Introducción

El análisis económico convencional ha dado, usualmente, mayor importancia al papel del tiempo como dimensión clave de estudio, sin valorar adecuadamente el factor espacial. Después de un período de estancamiento, particularmente de la ciencia regional, recientemente, en la década de los noventa, autores como ^{Krugman (1991} y ¹⁹⁹⁸⁾, ^{Fujita, et al. (2000)}, entre otros, renovaron el interés por estos temas en obras como su “Economía espacial”.¹

Así, el resurgimiento de la ciencia regional a través de la reconsideración y revalorización del espacio en el análisis económico, ha traído la aparición de un nuevo campo teórico que intenta abarcar lo que pioneros de la teoría de la localización, la geografía económica y la economía regional propusieron en su momento, agrupados bajo el epígrafe de la “Nueva Geografía Económica” (^{Fujita, et al., 2000}).² Dicho enfoque destaca el papel de los rendimientos crecientes a escala, las fuerzas centrípetas (interpretadas como economías externas marshallianas) y centrífugas, en un contexto de causación circular acumulativa.

Paralelamente al interés renovado por estos temas, se dio también un amplio desarrollo de técnicas y métodos de medición, respaldados por la creación de nuevos software que permitirían hacer ciertos cálculos y mapear información de tipo geográfica y regional.

En este contexto surgen metodologías como la econometría espacial (EE) y programas vinculados a ésta como el SpaceStat (Anselin, 1991), así como otros programas que también permiten su uso, como la librería de EE que incorpora MATLAB (^{LeSage, 1999}) y, de reciente aparición (y aún en fase experimental), programas que vinculan el análisis regional con series de tiempo, como el STARS³ (Space-Time Analisis of Regional Systems). Este tipo de herramientas facilitaría el análisis con datos de corte transversal y temporal referenciados geográfica y espacialmente.

En forma complementaria, el desarrollo del Sistema de Información Geográfica (GIS, por sus siglas en inglés) permitiría que otros programas, más o menos vinculados a la ciencia geográfica, regional y espacial, pudieran ofrecer también opciones de interés para trabajar con bases de datos cada vez más sofisticadas a nivel espacial, tales como ArcView, el Mappoint de Microsoft o las versiones de Excell anteriores a 1998, que contaban con herramientas para generar mapas; así como la hoja de cálculo de Lotus, que también contó con estas facilidades, entre otros.

En ese sentido, consideramos importante exponer en este artículo los aspectos más relevantes de la EE como una técnica alternativa en investigaciones de temas regionales, porque una gran parte de los estudios de este tipo, para el caso mexicano en los últimos años, no la han empleado.⁴

Muestra de ello son las técnicas identificadas en algunos de los trabajos más recientes y representativos para la economía mexicana en materia de crecimiento y desequilibrios regionales, entre los que destacan: el análisis clásico de la convergencia regional con o sin variantes geográficas en ^{Arroyo (2001)}, ^{Esquivel (1999} y ²⁰⁰⁰⁾, ^{Messmacher (2000)}, ^{Cermeño (2001)}; el análisis sectorial-estatal para evaluar el impacto regional de la apertura económica en estudios comparativos como el realizado por ^{Chamboux-Leroux (2001)} en que se confrontan análisis de equilibrio general (^{Krugman y Livas, 1996}) frente a modelos gravitacionales como Polese y Pérez (1996) o estudios específicos como en ^{Hanson (1998)}; el papel de la especialización flexible y las mejores prácticas (best practices) en la búsqueda de un desarrollo regional y local más equilibrado en ^{Dussel y Ruiz (1999)} y ^{Ruiz (2000)}.⁵

El desarrollo del presente artículo incluye los siguientes aspectos: una breve descripción de los antecedentes de la EE (parte II), resaltando las principales características de esta metodología a través de los “efectos espaciales” que surgen en los modelos con datos geográficamente referenciados (parte III), donde se definen dichos efectos y se mencionan las principales causas de éstos, sus formas de detección y especificación.

