Artículo

 

Modelo de un grado de libertad para evaluar la curva carga lateral-distorsión en muros de mampostería confinada

 

Sulpicio Sánchez¹, Roberto Arroyo¹ y Sandra Jerez²

 

¹ Universidad Autónoma de Guerrero. Av. Lázaro Cárdenas s/n. Ciudad Universitaria. Col La Haciendita, 39000, Chilpancingo, Gro, México. Email: sstizapa@hotmail.com, arroyomatus@hotmail.com

² Escuela Colombiana de Ingeniería. AK.45 No.205-59, Autopista Norte, A.A. 14520, Bogotá, DC, Colombia. Email: sjerez2004@yahoo.com

 

Recibido el 12 de enero de 2010
Aceptado el 5 de noviembre de 2010

 

Resumen

Este artículo presenta un modelo simple para evaluar la curva de carga lateral-distorsión en ensayes de muros de mampostería confinada. El modelo propone sustituir la mampostería por un elemento resorte, cuyas propiedades mecánicas son obtenidas mediante pruebas en paneles de mampostería sujetos a tensión diagonal. De esta manera, un muro de mampostería (integrado por castillos y mampostería) es modelado como un sistema equivalente de un grado de libertad con desplazamiento lateral, cuya respuesta es obtenida mediante un análisis estático no lineal, considerando exclusivamente deformaciones de cortante. La comparación con resultados experimentales obtenidos en México para muros y sistemas estructurales ensayados bajo carga cíclica lateral muestran la capacidad del modelo, que tiene aproximación aceptable hasta una distorsión igual a 0.45 % para muros elaborados con tabique rojo recocido y 0.35 % para muros elaborados con piezas de concreto. Ambos valores son mayores que el permisible definido en el Reglamento del Distrito Federal. Adicionalmente, los resultados tienen una aproximación similar a la obtenida en modelos complejos de elemento finito, columna ancha y puntales de compresión.

Palabras Clave: mampostería confinada; deformación de cortante; sistema equivalente; carga lateral.

 

Abstract

This paper shows a simple model to evaluate the backbone curve of confined masonry walls (CMW) tested under lateral load. In this way, the shear stress vs. shear strain relationship obtained from the diagonal tension tests is used to model the masonry behavior by means of a spring element. Then, a single degree of freedom equivalent system, which takes account only the shear horizontal deformations, represents the concrete tie-column and masonry elements. A non-linear static analysis is developed in order to evaluate the backbone curve. Experimental results of CMW and structural systems tested in Mexico are used to compare the numeric results. Thus, the model has an adequate agreement until a distortion equal to 0.45 % or 0.35 % for CMW built from solid clay bricks or concrete blocks, respectively. Both values are greater than the permissible distortion proposed by the Mexico City Code. Besides, the results agreement is similar to that obtained from numerical models developed by means of the finite element method, wide column model, or equivalent strut model.

Key Words: confined masonry walls; diagonal tension; backbone curve; solid clay brick; distortion.

 

Introducción

Los muros de mampostería confinada son utilizados en la construcción del 70% de viviendas y/o edificios habitacionales en México (INEGI, 2005; Rodríguez, 2009). Sin embargo, las piezas utilizadas pueden presentar una variación de hasta 40% en sus propiedades mecánicas (Sánchez, 2009; Meli y Hernández, 1971) dificultando la evaluación de la seguridad estructural de las edificaciones construidas con este material, especialmente en la costa del Pacífico mexicano donde las fuerzas sísmicas laterales pueden representar hasta 43% del peso de las construcciones (GEG, 1989).

Por lo anterior, es importante contar con herramientas simples que permitan evaluar la envolvente de respuesta de los muros de mampostería sujetos a carga lateral. Para garantizar su utilidad y evitar ensayes de muros a escala real, en zonas donde no existen instalaciones adecuadas, dichas herramientas deben basarse en propiedades mecánicas evaluadas en pruebas de especímenes a escala reducida (pilas y/o muretes) elaboradas con las mismas piezas utilizadas en la construcción de los muros.

