El método del préstamo equivalente

Valorar una corriente de flujo requiere formular todos los ingresos y egresos tanto explícitos como implícitos o de oportunidad. Esa es una de las características distintivas del método conocido como del préstamo equivalente (MPE) (^{Myers et al., 1976}) para determinar el valor actual de la corriente de pagos correspondientes a un contrato de arrendamiento financiero. En su formulación original:

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donde la diferencia CA₀−CFI=V₀ representa el valor de adquisición menos el crédito fiscal originado por la adquisición del bien², ff _t = − p _t + af _t − pf _t es el flujo de fondos integrado por los pagos de cánones ajustados por los costos y ahorros fiscales de la operación, en donde c _t = p _t − af _t ; siendo p _t pago del contrato; af _t ahorro fiscal del periodo del canon y pf _t desahorro fiscal de las amortizaciones; r * es la tasa de costo de la deuda antes de impuestos, go _t los gastos operativos a cargo del tomador, EVRN el valor esperado de rescate (si lo hubiese); k el costo del capital del activo y N la fecha de vencimiento correspondiente al contrato. El costo financiero del contrato mediante el presente método se determina de la siguiente manera:

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Si la tasa r _^y > r *; VAN (L)>0, la elección es arrendar; en caso contrario se activa la opción de compra financiada.

En la medida que el contrato no prevea opciones el MPE se constituye en una útil herramienta para analizar la conveniencia del arrendamiento frente a la compra. Si el acuerdo incorpora alternativas (por ejemplo, la compra, la cancelación anticipada, la extensión, la emisión de títulos colaterales convertibles en activos financieros, entre otras) es menester capturar el valor de dicha flexibilidad. En este punto se propone combinar el MPE con los conceptos de la teoría de opciones reales y, consecuentemente, el de valor expandido de una serie de pagos contingentes derivados del contrato de arrendamiento.

El valor de las opciones reales

La teoría financiera, a través de la teoría de opciones, provee de los modelos de valuación de opciones reales cuantificando el valor adicional de las oportunidades de potenciar ganancias y limitar pérdidas que eventualmente presente el proyecto (^{Dixit y Pindyck, 1994}). Los modelos de opciones reales tienen por fin calcular el valor expandido o estratégico (^{Trigeorgis, 1997}) entendido como la suma del valor actual neto estático (descuento de flujo de fondos) y el valor de las "opciones reales" operativas y estratégicas de la inversión. La valuación de las opciones reales contenidas en proyectos de inversión, empresas en marcha y activos reales ha quedado reservada preferentemente para los modelos planteados en tiempo discreto. Son utilizados en el planteo de modelos de decisión y en la mayoría de las aplicaciones de opciones reales (^{Trigeorgis, 1995}, ¹⁹⁹⁷; ^{Luherman, 1998}; ^{Amram y Kulatilaka, 1998}; ^{Mun, 2004}), reconociendo sus raíces en el clásico modelo binomial (^{Cox, Ross y Rubinstein, 1979}). Debido a su versatilidad, se adapta a distintas modalidades y adecuaciones según: a) se trabaje con rejillas o árboles (^{Brandao, Dyer y Hahn, 2005}; ^{Smith, 2005}); b) el enfoque propuesto sea binomial o trinomial (^{Rendleman y Bartter, 1979}; ^{Jarrow y Rudd, 1982}; ^{Boyle, 1988}; ^{Rubinstein, 2000}; ^{Jabbour, Kramin y Young, 2001}; ^{Chance, 2007}); c) probabilidades objetivas, equivalentes ciertos y probabilidades implícitas (^{Rubinstein, 1994}; ^{Derman, Kani y Chriss, 1996}; ^{Arnold, Crack y Schwartz, 2004}; ^{Arnold y Crack, 2003}); d) momentos estocásticos de orden superior y transformaciones sobre la distribución binomial (^{Rubinstein, 1998}; ^{Haahtela, 2010}; ^{Milanesi, 2012}; ^{Milanesi, Pesce y el Alabi, 2013}); e) enfoques para la estimación de la volatilidad (marketed asset disclaimer [MAD]: riesgos de mercados y privados-volatilidades cambiantes) (^{Smith y Nau, 1995}; ^{Copeland y Antikarov, 2001}; ^{Haahtela, 2011}), y f) aplicaciones de teoría de juegos (^{Smit y Trigeorgis, 2004}).

