INTRODUCCIÓN

El crecimiento de las ciudades y la necesidad de contar con mayor infraestructura vial hace necesaria la construcción de más puentes peatonales que permitan el cruce de manera segura de los transeúntes sobre dichas vías. Los puentes peatonales tienen requisitos constructivos y de diseño, menos exigentes en comparación con otros tipos de puentes, lo cual ha generado que algunos de ellos sean estructuras ligeras, esbeltas, con menor rigidez y amortiguamiento, que las estructuras tradicionales. Debido al paso de peatones sobre los puentes pueden producirse vibraciones que causan incomodidad a los usuarios y en casos más graves pueden producir pánico e incluso comprometer la seguridad de la estructura.

En la Ciudad de México como en los estados de la República Mexicana, no existe una reglamentación de diseño estructural para puentes peatonales, lo cual genera que no exista una homogeneidad en los criterios de diseño a emplearse. Generalmente durante su proceso de diseño se considera el efecto del paso de los peatones por medio de una carga estática uniformemente distribuida del orden de 500 kg/m² (4900 N/m²) que representa el peso del paso de los peatones sobre el tablero del puente y no se considera el efecto de la carga dinámica que produce el peatón durante su movimiento. Por otro lado, son estructuras cuyo diseño es menospreciado ya que en la mayoría de los casos se diseñan para un claro llamado “típico” y el diseño se extrapola para diferentes longitudes de claros, condiciones geotécnicas y/o ubicación de la zona en la ciudad en la que se encuentra. Los puentes peatonales deberían ser utilizados por millones de caminantes que deben cruzar calles para llegar a su destino, pero aproximadamente 85% de los peatones, prefiere arriesgar su vida cruzando entre el tránsito antes que subirse al puente para atravesar la calle, esto genera dudas sobre la funcionalidad de los mismos.

En un trabajo desarrollado en 2010 (^{Hidalgo et al., 2010}) se reporta el estado físico y los motivos de uso y no uso de los puentes peatonales en la ciudad de México. Analizaron 617 puentes peatonales registrados en la Secretaría de Obras y Servicios de la Ciudad de México por encomienda del Instituto de Políticas para el Transporte y Desarrollo (ITDP). La evaluación física consistió principalmente de una inspección visual del estado en que se encontraban los puentes, se revisó si cumplían o no con las dimensiones permisibles de proyecto arquitectónico del Reglamento de Construcciones del DF. Como resultados de las observaciones, se determinó que el 60% de los puentes de la cuidad no reciben mantenimiento, ya que se detectó oxidación, rotura de barandales, láminas levantadas en las escaleras y agrietamiento del concreto. Además de otros peligros como la presencia de cables o ramas de árboles en los pasillos, basura, falta de iluminación e inseguridad. El 30% de los puentes ubicados en la Ciudad de México no cumplieron con las especificaciones arquitectónicas que establece el Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal y sólo 18% opera en condiciones óptimas. Otro aspecto importante que influye, tanto en la longitud de claro como en la densidad del tránsito peatonal, es la ubicación del puente en el contexto vial. De la muestra analizada por ^{Hidalgo et al. (2010)} el 67% de los puentes se ubican en vialidades donde los vehículos circulan a velocidades entre los 70 y 110 km/h por lo que hace necesario el uso de ellos por los transeúntes.

En cuanto a los puentes peatonales que se encuentran en los estados de la República Mexicana, le corresponde a cada entidad gubernamental establecer las condiciones físicas de los mismos y realizar un inventario de ellos. Desafortunadamente este inventario no existe en la mayoría de las entidades. Una fuente alterna revisada en este trabajo, es el sistema de gestión y evaluación de puentes de la red carretera nacional libre de peaje (^{SIPUMEX, 2010}), que incluye principalmente los puentes vehiculares, pero en los accesos principales a cada centro de ciudad también contempla algunos puentes peatonales. En total el SIPUMEX tiene registrados 8,647 puentes, de los cuales el 12.86% son de uso peatonal. En la Figura 1 se muestran el número de puentes peatonales considerandos en el SIPUMEX por ubicación en los estados de la República Mexicana.

