Introducción

Entre las intuiciones planteadas por ^{Karl Marx (2009a}, ^2009b y ^2009c) al discutir las contradicciones del capitalismo y su propensión a crisis recurrentes, suele destacar el concepto de sobreproducción. Si bien no existe una definición estándar, en general la sobreproducción puede entenderse como la producción de una cantidad de mercancías en exceso en comparación con la cantidad que puede venderse a los precios vigentes, es decir, comparada con la demanda efectiva del mercado (^{McKeown, 1987: 36}; ^{Marx, 2009b}). Como en ^{Sherman (1967)}, puede decirse que la sobreproducción es una característica innata de los ciclos capitalistas, y se expresa con cambios en la magnitud relativa de fenómenos como la sobreacumulación de capital y el subconsumo obrero. La sobreacumulación ocurre porque la competencia capitalista presiona a que las empresas individuales acumulen capital y produzcan mercancías a un ritmo mayor que la capacidad para absorberlas de la demanda efectiva del mercado (^{Sherman, 1967: 492-496}). Esa demanda efectiva limitada tiene como principal causante el subconsumo obrero, es decir, la incapacidad de la clase trabajadora de adquirir toda la producción de medios de consumo, debido a la naturaleza de los salarios en el capitalismo, cuyo crecimiento está restringido por múltiples factores (por ejemplo, presión del ejército laboral de reserva) que buscan garantizar la rentabilidad de la clase capitalista (^{Sherman, 1967: 489-492}).

Pese a que Marx y otros pensadores han formulado varias intuiciones respecto a la sobreproducción, son escasas las interpretaciones matemáticas formales. En respuesta, el presente artículo expone un modelo bisectorial de ciclos distributivos¹ y sobreproducción que toma como base el modelo bisectorial con poder de mercado de ^{Dutt (1988)}, combinado con elementos del modelo de ciclos de ^{Goodwin (1967)} y el modelo agregado de crecimiento y distribución de ^{Dutt (1987)}. Asimismo, el artículo demuestra analíticamente cómo las complejas interacciones entre los componentes del modelo generan ciclos estables² en cuatro variables endógenas: distribución sectorial del capital, tasa de empleo y márgenes de rentabilidad del sector 1 (productor de medios de producción) y del sector 2 (productor de medios de consumo). Por ende, el texto busca contribuir en el campo de la teorización y la modelización de las estructuras y los ciclos capitalistas desde un enfoque de economía política analítica (^{Veneziani y Zamparelli, 2017}), y sumarse a trabajos previos del autor desde enfoques agregados (^{Cajas Guijarro, 2023}) y sectoriales (^{Cajas Guijarro, 2022}). Estos aportes tienen como principal hipótesis de trabajo que la evolución de la economía capitalista puede representarse con sistemas dinámicos no lineales (^{Strogatz, 2018}), donde las crisis se complejizan por múltiples contradicciones. Para el presente artículo, esta hipótesis asume que los ciclos capitalistas están intrínsecamente vinculados con la sobreproducción en un contexto sectorial (por ejemplo, sobreacumulación asociada con el sector 1 y subconsumo vinculado con el sector 2). Así, la sobreproducción puede reinterpretarse como la inviabilidad del pleno empleo de capacidades instaladas sectoriales, y llega al punto en que dicho pleno empleo resulta irrelevante para describir el ciclo capitalista.

El artículo se estructura de la siguiente forma. Luego de esta introducción, la sección I hace una revisión teórica y de literatura referencial. Después, se expone el modelo bisectorial de ciclos distributivos y sobreproducción en tres partes: la sección II describe el esquema inicial del modelo y un primer equilibrio dinámico,³ con base en una exposición análoga a ^{Dutt (1988)}, donde se asume que salario y precios son constantes; la sección III toma elementos de ^{Goodwin (1967)} y ^{Dutt (1987)} para ampliar el modelo al explicar las razones por las cuales salario y precios pueden variar, de donde surge un sistema dinámico cuya solución genera ciclos endógenos⁴ en cuatro dimensiones (este resultado se demuestra analíticamente en dos apéndices matemáticos); la sección IV emplea estos resultados para reinterpretar la sobreproducción en un contexto de fluctuación cíclica en el uso de capacidades instaladas sectoriales a largo plazo (es decir, con base en la acumulación de capital).⁵ Finalmente, la sección V concluye y resume propuestas para investigaciones futuras.

I. Revisión teórica y de literatura

En El capital,^{Marx (2009a}, ^2009b y ^2009c) planteó varias intuiciones respecto a la sobreproducción como el resultado de la interacción de dos fenómenos. Por un lado, la competencia capitalista induce a un progreso técnico sostenido y al crecimiento del producto sólo con fines de lucro, de donde surge la sobreacumulación de capital en diferentes sectores productivos. Por otro lado, el ingreso de la clase trabajadora depende de salarios limitados por la explotación capitalista, lo que genera el subconsumo obrero. En ese sentido, Marx mencionó lo siguiente:

Al desarrollarse la producción capitalista, la escala de la producción se determina en grado cada vez menor por la demanda directa del producto, y en grado cada vez mayor por el volumen del capital del que dispone el capitalista individual, por la tendencia de su capital a valorizarse y la necesidad de que su proceso de producción sea continuo y se extienda. Con ello crece necesariamente en cada ramo particular de producción la masa de productos que se encuentra como mer­cancías en el mercado o que busca salida. Crece la masa de capital fijada durante más o menos tiempo bajo la forma de capital mercantil. Se acrecienta, pues, el acopio de mercancías [^{Marx, 2009b: 171-172}].

La razón última de todas las crisis reales siempre sigue siendo la pobreza y la restricción del consumo de las masas en contraste con la tendencia de la producción capitalista a desarrollar las fuerzas productivas como si solamente la capacidad absoluta de consumo de la sociedad constituyese su límite [^{Marx, 2009c: 623}].