Notado como (VE) , el valor expandido o estratégico representa la suma entre el valor actual estático (VA) y el valor actual de las opciones (VO) (^{Trigeorgis, 1997}). En la valoración de arrendamiento con opciones el valor expandido del contrato (VEL ₀ ) es la suma del valor estimado MPE, VANL y el valor actual de las opciones contenidas en el contrato (L ₀ ), conforme queda expresado en la siguiente ecuación:

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donde V ₀ representa el valor de adquisición neto de créditos fiscales del activo, r _^* el costo de la deuda antes de impuestos, ff _t el flujo de fondos neto de impuestos del leasing y L ₀ el valor actual esperado de las opciones del contrato.

En el trabajo se propone valorar las opciones reales del contrato (L ₀ ), con el clásico modelo binomial CRR (^{Cox et al., 1979}). Este se desarrolla en un ambiente neutral al riesgo, lo que implica que el mismo permite valorar las opciones en términos de sus flujos de fondos esperados, actualizados desde el vencimiento hasta el presente suponiendo que los flujos crecen a la tasa libre de riesgo. Consecuentemente, la tasa a la cual crece el subyacente no afecta el valor del derivado, pero la volatilidad relacionada con los rendimientos del subyacente cobra significatividad en el valor de la opción³. La valuación neutral al riesgo en opciones requiere que exista perfecta correlación entre los cambios en el valor de la opción y del activo subyacente, debido a que las variaciones de este son el único factor de riesgo para el derivado. Por ejemplo, una cartera compuesta por una posición larga en la opción y la adecuada posición corta en el subyacente no debería tener ningún tipo de fluctuación aleatoria, ya que las variaciones en el precio de la acción (posición corta) se balancean con las variaciones en la opción de compra. El resultado de la estrategia precedente consiste en una cartera que genera un rendimiento equivalente al tipo libre de riesgo, y la clave para su construcción consistió en determinar la cantidad de acciones a ser vendidas en corto. Esta cantidad se conoce como "Delta", y se estima a partir de un modelo financiero⁴.

La valuación neutral al riesgo permite valorar derivados proyectando o simulando recorridos neutrales al riesgo correspondiente al subyacente para calcular los flujos de fondos de la opción. Estos son recursivamente actualizados a la fecha de valoración para finalmente ser promediados y obtener el valor intrínseco del derivado; por lo tanto, el valor promedio de los flujos de fondos esperados actualizados de la opción es el valor teórico de la opción.

Por lo tanto, en la valoración de las opciones reales de una inversión empleando el modelo binomial en un entorno neutral al riesgo se requiere primero estimar los coeficientes de ascenso (u) y descenso (d) . Los parámetros indicados son la base para derivar los coeficientes equivalentes ciertos y la rejilla binomial para construir el recorrido estocástico del activo subyacente. Su cálculo requiere estimar la medida de volatilidad (σ) ⁵ correspondiente al subyacente, ya que u=e^σ√t y d=e^-σ√t. De estos surge la expresión de coeficiente equivalente cierto: p = (e ^{( r − δ )} − d )/(u − d ) y 1 − p , respectivamente. En la expresión anterior, r representa la tasa libre de riesgo y δ el rendimiento de conveniencia (convenience yield) . Este último, para el caso de activos financieros (acciones y bonos) es representado por dividendos o retornos, mientras que para los commodities se integra por la diferencia entre los beneficios derivados de la disponibilidad inmediata del bien menos sus costos de acarreo.

La expresión general utilizada para estimar el valor actual de las opciones contenidas en el contrato es:

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donde L _{j( T)} representa el valor al vencimiento que adoptan las diferentes modalidades de opciones para el j-ésimo nodo (j = (0...n)) ; T representa el periodo de tiempo correspondiente al ejercicio de la opción; r es la tasa libre de riesgo y p, 1-p son los coeficientes equivalentes ciertos. La ecuación precedente representa la versión sintética del proceso recursivo utilizado en la valoración de opciones aplicando el método binomial.

En la siguiente sección serán desarrolladas las ecuaciones correspondientes a los valores al vencimiento L _{j( T)} de distintas modalidades de opciones contenidas en los contratos de arrendamiento. Conforme fue expuesto, determinado el valor al vencimiento de las opciones, su valor actual se obtiene mediante la ecuación 4. En primer lugar son expuestas 4 tipologías de opciones simples contenidas en los contratos de leasing: de compra, cancelación anticipada, renovación y de renovación-compra. Seguidamente las expresiones correspondientes a contratos con opciones complejas: de riesgo (venture lease) ; con canon atado a la intensidad de uso (percentage lease) ; con diferimientos de pago (lease with deferred payment).

