1.Introducción

Los dispositivos semiconductores son la base de la electrónica actual, por lo que es de suma importancia comprender todos los fenómenos que ocurren en dichos dispositivos. Para comprender los fenómenos físicos asociados con el flujo de corriente eléctrica y térmica en una estructura semiconductora, es muy importante comprender el establecimiento del equilibrio termodinámico en ella [¹-⁷], en especial en las estructuras metal-semiconductor pues son el tipo de contactos que aparecen en los dispositivos referidos [¹,²]. Sin embargo, en la literatura actual no hay una descripción detallada de dicho fenómeno en dichas estructuras siendo esa la motivación principal del presente artículo. En equilibrio termodinámico, en los materiales semiconductores, la relación entre la carga y campo eléctrico está dada por la ecuación de Poisson, y asociada a la solución de dicha ecuación aparece el radio de Debye (r _D ) para dichos materiales [⁵-⁷]. A su vez, el radio de Debye nos permite establecer si un material presenta el fenómeno de cuasineutralidad cuando se cumple la relación rD2≪L2 donde L es la longitud del material [⁸-¹¹]. En el fenómeno de cuasineutralidad, después del contacto entre semiconductor y metal, la redistribución de cargas eléctricas dentro del semiconductor solo se da en las primeras capas del material, que son del orden de r _D , y la diferencia de la nueva concentración de cargas volumétricas es tan pequeña respecto a la distribución de cargas original y en equilibrio que ya no es necesario resolver la ecuación de Poisson con condiciones de frontera, puesto que la densidad de carga volumétrica ρ se aproxima a cero (ρ ≈ 0), y con ello dicha ecuación pasa de ser una ecuación diferencial a una ecuación algebraica [¹¹]. La cuasineutralidad no es una técnica analítica de simplificación para obtener una solución analítica bien comportada. Es más bien un mecanismo fundamental físico con su propia manifestación. La cuasineutralidad es, p. ej., la causa por la que se forma una región cuasineutral en la inyección de portadores minoritarios en el equilibrio de las corrientes de difusión-arrastre [¹²,¹³], entre otros numerosos ejemplos posibles [¹³,¹⁴]. Enfatizamos que los portadores en corrientes fuera de equilibrio pueden moverse únicamente si dichos portadores forman un paquete cuasineutral [¹³]. En este caso, se manifestaran la difusión y arrastre ambipolar [¹³,⁵]. Desafortunadamente, muchos autores ([¹³]) reducen la aproximación de cuasineutralidad a la igualdad de concentración fuera de equilibrio de electrones y huecos, visión que es, en general, incorrecta y se mostrara más adelante. Los materiales semiconductores se clasifican en 3 tipos: material intrínseco en el que en todos los puntos del material la concentración de electrones de conducción es igual a la concentración p de huecos de valencia (n = p); los materiales tipo n en los que el número de impurezas donadores N _d es muy grande y el de impurezas aceptoras N_α es igual a cero (N_α = 0) por lo que, a temperaturas ambiente, en el material la concentración n >> p; por último, están los materiales tipo p en los que el número de impurezas aceptoras N_α es muy grande y el de impurezas donadoras N _d es igual a cero (N _d = 0) por lo que a temperaturas ambiente en el material la concentración p >> n.

Un muy importante parámetro en la estructura metal-semiconductor es la función de trabajo χ de un material, la cual se define como la distancia entre el nivel de Fermi µ del material y el nivel de energía de los electrones en reposo en el vacío y se denota por ε ₀ (ver Fig. 1).

La función de trabajo representa la cantidad de energía que es necesaria para extraer un electrón de una estructura [⁶,¹¹]. Al momento de producirse un contacto metalsemiconductor, se produce un potencial de contacto ϕ _C (build-in electric-field) proporcional a la diferencia de las funciones de trabajo de ambos materiales y se pueden dar dos escenarios: 1) si la función de trabajo del metal χ _m es mayor al del semiconductor χ _s (χ _m > χ _s ) pueden pasar dos situaciones, si el semiconductor es un material tipo n entonces del lado del semiconductor la concentración n de electrones de conducción en la interfaz ser a menor a la concentración n ₀ de electrones lejos de la unión, formándose en el semiconductor la capa de agotamiento (ver Fig. 2), mientras que si el semiconductor es un material tipo p la concentración de huecos p cerca de la unión es mayor a la concentración de huecos p ₀ lejos de la unión y se forma una capa enriquecida; 2) si la función de trabajo del metal χ _m es menor al del semiconductor χ _s (χ _m < χ _s ) y el semiconductor es tipo n entonces del lado del semiconductor la concentración de electrones de conducción en la interfaz ser a mayor a la concentración n ₀ de electrones lejos de la unión, y se forma la capa enriquecida, pero si el semiconductor es tipo p se forma una capa de agotamiento pues la concentración p de la unión es menor a la concentración p ₀ en el resto del material. En todo este proceso juega un papel importante el efecto termoiónico, en el cual los electrones obtienen una energía mayor a la barrera de energía alrededor del material y pueden salir del cristal [¹¹]. Una descripción más amplia y detallada de lo anteriormente expuesto se puede encontrar en [¹,¹¹].