Figura 1 Puentes peatonales según SIPUMEX en cada estado de la República Mexicana 

Acorde a los datos registrados en el ^{SIPUMEX (2010)}, se concluye que 47% de los puentes peatonales presenta algún nivel de daño (Figura 2); estadística que refleja las malas condiciones de este tipo de estructuras en México. Sin embargo, tanto el estudio realizado por el Instituto de Políticas para el Transporte y Desarrollo (ITDP) de la Ciudad de México, como el intento de identificación de daño reportado en el SIPUMEX, no reflejan completamente la situación estructural en la que se encuentran la mayoría de los puentes peatonales en México, ya que es común encontrar notas periodísticas en las que se reportan fallas estructurales de los mismos, ya sea por efectos sísmicos, choque de vehículos o por vibraciones excesivas (^{Hernández et al., 2016}; ^{Roman, 2018}; ^{Avellaneda, 2018}).

Figura 2 Índice de daño en puentes peatonales en México (^{SIPUMEX, 2010}) 

Las actuales normas internacionales de diseño de puentes peatonales prestan particular interés en revisar el estado límite de servicio ante vibraciones inducidas por peatones, ya que éstos generan frecuencias armónicas que pueden coincidir con alguna de las frecuencias estructurales, y por lo tanto inducir vibraciones resonantes que pueden exceder el nivel de confort aceptado por el ser humano. El uso de grandes claros en este tipo de estructuras implica que los modos de vibración estén asociados generalmente a frecuencias bajas, entre 1 Hz y 8 Hz. El andar de las personas está clasificado según el tipo de actividad y la frecuencia de paso. Para el caminar, la frecuencia de paso está entre 1.7 Hz y 2.3 Hz y para trote, entre 2.5 Hz y 3.2 Hz. Lo anterior pone en evidencia el riesgo potencial de estas estructuras a la inducción del fenómeno conocido como resonancia.

CONDICIONES DE SERVICIO

La normativa internacional de diseño de puentes peatonales recomienda considerar los posibles problemas dinámicos que producen los peatones mediante un análisis del estado de servicio de dichas estructuras durante su etapa de diseño. De manera general, dichas normas recomiendan evitar que los modos principales de vibrar de los puentes peatonales estén dentro de los intervalos de frecuencia de pasos típicos de los peatones (incluyendo caminar y correr), y establecen valores límite para la aceleración vertical y lateral, tal que se asegure el estado de servicio de la estructura. Con el objetivo de evitar vibraciones resonantes, dichas normas recomiendan que los modos principales de vibrar de los puentes peatonales estén fuera de los intervalos de frecuencia de paso típico de los peatones. Existen muchos parámetros que afectan la sensibilidad humana tales como: la posición en la que se encuentre la persona, la dirección de incidencia con respecto a la columna vertebral, la actividad que se esté realizando, la edad, el sexo, etc. Para el caso de la vibración vertical y longitudinal puede tomarse como aceleración límite de confort un valor promedio de 0.7 m/s²; mientras que para la vibración horizontal un valor promedio de 0.2 m/s². Las normas consideran que se satisface el estado límite de servicio en puentes peatonales cuando las aceleraciones son menores a dichos valores límite.

Modelo de carga peatonal

Los movimientos rítmicos del cuerpo humano con una duración de hasta 20 segundos o más conllevan a fuerzas dinámicas casi periódicas. En la Figura 3 (^{Wheeler, 1982}) se muestran los patrones típicos de fuerza peatonal en la dirección vertical.

Figura 3 Patrones típicos de fuerza peatonal en la dirección vertical 

En la mayoría de los casos, la vibración en puentes peatonales se trata de un problema de vibración forzada causada por el paso de los peatones sobre estas estructuras. La fuerza dinámica ejercida por un peatón puede descomponerse en tres componentes ortogonales (Figura 4): fuerza vertical, F _V , fuerza horizontal, F _H , y fuerza longitudinal, F _L .

Figura 4 Descomposición ortogonal de la fuerza peatonal 

La excitación dinámica que produce un peatón a un ritmo de caminata normal tiene una frecuencia vertical de vibrar de 2 Hz con una desviación estándar de 0.175 Hz. Esto significa que el 95 % de los peatones caminan con frecuencias verticales de vibrar de entre 1.65 y 2.35 Hz. En ocasiones los peatones suelen correr sobre estas estructuras ejerciendo frecuencias verticales de vibrar de hasta 3.5 Hz, pero usualmente no más allá de dicho valor. En la Tabla 1 (^{Bachmann et al., 1987}, ¹⁹⁹⁵) se muestran las velocidades y frecuencias más probables a ser desarrolladas por los peatones.