Cabe aclarar que el titular de la opción es el tomador (arrendatario) en todas las modalidades estudiadas en este trabajo, con la excepción de los contratos de venture leasing y percentage leasing . Por lo tanto, desde la perspectiva del arrendatario el valor actual de la opción L ₀ incrementa el valor expandido (VEL ₀ ) (ecuación 3). En los casos del venture leasing y percentage leasing la titularidad de las opciones está concebida a favor del dador, con el fin de incentivar a este a la entrega de activos bajo la modalidad de arrendamiento. En estos casos, desde la perspectiva del tomador, el valor de la opción reduce el valor actual neto expandido.

Opción de compra

La opción de compra se encuadra dentro del grupo de opciones simples, de uso frecuente en los contratos de arrendamiento. Otorga al tomador el derecho de obtener la propiedad del bien a cambio del pago de un precio de ejercicio (EX _t ). En términos de opciones financieras se asemeja a un call , por lo tanto su valor terminal es:

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El ejercicio de la opción de compra se efectiviza en la medida en que el valor del bien V _t supere el precio pactado. Si el ejercicio se pacta para una fecha determinada (T ), la opción es del tipo europeo; en caso contrario, si el ejercicio se efectiviza antes del vencimiento del contrato, es del tipo americano⁶. En este el ejercicio se determina comparando para cada periodo (t<T ) el valor terminal con el valor teórico de la opción de compra. Si el V _t > L _{OC, t} , la opción debe ser ejercida; en caso contrario, se continúa con el contrato.

Opción de cancelar anticipadamente

Esta cláusula permite al tomador cancelar de manera anticipada el contrato de arrendamiento, siendo este el titular de la opción. Cuando el valor actual de los flujos de fondos provenientes de continuar las operaciones generados por el subyacente (VC _t ) menos el valor actual del saldo de pagos del leasing (VL _t ), en el instante T es menor que la multa por pago anticipado P , la opción de cancelación anticipada es ejercida. Su valor terminal se expresa de la siguiente manera;

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En función al momento en que se pacte la oportunidad de cancelar anticipadamente el tratamiento de la opción, se asimila a opción de compra europea o americana. Para este último caso, si en el instante t<T el valor terminal es mayor al teórico VT _t > L _{CA, t} , la opción debe ejercitarse, con la correspondiente cancelación anticipada del contrato.

Opción de renovar el contrato

Esta opción permite al tomador, titular de la opción, extender el contrato por plazo de tiempo adicional N ′. Si el vencimiento original se pacta N = T , la cláusula de renovación dispone la opción de extensión a N + N ′ periodos. Su tratamiento se asemeja al de la opción con cancelación anticipada (ecuación 6), ya que se supone vencimiento ficticio del contrato en el nuevo plazo (N ′ = N + t ) y su correspondiente ejercicio de la opción de cancelar anticipadamente en el plazo original (N ), sin penalidad alguna. La opción de renovar se ejerce siempre que el valor actual de los flujos de fondos provenientes de las operaciones del bien menos el valor actual del saldo de pago del contrato sea positivo:

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En varias ocasiones se conjugan 2 opciones: a) compra del activo en el vencimiento inicialmente pactado (N = T ), y b) renovación del contrato para extenderlo a un nuevo vencimiento N ′ = N + t , la de mayor valor. Para este caso el valor terminal de la opción surge como el máximo valor entre la opción de renovar sin penalidad (ecuación 7) y la opción de compra (ecuación 5) consecuentemente:

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Arrendamiento con colateral convertible (venture leasing)

Esta clase de producto financiero posibilita el acceso al uso de activos fijos de alto valor en empresas de base tecnológica típicas de sectores biotecnológicos, de capital cerrado, en sus diferentes etapas (desarrollo, expansión y madurez), financiando necesidades de infraestructura y equipamiento específico. Estos contratos se complementan con el aporte de capital privado de parte de inversores de riesgo (venture capital) . Una de las principales ventajas consiste en morigerar la dilución de la participación en el capital de parte de los emprendedores fundadores, ya que el proyecto o la inversión incremental en tecnología no se financia íntegramente con capital de riesgo privado, empleando el venture leasing como alternativa de financiamiento con colateral (^{Klieman, 2001}).