La estructura del presente artículo es el siguiente: en la Sec. 2 se hizo un análisis de un material semiconductor bipolar sin contactos, se presentan los conceptos de niveles de Fermi para electrones de conducción y huecos de valencia (µ _n y µ _p , respectivamente), las expresiones matemáticas que las definen, así como su relación con la concentración de dichas causipartículas. En la Sec. 3 se realizó el análisis del material semiconductor bipolar con contactos metálicos en sus extremos que corresponde al caso de un circuito cerrado. Se soluciona la ecuación de Poisson para dicho caso general y se obtiene una expresión general para r _D , para posteriormente hacer análisis particulares de los materiales tipo n, p e intrínseco. En la Sec. 4 se estudió el fenómeno de cuasineutralidad en los sistemas anteriormente analizados. En la Sec. 5 se presentan las conclusiones.

2. Semiconductor Bipolar sin contactos metálicos

El electrón de conducción es la cuasipartícula que representa a los electrones que han ocupado estados en la banda de conducción, teniendo un comportamiento similar al de una partícula libre y con una masa efectiva m _n positiva pero diferente a la del electrón libre [¹¹]. La función de distribución de dicha cuasipartícula obedece la distribución Fermi-Dirac, y está dada en términos de la energía E por la expresión

en donde µ _n es el potencial químico (nivel de Fermi) y T la temperatura en unidades de energía. La concentración de dichas cuasipartículas por unidad de volumen está dada por la expresión

donde v _n es la concentración de estados por unidad de volumen en la base de la banda de conducción y es igual a vn=(1/4)(2mnT/πℏ2)3/2 y μn*=μn/T . En el modelo de bandas a la parte inferior de la banda de conducción se le asigna el nivel de energía cero del sistema por lo que µ _n < 0 (Fig. 3).

Los huecos de valencia son las cuasipartículas que representan a los estados cuánticos libres que aparecen debido al movimiento de electrones en la banda de valencia. La función de distribución para dicha cuasipartícula también obedece a la distribución Fermi-Dirac y es igual a

y la relación entre f0E y f0'E es f0'(E)=1-f0(E). Una forma alternativa a la Ec. (3) se obtiene al introducir la energía de hueco E’ = −E − E _g donde E _g (banda prohibida del material) es la distancia entre las bandas de valencia y conducción del material, y el potencial de hueco µ _p que es igual a µ _p = −µ _n − E _g . La Ec. (3) toma la forma

En el nuevo sistema de referencia de E’ la energía se mide desde la banda de valencia y en dirección hacia abajo por lo que µ _p < 0. La concentración de huecos por unidad de volumen es igual a

donde v _p es la concentración de estados por unidad de volumen en la banda de valencia y es igual a vp=(1/4)(2mpT/πℏ2)3/2 y μp*=μp/T .

En la Figs. 3 y 4 se muestra un esquema de las bandas de conducción y valencia de un material semiconductor, así como su banda prohibida asociada. De dicha grafica se observa que µ _n + µ _p = −E _g . Además la gráfica muestra un material intrínseco en el que no hay impurezas N _d = N_α = 0 y en donde la concentración de electrones n y huecos p es la misma en todos los puntos del material (n = p = n _i ) donde n _i se conoce como concentración intrínseca. En la Ref. 11 se demuestra que ni2=vnvpexp⁡(Eg/T).

Sea un material semiconductor bipolar, esto quiere decir que esta dopado dicho material tanto con impurezas aceptoras N_α , como con impurezas donadoras N_d . Para el siguiente análisis se considera al material sin contactos metálicos (circuito abierto). Si el material se encuentra en equilibrio termodinámico, se cumple la condición de neutralidad electrónica la cual puede expresarse como

en donde n _d es la concentración de electrones a nivel donador y p_α es la concentración de huecos en el nivel aceptor. En [¹¹] se expresan las expresiones para dichas concentraciones son iguales a

donde Ed*=Ed/T,  Ea*=Ea/T. A su vez E _d , E _α , son los niveles de energía donador y aceptor respectivamente y si cumplen con la condición E _d << E _g , |E _v + E _g | << E _g (esto es, dichos niveles están dentro de la banda prohibida) se les conoce como niveles rasantes. En la Fig. 5 se muestra esquemáticamente dicha situación.