Marx también planteó argumentos de que la sobreproducción se desenvuelve en medio de los ciclos capitalistas, donde la sobreacumulación y el subconsumo siempre están vigentes, pero modifican su magnitud relativa según las diferentes fases de los ciclos. Por ejemplo, podemos considerar la siguiente cita:

Decir que las crisis provienen de la falta de un consumo en condiciones de pagar, de la carencia de consumidores solventes, es incurrir en una tautología cabal. El sistema capitalista no conoce otros tipos de consumo que los que pueden pagar, exceptuando el consumo subforma pauperis [propio de los indigentes] o el del “pillo”. Que las mercancías sean invendibles significa únicamente que no se han encontrado compradores capaces de pagar por ellas, y por lo tanto consumidores (ya que las mercancías, en última instancia, se compran con vistas al consumo productivo o individual). Pero si se quiere dar a esta tautología una apariencia de fundamentación profunda diciendo que la clase obrera recibe una parte demasiado exigua de su propio producto, y que por ende el mal se remediaría no bien recibiera aquélla una fracción mayor de dicho producto, no bien aumentara su salario, pues, bastará con observar que invariablemente las crisis son preparadas por un periodo en que el salario sube de manera general y la clase obrera tiene realiter [realmente] una porción mayor de la parte del producto anual destinada al consumo [^{Marx, 2009b: 502}].

Aquí cabe recordar que Marx veía como protagonista de los ciclos capitalistas al ejército laboral de reserva, es decir, al grupo de personas “explotable y siempre disponible” para la acumulación capitalista, “independientemente de los límites del aumento real experimentado por la población” (^{Marx, 2009a: 786-787}).⁶ Al respecto, puede leerse el siguiente pasaje:

Los movimientos generales del salario están regulados exclusivamente por la expansión y la contracción del ejército industrial de reserva, las cuales se rigen, a su vez, por la alternación de periodos que se opera en el ciclo industrial. Esos movimientos no se determinan, pues, por el movimiento del número absoluto de la población obrera, sino por la proporción variable en que la clase obrera se divide en ejército activo y ejército de reserva, por el aumento y la mengua del volumen relativo de la sobrepoblación, por el grado en que ésta es ora absorbida, ora puesta en libertad [^{Marx, 2009a: 793}].

Este vínculo entre sobreproducción y ciclos -mediado por el ejército laboral de reserva- posee implicaciones sectoriales. Así, en las fases del ciclo cuando la acumulación capitalista se acelera demasiado, la sobreacumulación de capital presiona especialmente al sector productor de medios de producción (sector 1). En cambio, en las fases cuando los salarios caen, se agudiza el subconsumo obrero, lo que afecta sobre todo el sector productor de medios de consumo (sector 2).

Precisamente parte de la literatura que discute la sobreproducción adopta una perspectiva bisectorial. Un ejemplo inicial es el análisis de la reproducción capitalista de ^{Luxemburg (2015)}, para quien la sobreproducción sólo puede evitarse con la expansión capitalista hacia regiones no capitalistas. En oposición, ^{Bauer (1913)} propuso un modelo aritmético donde buscó representar cómo una economía capitalista cerrada sí puede crecer sostenidamente sin recurrir a regiones no capitalistas (^{King, 1986}). Más adelante, ^{Bauer (1936)} planteó algunas intuiciones en favor del subconsumo que servirían de base para la interpretación formulada por ^{Sweezy (1942: cap. 10)} en un apéndice matemático donde propuso dos hipótesis para describir la sobreproducción. Primero, Sweezy asumió que el consumo de trabajadores y capitalistas crece a un ritmo más lento que la inversión; así, al expandirse la producción, una mayor proporción del producto se destina a acumular capital e induce a la expansión del sector 1 -véanse las Ecuaciones (2) y (3) del apéndice de Sweezy-. Segundo, él asumió una regla de proporcionalidad constante entre sectores que debe cumplirse para mantener el equilibrio sectorial, de modo que un aumento de la producción del sector 1 debe ser proporcional al crecimiento del sector 2 -véase Ecuación (4) del apéndice mencionado-. Para Sweezy, ambas hipótesis generan una contradicción, pues el subconsumo induce a que la producción se use cada vez más para la inversión, pero esa dinámica trastoca la proporcionalidad entre sectores necesaria para mantener el equilibrio sectorial. Esta interpretación recibió críticas. Por ejemplo, ^{Georgescu-Roegen (1960)} criticó el argumento de Sweezy y los esquemas de Marx por problemas de “homogeneidad dimensional”. Otra crítica a Sweezy (no analítica) puede encontrarse en ^{Shaikh (1978)}, para quien no se justifica el supuesto de que la expansión de los sectores 1 y 2 mantenga una proporcionalidad constante.

Aportes adicionales a la discusión de la sobreproducción incluyen a ^{Bronfenbrenner (1966)}, quien combinó en un modelo sectorial la sobreproducción con la tendencia a la caída de la tasa de ganancia, y así obtuvo un “dilema” entre crisis por “liquidación” y por “realización”. Por su parte, ^{Sherman (1971)} estudió la sobreproducción desde los esquemas de Marx y un enfoque de ciclos mediante ecuaciones en diferencias, donde notó la posibilidad de que un amplio desempleo cíclico ralentice el crecimiento económico (aunque sin incluir elementos relevantes asociados con el ejército laboral de reserva y los salarios).⁷ Más recientemente, ^{Sardoni (2015)} usó un modelo de dos sectores para plantear que la sobreproducción sería temporal y, por lo tanto, el enfoque de Marx no explicaría las crisis capitalistas de larga duración. En respuesta, ^{Basu (2016)} refutó a Sardoni y usó los esquemas marxistas para plantear una crítica a los enfoques centrados sólo en el subconsumo.