Una propuesta de este tipo, basada en el esfuerzo cortante obtenido en la prueba de tensión diagonal, ha sido presentada por Riahi, Elwood y Alcocer (2009). Los autores realizaron un análisis estadístico de las curvas esfuerzo cortante-distorsión para un extenso tipo de ensayes de muros elaborados con piezas de arcilla y concreto. Así, ellos propusieron una curva de comportamiento tri-lineal definida por tres pares de valores esfuerzo cortante y distorsión, los cuales están asociados al agrietamiento, máximo esfuerzo cortante y distorsión última. La aplicación del modelo requiere la relación altura/longitud del muro, esfuerzo vertical actuante, resistencia a compresión de la mampostería y concreto así como las propiedades del acero transversal.

A diferencia del modelo anterior calibrado de forma estadística, el modelo aquí desarrollado evalúa la curva envolvente carga lateral - distorsión a partir de la mecánica de materiales y está basado en la siguiente información:

1. Comportamiento de muros de mampostería referenciados por Aguilar (1997), Flores (1995), Hernández y Urzua (2002), Sánchez (2009) y Treviño et al. (2004),

2. Curva esfuerzo cortante-deformación de cortante obtenida en pruebas de tensión diagonal según Sánchez (2009),

3. Evaluación de la carga resistente lateral según Sánchez y Mebarki (2009).

De esta forma, el muro confinado sujeto a carga lateral y esfuerzo vertical mostrado en la Figura 1a puede modelarse según la Figura 1b, donde k_M es la rigidez de la mampostería sobre la diagonal y k_C es la rigidez lateral de los castillos. Considerando que el muro sufre exclusivamente deformaciones de cortante generadas por la carga lateral, el sistema puede modelarse como un sistema con elementos en paralelo y un solo grado de libertad representado por el desplazamiento lateral, Figura 1c. El modelo supone la falla simultánea de ambos castillos cuando se alcanza la fuerza cortante asociada al momento de fluencia.

 

Comportamiento de la mampostería

Las propiedades mecánicas del elemento resorte, utilizado para modelar la mampostería, son evaluadas a partir de las curvas esfuerzo cortante-deformación tangencial registradas en pruebas de tensión diagonal. La Figura 2, obtenida en muretes elaborados con tabique rojo recocido (Sánchez, 2009), muestra que la respuesta puede representarse por una curva con comportamiento lineal hasta el esfuerzo máximo v_m asociado a la deformación tangencial γ_m, mientras que el segundo punto es definido por el esfuerzo máximo v_m y la deformación tangencial última, γ_u, ver Tabla 1, según Sánchez (2009).

En otro orden, según los resultados experimentales referenciados por Sánchez (2009) y Gabor et al. (2006), la deformación horizontal en los ensayes de tensión diagonal es despreciable respecto a la deformación vertical. Por lo tanto, el acortamiento vertical δ_vi de la longitud de control L_v, correspondiente a un valor de deformación tangencial γ_vi, está definido por la Ecuación uno (ASTM 2007). En el rango lineal, la deformación tangencial γ_vi es obtenida mediante la Ecuación dos, donde G_m es el módulo de corte de la mampostería. Por otro lado, la carga actuante es definida por la Ecuación tres, donde A_d es el área diagonal del panel y v_i es el esfuerzo cortante asociado a la deformación tangencial γ_vi. Así, la Figura 3a muestra la curva idealizada carga vertical-desplazamiento vertical para el panel ensayado. Las variables v, G_m y A_d son datos obtenidos en la prueba de tensión diagonal, ver Tabla 1 y Figura 2.