Bajo esta modalidad el arrendatario suscribe un contrato donde se compromete a pagos en concepto de alquiler del equipo y paralelamente se estructura como colateral y en carácter de compensación por el riesgo adicional que significa un arrendatario start-up ⁷, la emisión de bonos (warrants) convertibles en participaciones de capital⁸. Los títulos son ejercibles en una fecha determinada con las siguientes opciones para el dador titular de la opción: a) percibir una serie de pagos con valor actual M , o b) comprar acciones del arrendatario a un precio de ejercicio K. A menudo se pactan cláusulas de protección del arrendatario, ya que si el emprendimiento es exitoso y la diferencia entre el valor de cotización de la parte de capital correspondiente a la firma (S ) y el precio de ejercicio pactado (K ) excede el valor del warrant (M ), la opción de conversión expira. Consecuentemente, el valor terminal de la opción es asimilable a una opción de compra europea valor límite M , siendo el flujo de fondos terminal:

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Según la expresión anterior, al vencimiento el arrendatario paga el valor de la opción o el valor actual de los flujos de fondos del warrant . Al desagregar la ecuación anterior se obtiene:

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Desarrollando la expresión anterior, se plantea el valor terminal de la opción de la siguiente manera:

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La opción tiene un límite de valor igual a M y se expresa como la diferencia entre 2 call europeas con precios de ejercicio K y K+M , respectivamente. En otras palabras, para estimar el valor terminal se considera la diferencia de 2 opciones de compra europeas (call 1 y call 2) con diferentes precios de ejercicio. El límite de máximo pago M actúa como cláusula de protección para el arrendatario, ya que por debajo del valor del warrant , el arrendador ejerce la opción de adquirir acciones o partes de capital correspondientes al emprendimiento a un precio de ejercicio K .

Canon fijo y porcentaje (percentage lease)

Esta modalidad de arrendamiento vincula parte de los flujos de fondos que recibe el dador al grado de intensidad o uso del activo objeto del contrato⁹. A cambio, este se compromete a mantener en perfecto estado operativo el bien, reduciendo el riesgo asumido por el arrendatario ante potenciales desperfectos por su utilización. La presente modalidad es empleada con frecuencia en el caso de arrendamientos sobre inmuebles, en donde el tomador se compromete al pago de un canon base y un porcentaje sobre el nivel de ingresos¹⁰ (^{Wheaton, 2000}). En los contratos de alquiler sobre locales en espacios comerciales se establece un valor fijo por metro cuadrado y un porcentaje sobre ingresos por ventas en tanto y en cuanto se supere un determinado precio de ejercicio. A menudo el precio de ejercicio por metro cuadrado se estima como el ratio entre el valor fijo del alquiler y el porcentaje¹¹, conocido el resultado como punto de equilibrio del contrato.

Esta modalidad de contrato permite promover disminuciones en el costo fijo del canon y trasladar el riesgo del negocio producido por la volatilidad de los ingresos por ventas al dador o propietario del inmueble. Asimismo, y dependiendo de las características del contrato, se pueden incorporar cláusulas a favor del tomador y dador limitando el monto total de ingresos empleados como base de cálculo con techos (caps) y pisos (floors) ¹². Siendo I _t los ingresos por ventas en el momento T , K el nivel mínimo de ventas pactado y α el porcentaje de ventas pagadas al arrendatario, el valor terminal de la opción contenida en el contrato es: si las ventas (I) exceden el nivel precio de ejercicio o punto de quiebre (K) , el dador recibe un pago adicional al canon al vencimiento T de una suma I-K o αI ; el menor de los dos, conforme surge de la siguiente expresión:

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De la expresión anterior se deriva que el valor terminal correspondiente a las opciones del contrato se desagrega en 2 opciones de compra europeas, con igual fecha de vencimiento pero diferentes precios de ejercicio: K y K/1-α .