Seguidamente se plantean las formas de especificación de modelos espaciales más comunes a partir de la exposición del modelo de regresión clásico: modelos de rezago espacial (Lag), de error espacial (Error) y modelos simultáneos (parte IV). Por último se incluyen algunas consideraciones finales (parte V) y un anexo con los principales estadísticos de correlación y contrastes de dependencia (pruebas de detección de efectos espaciales).

La econometría espacial: antecedentes

El desarrollo de la ciencia regional, bautizada originalmente como economía espacial por ^{Isard (1956)} planteó la necesidad de diferenciar no sólo la economía estándar (o no espacial) de la economía espacial (o regional) sino también de diferenciar las herramientas analíticas que se utilizaban y aquéllas que con el tiempo se iban perfeccionando.⁶

Este proceso de diferenciación ha sido permanente, así por ejemplo, en sus orígenes el análisis regional moderno reconocía la existencia de cuatro raíces teóricas: 1) la teoría de la localización; 2) la teoría del multiplicador internacional e interregional; 3) análisis de insumo-producto interindustrial; 4) la programación matemática (^{Meyer, 1966}). En esa misma línea ^{Isard (1960)} señalaba ya la importancia de contar con marcos analíticos regionales integrados, que permitieran una síntesis de las diferentes herramientas de análisis regional y técnicas vinculadas a subsistemas regionales (distintos procesos y escalas regionales) bajo un mismo marco teórico.

En esa evolución se desarrolla una serie de trabajos que comienzan a estimar y evaluar problemas que surgían en modelos econométricos vinculados con análisis regionales y multiregionales, con lo cual se generaron, por un lado, avances en el desarrollo de herramientas de análisis regional de forma independiente; por el otro, avances en el análisis de modelos integrados regionales.

En la primera categoría, se encontraría la econometría espacial, término que acuñaría Paelinck a principios de los setenta para referirse a modelos econométricos multiregionales, mientras que en la segunda (modelos integrados regionales) se encontrarían modelos como los de econometría e insumo producto, que combinan más de una metodología para un mismo tipo de análisis (conocidos como EC+IO models, por sus siglas en inglés).⁷

La EE es de gran utilidad cuando se considera el uso de variables vinculadas al espacio (datos referenciados geográfica o espacialmente, por ejemplo, datos a nivel estatal), ya que este tipo de datos suelen presentar (por su naturaleza) relaciones multidireccionales, traducidas como dependencia en el espacio o autocorrelación espacial (similar a los problemas de dependencia temporal o autocorrelación serial, presente en series de datos temporales) que pueden invalidar el uso de la econometría clásica.

La EE se presenta así, como una alternativa útil a la econometría clásica para tratar con datos referenciados espacialmente, y por otro, contrastar ciertos fenómenos económicos a través de la modelación de relaciones entre observaciones.

Posteriormente, ^{Paelinck y Klaassen (1979)} definirían la EE en función de cinco características: 1) el papel de la interdependencia espacial; 2) la asimetría en las relaciones espaciales; 3) la importancia de factores explicativos localizados en otros espacios; 4) diferenciación entre interacción ex-ante y ex-post; 5) modelación explícita del espacio.

En vías de una construcción más formal de una definición y un desarrollo metodológico más completo, la obra de ^{Anselin (1988)} sienta las bases de un cuerpo analítico más sólido; conceptualmente plantea que: “La colección de técnicas que tratan con las peculiaridades causadas por el espacio en el análisis estadístico de los modelos de la ciencia regional se consideran el dominio de la econometría espacial”.

La EE identifica principalmente dos tipos de fenómenos en los datos utilizados, conceptualizados como efectos espaciales: la dependencia espacial entre las observaciones y la heterogeneidad espacial que puede surgir en los datos analizados.⁸

Adicionalmente la EE permite:

Los efectos espaciales

En el primero de los efectos espaciales, la dependencia espacial, profundizamos un poco más, dado que la modelación y su detección son parte central en el cuerpo analítico de la EE. En cuanto al segundo efecto, la heterogeneidad espacial, puede manejarse aplicando técnicas basadas en la econometría clásica, por lo que se mencionan sólo los aspectos más relevantes en torno a éste.