En medio de esta literatura, el presente artículo busca aportar con un modelo bisectorial de ciclos distributivos que combine las intuiciones de Marx respecto a la sobreacumulación y el subconsumo dentro del ciclo capitalista. Para ello, a continuación se junta el modelo bisectorial con poder de mercado de ^{Dutt (1988)} con elementos del modelo de ciclos de ^{Goodwin (1967)} y el modelo agregado de crecimiento y distribución de ^{Dutt (1987)}, así se identifica la existencia de ciclos en cuatro variables: distribución sectorial del capital, tasa de empleo, y márgenes de rentabilidad de los sectores 1 y 2. Este resultado permite reinterpretar la sobreproducción en las diferentes fases del ciclo y brinda bases para interpretaciones futuras más complejas enfocadas en el desequilibrio sectorial.

II. Esquema inicial del modelo y equilibrio con salario y precios constantes

El esquema inicial del modelo asume que el salario nominal y los precios son constantes, con base en una exposición análoga al modelo bisectorial con poder de mercado de ^{Dutt (1988)}, el cual sirve como punto de partida (con diferente notación), pues permite representar la reproducción capitalista en un contexto donde los sectores no usan plenamente sus capacidades instaladas, aspecto útil para reinterpretar la sobreproducción. Así, como en ^{Dutt (1988)}, se adoptan los siguientes supuestos iniciales. S1: la economía se divide en el sector i= 1, que produce medios de producción durables (bienes de capital fijo) y el sector i= 2 que produce bienes de consumo (no existen bienes in­termedios). S2: la fuerza de trabajo y el capital fijo son los únicos insumos empleados en la producción. S3: el capital fijo no se deprecia. S4: todos los sectores siguen funciones de producción de coeficientes fijos. S5: las empresas mantienen su stock de capital fijo una vez que lo instalan (pueden sostener excesos de capital en el tiempo); en cambio, no existen contrataciones de trabajadores a largo plazo, sino que son recontratados en cada periodo productivo. S6: existen dos clases sociales, trabajadores que sólo reciben salarios (se asume libre movilidad laboral, de modo que todos los obreros reciben igual salario), y capitalistas cuyo ingreso proviene de las ganancias generadas por sus empresas. S7: los trabajadores no ahorran, mientras que los capitalistas ahorran una fracción s de su ingreso (0 <s≤ 1). S8: los salarios se pagan luego de la producción, así el fondo salarial no es parte del capital inicial empleado para calcular las tasas de ganancia. S9: en cada sector i las empresas siguen una regla de formación de precios, donde a los costos unitarios se agrega un margen (markup) (^{Kalecki, 1971}), como sugiere (1):

Donde p_i es el precio del producto creado en el sector i; w es el salario nominal por hora trabajada; z_i es el margen aplicado sobre los costos por las empresas del sector i (0 <z_i < 1), y q_i es la productividad laboral equivalente a:

Donde Q_i y L_i representan, respectivamente, la producción y las horas de trabajo empleadas en el sector i.

S10: el salario nominal w, los márgenes z_i y, por ende, los precios p_i son constantes. S11: las empresas de cada sector i definen la tasa de crecimiento de su capital fijo g_i según la siguiente función de inversión:

Donde α_i representa el comportamiento autónomo de la inversión (“espíritu animal”); β_i equivale a la motivación de los capitalistas a invertir como respuesta a una determinada tasa de ganancia sectorial r_i (efecto rentabilidad), y τ_i es la motivación a invertir como respuesta a un determinado uso de capacidad instalada sectorial u_i (efecto demanda) (^{Dutt, 1988: 147}). Aquí la tasa de uso de capacidad instalada sectorial u_i se define como:

Donde K_i es el stock de capital fijo instalado en todas las empresas del sector i. A su vez, definamos a σ_i como la tasa de uso de capacidad instalada de pleno empleo, es decir:

Donde Q_i^M es la producción sectorial máxima alcanzable cuando existe pleno uso de capacidades instaladas.⁸S12: el uso de capacidad instalada siempre es menor a la situación de pleno empleo, es decir u_i <σ_i. Desde estos supuestos, la distribución del ingreso generado por la producción de cada sector puede representarse como:

Donde notamos que los bienes de capital siempre tienen un precio p₁. A su vez, definamos el exceso de demanda real de bienes de capital ED₁ como la diferencia entre la demanda de inversión enfocada a acrecentar el capital de todos los sectores y la producción del sector 1:

Asimismo, definamos al exceso de demanda real de bienes de consumo ED₂ como la diferencia entre el gasto real de consumo obrero y capitalista y la producción del sector 2:

Donde w/p₂ es el salario real, y p₁ /p₂ es el precio relativo del bien de capital respecto al bien de consumo. También definamos la distribución sectorial del capital como:

Este esquema inicial permite obtener algunas deducciones relevantes. Por ejemplo, desde (1) puede deducirse el salario real y el precio relativo:

La expresión (10) sugiere que el salario real w/p₂ está vinculado con el margen z₂ y la productividad q₂. Para ^{Dutt (1988: 147-148 y nota 3)}, con base en ^{Kalecki (1971)}, el vínculo entre salario real y márgenes está mediado por el “grado de monopolio” vigente en el sector 2 y por el “estado de la lucha de clases” que influye sobre la dinámica salarial. Por su parte, al combinar (1), (2), (4) y (6), pueden deducirse las tasas de ganancia sectoriales en términos del uso de capacidades instaladas:

Con base en ^{Dutt (1988: 148)}, definamos el corto plazo como una situación donde los stocks de capital K_i son constantes y los mercados se vacían mientras ajustan las cantidades producidas según la reacción de las empresas a los excesos de demanda. Instrumentamos esta idea con el siguiente supuesto. S13: el uso de capacidad instalada sectorial crece cuando en el respectivo mercado existe un exceso de demanda positivo, como sugiere la siguiente ecuación diferencial:

donde, para toda variable x, x’=dx/dt es su derivada temporal, x^=x’/x es su tasa de variación, y la variable se “estabiliza” (se vuelve constante) cuando x^=x’= 0. Así, en (14) el término f_i > 0 es la tendencia al crecimiento del uso de capacidad instalada (u’_i > 0) cuando el exceso de demanda expresada como proporción del stock de capital fijo es positivo (ED_i /K_i > 0). Al combinar (14) con (2), (3), (4) y (7) a (13), surge un sistema dinámico de dos ecuaciones diferenciales⁹ que describe la dinámica de corto plazo del uso de capacidades instaladas sectoriales:¹⁰

donde:

A su vez, definamos el equilibrio de corto plazo como la ausencia de exceso de demanda para todos los mercados de bienes:

Esta definición equivale a la estabilización del uso de capacidades (u’_i = 0, i= 1, 2), lo que sucede en el punto de equilibrio de corto plazo (u₁^CP, u₂^CP):

donde:

La matriz jacobiana del sistema (15) y (16) evaluada en (u₁^CP, u₂^CP) muestra los siguientes valores para su traza T^CP y determinante Δ^CP:

Aquí incluyamos un nuevo supuesto. S14: los parámetros β_i y τ_i de la función descrita en (3) son lo suficientemente bajos para cumplir con Ω> 0, lo que garantiza un equilibrio de corto plazo positivo (u₁^CP > 0, u₂^CP > 0) y localmente estable (traza negativa T^CP < 0 y determinante positivo Δ^CP > 0) (^{Strogatz, 2018}).¹¹ Este equilibrio se ilustra en la Gráfica 1, donde las rectas CP1 y CP2 indican respectivamente los valores de (15) y (16) cuando el uso de capacidades instaladas de los sectores 1 y 2 es constante (u’₁ = 0, u’₂ = 0). Por su parte, las flechas indican la dinámica de las soluciones para cualquier valor inicial, e ilustran la estabilidad del equilibrio que ocurre en el corte entre CP1 y CP2.

Con la estabilidad local del equilibrio de corto plazo, también puede decirse que las tasas de ganancia sectoriales vigentes en ese equilibrio son estables, las cuales se deducen al remplazar (20) y (21) en (12) y (13):

Donde S14 garantiza que riCP>0. Para ^{Dutt (1988: 150)}, a diferencia del corto plazo, el largo plazo es una situación donde la inversión hace que los stocks de capital K_i y su distribución sectorial k cambien con el tiempo (como resultado de la acumulación capitalista), lo que puede representarse aplicando derivadas temporales en (9), y se obtiene:

Donde recordemos que g_i es la tasa de crecimiento de K_i, es decir, g_i =k’_i /k_i. Si asumimos que ya se alcanzó el equilibrio de corto plazo (ED_i =0), entonces, si se combina (27) con (3), (20), (21), (25) y (26), puede reescribirse k^ y obtenerse la siguiente ecuación diferencial:

donde

Aquí existe un equilibrio de largo plazo k^LP cuando k^=k’=0, es decir, cuando los stocks de capital sectoriales crecen a igual ritmo y estabilizan la distribución sectorial del capital:

Al remplazar (31) en (28) y reordenar términos, surge la siguiente expresión cuadrática:

donde k^LP >0, pues [α₂γ₂ - sα₁γ₁ - Ω(α₁ - α₂)]²+4sα₁α₂γ₁γ₂ > 0. A su vez, al de­rivar (28) respecto a k se obtiene:

Puede verificarse que esta derivada es negativa (∂k^/∂k<0) para todo k si se cumple S14, lo que implica que el equilibrio k^LP obtenido como raíz positiva de (32) es estable (^{Dutt, 1988: 150}; ^{Strogatz, 2018}). Esta estabilidad se ilustra en la Gráfica 2, donde las flechas sugieren que a largo plazo la variable k se estabiliza en k^LP .¹²

Al revisar (32) y (33), se nota que k^LP y la dinámica de las trayectorias alrededor de este punto (representada en ∂k^/∂k) dependen de los márgenes z_i contenidos en Ω, γ₁ y γ₂. Por ende, si abandonamos el supuesto de salario y precios constantes (y se permite que los márgenes fluctúen), es claro que la dinámica del modelo se complejiza.

III. Equilibrio y ciclos de largo plazo con salario y precios variables

El supuesto S10 de que el salario nominal y los precios son constantes omite el papel de la pugna distributiva y del poder de mercado en los ciclos capitalistas y su impacto sectorial al interpretar la sobreproducción. Por ende, ahora se abandona este supuesto al combinar el modelo de la sección II con el efecto de la pugna distributiva sobre el salario y los precios. Es decir, se combina la dinámica de la acumulación capitalista sectorial -largo plazo en el sentido de ^{Dutt (1988)}- con los efectos de la lucha entre clases sociales que buscan apropiarse de una mayor fracción del producto social con in­crementos del salario o los precios. A su vez, esta pugna distributiva entre capitalistas y trabajadores se procesa en el poder de mercado por la influencia que el salario y los precios tienen sobre los márgenes de ganancia.

Para lograr esta combinación, definimos a la tasa de empleo agregada l como:

Donde L₁ +L₂ es la fuerza de trabajo empleada en todos los sectores y N es toda la fuerza de trabajo disponible en el mercado laboral. Al combinar (34) con (2), (4) y (9) se obtiene:

Si se asume que la economía ya alcanzó un equilibrio de corto plazo sin excesos de demanda, entonces pueden remplazarse (20) y (21) en (35) para deducir la tasa de empleo de dicho equilibrio:¹³

Donde Ω depende de los márgenes z_i, como indica (22). Al derivar (36) respecto al tiempo y reorganizar términos se obtiene:

Donde, recordemos, g_i es igual a:

Mientras que n y θ_i son las tasas de crecimiento de la fuerza de trabajo disponible y de la productividad del trabajo, definidas respectivamente como:

Para facilitar la argumentación, incluyamos el siguiente supuesto. S15: las tasas n y θ_i son constantes.¹⁴ Por su parte, g₂ se obtiene al combinar (3), (21) y (26):