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Premio y pago diferido del activo (lease with deferred payment)

Existen modalidades de contratos de leasing en que el arrendatario solamente paga el alquiler por su uso, pero se pueden disponer cláusulas donde se otorgue la opción exclusiva o preferencial de adquirir el activo arrendado a un ventajoso y diferido precio (K) al vencimiento del contrato. El tomador abona un derecho exclusivo D más el valor de la opción de compra K . El derecho exclusivo se paga al vencimiento (T) , siempre que el precio de mercado del bien sea superior al precio de ejercicio más el derecho que se paga. El premio D no tiene valor constante, y a menudo se pacta como fracción del valor del bien (V) . Consecuentemente, el valor del premio a pagar es contingente: D _{T,( i, j)} = α × V _{T( i, j)} y pagadero en tanto V _T > K + D . El valor terminal de la opción queda expresado en la siguiente ecuación:

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El método del préstamo equivalente

Se presenta un caso donde una empresa de servicios turísticos radicada en la provincia de Buenos Aires, Argentina, se encuentra estudiando la alternativa de alquilar o comprar un bus de media distancia afectada al traslado de pasajeros en viajes locales. Se trata de la compra de un bus Volkswagen 18320 EOT de media y larga distancia modelo 2014 cuyo costo de adquisición en t=0 es V ₀ = $1.529.000. En este caso, según las normas tributarias locales la compra no genera crédito fiscal (CF) a favor del adquirente. Existe la posibilidad de suscribir un contrato de arrendamiento con la entidad Nación Leasing perteneciente al Banco de la Nación Argentina. El leasing base establece las siguientes condiciones: 36 pagos mensuales, vencidos y consecutivos de valor p _t = $63,498 cada uno. A mes adelantado la cuota 37 otorga el derecho a ejercer la opción de compra pactada en un 5.5% del valor convenido ($84,477). A los efectos de simplificar los cuadros, se suponen pagos anuales coincidentes con el año calendario, tal que el flujo de fondos anual correspondiente al pago de cuotas asciende a $761,976.00. Los costos de transacción producto del contrato son consideraros un flujo incremental provocado por leasing. Estos se integran por la comisión cobrada por la entidad financiera 2% ($37,001.80) e impuesto de sellos sobre contrato 4% ($67,889.77)¹³. Estos son abonados al momento de perfeccionar la operación jurídica, consecuentemente disminuyendo el valor producto del ahorro de fondos que provoca el leasing en comparación a la compra.

Tanto el seguro a pagar como los impuestos sobre el rodado son un flujo no incremental cuando se estudian las alternativas de compra versus arrendamiento¹⁴. Por razones de simplicidad se supone que en el supuesto de compra se contrata con la misma entidad aseguradora similar cobertura. Otros datos adicionales: vida útil asignada a los rodados según las normas fiscales es de 5 años, depreciación del 20% anual, alícuota marginal del 35% correspondiente al impuesto a las ganancias, costo de tomar deuda para financiar la compra antes de impuesto promedio para préstamos prendarios¹⁵r * = 30%; tasa libre de riesgo r= 10%. A continuación se calcular el valor actual neto y costo financiero sin opciones aplicando el MPE. Para facilitar la exposición de las tablas, los valores se presentarán en magnitudes anuales. En la tabla 1 se presentan los flujos de fondos del contrato.

El valor actual de los pagos del leasing VAL=∑t=0Nff_t(1+r*)^-t es de −$1,160,171.41, y el valor actual neto del contrato (comprar-financiar versus arrendar) es de VAN(L)=V₀−VA(L) de $277,088.59. El costo financiero del leasing 0=V₀−VA(L)_ry asciende al 16.98%, siendo inferior al costo de la deuda antes de impuestos r * y al costo de la deuda neto de impuestos r * 19.5%. A continuación serán estimados el impacto en el valor que presentan las posibles opciones sobre el contrato.

Opción de compra

Para estimar la opción de compra contenida en el contrato, se supone que el valor del bien evoluciona siguiendo un proceso del tipo geométrico browniano (GBM) ajustado por la depreciación económica estimada del mismo, B _t de 20% el primer año y luego el 15% por año¹⁶. El valor del subyacente evoluciona periódicamente a razón de:

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En la ecuación precedente, u representa el coeficiente de ascenso y d el coeficiente de descenso. Para su estimación se debe contar con el dato de la volatilidad del subyacente. En este caso se supone un desvío σV=21,97%, donde u = 1.2461 y d= 0.8025. Con estos datos se está en condiciones de elaborar la rejilla binomial, conforme se expone en la tabla 2.

En el contrato se dispone que la opción de compra es ejercida finalizado el contrato, en el periodo N=3 . La tabla 3 presenta el valor al vencimiento producto de calcular el valor de la opción de compra L _{OC, T( i, j)} (ecuación 5), el valor al vencimiento ajustado por su probabilidad de ocurrencia, L _{OC, T( i, j)} × Q _{T( i, j)} , y el valor actual de la opción en t=0 , L ₀ (ecuación 4), donde r= 10%, p= 0.6823 y (1-p)= 0.3177.