La dependencia espacial

Cuando se trabaja con series de tiempo en econometría, uno de los supuestos del modelo lineal clásico, plantea que no debe haber autocorrelación o correlación serial en las perturbaciones del modelo. Esto implica que el término de perturbación de una observación no está asociado al término de perturbación asociado a otra observación:

[1]

Siguiendo a ^{Gujarati (1995)} la autocorrelación se puede definir como “la correlación existente entre los miembros de una serie de observaciones ordenadas en el tiempo o espacio”. Este autor como muchos otros, reconoce que los conceptos de correlación y autocorrelación serial se suelen tomar como sinónimos, si bien existen diferencias.

Diferenciando correlación y autocorrelación serial, ^{Gujarati (1995, pp. 288-289)} señala que, la autocorrelación serial plantea la correlación de rezagos de una serie dada, consigo misma, rezagada en un número de unidades de tiempo (u1,u2,…,u10 y u2,u3,…, u11), mientras que la correlación serial plantea la correlación de rezagos entre dos series diferentes (u1,u2,…,u10 y v1,v2,…,v10).

Cuando se traslada este concepto a datos transversales y con algún criterio geográfico, sus términos de error podrán también estar relacionados entre sí, encontrándonos entonces con el concepto de correlación espacial (^{Novales, 1997, p. 162}) o autocorrelación espacial (^{Gujarati, 1995, p. 292}), para hablar de aquella correlación en el espacio en vez de la temporal. La presencia de autocorrelación plantea así la relación, o correlación, o la falta de independencia entre los errores de distintos periodos u observaciones espaciales, por lo que también habrá referencias de la autocorrelación como dependencia, si bien existen diferencias conceptuales referentes a los momentos de la distribución de probabilidad conjunta de las variables, ^{Vaya y Moreno (2000, p. 21)}.⁹

Una vez hechas estas matizaciones conceptuales de la violación a uno de los supuestos de los modelos de MCO, podemos abundar en otros aspectos de interés de la autocorrelación o dependencia espacial en la EE.

Definición, tipos y causas

Definida como, “la existencia de una relación funcional entre un punto dado en el espacio y lo que ocurre en cualquier otro”, es una situación que suele reflejar la ausencia de independencia en observaciones de conjuntos de datos de tipo transversales (^{Anselin, 1988, p. 11}; ^{LeSage, 1999, p. 3}). En términos formales se define como:

[2]

El que una observación asociada a una localización (i) se relacione con otra observación en una localización j≠i, tal relación se expresa por el momento condicional de la covarianza entre ambas localizaciones.¹⁰

Se identifican dos tipos de autocorrelación espacial, positiva si la existencia de un fenómeno determinado en una región dada propicia su expansión a otras regiones circundantes y dicha expansión genera la concentración del mismo. De manera opuesta, la autocorrelación espacial negativa se refiere a la existencia de fenómenos en una región que impiden u obstaculizan la aparición de estos en otras regiones vecinas.

Las causas de la autocorrelación espacial se identifican en dos hechos: la existencia de errores de medida para observaciones en unidades espaciales contiguas y la existencia de varios fenómenos de interacción espacial (^{Anselin, 1988, pp. 11-13}):¹¹

• Errores de medida (también conocida como autocorrelación residual): derivados de la posibilidad de escasa correspondencia entre el ámbito espacial del fenómeno de estudio y las unidades espaciales de observación, los errores de medición serán muy probables.

• Fenómenos de interacción espacial (conocida como autocorrelación sustantiva): es decir, lo que ocurre en un territorio afecta a otros territorios, lo que ocurre en un punto en el espacio está determinado por lo que pasa en otro(s) punto(s), debido a interdependencias en tiempo y espacio de unidades espaciales como: efectos de difusión (spillovers effects), de transferencia, procesos de dispersión, interacciones, externalidades, jerarquías, etcétera.

La existencia de estos fenómenos causantes de la dependencia espacial llevan a considerar instrumentos que permitan incorporarles dentro de modelos econométricos y estadísticos para detectar la presencia y tipo de dependencia espacial.