     (1)

     (2)

     (3)

La Figura 3a, obtenida con los resultados de la prueba de tensión diagonal, puede transformarse para obtener la curva de comportamiento del elemento resorte, Figura 3b, cuyos parámetros ya están definidos en la dirección horizontal. Según la Figura 1a y 1b, el desplazamiento de agrietamiento δ_agr evaluado con la Ecuación uno se proyecta en la dirección horizontal mediante la Ecuación cuatro, donde γ_m está asociado al esfuerzo cortante v_m y es obtenido con la Ecuación dos. Por otro lado y a falta de valores experimentales adicionales fue propuesta la Ecuación cinco, donde γ_ult es definida en la Tabla 1. En las Ecuaciones cuatro y cinco L_dm y β son la longitud de la diagonal del muro y su ángulo respecto a la vertical, ver Figura 1b.

     (4)

     (5)

Por otro lado, la carga de agrietamiento es evaluada mediante la Ecuación seis presentada originalmente por Sánchez y Mebarki (2009) y modificada mediante los factores F₁ y F₂ obtenidos mediante calibración experimental en función del tipo de pieza, ver Tabla 2. Los otros términos son: σ, esfuerzo vertical actuante; A_dm, área de la diagonal de la mampostería; v_r cortante resistente evaluado con la Ecuación ocho. El parámetro f, evaluado con la Ecuación siete y calibrado experimentalmente, relaciona la rigidez vertical de la mampostería respecto a la rigidez vertical del muro (Sánchez, 2009), donde A_m y E_m son el área horizontal y módulo elástico de la mampostería mientras que A_c y E_c son el área y módulo elástico de los castillos. La Ecuación ocho fue obtenida a partir de resultados experimentales de 34 muros elaborados con piezas de concreto y arcilla considerando la ecuación propuesta por Sánchez y Mebarki (2009), ver Apéndice A.

     (6)

     (7)

     (8)

Finalmente, la carga última de la mampostería V_ult asociada al desplazamiento δ_ult evalúa la aportación de la mampostería y del esfuerzo vertical según la Ecuación nueve (Sánchez y Mebarki, 2009). De esta manera, la rigidez de la curva de comportamiento mostrada en la Figura 3b es calculada con los valores V_agr, δ_agr, V_ult y δ_ult.

     (9)

 

Comportamiento de los castillos

Según Tomazevic (2000), la rigidez de los muros de mampostería es la sumatoria de la rigidez del marco de concreto y la mampostería. En este caso, el elemento resorte definido anteriormente proporciona la rigidez de la mampostería; sin embargo, falta por evaluar la rigidez de los castillos. De acuerdo a la Figura 4a obtenida con resultados experimentales, (Sánchez, 2009), la dala superior de concreto no tiene acortamiento axial y se comporta como cuerpo rígido, el cual es representado por el mismo desplazamiento horizontal de ambos extremos mientras que los desplazamientos verticales en los castillos son despreciables. Así, se considera una posición deformada similar a la propuesta por Zúniga y Terán (2008) para el modelo de columna ancha, donde la rigidez lateral de los castillos k_C es evaluada con la Ecuación 10, siendo H la altura del muro, Figura 4b.

     (10)

En la ecuación 10, el termino EI es variable durante el proceso de carga según la Figura 5. En la primera fase tiene comportamiento lineal hasta el momento de agrietamiento y en la segunda fase se considera la rigidez secante entre el origen y el punto asociado a la fluencia (M_y, θ_y) según Tomazevic (2000). El cálculo del diagrama momento-rotación requiere la definición de la ley constitutiva del concreto y del acero, así como de la distribución del acero longitudinal y transversal. En este trabajo fue utilizado el modelo de Kent y Park modificado (Kent y Park, 1971; Ewing y Kowalsky, 2004). Finalmente, la Ecuación 11 evalúa el cortante V asociado al momento de agrietamiento o al de fluencia (M_agr, M_y), donde H es la altura de los castillos.

     (11)

 

Procedimiento de análisis

La principal ventaja del modelo es la simplicidad del análisis como lo muestra la Tabla 5. El proceso puede resumirse en los siguientes pasos (Priestley, Seible y Calvi, 1996):

1. Obtener la matriz de rigidez de la estructura a partir de la rigidez de los elementos en función de la relación rigidez-deformación, Figuras 3b y 5. Ambos materiales tienen comportamiento lineal en el primer incremento.