La Ec. (6) es una ecuación que está completamente en términos de μn* pero su solución analítica es imposible de encontrar, por lo que se toman los casos limites más interesantes.

Ahora se analiza el caso de los materiales tipo intrínseco, n, y p a bajas y altas temperaturas.

En el caso del material intrínseco las concentraciones n = p (las cuales se pueden denotar como n _i , p _i ) y al no existir impurezas en dicho material (N_α = 0, N _d = 0) también p_α = 0, n _d = 0. En la Ref. 11 se demuestra que para cualquier temperatura T el valor de μn* está dado por la expresión μn*=-(εg/2T)+(3/4)ln⁡(mp/mn) donde m _p , m _n son las masas efectivas de los huecos de valencia y electrones de conducción respectivamente. A cualquier temperatura es válida la doble igualdad np=ni2=vnvpexp⁡(Eg/T) donde n, p son las concentraciones de electrones y huecos para cualquier semiconductor dopado.

En un material tipo n se tiene N_α = 0, N _d ≠ 0 y la ecuación de neutralidad electrónica toma la forma

A una temperatura no muy alta, no hay transición de electrones de la banda de valencia a la banda de conducción, los únicos electrones que pasan a banda de conducción provienen del nivel donador por lo que n >> p y sustituyendo las Ecs. (2) y (7) en Ec. (9) se obtiene la expresión

Calcular μn* a partir de dicha expresión es complicado pues se tiene que resolver una ecuación algebraica en términos de exp⁡(μn*) por lo que se consideraran casos límites de la temperatura que nos ayudaran a simplificar los cálculos. Primero se considera el caso de muy bajas temperaturas donde hay un mínimo de transiciones de electrones entre el nivel donador hacia la banda de conducción. En dicho régimen de temperatura se cumple la desigualdad

y aplicando la desigualdad de la Ec. (11) en Ec. (10) se obtiene la siguiente expresión para µ _n a muy bajas temperaturas

Sustituyendo el valor de µ _n obtenido en la Ec. (12) en la Ec. (2), se obtiene la concentración para electrones de conducción en el material a muy bajas temperaturas

Ahora se analiza el caso a una temperatura T más alta, tal que solo haya transiciones de electrones del nivel donador a la banda de conducción pero no haya transiciones de la banda de valencia a la de conducción. En dicho caso se cumple la desigualdad

y a partir de dicha desigualdad se puede obtener de la Ec. (10) la siguiente expresión para µ

y sustituyendo la Ec. (15) en la Ec. (2) se obtiene el siguiente resultado para la concentración de electrones a temperaturas intermedias donde solo hay transiciones del nivel donador a la banda de conducción:

donde cabe notar que en la Ec. (16) n no depende de la temperatura.

Ahora se analiza un material tipo p; en dicho material N _α ≠ 0, N _d = 0 y la ecuación de neutralidad electrónica toma la forma

A bajas temperaturas no hay transición de electrones de la banda de valencia a la banda de conducción, los únicos electrones que pasan a banda de valencia provienen del nivel aceptor por lo que p >> n y sustituyendo las Ecs. (5) y (8) en (17) se obtiene la expresión

Al igual que para el análisis del material tipo n, se tomaran casos límite de temperatura para simplificar los cálculos de µ _p . Para el caso de muy bajas temperaturas hay un mínimo de transiciones de electrones de la banda de valencia hacia el nivel aceptor. En ese rango de temperaturas se cumple la desigualdad

A partir de dicha desigualdad se puede obtener de la Ec. (18) la siguiente expresión para µ _p :

y sustituyendo en la Ec. (5) se obtiene la siguiente expresión para la concentración de huecos de valencia:

Ahora se analiza el caso donde las temperaturas son lo suficientemente altas para que haya transiciones electrónicas de la banda de valencia a los niveles aceptores de energía pero no tan altas como para que haya transiciones de la banda de valencia a la banda de conducción. En dicho régimen se cumple la desigualdad

y de la Ec. (18) se obtiene la siguiente fórmula para µ _p ;

y sustituyendo en la Ec. (5) se obtiene la expresión para la concentración de huecos de valencia en este régimen de temperaturas

que al igual que la Ec. (16) tampoco depende de la temperatura.