A la vez que Ω’/Ω resulta de derivar (22) respecto al tiempo, así se obtiene una función que depende de los márgenes y sus derivadas, los crecimientos de las productividades y la productividad relativa del sector 2 respecto al sector 1.¹⁵ Esta función puede escribirse genéricamente como:

donde:

Por su parte, la expresión (37) -y sus componentes- plantea que el crecimiento de la tasa de empleo l está vinculado con la dinámica de k y z_i. Por ende, si estas variables fluctúan a largo plazo por la acumulación capitalista, igualmente lo hará l. Pero si la tasa de empleo se mueve, también cambia la proporción del ejército laboral de reserva,¹⁶ lo que afecta el poder obrero de negociación salarial si se admite la intuición de Marx de que el ejército de reserva actúa como regulador salarial (véase la sección I). Esta intuición puede representarse con el siguiente supuesto propuesto originalmente por ^{Goodwin (1967: 55) 17} y ampliado por ^{Cajas Guijarro y Vera (2022: 570)}.¹⁸S16: el poder de negociación obrero al disputar con los capitalistas el salario real puede representarse con la siguiente ecuación diferencial:¹⁹

Donde w’/w-p₂’/p₂ es la tasa de variación del salario real (diferencia entre la tasa de variación del salario nominal y del precio del bien de consumo), mientras que ϕ, ρ, μ>0 representan la distribución de poder entre trabajadores y capitalistas al negociar el crecimiento salarial: mientras más grande sea ρ o más pequeños sean ϕ y μ, existe mayor poder obrero para empujar el salario real al alza y viceversa. En particular, ρl recoge el efecto del ejército laboral de reserva, pues mientras mayor tasa de empleo l haya, habrá menor ejército laboral y mayores poder de negociación obrero y empuje al crecimiento salarial. En cambio, μ(p₂’/p₂) sugiere que en la negociación pueden existir fallas de indización de modo que la inflación termina afectando negativamente los salarios reales; así, μ>0 puede interpretarse como el poder capitalista de reducir el crecimiento efectivo del salario real por debajo del objetivo inicial de los trabajadores (^{Cajas Guijarro y Vera, 2022: 571}). Por ende, el término μ acentúa el subconsumo obrero al reducir el crecimiento del salario real ante un crecimiento de precios.

Al moverse el salario por cambios en la tasa de empleo, surge una presión sobre los márgenes z_i. En concreto, al derivar (1) respecto al tiempo y reorganizar términos, se obtiene:

La expresión (45) sugiere que z_i tiende a caer cuando w crece. Si θ_i es constante, el único mecanismo que tienen las empresas del sector i para controlar su margen ante cambios salariales es ajustando el precio p_i. Este comportamiento puede representarse al incluir un supuesto inspirado en el modelo agregado de crecimiento y distribución de ^{Dutt (1987)}.²⁰S17: las empresas modifican p_i cuando el margen z_i vigente en el mercado difiere de su margen objetivo ζ_i, comportamiento representado por:

Donde 0 <ζ_i < 1. Al remplazar (44) y (46) en (45) puede expresarse la dinámica de z_i en función de l:

Los movimientos de z_i representados en (47) y (48) afectan la dinámica de k, como ilustra (28). Finalmente, las afectaciones en z_i y k se trasladan al crecimiento de la tasa de empleo l planteado en (37), lo que resulta en una compleja retroalimentación no observable en el modelo original de ^{Dutt (1988)} por el supuesto de salario nominal y precios constantes. Esta retroalimentación se resume al combinar las expresiones (22), (28), (29), (30), (37), (41), (42), (43), (47) y (48) en un sistema dinámico de cuatro ecuaciones diferenciales cuyas variables endógenas son k, l, z₁ y z₂, y que puede escribirse genéricamente como:

Debido a la fuerte complejidad de (49), para estudiar sus propiedades consideremos un caso simplificado con los siguientes supuestos. S18: el ahorro total es consecuencia endógena de la inversión, la cual puede desenvolverse gracias a las finanzas y el crédito; así, asumimos que los capitalistas ahorran todas sus ganancias (s= 1) sin afectar directamente la inversión, pues lo hacen indirectamente a través del consumo.²¹S19: la dinámica autónoma de la inversión es idéntica entre sectores (α₁ =α₂ =α). S20: la inver­sión no reacciona al uso de capacidad instalada (τ₁ =τ₂ = 0).²²S21: las empresas del sector 1 poseen márgenes endógenos y precios constantes (λ₁ = 0), mientras que las empresas del sector 2 ajustan precios y márgenes (λ₂ > 0).²³S22: en todos los sectores la productividad crece a un mismo ritmo (θ₁ =θ₂ =θ). S23: la fuerza de trabajo disponible es constante (n =0). S24: se normaliza el efecto de la rentabilidad en la función de inversión del sector 1 (β₁ = 1), mientras que en la función de inversión del sector 2 se asume que este efecto es más bajo (β₂ < 1).²⁴ En estos supuestos, el sistema dinámico (49) toma la siguiente forma concreta:

Aquí puede redefinirse el equilibrio de largo plazo como una situación donde las variables endógenas del sistema (50) a (53) (distribución sectorial del capital k, tasa de empleo l, margen de rentabilidad del sector 1 z₁, margen de rentabilidad del sector 2 z₂) toman valores constantes y, por ende, sus derivadas temporales se anulan (k’=l’=z₁’ =z₂’ = 0). Así, surge un punto de equilibrio dinámico de largo plazo (k^LP, l^LP, z₁^LP, z₂^LP) definido por:

Éste posee valores positivos cuando β₂ < 1, y α<θ(1 -β₂). Puede demostrarse analíticamente (véanse los Apéndices 1 y 2) que, en la cercanía de este punto de equilibrio de largo plazo, las interacciones entre los componentes del sistema dinámico (50) a (53) generan un comportamiento cíclico estable en las variables endógenas si λ₂ es lo suficientemente alto y, sobre todo, si μ se aproxima (por la derecha) al valor crítico μ^HB dado por:

Para visualizar el comportamiento cíclico del sistema simplificado en (50) a (53) pueden emplearse simulaciones numéricas, lo que requiere definir parámetros y valores iniciales. Por ejemplo, consideremos los valores del Cuadro 1 donde ρ y ϕ (asociados al crecimiento salarial), θ (crecimiento de la productividad laboral) y β₂ (reacción de la acumulación del sector 2 a la rentabilidad) se inspiran en las estimaciones empíricas del modelo de ^{Goodwin (1967)} realizadas por ^{Grasselli y Maheshwari (2018)} para Francia entre 1960 y 2010;²⁵ por su parte, los parámetros α, λ₂, ζ₂ y μ, y los valores iniciales k₀, l₀, z₁₀ y z₂₀ se calibran para generar resultados económicamente relevantes (por ejemplo, tasa de empleo fluctuante entre 0 y 1). Aquí caben dos aclaraciones. Primero, al aplicar los valores del Cuadro 1 en (58) se obtiene un valor crítico μ^HB = 2.1085, es decir, mientras más se aproxime μ a 2.1085 por la derecha, más marcada será la existencia de un comportamiento cíclico estable, sin olvidar que la aproximación no es perfecta, pues la naturaleza no lineal del modelo puede generar dinámicas inestables antes de llegar al valor crítico (véanse los Apéndices 1 y 2). Segundo, el propósito de los valores del Cuadro 1 no es ajustarse a una economía concreta, sino ilustrar el resultado teórico analítico demostrado en los Apéndices 1 y 2, así como brindar una idea de valores referenciales para investigaciones futuras.²⁶

Con base en estas observaciones, los valores del Cuadro 1 permiten simular series temporales de las cuatro variables endógenas del modelo simplificado (k, l, z₁ y z₂), lo que resulta en comportamientos cíclicos que fluctúan alrededor de valores de equilibrio (simulación 1), como ilustra la Gráfica 3 (aunque para k los ciclos muestran baja amplitud).²⁷ Por su parte, las trayectorias simuladas en dos y tres dimensiones (Gráfica 4 y 5) sugieren que el modelo genera dinámicas complejas, aunque al pasar el tiempo surgen ciclos estables con movimiento en sentido horario en los planos formados por las variables z₁ - l, z₂ - l y z₁ - z₂, mientras que k se estabiliza. A su vez, los valores del Cuadro 1 y las simulaciones de k, l, z₁ y z₂ pueden remplazarse en (20), (21) y (22) para simular la dinámica del uso de capacidades instaladas sectoriales (Gráfica 6), donde también se identifica la convergencia a ciclos antihorarios en el plano u₁ - u₂.

Cabe indicar que la complejidad del sistema dinámico definido por las Ecuaciones (50) a (53) impide describir con precisión cómo sus componentes generan las oscilaciones observadas en las Gráfica 3 a 6. De todas formas, pueden plantearse algunas interpretaciones económicas. En concreto, los signos de la Ecuación (51) sugieren que el margen de rentabilidad del sector 1 (z₁) hace crecer a la tasa de empleo (l’), debido a que la rentabilidad de este sector incentiva con fuerza la inversión, la expansión de la actividad económica y el mayor empleo de trabajadores. En cambio, los signos de la Ecuación (52) indican que la tasa de empleo (l) tiende a reducir el margen del sector 1 (z₁’), pues un mayor empleo aumenta el poder de negociación obrero (menor peso del ejército laboral de reserva), lo que provoca que el salario crezca y, por ende, caiga la rentabilidad capitalista del sector 1. Así, entre los principales determinantes del comportamiento cíclico del modelo está la retroalimentación directa (e incluso contradictoria)²⁸ entre la rentabilidad del sector 1 y la tasa de empleo, como sugieren los ciclos observados en el plano l - z₁ de la Gráfica 4.

La retroalimentación antes descrita se complejiza por varios efectos indirectos. Por ejemplo, los signos de la Ecuación (53) sugieren que la tasa de empleo (l) reduce el margen de rentabilidad del sector 2 (z₂’),²⁹ lo cual genera una reacción compleja en los valores futuros de todos los márgenes y de la propia tasa de empleo según indican las Ecuaciones (51) a (53). Por su parte, los signos de la Ecuación (50) plantean que el margen de rentabilidad del sector 1 (z₁) aumenta la distribución sectorial del capital (k), pues una mayor rentabilidad del sector 1 acelera su acumulación capitalista más rápido que en el sector 2. En consecuencia, los ciclos observados en z₁ se transmiten a k, la cual de todas formas parece estabilizarse con el paso del tiempo, lo que indica que, a largo plazo, la acumulación capitalista del sector 2 logra igualar el ritmo del sector 1. La combinación de estas y otras dinámicas en los márgenes (z₁, z₂) y en la distribución sectorial del capital (k) se transmite al uso de capacidades instaladas sectoriales (u₁, u₂), como plantea el equilibrio de corto plazo definido en las Ecuaciones (20) y (21), y como se ilustra en la Gráfica 6.

Para complementar estas interpretaciones, destaquemos que la estabilidad cíclica del modelo se alcanza cuando el poder de los capitalistas para desacelerar el salario real mediante fallas de indización a la inflación, representado por μ en (44), es lo suficientemente alto como para garantizar que μ > μ^HB. Caso contrario, si μ es demasiado bajo, las simulaciones generan comportamientos inestables. Así, al menos para el modelo simplificado en (50) a (53), el poder capitalista de ampliar la explotación laboral al empujar a la baja el salario real -y agudizar el subconsumo obrero- parece crucial para la estabilidad de los ciclos: cuanta mayor explotación, mayor estabilidad.³⁰ De todas formas, cabe indicar que esta y otras interpretaciones económicas son preliminares y merecen mayor análisis desde versiones futuras más completas del modelo que levanten los supuestos S18 a S24.³¹

Asimismo, para motivar análisis futuros más complejos, en el Cuadro 2 se plantean parámetros y valores iniciales para una versión ampliada del modelo y que pueden aplicarse a la expresión (49), de modo que se levantan algunos de los supuestos S18 a S24. Nuevamente aclaremos que no se busca calibrar el modelo ampliado a una economía concreta, sino brindar una visualización preliminar de su dinámica. Las simulaciones construidas con estos valores (simulación 2) sugieren la existencia de comportamientos cíclicos aún más complejos (Gráfica 7 a 10). Pese a su mayor complejidad, se mantiene el sentido de los ciclos identificados en el caso anterior. Precisamente aprovechamos esta persistencia del comportamiento cíclico para reinterpretar la sobreproducción en la siguiente sección.

