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1. Introducción
La Función continua de Ambigüedad (AF, por sus siglas en inglés) es una transformada integral y compleja que admite como argumento una o dos señales que son representadas en el plano fase tiempo-frecuencia. Tradicionalmente, aunque no exclusivamente, con dos registros como argumento se ha empleado para diseñar y analizar señales tipo radar y pulsos sonar debido a que resuelve bien las diferencias entre las señales cuando el emisor y/o el receptor están en movimiento relativo, siempre y cuando alguno de estos no fluctúe5. (Efecto Doppler, ver la Subsec. 4.1).
En este reporte se aplica la Función Discreta de Ambigüedad (DAF) sobre una sola señal autocorrelacionada (auto-DAF) para representar la naturaleza y la dinámica del sistema, y sobre dos señales correlacionadas (cruz-DAF) para determinar las frecuencias y los parámetros que ajustan el comportamiento. Se desglosa el algoritmo escrito para el software de computo simbólico WOLFRAM MATHEMATICA 10 que se sigue en los cálculos, según el diagrama de flujo Fig. 1.
La definición de la AF3 para dos funciones
S1(t),
Cuando
de las Ecs. (1) y (2) se infiere que
Entre el gran número de propiedades que satisface la función de ambigüedad7, para los fines de este estudio las marginales de tiempo y frecuencia son indispensables
donde (3), que será referida como (Marginal de tiempo), corresponde a una autoconvolución de
El desarrollo del presente trabajo parte con la obtención de la forma discreta de la , Sec. 2; en la Sec. 3 se describe el algoritmo a seguir para construir la , enfatizando los requerimientos necesarios para evitar en lo posible el aliasing en el resultado final. En las Secs. 4 y 5 se procesan registros de datos generados a partir de funciones conocidas, muestredas según el criterio de Nyquist6, y los correspondientes obtenidos de las vibraciones del eje de una máquina de rotación. Las conclusiones son enunciadas en la Sec. 6.
2. Discretización
Sea
donde
La AF de x(t) según la definición (2) se deja escribir como
donde
Considerando que la función s(t) es Riemann integrable en el intervalo de estudio1, y suponiendo que esta característica se conserva al volverla analítica mediante la transformada de Hilbert, podemos emplear una partición regular para aproximar la integral anterior mediante una suma de Riemannii
es posible obtener una versión discreta de (6) considerando a M>1 en lugar de tomar el límite
con
La forma matricial de la Ec. (8) es
esta expresión corresponde a la de x(t); la matriz Rnk se denomina matriz de correlación y se define como
con la propiedad
que permite simplificar su computo a la mitad.
es decir, la función posee periodicidad
3. Algoritmo
En la practica la DAF es evaluada sobre una sucesión de puntos
El muestreo digital de una señal analógica a una tasa de muestreo constante, contiene información sobre frecuencias y periodicidad que es necesario considerar previamente a su cuantificación. Se define entonces una frecuencia de muestreo Fs=N/T, que especifica la máxima frecuencia presente en la sucesión N de puntos de la señal s(t) muestreada durante el tiempo T. La reconstrucción exacta de la señal periódica discreta en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda, esto es, Fs>2B como dicta el teorema de Nyquist-Shannon6,9. Con esta consideración en los cálculos se reduce notablemente la perturbación de aliasing que ocurre al cuantificar un muestreo digital. En la práctica con instrumentos, es necesario aplicar a la señal muestreada un filtro de paso bajo cuya frecuencia de corte sea 1/2Fs.
Aún cumpliendo el criterio de muestreo de Nyquist-Shanonn que nos asegura la reconstrucción mediante interpolación de la señal, se presentará aliasing al obtener la representación de la señal en el espacio de las variables conjugadas 𝜏 y 𝜈. Para evitar este efecto se emplean señales analíticas, introducidas en 1946 por Denis Gabor2 y construida para el análisis de señales como propuso J. Ville en 194814. Para ello a la señal s(t) se le suma su transformada de Hilbert8:
La cual se obtiene convolucionando
El cómputo de la DAF de una muestra de datos, requiere que la matriz de correlación
con n=1,2…N/2 y k=1,2…N. De la propiedad simétrica ([11]) la matriz de correlación toma la forma
Equivalentemente la forma matricial (9) puede escribirse como
donde
Como
tal que
Al evitar el aliasing, surge una correspondencia entre la de una señal muestreada y la de la señal continua ,
en el intervalo
La naturaleza cuadrática de la DAF cumple un principio de superposición no lineal y en consecuencia, en las representaciones del plano fase se distinguen los elementos que delinean las trazas correspondientes a los autotérminos (que definen propiamente a las frecuencias contenidas en la señal) ubicados alrededor del centro, de aquellos otros de interferencia o términos cruzados que se dibujan a cierta distancia de éste, proporcional13 a la amplitud y a la distancia en tiempo-frecuencia en el dominio de energía de los componentes implicados.