Finalmente dos comentarios: a) para el caso de muy altas temperaturas tanto el semiconductor tipo n, como el tipo p, presentan un comportamiento similar al del semiconductor intrínseco [¹¹]; b) Por otra parte, en la Ref. [¹⁶] se muestra que una clase bastante grande de materiales semiconductores con estructuras cristalinas sueltas (tipo ln₂ Te ₃), tienen específicamente una alta estabilidad a la radiación. En la misma investigación se muestra que las impurezas en esos materiales semiconductores se deben a latices vacíos en estados atómicos no ionizados y consecuentemente es imposible crear conductividades de tipo p o n en dichos semiconductores.

3. Semiconductor Bipolar con contactos metálicos

Ahora se analiza a un semiconductor bipolar con contactos metálicos en sus extremos, lo que corresponde al caso de un circuito cerrado. En la Fig. 6 se muestra el diagrama de dicho sistema, el cual tiene un tamaño L.

Los términos de concentración de portadores debido al intercambio de electrones entre el metal y el semiconductor toman la forma p = p(x) = p ₀ + δp ₀(x),

donde p0,n0,nd0,pa0 son las concentraciones de portadores en equilibrio antes del contacto metal- semiconductor y cuyas expresiones son iguales a las vistas en la sección pasada (Ecs. (2), (5), (7) y (8) respectivamente). Dichas concentraciones cumplen con la condición de neutralidad eléctrica dada en la Ec. (6) y δp0(x),δn0(x),δnd0(x) son las variaciones en las concentraciones de los portadores después de la unión metal-semiconductor. Notar que en el nuevo sistema las concentraciones dependen de la posición x. La ecuación de Poisson es igual a

donde ϕ = ϕ(x) = ϕ ₀ + δϕ ₀(x) siendo ϕ ₀ el potencial de contacto que aparece entre metal y semiconductor y e = −1.6 × 10⁻¹⁹ C (carga eléctrica del electrón). Después de establecida la unión entre metal y semiconductor la condición de equilibrio termodinámico es igual a la igualdad del nivel de Fermi a ambos lados del contacto. El nuevo nivel de potencial químico μn(x)=μn0+δμn0(x) también depende de la posición. Por la condición de igualdad del potencial electroquímico (nivel de Fermi, φ~=μ-eφ)) en [¹¹,¹⁴] se demuestra que el potencial de contacto ϕ ₀ es igual a

donde ϕ ₀ no depende de x, µ _m es el nivel de Fermi del metal y ∆E _C es la diferencia entre la base de la banda de conducción del metal y la base de la banda de conducción del semiconductor. En la Fig. 7 se muestra la situación de equilibrio termodinámico en el contacto metal semiconductor.

Para el resto del análisis se considera la aproximación lineal en la que χ _s ≈ χ _m , y dado que χ _s − χ _m = µ _m − µ _n (ver Ref. 11) se puede considerar que la variación del nivel de Fermi respecto al equilibrio es muy pequeña por lo que δµ _n (x)/T ¿ 1. Si se sustituye μn(x)=μn0+δμn(x) en la Ec. (2) y se toma la primera aproximación se obtiene

y de manera similar si se sustituye μp(x)=μp0+δμp0(x) en la Ec. (5) y se toma la primera aproximación para p(x) se obtiene

De la condición µ _n + µ _p = −E _g , la cual siempre se cumple (tanto antes como después de establecido el contacto entre materiales), se obtiene δµ _n (x) = −δµ _p (x). Por tanto el valor de δp ₀(x),δn ₀(x) será igual a

De manera similar, si se sustituye μn(x)=μn0+δμn(x) en las Ecs. (7) y (8), se toman las primeras aproximaciones y después se hacen algunas manipulaciones algebraicas se obtienen las siguientes expresiones para δpa0(x),δnd0(x)

Tomando en cuenta que (d ² ϕ/dx ²) = (d ² δϕ/dx ²) puesto que ϕ ₀ no depende de x, sustituyendo en la ecuación de Poisson de la Ec. (26) las Ecs. (30)-(33) y tomando en cuenta la condición de neutralidad dada por la Ec. (6) se obtiene

donde k ² es igual a

Al estar en equilibrio termodinámico, el sistema no presenta corriente eléctrica por lo que se cumple la condición δµ _n (x) − eδϕ = c, donde c es una constante [¹¹]; derivando dos veces ambos lados de dicha ecuación se obtiene la igualdad

y sustituyendo la anterior condición en la Ec. (34) se obtiene

La Ec. (36) es una ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes cuya solución se puede encontrar asociando una ecuación algebraica con los mismos coeficientes de la ecuación diferencial original [¹⁷]. La solución δµ _n (x) de la Ec. (36) está dada por la expresión

y sustituyendo en la condición δµ _n (x) − eδϕ = c se obtiene

Para el cálculo de C, C ₁ y C ₂ se ocupan las siguientes condiciones de frontera que representan la continuidad de los potenciales eléctricos ϕ y electroquímicos φ~ en los contactos x=±(L/2):