Instrumentos para incorporar la dependencia espacial

En torno a la dependencia espacial, se observa que su existencia tiene orígenes similares a la autocorrelación serial; sin embargo, una diferencia importante y clave en la ciencia regional y la EE es que, mientras la autocorrelación serial vincula variables en una sola dirección, entre un periodo y el siguiente o el anterior (años, días, trimestres, meses, etc.), la autocorrelación espacial vincula variables no homogéneas agrupadas de formas muy diversas en el espacio.

Es decir, plantea relaciones multidireccionales, donde cada observación posee distintas características (distintos tamaños, distintas ubicaciones, distintas distancias entre ellas, etc.).

La EE reconoce usualmente dos instrumentos a través de los cuales se puede expresar la dependencia espacial y con ello resolver el problema de la multidireccionalidad en la modelación de este efecto espacial: las matrices de pesos y los retardos espaciales.

Matrices de pesos espaciales

Un instrumento que fusiona el hecho de la interdependencia y las relaciones multidireccionales son las matrices de pesos espaciales, de retardos o contactos, definida con la letra W (por la palabra inglesa weight, peso) y representada de la siguiente forma:

[3]

Esta matriz deberá ser simétrica, transpuesta y, por tanto, cuadrada, sus elementos w _ij representan la interdependencia existente entre las regiones i y j, y serán no estocásticos y exógenos al modelo (^{Vaya y Moreno, 2000, p. 23}; ^{Anselin, 1999, p. 6}).

Aunque se reconoce que no hay una forma estándar de construir esta matriz, la propuesta por Moran y Geary, basada en la noción de contigüidad binaria entre unidades espaciales (de primer orden), sigue siendo vigente y de gran utilidad.

Así, los elementos w _ij toman los valores binarios de 0 si las regiones i y j no son vecinas (o adyacentes) y 1 si lo son (es decir el valor de sus pesos serán no negativos y finitos) en función de la definición que se adopte en su construcción. Por ejemplo, si se considerán distancias en lugar de vecindades para contigüidad entre ciudades (o estados, etc.), lejos podría valorarse con 0 y cerca con 1.¹²

Dado que no existe una definición generalizada de lo que debe ser la matriz de peso espacial (salvo por el reconocimiento que sus valores sean no negativos y finitos), en la literatura existente se puede encontrar otro tipo de matrices de pesos que puede emplearse de la misma forma que la descrita, en función de los objetivos de investigación o criterios de análisis, entre las más usuales se encuentran las siguientes (^{Vaya y Moreno, 2000, pp. 24-25}):

1. Matriz de distancias: basada en la distancia entre regiones se define como wij=dij-aβijb, donde d _ij es la distancia entre las unidades i y j, y β _ij la longitud relativa de la frontera común entre i y j, relacionada al perímetro i, con parámetros a estimar a y b. Otra medida similar es w _ij = γ _ij β _ij α _i donde a diferencia del anterior γ _ij es un factor de contigüidad binario y α _i el área de la región i con relación a la total.

2. Matriz inversa de distancias: en ésta la intensidad de la interdependencia entre dos regiones disminuirá con la distancia que separa los centros respectivos. (w _ij = 1/d) ⁿ .

3. Matrices alternativas: evaden el tratamiento de la contigüidad o proximidad física, sobresalen matrices basadas en la distancia económica entre regiones, o que capturan el grado de intercambio comercial entre regiones analizadas.¹³

Adicionalmente, todas estas matrices pueden estandarizarse, dividiendo cada elemento w _ij por la suma total de la fila a la que pertenece, donde la suma de cada fila será igual a la unidad (w _ij /Σ w _ij ). Con ello se busca ponderar por igual la influencia total de cada región con sus vecinas; sin embargo, la estandarización no siempre es adecuada para matrices basadas en el concepto de distancia, por los problemas de asimetría que pueden surgir y, por tanto, de interpretación o significado (^{Vaya y Moreno, 2000}).

Retardos espaciales

A diferencia del análisis de series temporales en que las observaciones de variables independientes y dependientes presentes y pasadas encuentran correspondencia, tal situación no se cumple de la misma manera entre variables espaciales.¹⁴

Por ello, la noción de cambio (entre periodos shift) es asimilada en la EE a través de la noción de cambio espacial, pero en análisis de tipo regional, basado en la utilización de mapas como fuente de información; este concepto pierde fuerza por la multiplicidad de relaciones existentes (multidireccionalidad, falta de grados de libertad, etc.) que no permiten el cálculo de parámetros eficientes.