     (12)

2. Aplicar una fuerza lateral unitaria,

3. Evaluar el desplazamiento de la estructura,

     (13)

4. Obtener el cortante en cada elemento asociado a la fuerza unitaria, en la Ecuación 14, k_i es la rigidez de cada elemento,

     (14)

5. Calcular el parámetro α para cada elemento, Ecuación 15, donde V_S es el cortante resistente asociado al próximo punto de la curva de capacidad y V_T es el cortante total acumulado hasta el paso anterior,

     (15)

6. Evaluar el incremento de cortante (ΔV_EL) para cada elemento en función del menor valor de α obtenido y actualizar el cortante total (V_T),

     (16)

     (17)

7. Evaluar el incremento de desplazamiento (Δ) en función del valor de α elegido y actualizar el desplazamiento total acumulado (Δ_T),

     (18)

     (19)

8. Regresar al primer paso.

El proceso termina cuando todos los elementos ha alcanzado su capacidad. Finalmente, la curva de capacidad se obtiene al graficar la distorsión contra la fuerza cortante para cada incremento del análisis. La distorsión es la razón desplazamiento lateral (Δ) y altura (H) del muro, Ecuación 20.

     (20)

 

Resultados

El modelo es aplicado a muros y sistemas estructurales construidos con tabique rojo y a muros construidos con piezas de concreto. La Tabla 3 presenta los datos necesarios para evaluar la rigidez del elemento resorte y el término EI de los castillos según las Figuras 3b y 5. La información experimental fue obtenida de Aguilar (1997), Hernández y Urzua (2002), Sánchez (2009) y Treviño et al. (2004).

La Tabla 4 presenta características adicionales de los castillos y mampostería requeridos para aplicar el modelo al muro MUR2 elaborado con tabique rojo recocido, el cual fue ensayado ante carga cíclica lateral sin carga vertical (Sánchez, 2009). La Tabla 5 contiene el análisis realizado en 4 incrementos de carga, en el primer incremento ocurre el agrietamiento de los castillos, en el segundo incremento se agrieta la mampostería, en el tercer incremento falla la mampostería y en el cuarto incremento se alcanza la falla de los castillos. Las curvas experimental y numérica son presentadas en la Figura 6a, que muestra la buena aproximación del modelo propuesto.

La Figura 6b muestra los resultados del modelo para el muro M2 elaborado con tabique rojo recocido y ensayado ante carga lateral y esfuerzo vertical (Aguilar, 1997). La Figura 7a contiene la curva media experimental de tres muros elaborados con bloques macizos de jal-cemento sujetos a carga lateral y vertical así como la respuesta numérica (Hernández y Urzua, 2002). En forma similar, la curva media experimental obtenida en el ensaye de carga lateral de 4 muros elaborados con bloques huecos de concreto para un armado específico de los castillos (4 varillas No 3 y estribos No 2) así como la correspondiente curva numérica son presentadas en la figura 7b; la figura 8a muestra los resultados de muros construidos con las mismas piezas cuando se utilizaron armaduras prefabricadas en los castillos (Treviño et al., 2004).

La Figura 8b contiene los resultados obtenidos en el ensaye de un sistema estructural formado por dos muros de tabique rojo recocido sujetos a carga vertical, cuya geometría está definida en la Figura 9 (Ishibashi y Kastumata, 1994). La aplicación del modelo para este sistema no tiene ninguna dificultad adicional y la aproximación es aceptable, aunque no puede garantizarse la correcta sucesión del mecanismo de colapso. Los muros referenciados en la Figura 8b son presentados en la Figura 9. Finalmente, el modelo tiene una buena aproximación para la estructura tridimensional elaborada con muros de tabique rojo recocido probada por Sánchez, Alcocer y Flores (1996) según la Figura 10a.