A partir de dichas condiciones de frontera, se obtienen las siguientes expresiones para δµ _n (x), δϕ(x)

Una vez obtenidas dichas expresiones y recordando la relación entre el radio de Debye r _D y el potencial eléctrico ϕ que aparece en [⁵,⁶] se puede escribir la ecuación

y al sustituir la Ec. (38) en la Ec. (39), se encuentra que el valor de r _D es igual a

Sustituyendo la Ec. (35) en la Ec. (40) se obtiene

y las soluciones δµ _n (x), δϕ(x) toman la forma

4. Fenómeno de cuasineutralidad en estructuras metal-semiconductor-metal

La cuasineutralidad es la condición en la cual la redistribución de cargas debido a alguna alteración del equilibrio es tan pequeña la nueva distribución de carga es prácticamente similar a la que se tenıa originalmente. De acuerdo a [¹¹], dicha condición se cumple si

Mientras que si L2≫rD2, entonces se presenta una redistribución de los portadores de carga bastante significativa. Para el caso que nos ocupa, se evalúan las expresiones para δµ _n (x), δϕ(x) dadas en las Ecs. (42) y (43) con la desigualdad de la Ec. (61) y se obtienen los limites δϕ ₍ x) → ϕ ₀, δµ _n (x) → 0 y por tanto las variaciones en la concentración de todos los portadores δp ₀(x), δn ₀(x), δnd0(x), δpa0(x) también tienden a cero pues en la Sec. 3 se demostró que todas son proporcionales a δµ _n (x). Lo anterior implica que en cuasineutralidad se tiene una carga volumétrica total ρ ≈ 0 y un potencial ϕ ₀ que es constante en todo el material excepto en la unión metal semiconductor donde se presenta una discontinuidad debido a que ϕ = 0 en el metal. Diferentes perfiles de δϕ(x) para distintos casos de la relación L/r _D , incluyendo el caso de cuasineutralidad antes discutido, se presentan en la Fig. 8.

La condición de cuasineutralidad para un material tipo n a muy bajas temperaturas se obtiene al sustituir la ecuación para rD2 de la Ec. (48) en la desigualdad de la Ec. (61) con lo que se obtiene

y para un material tipo n a temperaturas intermedias la condición de cuasineutralidad se obtiene al sustituir la ecuación para rD2 de la Ec. (51) en la desigualdad de la Ec. (61)

Para el material tipo p a muy bajas temperaturas y a temperaturas intermedias, la condición de cuasineutralidad se obtendrá al sustituir las Ecs. (56) y (59) para rD2 , respectivamente, en la desigualdad de la Ec. (61) obteniéndose para un material tipo p a muy bajas temperaturas la desigualdad

y a temperaturas intermedias la desigualdad

Por último la condición de cuasineutralidad para un material intrínseco se obtiene al sustituir la Ec. (60) en la Ec. (61),

5. Conclusiones

Se obtuvieron expresiones generales para la concentración de portadores en un material semiconductor bipolar con contactos metálicos y se obtuvo también una expresión general para el radio de Debye r _D , la cual es inversamente proporcional a las concentraciones de portadores en equilibrio p ₀, n ₀, nd0, pa0. Se realizó el análisis de concentración de portadores del material para el régimen de muy bajas temperaturas y temperaturas intermedias donde solo hay transiciones entre los niveles rasantes de impurezas y las bandas de energía del material. Se obtuvieron condiciones de cuasineutralidad para los materiales tipo n, p e intrínseco en términos de la concentración de átomos dopantes y de portadores de carga. En todos los casos se encuentra que el fenómeno de cuasineutralidad se presenta en una relación inversamente proporcional entre la concentración de átomos dopantes y de portadores de carga y la longitud L del material semiconductor.

Se examinó la perdida lineal correspondiente a cuando se presenta una diferencia pequeña entre las funciones de trabajó del metal y el semiconductor; en caso de no presentarse dicha diferencia pequeña, es necesario resolver la ecuación de Poisson no lineal [¹¹]. Todas las conclusiones cualitativas obtenidas siguen siendo válidas con respecto a [¹⁸,19].