4. Aplicación a señales diseñadas
Denominaremos señal diseñada a un registro de datos consecuencia de evaluar una función
continua en una serie de puntos discretos, las propiedades marginales y proyecciones
en el espacio
Un caso de especial interés son los datos obtenidos a partir de funciones sinusoidales de
frecuencia constante, pues éstas son reconstruidas como ondas mediante la
transformada de Hilbert, i.e. si s(t)
4.1 Efecto Doppler
La causa de que un observador registre una frecuencia distinta de la que emite una fuente se debe al movimiento relativo, ya sea de la fuente, del observador o de ambos, a este fenómeno se le conoce como efecto Doppler.
Si
En caso contrario, si el observador se aleja de la fuente registrará una frecuencia menor dada por
Considérense dos señales sinusoidales s1(t) y s2(t) de frecuencias f1 y f2 las cuales al ser completadas por su transformada de Hilbert se modelan de la forma siguiente
con
Usando la definición (1) para calcular la para este par de sinusoides, resulta
Esta integral se resuelve fácilmente usando la definición de la Delta de Dirac
y reparametrizando con t=2t queda
En general, con la expresión anterior es posible obtener información sobre que tanto difieren las frecuencias de las señales que entran a la transformada tomando el valor absoluto de la marginal
En particular, para el caso en que las frecuencias de las señales difieran como en las Ecs. (21) y (22), tal que f1=v y f2=v', la expresión (26) toma la forma
donde el signo positivo corresponde al caso
La posición y el signo de la delta de Dirac permiten conocer la velocidad y el sentido con los que se desplaza un objeto en movimiento sobre el cual incide una onda emitida por un emisor en reposo relativo, ver Fig. 2.
4.2 Superposición de armónicos
Considérese una función
Sustituyendo (28) en la Ec. (2) y dada la correspondencia Ec. (19), se obtiene en forma continua la
La primera sumatoria de la expresión anterior corresponde a los autotérminos y componen la traza sobre la recta
Figura 4 Proyección en el plano t - v del valor absoluto de la DAF para la se˜nal mostrada en la Fig. 3.
Figura 3 Superposición de ondas armónicas de 20 Hz, 40 Hz, 60 Hz, 80 Hz y 100 Hz; muestreadas durante 0.8 s con una frecuencia de muestreo Fs = 640 Hz.
De la expresión (29) es posible extraer las propiedades marginales dadas en (3) y (4), así, haciendo cero la frecuencia se obtiene la marginal temporal
Figura 5 Marginal DAFS (0; º) de la se˜nal de la Fig. 3, las deltas est´an centradas en ¨ 20 Hz, ¨ 40 Hz, ¨ 60 Hz y ¨ 80 Hz.
alternativamente, si el tiempo se iguala a cero se resolverá para la marginal de frecuencia
La (31) contiene información sobre cómo se mapean las frecuencias contenidas en una
superposición de armónicos bajo la transformada de ambigüedad, notamos que las
4.3 Superposición de dos señales de frecuencia modulada linealmente
Las señales de frecuencias variables moduladas linealmente (FM), producen en el plano fase de ambigüedad trazas que cruzan por el origen con pendientes que definen la razón de cambio de las frecuencias.
Sea
Figura 6 Suma de dos ondas de frecuencia modulada, muestreadas durante 0:0625 s, con una Fs = 4096 Hz. Las funciones de frecuencia son: f1(t) = -4096t + 768 y f2(t) = 4096t + 256. Ambas finalizan con 512 Hz.