Tabla 1 Velocidades y frecuencias de paso ejercidas por un peatón 

Actividad peatonal	Velocidad (m/s)	Frecuencia peatonal
		Vertical (Hz)	Horizontal (Hz)	Longitudinal (Hz)
Caminata lenta	1.1	1.7	0.85	1.7
Caminata normal	1.5	2.0	1.0	2.0
Caminata rápida	2.2	2.3	1.15	2.3
Carrera lenta	2.5	2.1	1.05	2.1
Carrera normal	3.3	2.5	1.25	2.5
Carrera rápida	5.5	3.2	1.6	3.2

Las componentes ortogonales de fuerza peatonal (Figura 4) pueden ser representadas mediante series de Fourier debido a su naturaleza periódica, mediante las ecuaciones:

FVt=P+Po∑i=1nαi,Vsen⁡2πifVt-φi (1)

FHt=Po∑i=1nαi,Hsen⁡2πi fHt-φi (2)

FLt=Po∑i=1nαi,Lsen⁡2πi fLt-φi (3)

donde:

P=npG (4)

Po=Gneff ψ (5)

y donde f_V, f_H y f_L son las frecuencias peatonales en Hz para la dirección vertical, horizontal y longitudinal, respectivamente; α_i,V, α_i,H y α_i,L son los coeficientes de Fourier del i-ésimo armónico para la dirección vertical, horizontal y longitudinal, respectivamente; n es el número total de contribuciones armónicas; t es el tiempo; φ _i es el ángulo de fase en radianes del i-ésimo armónico; n _p es el número total de peatones que conforman la carga; G es el peso promedio de un peatón (G≈700N; n_eff es el número efectivo de peatones; y ψ es el coeficiente de reducción de la carga peatonal. Los coeficientes de Fourier y ángulos de fase correspondientes se muestran en la Tabla 2.

Tabla 2 Coeficientes de Fourier y ángulos de fase (^{Bachmann et al., 1995}) 

Actividad peatonal	Frecuencia peatonal		Prime armónico		Segundo armónico		Tercer armónico		npm2
			α1	φ1	α2	φ2	α3	φ3
Caminata	Vertical	2.0 / 2.4 Hz	0.40/0.5	0.0	0.10	π/2	0.10	π/2	∼1
	Horizontal	1.0 Hz	0.10	0.0	0.10	π/2	0.10	π/2
	Longitudinal	2.0 Hz	0.20	0.0	0.10	---	-	---
Carrera	2.0 a 3.0 Hz		1.60	0.0	0.70	---	0.20	---	---

El número efectivo de peatones puede ser interpretado como un factor de sincronización y se calcula con base al supuesto probabilístico de que el número de peatones que camina en sintonía con la frecuencia natural de vibrar del puente, produce el 95 % de la aceleración pico debido a corrientes de peatones aleatorias. El número efectivo de peatones se puede obtener de la Tabla 3.

Tabla 3 Número efectivo de peatones 

Norma de diseño	n p /m 2	n eff
ISO 10137 (2007)	------	np
Sétra (2006) HIVOSS (2008)	<1.0	10.8 npξ
	≥1.0	1.85 np

El valor de ξ en la Tabla 3 es la fracción de amortiguamiento crítico del puente peatonal, la cual puede obtenerse de la Tabla 4, en la cual se resumen los valores recomendados por tres referencias bibliográficas y que prácticamente coinciden

Tabla 4 Valores comunes de amortiguamiento para puentes peatonales 

Tipo de construcción	ξ
	Bachmann et al. (1995)		Sétra (2006)		HIVOSS (2008)
	Mínimo	Medio	Mínimo	Medio	Mínimo	Medio
Concreto reforzado	0.008	0.013	0.008	0.013	0.008	0.013
Concreto pretensado	0.005	0.010	0.005	0.010	0.005	0.010
Acero	0.002	0.004	0.002	0.004	0.002	0.004
Compuesto (concreto-acero)	0.003	0.006	0.003	0.006	0.003	0.006
Madera	-	-	0.015	0.030	0.010	0.015

El coeficiente de reducción de la carga peatonal representa la probabilidad de ocurrencia de las frecuencias de paso de los peatones (Figura 5).