La aproximación del modelo es evaluada con la Ecuación 21, donde μ define la razón del valor numérico (V_num) respecto del valor experimental (V_exp) de seis parámetros: rigidez elástica, carga y distorsión al agrietamiento, carga asociada a la distorsión permisible (0.25 %), carga asociada a la distorsión de 0.35 % y carga máxima. En todos los casos presentados, la rigidez elástica fue evaluada entre los dos primeros puntos (positivo y negativo) de las curvas mientras que los parámetros restantes son evaluados en las dos envolventes (positiva y negativa).

     (21)

El valor de μ para las variables de control son presentados en la Tabla 6, la última parte contiene el numero de datos, valor medio, coeficiente de variación y coeficiente de determinación. Los resultados muestran que la rigidez elástica y la distorsión al agrietamiento tienen el mayor coeficiente de variación, CV = 0.35 con valores medios de 1.31 y 0.66; en los parámetros restantes el valor medio está entre 0.97 y 1.00 y el coeficiente de variación no excede CV = 0.08. El coeficiente de determinación CR², evaluado con la Ecuación 22, tiene valores semejantes a los obtenidos por Riahi, Elwood y Alcocer (2009) excepto para la rigidez elástica.

     (22)

     (23)

En la Ecuación 22, CR² es el coeficiente de determinación, y_i es el valor numérico de la variable en estudio, es el valor calculado de la variable mediante la Ecuación 23, n es el numero de datos, b_o y b₁ son los parámetros de la ecuación de ajuste lineal de mínimos cuadrados y x_i es el valor experimental del parámetro analizado (Canavos, 1999).

De las estructuras aquí referenciadas, dos han sido anteriormente analizadas mediante otro tipo de análisis. Así, los elementos confinantes y la mampostería del sistema estructural WWW fueron modelados por Coral (2004) mediante elementos 1-D; esta misma estructura fue analizada por Álvarez (2000) mediante el método de elemento finito mediante un modelo de grieta giratoria y considerando que la mampostería es homogénea ante esfuerzos de tensión. La estructura 3-D, adicional al análisis de Coral (2004) realizado con los mismos principios del sistema WWW, fue analizada por Zúñiga y Terán (2008) mediante el modelo de columna ancha a partir de propiedades mecánicas obtenidas en ensayes previos de muros a escala real.

Mientras que en el análisis de los modelos WWW y 3-D fue necesario utilizar programas como el DRAIN2D (Coral, 2004), SBETA (Álvarez, 2000) y SAP2000 (Zúñiga y Terán, 2008), que indica cierta complejidad del análisis, la simplicidad del modelo aquí desarrollado permite su implementación en una hoja electrónica de cálculo con resultados similares, ver Figuras 10b y 11.

 

Conclusiones y comentarios

Bajo la hipótesis que la carga lateral aplicada en muros de mampostería confinada genera exclusivamente una deformación de cortante, un modelo simplificado con un grado de libertad asociado al desplazamiento lateral fue desarrollado, éste supone la falla simultánea de los castillos por efecto cortante cuando alcanzan el momento flexionante de fluencia. Así, la mampostería es sustituida por un elemento 1-D ubicado sobre la diagonal del muro con comportamiento (carga lateral-desplazamiento lateral) bi-lineal obtenido en la prueba de tensión diagonal de muretes y considerando el efecto de carga axial. La aproximación de los resultados es aceptable para muros y sistemas estructurales elaborados con las mismas piezas utilizadas en las pruebas de tensión diagonal aquí referenciadas (tabique rojo recocido). Adicionalmente, la aplicación fue extendida a muros elaborados con piezas de concreto para las cuales la aproximación disminuye, debido probablemente a la mayor rigidez vertical de la mampostería respecto a la observada en mampostería de tabiques de arcilla.

Al evaluar los resultados, sólo dos puntos de control, sobre un total de seis, presentan variación importante: la pendiente del tramo inicial y la distorsión al agrietamiento. Sin embargo, la simplicidad del modelo no afecta el nivel de aproximación, similar al obtenido en modelos refinados, y permite evaluar con seguridad la curva de capacidad hasta un rango de distorsión entre 0.35% a 0.40%, mayor que el valor permisible de 0.25 % definido en NTCM-2004 (2004). Si bien la distorsión puede ser mayor durante un sismo, ésta no puede exceder la máxima distorsión registrada en las pruebas (0.6% en la mayoría de los casos aquí estudiados) para garantizar una resistencia residual del muro.