El valor al vencimiento en N= 3 asciende a $452,527.87 y el valor actual teórico es de $274,471.03. Con estos datos se está en condiciones de calcular el valor expandido de leasing VEL ₀ (ecuación 1). Este asciende a $551,560.62, producto de la diferencia entre el valor actual de los pagos del contrato incorporando la opción y el costo neto de adquisición (V0−VA(L); $1,437,260 − $885,699.38). El valor relativo de la opción de compra frente al valor actual de los pagos del contrato presenta el 23.66% (L0/VAL. La tabla 4 expone la rejilla binomial en el caso supuesto que se disponga el ejercicio de la opción de compra en cada periodo hasta el vencimiento, estimando el valor al vencimiento en cada nodo (ecuación 5).

En los nodos donde VT _t > L _{OC, t} se ejerce la opción de compra; en caso contrario rige el contrato de arrendamiento hasta su fecha de expiración, conforme se expone en la tabla 5.

Opción de cancelar anticipadamente

Continuando con el caso base, se supone que el contrato brinda la posibilidad de cancelación anticipada (ecuación 6) en t= 2. En este caso, (VC _t ) es el valor correspondiente flujo de fondos generado por el activo en el instante t=0 , siendo este de $1,059,840¹⁷. El flujo de fondos proyectado sigue un proceso estocástico del tipo GBM: VC_t(i,j)= [VC_t,i×u;VC_t,j×d], con valores en los parámetros similares al del subyacente: desvío σ(V)=21,97%, u = 1.2461 y d= 0.8025, respectivamente. Con estos datos se construye la rejilla binomial correspondiente a la evolución de los ingresos esperados del activo expuesta en la tabla 6.

El valor actual de los pagos del leasing (VL _t ) se obtiene para cada periodo actualizando a la tasa r * el flujo de pagos futuros a concretar. El contrato establece que a medida que transcurre el tiempo, el valor de la penalidad decrece proporcionalmente con el valor residual: P_t=P× ∑t=0NB_t, siendo pactada en función al valor de origen menos depreciación promedio del vehículo. En la tabla 7 se presenta la evolución del valor actual de los pagos del contrato y la penalidad.

Aplicando la ecuación 6, se estima el valor de la opción de cancelación anticipada del contrato en N=2 , donde (VL _t=2 = − $1.244.012, 24) y P _t = $718.630.

El valor de la opción de cancelación anticipada en N=2 asciende a $50,479.26 y el valor actual teórico es de $33,837.26, conforme se expone en la tabla 8. El valor expandido de leasing VEL ₀ asciende a $310,925.85 (V0−VAL; $1,437,260 − $1,126,334.15), y el valor de la opción de compra sobre valor actual de los pagos, 2.92%: (L0/VAL. En caso de que el contrato estipule que el derecho a ejercer la opción sea concretado en cualquier periodo hasta la fecha de vencimiento, se asimila a una opción americana. El valor al vencimiento y la opción ejercida son expuestos en las tablas 9 y ¹⁰.

En la tabla 10 se presentan los nodos donde VT _t > L _{CA, t} ; por lo tanto, se produce el ejercicio de la opción de extinción contractual de forma anticipada.

En este caso, la conveniencia económica de cancelar anticipadamente se ve disipada, ya que solo en los nodos superiores del tercer año el ejercicio de la opción tiene valor.

Opción de renovación del contrato

Se supone que el contrato de arrendamiento incorpora la cláusula de renovación por un lapso de tiempo similar al originalmente pactado, desde el momento N´= 3. En t= 3 el valor actual de los pagos futuros del arrendamiento es de $1,045,154.51 (VL_t=4 ∑t=4N=6fft (1+r*)^−t) y el proceso estocástico correspondiente a VC _t presenta similar tratamiento al expuesto en la tabla 6. Con las ecuaciones 4 y 7 se obtienen los valores de la opción al vencimiento y teóricos correspondientes a la opción, expuestos en la tabla 11.

El VEL ₀ asciende a $596,481.90 (V0−VA(L); $1,437,260 − $840,778.10) y el valor de la opción de compra sobre valor actual de los pagos es del 20.39%: (L₀/VA(L). Si adicionalmente se incorpora la cláusula de opción de compra en forma excluyente de la opción de renovación en el periodo N= 3, se debe utilizar la ecuación 8 con el fin de calcular el valor terminal de la opción. Se combinan 2 opciones, ejerciendo aquella que arroje el máximo valor entre renovar o comprar del activo.

