeros N títulos en términos del rendimiento de los J últimos títulos de la muestra, y de los (K - J) factores observados:

en el que

Como mencionamos líneas arriba, la TPA impone la restricción (2) al modelo de factores (1). Para expresar (2) en el contexto de factores no observados y factores medidos, denotamos los premios por riesgo de los J factores observados y no observados por los vectores verticales λ ^J y λ ^K , de dimensiones (J × 1), y ((K - J) × 1), respectivamente. Con esta notación, (2) puede ser expresado como:

en los que i _N e i _J representan vectores de dimensiones N × 1 y J × 1, respectivamente. Puesto que tanto los factores observados como el ruido específico representan sorpresas, y luego son 0 en valor esperado, de (6):

sustituyendo (8) en (9):

Igualando (7) y (13), y resolviendo para el intercepto β0t , y utilizando (6b) y (6c) se obtiene:

La ecuación (11) corresponde a la restricción de intercepto que la TPA impone en el modelo lineal de factores. Sustituyendo (11) en (6) se obtiene la especificación de la TPA:

que es un caso especial de la línea de mercado de factores

En consecuencia, nuestra primera hipótesis por validar por los datos es:

Hipótesis 1 (modelo TPA). La restricción de la TPA en el modelo lineal (13) es:

La hipótesis anterior permite validar la TPA contra el modelo (estadístico) más general conocido como modelo lineal de factores. Por otra parte, el modelo de valoración de activos de capital predice que los premios por riesgo de los factores son proporcionales al premio por riesgo de mercado, y que el factor de proporcionalidad es la β del factor respecto a la cartera de mercado:

en el que

es el coeficiente beta del MVAC, λM≡ERMt-λ0t es el premio por riesgo de mercado. El MVAC aplicado a los (K - J) factores observados implica que:

El MVAC corresponde a la ecuación de la TPA (12) con la restricción (16), es decir, el MVAC está anidado en la TPA. En consecuencia, una segunda hipótesis por validar es:

Hipótesis 2 (MVAC). Estimar (12) con y sin la restricción (16), en la que λM/σM2 , que representa la razón de Sharpe dividida por la desviación estándar de la cartera de mercado, se estima como un parámetro adicional en el caso restringido.

II. Descripción de la muestra y resultados de la estimación

La muestra consiste de los rendimientos mensuales en el periodo 1991-2004 de los 60 títulos accionarios de mayor presencia bursátil en el periodo; la presencia bursátil se define como el porcentaje de días hábiles en que la acción se comerció en bolsa. Los rendimientos mensuales son corregidos por dividendos y otras variaciones de capital, y fueron obtenidos de Economática. El Apéndice 2 registra la lista de empresas, con su presencia promedio en el periodo. La presencia promedio varió entre un mínimo de 31.51% y un máximo de 99.93%, con un promedio de 69.20% y una mediana de 71.24%. Además, se incluyó el rendimiento del índice general de precios de acciones (IGPA), calculado por la Bolsa de Comercio de Santiago. Como proxy de la tasa de interés libre de riesgo se utilizó la tasa de interés de captación de corto plazo (operaciones de 30-89 días, pero muy mayoritariamente 30 días); esta tasa no está corregida por inflación.

Considerando la estructura económica de Chile, escogimos cuatro factores observados: inflación, tasa de crecimiento de la economía,⁷ el precio del cobre y precio del petróleo. La motivación para incluir las primeras dos variables es la común en la bibliografía (ellas caracterizan la macroeconomía del país); por otra parte, el cobre es el principal producto de exportación de Chile (alrededor de 45% de las exportaciones totales), mientras que el petróleo es el principal producto de importación (puesto que Chile no tiene producción interna de esta materia prima).

Estos factores son expresados como desviación respecto a su valor esperado. En los precios de materias primas (petróleo y cobre) se utilizaron precios de cierre en bolsas internacionales,⁸ y se supuso que estas variables siguen un camino aleatorio (random walk), con lo cual en la estimación se utilizó la variación porcentual en el precio de estos factores. Para el caso de la inflación esperada, con base en ^{Schmidt-Hebbel y Werner (2002)}y ^{Schmidt-Hebbel y Tapia (2004)}, se estimó un modelo en que la inflación depende de la devaluación rezagada, del diferencial de tasas entre nominal e indizadas, de la meta de inflación del Banco Central y valores rezagados de la inflación. Para la tasa de crecimiento esperado del Imacec se utilizó un modelo ARMA. Los detalles de ambas estimaciones se presentan en el Apéndice 1. Además de los cuatro factores observados, se consideró la existencia de un factor no observado que se infiere a partir de la ecuación (5), en la que R ^t corresponde al rendimiento del IGPA.