El modelo fue desarrollado considerando la situación existente en un entorno geográfico definido, el cual puede presentarse también en estados como Chiapas, Oaxaca, Michoacán y Colima, dicha situación queda definida por los siguientes planteamientos:

1. Se planteó la hipótesis de que las propiedades mecánicas de la mampostería de tabique rojo recocido elaborada en la zona Centro del estado de Guerrero eran diferentes a las referenciadas en las NTCM-2004, lo cual quedó demostrado con los valores del módulo elástico y de cortante obtenidos (Sánchez 2009). Por lo anterior, los autores plantearon que no sería valido utilizar los resultados de los ensayes realizados en la Ciudad de México (con materiales comunes de este lugar) para evaluar el comportamiento de muros construidos en la zona Centro del estado de Guerrero.

2. En la zona mencionada, a diferencia de la Ciudad de México, no existía un Laboratorio de Estructuras para ensayar muros a escala real, por lo cual no había datos para usar o calibrar el modelo de columna ancha propuesto por Zúñiga y Terán (2008).

3. De esta manera, se consideró que los resultados de las pruebas de tensión diagonal en muretes eran la única fuente de información experimental posible a obtener. Esto llevó a la conclusión que dicha información debería ser la base del modelo matemático presentado.

En otro orden, adicional a los tres modelos utilizados (columna ancha según Zúñiga y Terán, 2008; puntales en compresión desarrollado por Coral, 2004; macromodelos con elemento finito presentado por Álvarez, 2000) para comparar los resultados del modelo desarrollado, existen una gran variedad de modelos propuestos para evaluar el comportamiento de la mampostería sujeta a carga lateral, algunos evalúan solamente la envolvente de la respuesta y otros son capaces de obtener el comportamiento histerético. Sin embargo, para una buena elección del modelo utilizado deben considerarse cuatro puntos esenciales: a) facilidad para implementar las leyes de comportamiento en un programa de análisis, b) mínima cantidad de grados de libertad definidos, c) información experimental obtenida en pruebas de especímenes pequeños, d) exactitud de resultados. El elemento resorte de comportamiento bilineal aquí desarrollado cumple ampliamente con los puntos antes mencionados.

Respecto a los límites de aplicación del modelo, la mayoría de información experimental encontrada y utilizada para calibrarlo corresponde a muros de mampostería confinada con relación altura/longitud cercana a uno. Esta misma información fue utilizada para calibrar los distintos modelos referenciados (columna ancha, puntales en compresión, macromodelos con elemento finito), los cuales fueron utilizados posteriormente para analizar estructuras completas donde pueden existir muros esbeltos y otros con castillos intermedios, esta situación puede generar resultados erróneos porque en los primeros hay efectos de flexión y en los segundos, la superficie de falla puede variar respecto a la diagonal. Así, una forma de validar completamente los distintos modelos utilizados es desarrollar pruebas a escala real en muros esbeltos o con castillos intermedios. Sin embargo, es interesante observar que para el sistema estructural WWW y la estructura 3-D, donde existe un muro esbelto con relación altura/longitud igual a 1.56 y otro con relación igual a 1, los resultados son aceptables. Referente al máximo esfuerzo vertical utilizado en las expresiones aquí presentadas, éstas se pueden aplicar en muros con valores de hasta 0.25f_m según Sánchez y Mebarki (2009), siendo f_m la resistencia a compresión de la mampostería.

 

Agradecimientos

El desarrollo de esta investigación fue patrocinado por el Programa de Mejoramiento del Profesorado (PROMEP) a través de una beca proporcionada al primer autor. Adicionalmente, se agradece el apoyo del Ing. Víctor Flores Vela y la colaboración del personal del CENAPRED, en cuyo laboratorio fueron desarrolladas las pruebas de tensión diagonal aquí referenciadas.

 

Referencias

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