Como solución a ello, la EE plantea el operador de retardos espaciales, el cual consiste en un promedio ponderado de variables aleatorias en localizaciones vecinas -con ponderaciones fijas y exógenas- (^{Anselin, 1999, p. 5}; Vaya y Moreno, 2000a, pp. 26-27).

El operador de rezagos espaciales se forma definiendo para cada localización yi a su vecino en la correspondiente columna como un elemento distinto de cero w _ij en una matriz de pesos espaciales W positiva y no estocástica, siendo cada elemento de una variable retardada espacial (igual al promedio ponderado de los valores de la variable en el subgrupo de observaciones vecinas llamado Si, dado w _ij =0 para j≠Si) de la siguiente manera:

[4]

Definido así el producto de la matriz de pesos por el vector de observaciones de una variable aleatoria (Wy), en que w _ij son pesos espaciales y y un vector de observaciones de la variable aleatoria Nx1.¹⁵

A pesar de su utilidad, se debe ser cuidadoso con el tipo de matriz de pesos espaciales que se trabaje, ya que se plantea que una matriz estandarizada, por ejemplo, no siempre arrojará información económicamente interpretable o significativa (^{Anselin, 1988, pp. 23-24}; ^{Vaya y Moreno, 2000, pp. 27-28}).

Tipologías de modelos espaciales: especificación, estimación y detección

Después del análisis de dependencia espacial, el siguiente paso es analizarla en modelos de regresión espaciales basados en las formas generales en que se puede representar e incorporar la dependencia espacial.

Para ello partimos de la presentación “formal” del modelo lineal clásico en el Cuadro 1, a fin de diferenciarlo de las estructuras espaciales, así como de las consecuencias e implicaciones de introducir la dependencia espacial en cada estructura espacial.

Los estimadores del modelo serán MELI (BLUE), teorema Gauss-Markov.

Fuente: ^{P. Kennedy (2003, p. 50)}.

Cuadro 1: Características del modelo de regresión lineal clásico 

Derivado de lo anterior, podemos establecer de manera muy sucinta que la diferencia entre la econometría clásica (o estándar) y la EE se basa en el tratamiento e incorporación de los dos efectos espaciales comentados en el tercer apartado, en términos de ^{LeSage (1999)}: “la econometría tradicional ha ignorado estos dos elementos que violan los supuestos de Gauss-Markov usados en la modelación de regresiones.”

Esto implica, por un lado, que la dependencia espacial viola el supuesto de que en un muestreo repetitivo las variables explicativas son fijas e independientes y, por tanto, ni éstas ni sus residuos seguirán una distribución normal e independiente. Por el otro, la heterogeneidad espacial viola el supuesto de que existe una sola relación lineal a lo largo de observaciones de una muestra de datos, lo cual evidencia problemas de heteroscedasticidad.

Siguiendo a ^{Novales (1997, p. 161)}, podemos recordar que una de las propiedades del estimador de MCO de los coeficientes de un modelo lineal plantea que el término de error tiene una matriz de covarianzas escalar (todos sus elementos son cero, excepto los de la diagonal principal que son igual a σu²). Existen dos situaciones en que esta matriz posee una estructura distinta: una de ellas es cuando la varianza del término de error es distinta de unas observaciones a otras (heteroscedasticidad, vinculada al segundo efecto espacial) Var(u _t )= σ² _t , con σ² _t ≠ σ² _s para t≠s, en datos de sección cruzada ocurre si Var(u _i )= σi², con σi² ≠ σj², para i≠j.

Una segunda situación ocurre cuando, con datos de series temporales, los términos de error correspondientes a distintos periodos no son independientes entre sí; es decir, Cov(u _t , u _t-k ) = E(u _t , u _t-k ) ≠ 0 para algún K>0. Esto hace que los elementos fuera de la diagonal de la matriz de covarianzas no sean todos nulos, por lo que ésta no será diagonal. Situación denominada autocorrelación, que refleja el hecho de que el término de error está correlacionado consigo mismo a través del tiempo.