La de la Ec. (32) se deja escribir como
el primer término corresponde a las componentes de S(t) que generan las
trazas de deltas de Dirac sobre las rectas 4mi - v, donde el
signo de las pendientes
Figura 7 SAF del pulso dado en la Fig. 6. Las líneas diagonales sólidas trazadas sobre los auto términos corresponden a las rectas especificadas dentro de la imagen.
5. Aplicación a vibraciones Mecánicas
En esta sección se analizan los registros digitales producidos por las vibraciones del eje de la maquina de rotación experimental referida. El equipo Bentley-Nevada RK4 consta de un motor que opera con corriente directa, de un eje de acero con contenido medio de carbono, sujeto en sus extremos por chumaceras de buje y abrazado en un punto medio de su claro por un disco para prácticas de balanceo. La parte electrónica de control cuenta con un modulador de velocidad y rampa de aceleración lineal en 𝑟𝑝𝑚, con un concentrador de los datos censados por un inductor vertical de proximidad deslizable, colocado cerca del punto de mayor deflexión del eje. Para el procesamiento y almacenamiento de los datos se utilizó un adquisidor del mismo equipo que incluye el software de PRISM .
Se muestran los resultados experimentales para los estados balanceado y desbalanceado del eje, diferenciándose dos casos (Experimento A y Experimento L). Se tomaron registros en los tres regímenes de trabajo: Estable, arranque y frenado. El Experimento A se llevó a cabo cuando la RK4 se encontraba en óptimas condiciones de desempeño, en tanto que el Experimento L se efectuó dos años después, con lo que se presentan variaciones debidas al desgaste de la máquina. En la Table II se desglosan los parámetros generales para cada experimento.
Tabla 2 Parámetros necesarios para calcular la DAF de los datos muestreados de las vibraciones del eje de la RK4.
5.1 Régimen Estable
Las señales generadas por las máquinas de rotación son habitualmente determinísticas y cuando trabajan en condiciones estacionarias, las vibraciones producidas pueden ser modeladas por sencillas expresiones matemáticas explícitas.
Durante un régimen de trabajo estable el eje de las máquinas de rotación gira a velocidad
angular constante, por lo que se supondrá que las vibraciones de estos registros
se comportan como funciones armónicas sinusoidales o como una superposición de
ellas. Para probar lo antedicho en el apartado 4.2. se diseñó una función con la
suma de armónicos, ahí se muestra y se describe la representación de la marginal
para
Figura 8 Representación del proceso para obtener un estimador de máxima similitud empleando el registro de vibración a1) del Experimento L y las marginales para τ = 0 de las DAF involucradas. b) auto-DAF de a1); c) cruz-DAF de a1) con a2) diseñada con v = 0; d) cruz-DAF de a1) con a3) diseñada como suma de cosenos con las frecuencias resueltas en c).
La ubicación y distribución de las máximas deltas de Dirac en la de la auto-DAF representan en forma simétrica la estructura conformacional de la señal, sin embargo, estos máximos no inciden en los valores de las frecuencias que realmente componen a la señal.
La señal porque sus posiciones son las diferencias entre las frecuencias que la constituyen,
como en la Tabla 1. Pero con el
“performance” que provee la de la señal es posible generar un estimador de
máxima similitud, buscando la posición de los máximos en la de una de la señal
recibida del registro de vibración, con otra función diseñada con cualquier
valor
Del supuesto anterior, la señal del registro experimental tendrá la relación de suma de armónicos
y la función diseñada para v1 = 0, la forma
Consecuentemente la expresión de la marginal para
lo que implica que podemos conocer las frecuencias fi mediante
Con la convención que en este estudio se ha adoptado, al respecto de que la señal de estudio sea la que entre a la correlación
como la conjugada compleja, la marginal de la resolverá un espacio antisimétrico con
v1 = 0 y f1< 0. Para garantizar que las frecuencias que
integran la señal son efectivamente las 𝑓 𝑖 buscadas, es preciso diseñar una
función de suma de armónicos
Al modelar una función que emule al registro de vibración, además de los valores de las frecuencias encontradas es necesario aproximar las contribuciones de las amplitudes de cada frecuencia en la de la original. Para ello deben proporcionare las amplitudes entre esta y las de la de la , tomando como factor de proporcionalidad a la razón entre la amplitud de la
En la Fig. 8 se revelan gráficamente los resultados obtenidos al llevar a cabo los cálculos sobre el registro del régimen estable balanceado del Experimento L, como se describió en los párrafos anteriores de ésta subsección. Conforme se proporcionen mejor las amplitudes entre
Figura 10 Mf de la auto-DAF de la señal diseñada de la Fig. 9. Las deltas están ubicadas en los valores ±59:9365 Hz y ±119:873 Hz que se indican en 8d) y que corresponden a las frecuencias que componen el registro de estudio 8a1).