IV. Sobreproducción y ciclos

Desde los resultados de la sección III puede retomarse la hipótesis de trabajo de este artículo, la cual, recordemos, asume que los ciclos capitalistas están intrínsecamente vinculados con la sobreproducción en un contexto sectorial. Con esta hipótesis, la sobreproducción puede reinterpretarse como la inviabilidad del pleno empleo de capacidades instaladas sectoriales, que resulta irrelevante para describir el ciclo capitalista. A fin de desarrollar esta reinterpretación, aprovechamos el comportamiento cíclico de largo plazo identificado en el plano u₁-u₂ de las Gráfica 6 y 10, y que se ilustra, de forma simplificada, en la Gráfica 11. Dicha gráfica sugiere un ciclo antihorario donde el uso de capacidades instaladas sectoriales fluctúa alrededor del punto de equilibrio de largo plazo (u₁^LP, u₂^LP). Por interpretaciones económicas previas sabemos que este ciclo en el uso de capacidades instaladas sectoriales es resultado de la retroalimentación (contradictoria) entre la rentabilidad capitalista (sobre todo el margen del sector 1) y la tasa de empleo. Es decir, el ciclo en el plano u₁ -u₂ de la Gráfica 11 es consecuencia del ciclo distributivo capitalista, contextualizado en un escenario con variaciones en los stocks de capital que modifican su distribución sectorial (pero que no son el principal determinante del ciclo).³² A su vez, este ciclo se asocia con ciclos observados en otras variables, por ejemplo, los márgenes de rentabilidad, como plantea la Gráfica 12.

Para el modelo simplificado representado en (50) a (53), el punto de equilibrio (u₁^LP, u₂^LP), alrededor del cual fluctúan los ciclos en el plano u₁ -u₂, puede deducirse al remplazar (54) a (57) en (20), (21) y (22), y aplicar los supuestos S18 a S24, lo cual resulta en:

Donde α, β₂, ζ₂, θ y q₂₁ son tales que el equilibrio (u₁^LP, u₂^LP) y los ciclos que fluctúan a su alrededor siempre están por debajo del pleno uso de capacidades instaladas representado en el punto (σ₁, σ₂), como lo ilustra la Gráfica 11. Es decir, en efecto, el pleno empleo de capacidades resulta irrelevante para describir el ciclo capitalista en el presente modelo.

La Gráfica 11 también distingue cuatro fases del ciclo capitalista que permiten caracterizar las diferentes formas que adopta la sobreproducción.³³ Así, al iniciar la fase (I) (punto A), el uso de capacidad instalada del sector 2 alcanza su nivel máximo dentro del ciclo (u₂^máx),³⁴ lo que sugiere que la demanda de consumo de los trabajadores también alcanza su nivel más alto en términos relativos. Sin embargo, la demanda obrera elevada resulta del crecimiento salarial de fases previas del ciclo, lo que debilita la rentabilidad y merma la propensión a invertir (sobreacumulación decreciente); esto genera una reducción futura del empleo y del poder de negociación obrero, lo cual implica una desaceleración futura del propio salario y del consumo (subconsumo creciente).³⁵ Por ende, al avanzar la fase I, decaen la demanda de consumo y el uso de capacidades del sector 2 (↓u₂); también cae el uso de capacidades del sector 1 (↓u₁), pues la rentabilidad reducida y la merma en la inversión debilitan la demanda de bienes de capital. Por esta caída generalizada de la demanda, denominamos a la fase I del ciclo como “depresión”.³⁶

Como resultado de la dinámica de la fase I, se llega al inicio de la fase II (punto B), donde el uso de capacidades del sector 1 es mínimo dentro del ciclo (u₁^mín). Sin embargo, la desaceleración del salario resultante de la fase anterior -reflejada en la caída del uso de capacidades del sector 2 (↓u₂) (subconsumo creciente)- empieza a reactivar la rentabilidad y la inversión, lo que expande la demanda de bienes de capital y del uso de capacidades del sector 1 (↑u₁) (sobreacumulación creciente). Tal comportamiento, donde la demanda de bienes de capital se reactiva, permite denominar a la fase II del ciclo como “recuperación”.

Este comportamiento persiste hasta iniciar la fase III (punto C), donde el uso de capacidades del sector 2 es mínimo (u₂^mín). Pero aquí la reactivación de la inversión observada en la fase anterior -representada en la expansión del uso de capacidades del sector 1 (↑u₁) (sobreacumulación creciente)- induce un crecimiento generalizado del empleo y del poder de negociación obrero, y así se recuperan el salario, la demanda de consumo y el uso de capacidades del sector 2 (↑u₂) (subconsumo decreciente) a medida que avanza la fase III. Así, a esta fase con aumento general de la demanda la denominamos boom.

Finalmente, como resultado de la fase III se llega al inicio de la fase IV (punto D), donde el uso de capacidades del sector 1 alcanza su nivel máximo en el ciclo (u₁^máx). De nuevo hay un cambio de dinámica, pues la expansión salarial de la fase previa -visible en el crecimiento del uso de capacidades del sector 2 (↑u₂) (subconsumo decreciente)- comienza a mermar la rentabilidad y la inversión, aunque mantiene la expansión de la demanda de consumo. Como resultado, decae la demanda de bienes de capital y el uso de capacidades del sector 1 (↓u₁) (sobreacumulación decreciente). Como aquí inicia la caída de la demanda de bienes de capital, denominamos a esta fase como “recesión”, la cual se mantiene hasta retornar al inicio de la depresión (punto A).