Cuando dicha situación se presenta en muestras de sección cruzada se le denomina autocorrelación espacial antes definida y explicada, como el primer efecto espacial. La econometría convencional presenta pruebas para tratar con problemas de heteroscedasticidad, y autocorrelación serial, pero no así para tratar la autocorrelación espacial, de ahí la importancia de la EE.

La dependencia espacial (según el tipo) en modelos de regresión aparece como consecuencia de autocorrelación en variables dependientes o independientes y por la aparición de un esquema de dependencia espacial en las perturbaciones.

Estas variantes vinculadas al tipo de dependencia espacial se pueden traducir a su vez en distintas formas de incorporación a los modelos de regresión espacial a través de matrices de peso para su especificación como antes se señaló, tales como:

Dado que nuestra intención es centrarnos en una visión global de estas técnicas, por motivos de espacio nos enfocaremos a la modelación general y descriptiva estándar de estas variantes.¹⁸

Las matizaciones señaladas, están detrás de la determinación o elección del tipo de modelo espacial a especificar más adecuado para tratar con los efectos espaciales detectados, cuyas variantes más usuales son:

Estos dos tipos de dependencia (residual y sustantiva) determinarán el tipo de especificación del modelo a seguir (en tres especificaciones generales). Una característica común de las formas generales de procesos espaciales es la consideración de formas autorregresivas, que de esa manera podrán captar el efecto multidireccional de las variables espaciales.

Así, la primera estructura (especificación) general (simultánea) que se propone en forma matricial, derivada de la estructura del modelo lineal (y=XB+e), se denomina modelo espacial autorregresivo de primer orden que plantea la siguiente forma:

[5]

Donde y y u son vectores de variables y el término de error, respectivamente, y W la matriz de pesos espaciales.¹⁹ El término ρWy es la estructura autorregresiva en la variable dependiente que intenta explicar el modelo (el rezago espacial en la variable dependiente). Dentro de esta especificación se puede derivar una amplia gama de modelos, que pueden incluir la combinación de estructuras autorregresivas y procesos de medias móviles, adicionalmente la disponibilidad de información también influye sobre la variedad de estructuras modelables.

En ese sentido, las especificaciones más usuales de modelos espaciales que se proponen se caracterizaran por su estructura lineal autorregresiva; así se identifican dos tipos como punto de partida de las derivaciones que puedan existir: modelos de regresión espaciales con datos de corte transversal (tipo1) y modelos de regresión lineal para datos que combinan tiempo-espacio (tipo 2).

Retomando la definición de dependencia espacial como “la situación en que la variable dependiente o el término de error en cada localidad está relacionada con observaciones de la variable dependiente o valores del término de error en otras localidades”, el caso general se puede mostrar formalmente como:

[6]

La estructura que requiere la dependencia espacial para estimar en un caso de este tipo viene dada por la matriz de pesos W, que reduce el número de parámetros desconocidos a uno (el coeficiente de asociación espacial del proceso espacial autorregresivo o en el proceso espacial de medias móviles).

Como señala ^{Anselin (1992)} las consecuencias de ignorar autocorrelación espacial en un modelo de regresión cuando está presente, dependen de la forma de la hipótesis alterna. Habrá dos casos básicamente, como se mencionó, que se derivan de la primera especificación y que recogen algún tipo de dependencia. En el primero, la autocorrelación espacial ignorada se vincula a la variable dependiente (y), identificando tal caso con un modelo de rezago espacial (modelo Lag) o de dependencia espacial sustantiva.

Así, la segunda especificación (basada en el modelo base del tipo 1), se reflejaría en un modelo mixto regresivo-autorregresivo espacial de primer orden (conocido como modelo Lag o de retardo espacial) que tendrá la siguiente forma (rezago más otras variables explicativas):

[7]

Donde y es un vector Nx1, Wy el retardo espacial de la variable dependiente y X una matriz de K variables exógenas, u un término de perturbación ruido blanco, y ρ el parámetro espacial autorregresivo, con H₀=ρ=0. Si tal forma de autocorrelación espacial se ignorara, los estimadores de MCO serían insesgados y la inferencia basada en el modelo de regresión clásica (un modelo sin Wy) sería incorrecta.