Figura 5 Coeficientes de reducción de la carga peatonal 

El número total de peatones n _p a utilizar en las ecuaciones (1) a (3) depende del uso del puente peatonal, para lo cual pueden utilizarse los casos de carga mostrados en la Tabla 5.

Tabla 5 Clasificación de puentes peatonales 

Clase de puente	Uso de puente	n p
		Caminando	Corriendo
A	Localidades rurales poco pobladas	2.0	0.0
B	Ubicación suburbana sujeta a poca variación en el uso diario	4.0	1.0
C	Rutas urbanas sujetas a variación importante en el uso diario	8.0	2.0
D	Accesos primarios a estadios deportivos o grandes servicios de transporte público	16.0	4.0

MODELO NUMÉRICO PARA LA REVISIÓN DE ACELERACIONES VERTICALES

La vibración inducida por peatones suele ser mayor en la dirección vertical cuando se presenta el fenómeno de la resonancia, razón por la cual algunas normas de diseño proponen fórmulas simplificadas para el cálculo de dichas vibraciones verticales resonantes. Sin embargo, estas fórmulas simplificadas no consideran el comportamiento dinámico de los peatones ni las condiciones de apoyo del puente; por lo que es de vital importancia considerar un modelo matemático que se apegue lo más posible a la realidad.

Los puentes peatonales son estructuras esbeltas cuyo comportamiento dinámico es principalmente a flexión vertical por lo que pueden ser representados como vigas tipo Euler-Bernoulli. Un puente peatonal simplemente apoyado y con sección transversal constante, sujeto a una carga peatonal vertical que se desplaza sobre él, puede modelarse como se muestra en la Figura 6.

Figura 6 Viga simplemente apoyada sujeta a una carga peatonal vertical móvil 

En la Figura 6, L es la longitud el claro del puente, t representa la variable tiempo, V₀ es la velocidad constante a la que se desplaza la carga peatonal y F_V(t) es la componente vertical peatonal mostrada previamente en la ecuación (1). La ecuación diferencial de movimiento (^{Huergo, 2016}) es:

donde y(x,t) es el desplazamiento dinámico vertical de la viga, E es el módulo de elasticidad, I es el segundo momento de área de la sección transversal de la viga alrededor del eje z, m̄ es la masa por unidad de longitud de la viga, ξ_j es la fracción de amortiguamiento crítico viscoso del j-ésimo modo de vibrar, w_j es la j-ésima frecuencia circular de vibrar de la viga, y δ(x-V₀t) es la función de Dirac que representa matemáticamente como se mueve la carga peatonal. La solución elástica de la ecuación (6) se obtiene al aplicar el método de separación de variables,

donde ϕj(x) es el j-ésimo modo de vibrar de la viga, η_j(t) es el desplazamiento dinámico generalizado del j -ésimo modo de vibrar y N es el número total de modos de vibrar considerados en el análisis dinámico. Los modos de vibrar de una viga Euler-Bernoulli representan un problema de valores y vectores característicos, y pueden obtenerse mediante la ecuación:

donde:

y donde A_j,B_j,C_j y D_j son las constantes de integración que conforman el vector característico, y a_j es el valor característico asociado a dicho vector característico. Las constantes de integración y el valor característico dependen de las condiciones de frontera de la viga y pueden obtenerse de las Tablas 7 y 8, respectivamente.

Las j-ésimas frecuencias circulares de vibrar de la viga se obtienen mediante la ecuación:

Los desplazamientos generalizados pueden ser expresados mediante la integral de Duhamel, por lo tanto, la ecuación (7) puede ser reescrita como:

donde τ es el tiempo de duración de un impulso unitario; y P~jt es la carga generalizada del j-ésimo modo de vibrar, la cual se obtiene mediante la ecuación:

Para garantizar una solución aceptable se debe de considerar el número de modos necesarios en la respuesta en la que por lo menos participe un 90% de la masa modal. La fracción de masa que participa en el j-ésimo modo de vibrar está dada por:

PUENTES PEATONALES ESTUDIADOS

Los puentes peatonales estudiados en este trabajo se clasificaron en: (1) puentes comunes, que por lo general se construyen en las ciudades pequeñas o en áreas suburbanas y (2) puentes atípicos. Los puentes comunes también llamados como “puentes tipo”; ya que son proyectos que se adaptan a las condiciones del sitio, únicamente haciendo el claro más corto o más largo, y donde el ancho de calzada del puente suele ser entre 1.80 y 2.20 m. Los puentes atípicos se diferencian de los anteriores porque tienen características físicas específicas, como un claro más grande para salvar anchos de vialidades en ciudades principales o en lo que el aspecto arquitectónico juega un papel importante. Las dimensiones y características de los puentes atípicos estudiados en este trabajo, se describen explícitamente en los trabajos realizados por ^{Huergo (2016)} y los puentes comunes en ^{Román (2018)}.