Las cuatro fases del ciclo previamente analizadas también son visibles al comparar el uso de capacidades instaladas sectoriales con los márgenes de rentabilidad, como muestra la Gráfica 12. Desde esta gráfica se nota que el uso de capacidades y el margen del sector 1 se mueven en el mismo sentido (“ciclos con pendiente positiva” en el plano u₁-z₁), mientras que el uso de capacidades y el margen del sector 2 se mueven en sentido contrario (“ciclos con pendiente negativa” en el plano u₂ -z₂). Este resultado admite algunas interpretaciones económicas. Por un lado, la rentabilidad del sector 1 se beneficia de las fases del ciclo que muestran sobreacumulación creciente por el efecto inmediato del aumento de la demanda de bienes de capital. Por otro lado, la rentabilidad del sector 2 se beneficia de las fases de subconsumo creciente, posiblemente porque la rentabilidad de este sector crece más por la reducción de costos asociada con menores salarios que por el aumento de la demanda de consumo. Es decir, en el sector 1 la rentabilidad se fortalece por factores de demanda, mientras que en el sector 2 lo hace por factores de oferta. Sin embargo, estas interpretaciones son preliminares y dependientes de los supuestos aplicados al modelo, de modo que se necesita mayor profundidad analítica en trabajos futuros para confirmar su generalidad.³⁷

El Cuadro 3 resume la interpretación cíclica de la sobreproducción, los cambios de magnitud relativa de la sobreacumulación y del subconsumo, así como la dinámica del uso de capacidades instaladas y márgenes de rentabilidad sectoriales en las diferentes fases del ciclo. Por cierto, esta interpretación podría complejizarse más si, por ejemplo, se agrega el supuesto de que el uso de capacidades instaladas sectoriales no alcanza ni siquiera su equilibrio de corto plazo, de modo que siempre existiría un exceso de demanda (positivo o negativo) que generaría pérdidas a los capitalistas (sea por el costo de oportunidad de la demanda no aprovechada o por las mercancías que no logran venderse). Como resultado, luego de hacer los respectivos ajustes, podría obtenerse un sistema de seis ecuaciones diferenciales con seis variables endógenas: k, l, z₁, z₂, u₁ y u₂. Tal reformulación se aproximaría aún más a la comprensión analítica de la sobreproducción desde un enfoque cíclico que incluya desequilibrios de mercado, pero aumentaría la complejidad del modelo, de modo que también se deja planteada para trabajos futuros.

V. Conclusión

Marx planteó varias intuiciones para interpretar la sobreproducción como la producción de una cantidad de mercancías en exceso comparada con la demanda efectiva del mercado. En este artículo se asume que tal fenómeno es una característica innata de los ciclos capitalistas. Pese a que éste es un tema muy discutido en el análisis crítico del capitalismo, son escasos los esfuerzos para darle una formalización rigurosa que permita comprender su dinámica, sobre todo en las diferentes fases de los ciclos capitalistas. Tal situación es peculiar con base en que el propio Marx consideraba que sobreproducción y ciclos tienen un vínculo relevante. Como respuesta, el presente artículo ha presentado un modelo bisectorial de ciclos distributivos y sobreproducción (con elementos marxistas y kaleckianos) que junta el modelo bisectorial con poder de mercado de ^{Dutt (1988)} (el cual incluye un equilibrio de corto plazo en el uso de capacidades instaladas sectoriales) con elementos del modelo de ciclos distributivos de ^{Goodwin (1967)} y el modelo agregado de crecimiento y distribución de ^{Dutt (1987)}.

Como principal resultado se demostró analíticamente que, con la definición de largo plazo planteada por ^{Dutt (1988)} (considerando acumulación de capital), los componentes del modelo generan ciclos estables en las siguientes variables endógenas: distribución sectorial del capital, tasa de empleo y márgenes de rentabilidad en los sectores productores de bienes de capital y de consumo. Estos ciclos emergen de la disputa distributiva entre clases sociales, y mantienen un comportamiento estable cuando los capitalistas poseen el poder suficiente para reducir el salario real (y vigorizar el subconsumo obrero). Una consecuencia de este resultado es el surgimiento de ciclos de largo plazo en el uso de capacidades instaladas sectoriales, lo cual permite reinterpretar la sobreproducción con base en que los fenómenos de la sobreacumulación y el subconsumo muestran magnitudes relativas que cambian según las diferentes fases del ciclo capitalista. En medio de esta reinterpretación se nota que el pleno uso de capacidades instaladas no es un caso relevante.

El presente modelo brinda bases para varias investigaciones futuras a fin de construir versiones que den más énfasis a la dinámica del sector 1, productor de medios de producción, y a sus precios; analizar el comportamiento cíclico en otras variables de interés, como los precios o el salario nominal; profundizar en el estudio del modelo para encontrar no sólo comportamientos cíclicos sino también caóticos (por ejemplo, sensibilidad a condiciones iniciales, comportamientos oscilatorios irregulares y no linealidades); estimar los parámetros del modelo para economías concretas con base en enfoques cercanos a ^{Grasselli y Maheshwari (2018)}; ahondar en los efectos que pueden tener diferentes formas de distribución del poder de negociación entre obreros y capitalistas sobre la estabilidad de los ciclos; ampliar el modelo a un sistema dinámico de seis ecuaciones diferenciales que incluya los efectos del exceso de demanda; combinar los resultados del presente modelo con el estudio teórico y analítico de diferentes formas de crisis capitalistas (por ejemplo, desproporcionalidad sectorial, caída de tasa de ganancia). Desde estas y otras líneas de trabajo futuro, puede seguirse aportando a la teorización y la modelización de las estructuras y los ciclos capitalistas desde un enfoque de economía política analítica y crítica.