La tercera especificación, relacionada con la autocorrelación espacial vinculada al término de error, o autocorrelación residual (error espacial), plantea el modelo base tipo 2²⁰ cuya estructura formal plantea un proceso espacial para los términos de error, también conocido como modelo con perturbaciones espaciales autorregresivas de primer orden:

[8]

Donde X _it es un vector renglón de observaciones para la unidad espacial i en el periodo t, β _it es un vector de parámetros específicos tiempo-espacio y ε _it es un término de error con las siguientes condiciones: E[ε _it ] = 0 y E[ε _it , ε _js ] ≠ 0.

La segunda condición posibilita la existencia de varias opciones de modelar las dependencias tiempo-espacio y patrones de heterogeneidad espacial si la varianza se considera constante, o la existencia de algún efecto espacial.²¹

Con Wε como el rezago especial en el término de error, λ como el coeficiente autorregresivo y u con un término de error bien comportado (homoscedástico e incorrelacionado). En este caso la hipótesis nula seria H₀=λ=0, y las consecuencias de ignorar dependencia espacial en el error son las mismas que para la heteroscedasticidad, los estimadores de MCO permanecen insesgados, pero no eficientes, al ignorar la correlación entre términos de error.

El análisis y detección del tipo de dependencia espacial del modelo que se desarrolle o con el que se trabaje, es clave para la correcta especificación y aplicación de un método de estimación que permita inferir sobre la teoría que desde la ciencia regional se proponga.

De acuerdo con lo anterior, el origen de la autocorrelación espacial determina el tipo de especificación del modelo de regresión a seguir que incorpore este efecto espacial en su estructura; así, los siguientes modelos mostrados en los Cuadros 2 y 3 son los más utilizados en la EE, al incorporar variantes en las restricciones (Vaya y Moreno, 2000b; ^{Anselin, 1999}).²²

Fuente: elaboración propia basada en ^{Vaya y Moreno (2000)}.

Cuadro 2: Variantes de modelos espaciales 1 

Elaboración propia basado en ^{Vaya y Moreno (2000)}

Cuadro 3: Variantes de modelos espaciales 2 

Cabe destacar que el común denominador de las especificaciones antes descritas es que la dependencia espacial se ha incorporado al término de error en una estructura autorregresiva de primer orden que es lo comúnmente usado, aunque se puede modelar de manera distinta (con órdenes superiores). Para ello se sugieren algunas especificaciones como las siguientes (casos 4 y 5):

Finalmente, se debe señalar que las especificaciones [7] y [8] están relacionadas directamente con los conceptos de autocorrelación espacial sustantiva y residual respectivamente, las cuales se conceptualizan de la siguiente forma:

Métodos de estimación

Una vez detectado el tipo de dependencia espacial (sustantiva o residual) podemos analizar los métodos más adecuados para estimar bajo dependencia espacial, sea cual sea ésta, dado que MCO deja de ser del todo útil.²⁵

En concreto y de forma general se consideran dos métodos de estimación, el primero y más utilizado es el método de máxima verosimilitud (MV) y el segundo, el método de variables instrumentales (VI). Como procedimiento alternativo, para muestras grandes y para tratar la dependencia espacial simultánea, también se pueden usar métodos condicionales como el coding method basado en MCO sobre un subconjunto de observaciones no contiguas.²⁶

Respecto a máxima verosimilitud, siguiendo a ^{Vaya y Moreno (2000)}, obsérvese el Cuadro 4.

Fuente: ^{Vaya y Moreno (2000a, pp. 102-103)}. Se abunda en este método dado que es el más utilizado y también es accesible para trabajar con él mediante programas econométricos como SpaceStat.