5.2 Régimen Transiente
Entre las normas del fabricante de máquinas de rotación se especifican la forma o las formas de aceleración y desaceleración angular constante para que el desempeño de los ejes de rotación sea óptimo en condiciones estándares de trabajo. Los experimentos que aquí se analizan se realizaron con aceleración angular lineal, por lo que se supondrá que las vibraciones del eje tendrán un comportamiento similar al de las señales de FM (Ver Subsec. 4.3). Pero a diferencia del caso de la Subsección, en los registros experimentales se tienen fenómenos de resonancia con amortiguamiento debidos a que los materiales al vibrar variando las frecuencias en un rango determinado, coinciden y resuenan en algún armónico natural del sistema. Justamente, lo que se pretende al fijar el ritmo de cambio de la aceleración de los ejes es que las frecuencias no permanezcan demasiado tiempo en aquellas que provoquen resonancia en el material, disminuyendo con esto el riesgo de fractura.
En la representación de la SAF de la auto-DAF del registro de un régimen transiente de la
RK4, se puede observar que el comportamiento de la traza
formada por los autotérminos coincide con la de una señal de frecuencia modulada
linealmente. El valor de la pendiente
A diferencia de la pendiente, el valor
En el entendido de que el registro de entrada
con
Se computa la entre ambas
cuya marginal de frecuencia Mf es
de donde se desprende que b = -v. Empleando los valores encontrados de las constantes, se
compone la función
La forma del estimador con amplitud A = 1 será:
con
En la Fig. 11 se detalla gráficamente el proceso para
especificar la dinámica de las vibraciones del eje de rotación generadas durante
el arranque balanceado para el Experimento L, claramente se observa en
Figura 11 a1) Registro de datos de un arranque balanceado del experimento L. b) SAF de la auto-DAF del registro, donde se calcula la velocidad de cambio experimental de las frecuencias, m=4 = m0 = 1:9016. a2) Función de cambio de frecuencias diseñada por f(t) = m0t. c) Mf de la cruz-DAF entre la función a2) y el registro a1), el desplazamiento fuera del origen marca el valor de la ordenada b = 5:0794. a3) Gráfico de la función diseñada con f(t) = m0t+b. d) Marginal de frecuencia de la cruz-DAF entre las señales a3) y a1), la delta en cero confirma que la señal FM caracterizada por a3) aproxima los valores de los parámetros que definen el comportamiento de a1). Para una simulación con los datos obtenidos es preciso sumarle al tiempo t de la función a modelar, el tiempo t0, que indica el tiempo a partir del cual el cálculo de la transformada arroja datos válidos, esto es, t > t0 =j b=m0 j= 2:6711. Por debajo de este valor las frecuencias serán negativas.
5.3 Registros Compuestos
El monitoreo del desempeño en los diferentes regímenes de trabajo de los ejes de las máquinas de rotación para diagnosticar las condiciones físicas y dinámicas en las que se encuentran las barras, es indispensable para dar el mantenimiento preventivo necesario a los equipos. Los desbalances, que van desde los casi imperceptibles hasta aquellos que hacen oscilar al eje cerca de sus valores elásticos críticos, no pueden ser caracterizados con solo la función de ambigüedad, ya que un factor importante en el desbalace es la forma en la que se distribuye la energía en el plano fase tiempo-frecuencia. Sin embargo resulta interesante analizar, del Experimento A, el caso desbalanceado del régimen estable que se efectuó con el máximo desbalance controlado que permite la RK4 . El análisis del registro de la Fig. 12 produce la marginal de la Fig. 13 que muestra una composición diferente a la de las marginales para los casos estables porque no despliega una distribución de diferencias de frecuencias, sino que se dibuja una sola delta en el origen como en las señales de FM, y al representar la en la Fig. 14 se revela una señal compuesta por los dos regímenes transientes a dos diferentes tiempos, como tal, se hace necesario analizarlos por separado.