^{Burmeister y McElroy (1988)} analizan tres métodos para estimar el sistema de ecuaciones: regresiones aparentemente no relacionadas (SUR), mínimos cuadrados ponderados y mínimos cuadrados en tres etapas no lineales; concluyen que existe una correlación entre la variable que permite inferir los factores no observados y el término de error. Por ello, afirman que el mejor método de estimación es mínimos cuadrados no lineales en tres etapas. Basados en este resultado, el modelo se estima con este método, en que las variables instrumentales utilizadas son sorpresa de inflación, sorpresa en crecimiento, cambio porcentual en el precio del cobre y del petróleo, y el exceso de rendimiento del IGPA por sobre la tasa de interés libre de riesgo en cada mes, rezagada un periodo.

Para estimar el modelo se dividió la muestra de 61 activos (60 títulos individuales y el IGPA) en las 60 acciones, y el IGPA. La ecuación correspondiente al IGPA se utilizó para inferir el factor no observado. Burmeister y McElroy no ofrecen ningún criterio para seleccionar el número de rendimientos que utilizan en la estimación; de hecho, escogen 70 rendimientos aleatorios de entre los 500 incluidos en el índice S&P500. Con el propósito de examinar la sensibilidad de los resultados en la muestra escogida, se realizaron estimaciones con muestras más pequeñas de 30, 40, 50 y 60 rendimientos. El Cuadro 1 muestra la estimación de los premios por riesgo asociados a los cuatro factores macro, usando diferentes muestras de rendimientos (véase Apéndice 2); estos resultados corresponden a estimar (12), y los parámetros que se registran corresponden a los premios por riesgo de los factores, λ _K .

^a Valores p entre paréntesis. Instrumentos utilizados son sorpresa inflación, sorpresa en el crecimiento, cambio porcentual del precio del cobre y del petróleo y el exceso de rendimiento del IGPA rezagado.

CUADRO 1 Estimación del modelo de la TPA utilizando diferentes tamaños de muestra^a 

La estimación de los parámetros muestra algunas diferencias según el tamaño de la muestra de empresas, lo que incide en el número de ecuaciones por estimar. No obstante se puede afirmar que los factores macroeconómicos son importantes en la determinación de los rendimientos y que los premios por riesgo pagados por esos factores son positivos y estadísticamente significativos para la variable sorpresa en el crecimiento, sorpresa en el precio del cobre y del petróleo. Sin duda que la mejor aproximación a la estimación de dichos premios es cuando se utiliza la muestra completa de empresas, que equivale a 52.9% del patrimonio bursátil a precios de mercado de la población de sociedades anónimas comerciadas en la Bolsa de Comercio de Santiago. Los resultados de la última columna no son cualitativamente diferentes de los mostrados en las otras tres.

El Cuadro 2 registra los resultados de las estimaciones para el modelo de la TPA. Con el propósito de verificar la posible presencia del efecto enero, se estimó el modelo con y sin una variable ficticia para el mes de enero. En la primera columna aparecen los coeficientes de la estimación sin esta variable de enero, y en la segunda se incluye dicho efecto. En la segunda parte del cuadro se presenta la prueba χ² para la hipótesis nula de que no hay efecto enero, encontrándose que no es posible rechazar dicha hipótesis.⁹

^a Valores p entre paréntesis. Instrumentos utilizados son sorpresa inflación, sorpresa en el crecimiento, cambio porcentual del precio del cobre y del petróleo, y el exceso de rendimiento del IGPA rezagado.

* Se rechaza a 1 por ciento.

CUADRO 2 Estimación de los premios por riesgo y prueba de hipótesis^a 

También en la segunda parte del cuadro se presenta la prueba para la hipótesis nula de la TPA vs la otra hipótesis de modelo lineal de factores, en la que se observa que la TPA no puede ser rechazada en ninguna de las dos columnas. En Cuadro 2 se muestra la prueba para la hipótesis del MVAC contra la TPA y el resultado afirma que los datos rechazan la hipótesis del MVAC a 1 por ciento.

Conclusiones

En este trabajo se estimó un modelo de la TPA con cinco factores de riesgo sistemáticos, de los cuales cuatro se supusieron conocidos, y el quinto se supuso no observado. De los primeros, las sorpresas en tasa de crecimiento y las sorpresas en los precios de cobre y petróleo, resultaron con premios positivos y estadísticamente distintos de cero en la muestra; mientras que el premio para las sorpresas en inflación no resultó estadísticamente distinto de cero.

El modelo permitió probar empíricamente la restricción de la TPA contra la opción más general de un modelo lineal de factores, encontrándose que el modelo de la TPA no puede ser rechazado por los datos. Además, se probó la hipótesis del MVAC (modelo anidado en la TPA) contra la opción de la TPA, hipótesis que fue rechazada de manera sólida por los datos. Finalmente, no se encontró evidencia del efecto enero.