Cuadro 4: Estimación por máxima verosimilitud 

Por otra parte, el método de VI consiste muy sucintamente en eliminar la correlación entre la variable endógena rezagada (espacialmente) y el término de error (por lo que se usa principalmente en modelos tipo Lag), para lo cual se busca una (o varias) variable(s) o instrumento(s) Q, aproximada(s) a la variable dependiente original (Z = [yL, X]) y correlacionadas con ésta pero no con las perturbaciones, resolviendo para el parámetro θ, que es el estimador de VI θ _VI. Matricialmente:

[9]

La técnica de VI se presenta como una alternativa a la de MV; sin embargo, su utilización genera estimadores consistentes e insesgados pero no eficientes, cuya pérdida de eficiencia se vincula al tamaño de la muestra. Ambos casos plantean limitaciones que son importantes considerar en el desarrollo de una investigación, sin embargo en términos generales estas metodologías son las más utilizadas.²⁸

Detección de la dependencia espacial

En concreto se identifican tres estadísticos de contrastación de dependencia espacial dentro del análisis exploratorio, que son complementarios: la I de Moran, la C de Geary y el Contraste G(d) de Getis y Ord, en los que se puede usar cualquier definición de W, usualmente estandarizada (salvo en el caso de la G(d) que requiere una matriz simétrica) aunque la definición de W influirá en los resultados (los respectivos estadísticos se definen en el Cuadro A1 del anexo final).

Un instrumento adicional que podemos utilizar para la contrastación del grado de dependencia espacial de las variables, es el diagrama de dispersión (scatter plot) de Moran, ilustrado en el Diagrama 1.

Fuente: basado en ^{Vaya y Moreno (2000)}.

Diagrama 1: Scatterplot de Moran 

La forma en que se encuentren los puntos sobre el diagrama de Moran indicará el tipo de autocorrelación. Si el diagrama no muestra uniformidad en las observaciones representadas, indicará ausencia de autocorrelación, si los datos agrupados describen una diagonal, dependiendo de la pendiente (igual al valor del contraste de la I de Moran) habrá autocorrelación positiva (pendiente positiva, cuadrantes I y III) o negativa (pendiente negativa, cuadrantes II y IV).

Siguiendo las estructuras en que se puede especificar la autocorrelación en los modelos de regresión (Lag o Error), existe una serie de estadísticos propuestos para la dependencia espacial sustantiva y residual dentro del análisis de regresión. Originalmente en ^{Anselin (1999)} se sugieren sólo tres estadísticos: un estadístico global de autocorrelación Moran I, una para estructuras de rezago LM-LAG y una para estructuras de error LM-ERR.

En concreto, para evaluar la omisión errónea de un retardo espacial de la variable endógena (dependencia espacial sustantiva), ésta se puede contrastar con pruebas basadas en el principio del multiplicador de Langrange (LM por sus siglas en inglés) o Rao Score (RS). (Véase Cuadro A2 del anexo final para los contrastes de dependencia espacial sustantiva.)

En cuanto a la autocorrelación espacial residual, se contrasta con dos tipos de pruebas. Las primeras y más comunes; la I de Moran y Kelejian-Robinson (K-R), y las segundas, basadas en los principios de máxima verosimilitud y el multiplicador de Lagrange, las pruebas LM-ERR y LM-EL (véase Cuadro A3).

Consideraciones finales

Dada la similitud de la dependencia espacial en modelos espaciales con los modelos de series temporales, se puede pensar que las propiedades de los estimadores con variables dependientes rezagadas o correlación serial residual se pueden trasladar al caso espacial, pero no es así debido a la naturaleza multidireccional de los modelos espaciales usados en la ciencia regional.

Así, la utilización de la econometría clásica, y métodos convencionales de ésta como mínimos cuadrados ordinarios, y algunas de las pruebas usadas para detectar y tratar la dependencia temporal, pueden quedar invalidadas en algunos de los casos aquí especificados de existir dependencia espacial sustantiva o residual.

En ese sentido, la EE se presenta como una alternativa interesante dentro del contexto actual, en el que muchas investigaciones de corte regional, geográfico o espacial enfatizan la importancia de lo local y regional sobre lo global o agregado. Se deja constancia así de los aspectos más sobresalientes de esta técnica para futuras investigaciones en el caso mexicano, como complemento de otras en proceso y como aportación a la difusión de la EE en lengua española, esperando con ello una mayor utilización y profundización de aspectos tanto teóricos como empíricos en la materia.