Figura 12 Registro de las vibraciones del eje bajo régimen estable para el Experimento A, con el máximo desbalance controlado que permite la RK4 .
Figura 13 AF(0,v) del registro 12. Esta marginal, como se puede observar, no pertenece al tipo de representaciones que producen las vibraciones de un eje que gira con velocidad angular constante como en la Fig. 8b). Pero si coincide con las de las marginales auto-DAF de las señales de FM.
Figura 14 Proyección en la superficie t - v de la auto-DAF de las vibraciones mostradas en las Fig. 12. Con trazas de auto términos diagonales similares a las dibujadas por las señales de FM.
El análisis para aproximadamente la mitad izquierda del registro procede de manera similar al caso mostrado en la Fig. 11, la marginal de frecuencia para esta primera parte, equivalente a 11c), manifiesta menor número de perturbaciones y mayor amplitud que la de la mitad derecha del registro. Gráficos que no se publican en el presente trabajo.
Al calcular las pendientes y ordenadas al origen se encuentra que las vibraciones inicialmente evolucionan frenando y en la segunda mitad del tiempo de muestreo lo hacen acelerando. Esto lleva a suponer que aunque el régimen es estable, el gran desbalance provoca deslizamientos de la barra en las chumaceras, por lo cual el comportamiento puede considerarse estrictamente inercial. La proyección sobre el plano
Con las pendientes y las ordenadas al origen obtenidas del procesado del registro completo, la de la Fig. 15 es generada con la siguiente función diseñada para la simulación:
Figura 15 Proyección en la superficie t - v de la auto-DAF de la simulación SC(t). Como señal compuesta, las perturbaciones únicamente se delinean entre los cruces horizontales de los auto términos.
6. Conclusiones
La superficie conformada por las variables conjugadas complejas de tiempo y frecuencia que genera la Transformada de Ambigüedad, se construye con la auto-correlación de datos de una señal o correlacionando datos de dos señales diferentes. Esta propiedad permite hacer análisis distintos según sea el caso. En el estudio de señales determinísticas sobre una señal, caracteriza la geometría y la dinámica del comportamiento de las vibraciones analizadas. Sobre dos señales, define los parámetros que permiten simular la evolución con funciones explícitas.
Los desafíos que se enfrentan al implementar el algoritmo de cómputo ocurren, al discretizar la forma continua, al construir la correlación entre los datos, al programar la forma analítica de la señal y al calcular la transformada de Fourier. Los anteriores pormenores resultan fundamentales para la forma de programación que se elija, que no está exenta de la capacidad para realizar el álgebra de quien afronta el problema.
El método de discretización de la empleando la sumatoria de Riemann, que converge a la forma integral de la transformada de Fourier, genera un espectro discreto de frecuencias en el espacio fase de ambigüedad.
Una de las ventajas del análisis con la estriba en que los autotérminos siempre están relacionados con el origen de coordenadas, lo cual hace que los análisis se efectúen en concordancia a su desviación de éste. Otra, respecto a la distribución de los términos interferentes en la , es que al ser la derivada parcial de la fase una frecuencia, la tasa de oscilación de los términos interferentes en la distribución de energía de Wigner-Ville es directamente proporcional a la distancia al origen en la Transformada de Ambigüedad. Entre mayor es la amplitud de los términos interferentes en el espacio de energía, mas delimitada será la concentración de las frecuencias que componen a la señal en el espacio ambigüo.
Las amplitudes usadas en las simulaciones requieren de relaciones proporcionales mediadas entre las amplitudes de las marginales de las y de las , debido a que en los registros reales existen una multitud de pequeñas marcas que no se consideran en las amplitudes finales diseñadas.
Particularmente en esta representación bilineal las marginales de frecuencia y de tiempo son básicas para el análisis integral en el dominio de las correlaciones. Es claro que la identificación completa de las señales de este tipo requieren simultáneamente de las realizaciones en el dominio de la distribución de energía.
La caracteriza bien las vibraciones mecánicas en el espacio fase tiempo-frecuencia del dominio de las correlaciones, constituye una herramienta muy útil en el monitoreo del estado de las máquinas de rotación.
