Investigación

A numerical study of stiffness effects on some high order splitting methods

J. Salcedo–Ruíz*, F.J. Sánchez–Bernabe**

* Instituto Politécnico Nacional, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Unidad Culhuacán, Av. Santa Ana No. 1000, Col. San Francisco Culhuacán, 04430 México, D.F. México.

** Univ. Autónoma Metropolitana–Iztapalapa, Depto. de Matemáticas, San Rafael Atlixco No. 186, Col. Vicentina, 09340 México, D.F México.

Recibido el 18 de marzo de 2005
Aceptado el 31 de enero de 2006

Abstract

In this paper we compare operator splitting methods of first, second, third and fourth orders that are applied to problems with stiff matrices. In order to efficiently solve the resultant subproblems is necessary to use implicit Runge–Kutta methods. It is known that, in this context, the precision order of operator splitting schemes is reduced. Furthermore, we propose a fifth order operator splitting method that is obtained by applying Richardson extrapolation to a fourth order method. All methods are tested with a model problem with matrices such that its condition number is taken up to 20,000. Our conclusion is that order reduction is more severe for low order operator splitting methods.

Keywords: Operator splitting; stiff matrix; Richardson extrapolation; implicit Runge–Kutta methods.

Resumen

En este trabajo se comparan métodos de descomposición de operadores de órdenes uno, dos, tres y cuatro, que se aplican a problemas cuyas matrices son de tipo rígido. A fin de poder resolver eficientemente los problemas intermedios que aparecen es necesario aplicar métodos de Runge–Kutta de tipo implícito. Se ha observado que en estas condiciones, el orden de precision de los esquemas de descomposición de operadores se reduce. Se propone además un método de descomposición de operadores de orden cinco que se obtiene al aplicar extrapolación de Richardson a un esquema de orden cuatro. Todos los metodos se aplican a un problema modelo con matrices cuyo número de condición se incrementa hasta 20,000. Se concluye que el fenomeno de reducción de orden es más severa para los métodos de orden bajo.

Descriptores: Descomposición de operadores; matriz rígida; extrapolación de Richardson; métodos de Runge–Kutta implícitos.

PACS: 02.70.Bf; 02.90.+p; 02.60.–x

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