Los puentes considerados como comunes (Figura 7) se subdividen en:

En total para los puentes comunes se realizaron 26 modelos numéricos utilizando un software comercial (SAP2000), en su elaboración se consideró el peso de barandales o elementos de protección para el peatón y los elementos estructurales de acceso, con dichos modelos se obtuvieron sus frecuencias de vibrar en la dirección vertical.

Figura 7 Puentes peatonales considerados como comunes. 

Figura 8 Dimensiones geométricas de las secciones del puente de 20 m 

En la Tabla 9 se registran las frecuencias de vibrar para cada uno de los modelos analizados. Las condiciones de confort fueron evaluadas considerando que las frecuencias críticas de vibrar en la dirección vertical están en el intervalo de 1.7 Hz y 3.2 Hz, acorde con lo mostrado en la Tabla 1 y considerando los valores propuestos por las diferentes normas de diseño (Tabla 6). En la Tabla 9 se puede ver algunos de los puentes de uso común en las ciudades, no cumplen las condiciones de servicio por vibración vertical, además de la influencia de las condiciones de continuidad y de apoyo que le producen las escaleras de acceso, es decir, un puente con armadura de celosía de acero con un claro de 30 m cumple con la condición de servicio, sin embrago, si se trata de dos claros continuos cada uno de 30m, la condición de servicio no se satisface.

En cuanto a los puentes considerados como atípicos, se estudiaron siete puentes, elegidos por sus condiciones arquitectónicas, por su aparente edad de diseño o por su ubicación. De los siete puentes cinco de ellos se encuentran ubicados en Naucalpan, Estado de México y dos de ellos en la ciudad de Morelia, Michoacán. Para su estudio se denominaron: puente 1 a puente 7 (Figura 9).

Figura 9 Puentes peatonales considerados como atípicos 

Se realizaron los modelos analíticos utilizando un software comercial (SAP2000), en la Figura 10 se muestran las formas modales y sus frecuencias asociadas obtenidas en con el modelo del puente peatonal 3. Se realizaron pruebas de vibración ambiental en los siete puentes estudiados; y en los puentes 2 y 3, ubicados ambos en la ciudad de Morelia, Michoacán, se realizaron pruebas de vibración forzada para diferentes casos de carga peatonal. En la Tabla 10 se muestran las frecuencias de vibrar del primer modo de vibrar de los puentes en las tres direcciones ortogonales.

Figura 10 Modos de vibrar verticales del puente peatonal 3: modelo analítico en SAP2000 

Comparando las frecuencias reportadas en la Tabla 10 con los límites tolerables de las mismas, se observa que los puentes peatonales puente 2, 3 y 4 pueden presentar problemas de vibración inducida por peatones en la dirección vertical. Los puentes 2 y 3 son propensos a la vibración vertical resonante ante una carrera peatonal, mientras que el puente 4 es propenso a la vibración vertical resonante ante una caminata peatonal.

Las frecuencias analíticas del primer modo de vibrar vertical de los 33 puentes peatonales estudiados (Tablas 9 y 10) se encuentran en el intervalo de 1 a 10 Hz, lo cual coincide con las frecuencias de vibrar empíricas propuestas por ^{Bachmann et al. (1995)}.

Pruebas de vibración ambiental

Se realizaron pruebas de vibración ambiental en los siete puentes peatonales de la Figura 9. Para la realización de dichas pruebas se contó con tres consolas K2 marca Kinemetrics, cinco cables blindados de 50 m de longitud y cinco sensores o acelerómetros triaxiales (Figura 11). La distribución espacial de los sensores en los tableros de los puentes se muestra en la Figura 12.