En la tabla 12 los resultados obtenidos son similares a la tabla 11. Recuérdese que el precio de ejercicio asciende al 5.5% del valor contado, y que la opción se define como máximo valor entre: a) renovar o dejar expirar el contrato, versus b) ejercer la opción de compra o dejar expirar el arrendamiento: max(max (VC_t−VL_t,0) ; max (V_t−EX_t,0)). El nodo 3 de la tabla 12 indica que se obtiene un mayor valor de la alternativa a) renovación en relación a b) ejercicio opción de compra. Los restantes nodos indican que ni la renovación, ni el ejercicio de la opción generan mayor valor que la extinción del contrato del arrendamiento.

De riesgo (venture lease)

Para ilustrar el funcionamiento de esta modalidad se utilizará un caso vinculado a una empresa de base tecnológica del sector de ciencias de la vida (life science) en etapa de expansión. El valor teórico de la empresa obtenido mediante el método de descuento de flujos de fondos asciende a u$18,000,000. La firma necesita apalancar sus operaciones por una suma total de aproximadamente u$15,000,000, de los cuales u$5,000,000 serán destinados a la adquisición de equipamiento específico. Existen 2 alternativas para obtener el financiamiento requerido: a) financiar íntegramente con capital de riesgo e inversores privados, y b) programar una mezcla de fondos donde la compra de los equipos se solventa suscribiendo un contrato de venture leasing . A diferencia de la primera alternativa, la suma de u$10,000,000 se apalanca con fondos provenientes de capital de riesgo e inversores privados. El resto es financiado mediante un acuerdo de leasing garantizado con warrants ¹⁸.

La duración del contrato de arrendamiento es de 48 meses. Asimismo se pacta a favor del dador un rendimiento objetivo al vencimiento del 20% efectivo anual. Como consecuencia de que en el ordenamiento tributario la renta proveniente de intereses se encuentra alcanzada por el impuesto a las ganancias, se practica un acrecimiento del rendimiento objetivo, considerando una alícuota marginal del 35%¹⁹. El canon mensual correspondiente a un préstamo de u$5,000,000 con tasa acrecentada del 30.77% efectivo anual asciende a u$194,829.34. Por razones de simplicidad se trabajará con magnitudes anuales, siendo el canon anual (12 pagos vencidos) de u$2,337,952.08. El colateral se erige bajo la forma de warrants convertibles en participación del patrimonio de la firma. El ejercicio de la opción de conversión en participación de capital se pacta en el mes 48 con precio de ejercicio K = $600,000, valor unitario M = $500,000, cantidad 10 warrants y valor correspondiente a la participación unitaria de capital en el proyecto (S ₀ ) = $471,428.57²⁰. El proceso estocástico de S es del tipo GBM: S_t(i,j)= [S_t,i×u;S_t,j×d], y se presenta en la tabla 13. Se debe considerar que el equipo se deprecia generando ahorros fiscales para su propietario en un 20% anual, tasa libre de riesgo del 10%, volatilidad valor de la firma σ = 44.7% y consecuentemente parámetros u= 1.24 y d= 0.80.

El valor al vencimiento y el valor actual de la opción se obtiene aplicando las ecuaciones 4 y 9, conforme se expone en la tabla 14.

En el nodo 4 se activa la protección para el arrendatario, ya que el valor de la parte de capital producto de la favorable evolución del negocio supera el límite superior de la opción S _t − K ≥ M , obteniendo el importe canjeando al warrant por la parte de capital. En los nodos 2, 1 y 0 la parte de capital asume un valor intrínseco proyectado inferior al precio de ejercicio K . En este caso asume el riesgo el arrendador. Finalmente, el nodo 3 asume el valor de la parte de capital dentro del intervalo cerrado [K;M].

Desde la perspectiva del dador, el rendimiento efectivo antes de impuestos es del 30.77%, los flujos de pagos son [ff ₀ = u$(5,000,000); ff _1.4 = u$2,337,952.08], después de impuesto se alcanza la rentabilidad objetivo del 20%. Cabe destacar que los flujos de fondos con opciones no son simétricos; en este caso la ventaja de la flexibilidad estratégica se encuentra del lado del dador. Finalmente, el valor expandido del contrato VEL ₀ es de u$747,219 ((V₀−VA(L) y el valor de la opción de canje sobre el valor actual de los pagos es del 2.61% (L₀/VA(L).