Figura 11 Equipo utilizado en las pruebas de vibración ambiental 

Figura 12 Esquema de arreglo de los acelerómetros (vista frontal) 

En cada uno de los puentes sietes peatonales se realizaron varias mediciones en el mismo arreglo de aparatos (Figura 12). Las señales se registraron con una frecuencia de muestro de 0.01 Hz y una duración total de 200 s, las cuales recibieron una corrección de línea base y un filtro pasabanda de 0.1 Hz a 10 Hz para eliminar el ruido ambiental (^{Helmut y Piechler, 2005}). Se calcularon espectros promedio de Fourier para cada prueba de vibración ambiental en las tres direcciones ortogonales, los cuales se muestran en la Figura 13, para cada uno de los siete puentes.

Figura 13 Espectros promedio de Fourier de las pruebas de vibración ambiental de los puentes peatonales: Vertical, Horizontal, Longitudinal 

Las frecuencias fundamentales de vibrar en la dirección vertical de los puentes fueron obtenidas de los espectros promedio de Fourier de la Figura 13. En la Tabla 11 se reportan los valores promedios de las frecuencias verticales obtenidas durante las pruebas de vibración ambiental y las obtenidas con los modelos analíticos; además, se muestra el error relativo entre ambos valores. Se puede ver que para las frecuencias verticales el error entre ambos valores es ingenierilmente tolerable, excepto el error relativo para el puente 4, que es un puente colgante con forma de arco. Para los puentes 1, 2, 3 y 7, el error relativo es menor del 5%. En la dirección horizontal y longitudinal el error relativo se incrementa, siendo menos del 10% para los puentes 6 y 7.

El amortiguamiento estructural se calculó con las señales obtenidas con el sensor 4, ubicado en el centro del claro del puente, por medio de la técnica de decremento aleatorio (^{Helmut y Piechler, 2005}). Los resultados de los valores de amortiguamiento promedio de resumen en la Tabla 12 para cada uno de los puentes.

Tabla 11 Frecuencias de vibrar analíticas y experimentales de los puentes peatonales atípicos 

Puente	f 1 (Hz)
	Vertical			Horizontal			Longitudinal
	Analítica	Experimental	Δ%	Analítica	Experimental	Δ%	Analítica	Experimental	Δ%
1	3.51	3.65	3.8	1.65	2.07	20.2	0.78	1.29	40.0
2	3.09	3.18	2.8	2.31	2.64	12.5	4.43	3.18	39.3
3	2.67	2.77	3.6	2.11	2.72	22.4	4.40	2.72	62.0
4	2.20	1.38	59.0	1.17	1.32	11.3	1.89	2.61	27.6
5	9.54	8.86	7.6	7.98	6.81	17.2	2.05	2.8	26.8
6	5.26	5.67	7.2	3.84	4.19	8.4	2.56	2.42	5.8
7	6.66	6.40	4.1	7.69	7.18	7.1	3.09	3.18	2.8

Tabla 12 Amortiguamiento estructural de los puentes peatonales atípicos 

Puente	Material	ξ1
		Vertical	Horizontal	Longitudinal
1	Acero	0.013	0.012	0.013
2	Acero	0.005	0.005	0.006
3	Acero	0.005	0.010	0.008
4	Acero	0.012	0.024	0.017
5	Concreto prefabricado	0.003	0.008	0.012
6	Concreto prefabricado	0.005	0.007	0.009
7	Concreto prefabricado	0.007	0.009	0.008

El valor del amortiguamiento estructural recomendado por los códigos de diseño de puentes peatonales (Tabla 4) depende del tipo de material del que está hecho el tablero del puente. En resumen, se tiene que los valores recomendados para puentes de concreto pretensado está entre 0.005 y 0.010 y para puentes de acero entre 0.002 y 0.004. De la Tabla 12 se puede ver que el puente estudiado de concreto prefabricado se encuentra entre 0.003 y 0.009; y para los puentes de acero entre 0.005 y 0.013. El puente 4, que es un puente colgante de acero en forma de arco, tiene valores de amortiguamiento relativamente grande comparados con los de los otros puentes, del orden de 0.0012 a 0.024.

Pruebas de vibración forzada

Se realizaron pruebas de vibración forzada en los puentes 2 y 3 con el mismo arreglo de sensores de Figura 12. Los casos de carga peatonal utilizados fueron 1, 2, 4 y 8 peatones caminando y corriendo en grupo. En la Figura 14 se muestran algunas imágenes de las pruebas de vibración forzada realizadas en ambos puentes.

Figura 14 Pruebas de vibración forzada con el paso de peatones 

Las señales de aceleraciones obtenidas al centro del claro para los puentes 2 y 3 se muestran en las Figuras 15 y 16, respectivamente (^{Huergo, 2016}).

Figura 15 Resultados de las pruebas de vibración forzada al centro del claro del puente 2: Vertical, Horizontal, Longitudinal 

Figura 16 Resultados de las pruebas de vibración forzada al centro del claro del puente 3: Vertical, Horizontal, Longitudinal 

En las Figuras 15 y 16 se observa que los puentes 2 y 3 rebasan ampliamente el límite de confort permitido por las normas de diseño para el caso de aceleraciones verticales (≈70 cm/s²) inducidas por peatones que corren; esto se debe a que las frecuencias de vibrar verticales de ambos puentes vibran en resonancia ante todos los casos de carga peatonal en carrera.

Validación del modelo numérico para la revisión de las aceleraciones verticales

Con el objetivo de validar el modelo matemático desarrollado en este trabajo, se comparan las propiedades y la respuesta dinámica obtenidas con la expresión 6 y las obtenidas mediante los modelos analíticos y experimentales previamente desarrollados. Para ello se elige el puente 3, al cual se le realizaron pruebas de vibración forzada ante distintos casos de carga peatonal en movimiento. Las propiedades mecánicas del puente peatonal 3 se calcularon en el trabajo realizado por ^{Huergo (2016)}, las cuales se muestran en la Tabla 13 y en donde se consideró el efecto de las escaleras de acceso en las condiciones de apoyo del puente.

Tabla 13 Propiedades mecánicas del puente peatonal 3 

m̄	1017 kg/m
EI	1,032,132,941 N m2
L	36 m
ξ	0.005

En la Tabla 14 se muestran las frecuencias verticales de vibrar y masas modales participantes del puente peatonal 3 obtenidas mediante las ecuaciones (10) y (13), respectivamente y que se denominan como “numéricas”. También se muestran los valores obtenidos mediante los modelos analíticos (SAP 2000) y con las pruebas de vibración ambiental. Se puede observar que con el modelo numérico (viga Euler-Bernoulli) es posible obtener con un margen pequeño de error, las frecuencias de vibrar y el porcentaje de participación de masa para en casi todos los modos de vibrar, comparados con los obtenidos con el modelo analítico.

Tabla 14 Frecuencias y masas modales en la dirección vertical para el puente 3 

Modo	fj (Hz)			meff,j (%)
j	Modelo numerico	Modelo analítico	Vibración ambiental	Modelo numérico	Modelo analítico
1	2.77	2.67	2.77	69.03	69.35
2	7.63	7.16	7.63	9.45x10-14	8.8x10-13
3	14.96	13.55	14.43	13.23	14.49
4	24.73	21.46	----	9.89x10-13	7.3x10-12
5	36.94	30.58	----	5.36	5.89
6	51.59	40.65	----	4.27x10-12	2.8x10-12
7	68.68	51.02	----	2.88	2.95
			Sumatoria	90.5	92.68

Las formas modales de vibrar obtenidos mediante la ecuación (8) se muestran en la Figura 17, donde con siete modos de vibrar se logra que participe más del 90 % de la masa en la respuesta dinámica (Tabla 14).

Figura 17 Modos de vibrar verticales del puente peatonal 3 (modelo numérico): Modo 1, Modo 2, Modo 3, Modo 4, Modo 5, Modo 6, Modo 7 

La frecuencia de vibrar del primer modo de vibrar vertical del puente peatonal 3 solo puede ser excitada en resonancia bajo la acción de peatones que corren aproximadamente a 4 m/s, acorde con la Tabla 1 y los cuales ejercen una frecuencia de paso de 2.77 Hz. Las historias de aceleraciones se obtienen al derivar dos veces las señales obtenidas numéricamente mediante la ecuación (11) para 1, 2, 4 y 8 peatones corriendo en resonancia con el puente. Los perfiles de aceleraciones máximas obtenidos se muestran en la Figura 18, donde se observa también el límite de confort establecido por las normas de diseño de 70 cm/s² (con una línea horizontal).

Figura 18 Aceleraciones verticales máximas del puente peatonal 3 ante resonancia en carrera (modelo numérico): 1 peatón, 2 peatones, 4 peatones, 8 peatones, límite de confort 

Las aceleraciones verticales máximas al centro del claro del puente peatonal se comparan para las pruebas de vibración forzada (Figura 16) y el modelo numérico (Figura 18). Los resultados obtenidos se muestran en la Tabla 15, así como el error relativo entre ambos valores de la aceleración máxima. Cabe aclarar que en durante las pruebas de vibración forzada es difícil controlar perfectamente ciertas variables como la frecuencia de paso peatonal, el nivel de sincronización de los peatones y la velocidad de la carrera. Sin embargo, el error relativo para el caso de la prueba con dos peatones corriendo es del 3.8%.

Tabla 15 Aceleraciones verticales máximas al centro del claro del puente atípico 3 

Carga peatonal	Aceleración máxima (m/s2)		Δ(%)
	Modelo numérico	Vibración forzada
1 peatón corriendo	2.08	1.36	52.9
2 peatones corriendo	2.94	2.83	3.8
4 peatones corriendo	4.16	2.88	44.4
8 peatones corriendo	5.88	3.32	77.0

CONCLUSIONES

Los puentes peatonales son estructuras necesarias para la disminución de accidentes de tránsito por atropellamiento de los transeúntes. Con el crecimiento de la infraestructura vial de las ciudades, los puentes peatonales tienen cada vez mayor longitud, lo que los hace más flexibles y con poco amortiguamiento. En México, actualmente no existe un código de diseño para este tipo de estructuras, por lo que se desprecia el efecto de la carga dinámica que producen los usuarios cuando pasan por él, omitiendo las condiciones de servicio que pueden producir falta de confort e inseguridad por parte de los usuarios. Los códigos de diseño internacionales para este tipo de estructuras hacen especial énfasis en el cumplimiento de las condiciones de servicio, específicamente en las aceleraciones tolerables por el ser humano. En este trabajo se realizaron 26 modelos numéricos de puentes peatonales comúnmente construidos en las ciudades pequeñas o en zonas suburbanas y de 7 puentes peatonales con características especiales. Para los 33 puentes se evaluaron las frecuencias críticas de vibrar en la dirección vertical, considerando como críticas aquellas que se ubican en el intervalo de 1.7 Hz a 3.2 Hz, encontrándose que algunos de los puentes de uso común en las ciudades, no cumplen las condiciones de servicio por vibración vertical

Se realizaron pruebas de vibración ambiental en 7 puentes peatonales con características especiales, con el fin de verificar las frecuencias verticales y el valor del amortiguamiento. Los resultados de las pruebas presentan un error relativo menor al 5%, al compararlas con las obtenidas con los modelos analíticos, excepto para uno de los puentes con forma arco. En la dirección horizontal y longitudinal el error relativo se incrementa, siendo menos del 10% en dos de los puentes ensayados. El valor de amortiguamiento obtenido durante las pruebas está de acuerdo con los valores propuestos en la normatividad internacional.

Considerando como límite de confort una aceleración vertical de 70 cm/s² producida por el paso de peatones sobre el puente, se utilizó un modelo simplificado basado en una viga con comportamiento Euler-Bernoulli, sometida al paso de una carga armónica móvil que representa el paso de los peatones. El modelo permite obtener las propiedades dinámicas de la viga y su respuesta en términos de desplazamientos, velocidades y aceleraciones. En el modelo es posible considerar diferentes condiciones de apoyo, que son inducidas por las escaleras de acceso o la unión de las vigas con las columnas de los puentes. Se realizaron pruebas de vibración forzada en dos puentes, considerando el paso de 1, 2, 4 y 8 peatones caminando y corriendo en grupo. Se obtuvieron las historias de aceleraciones verticales para cada caso de carga, encontrándose que en los dos puentes analizados se excede la aceración vertical máxima cuando pasan por ellos los peatones corriendo. Los valores de aceleración máxima obtenida durante las pruebas experimentales en uno de los puentes se compararon con las aceleraciones obtenidas con el modelo simplificado Euler-Bernoulli, encontrándose que dicho modelo permite obtener de forma confiable las propiedades dinámicas de los puentes y su respuesta ante el paso de peatones. Dicho modelo puede emplearse con el fin de verificar la condición de servicio ante aceleraciones verticales máximas tolerables por el ser humano cuando cruza un puente peatonal.