Con canon atado a intensidad de uso (percentage lease)

Para ilustrar la metodología de valoración correspondiente a este tipo de leasing será analizado el caso de alquiler de un local de ventas en el rubro accesorios femeninos en Estados Unidos. Los datos correspondientes a precios promedio y porcentajes son obtenidos del Urban Land Institute (ULI)²¹. En este caso se establece un valor promedio fijo de arrendamiento de u$50 por metro cuadrado y un porcentajes α sobre el nivel de ingresos proyectados I _t del 5%, con precio de ejercicio K = $400. Las ventas promedios por metro cuadrado para este tipo de comercio son de u$308²². La duración del contrato es de 3 años. El precio de compra por metro cuadrado, dependiendo del estado en que se ubique y las características del inmueble, para este sector es de U$344²³, con una volatilidad en los ingresos por ventas del 15% anual. Se supone que de adquirir el bien, este se deprecia a razón del 2% anual, y que el alquiler se deduce íntegramente de la base del impuesto a la renta, siendo alícuota del 35%²⁴. Desde la perspectiva del tomador los flujos de fondos del leasing por metro cuadrado son [ff ₀ = u$344.00; ff _1.3 = u$−34.91; ff _4.46(VA) = u$−19.96]. El valor actual de los pagos, suponiendo una tasa del 12% efectivo anual, asciende a u$−96.53 y el VAN de la operación del leasing es de u$247.47, claramente ventajoso frente a la compra.

Si la cláusula contractual de cobro a porcentaje es europea, esta se dispara en t = 3. Los ingresos siguen un proceso GBM, siendo volatilidad ventas del 15%, tasa libre de riesgo 5% anual, u= 1.16, d= 0.86 (tabla 15).

Tanto el valor al vencimiento como el valor actual de la opción se obtienen aplicando las ecuaciones 4, 12 y 13, conforme reza en la tabla 16.

El valor expandido del contrato VEL ₀ asciende a u$237.99 ((V₀−VA(L)); (u$344 − u$9.48 − u$96.53); el valor de la opción de compra sobre el valor actual de los pagos es del 9.82% (L₀/VA(L).

Si la cláusula de cobro es americana, todos los años se debe revisar el contrato, determinando en cada periodo cuándo se dispara el valor esperado superando el nivel de ejercicio. Para este ejemplo, esto acontece en los periodos 2 y 3, nodos superiores (tabla 17).

El valor esperado correspondiente a los flujos de fondos de la opción se obtiene mediante el producto del valor terminal por su probabilidad de ocurrencia, conforme se expone en la tabla 18.

El valor actual de los pagos es u$15.19, que surge de $6.31.e^−0.05.2 + $11.02.e^−0.05.3, siendo superior al valor de la opción europea u$9.48. En este caso, como en el anterior, el hecho de que el arrendamiento se sujete a una corrección en base a un porcentaje hace que el valor actual para el tomador disminuya, si se compara esta situación con similar contrato sin opciones, ya que la opcionalidad se encuentra planteada a favor del dador.

Premio por pago diferido del activo (lease with deferred payment)

Para ilustrar la presente modalidad caso se analiza el contrato de alquiler de equipo informático cuya duración es de 36 meses²⁵. El leasing contiene un componente financiero escalonado del 1% los primeros 3 meses, del 2% en los meses 4 a 6 y del 3% desde el mes 7 hasta la finalización (36), siendo el valor del equipo V ₀ = u$300,000. Consecuentemente, las cuotas mensuales son de valor c_1.3 = u$8,583; c_4.6 = u$8,883; c_5.36 = u$9,083. Por razones de exposición, las tablas se presentan con los valores anuales: c_{año 1}: u$106,500, c_{año 2,3}: u$109,000.

El precio de ejercicio (K) es previamente pactado y surge de la diferencia entre V ₀ − E (B _t ), en donde EBt representa la depreciación económica estimada acumulada, siendo esta del 98% a fecha de ejercicio. El valor del activo (V _t ) sigue un proceso GBM con desvalorización acelerada; por ello la tasa de depreciación se supone a razón del 30% anual. El premio que debe abonar el tomador por el derecho preferencial D _{T,( i, j)} es de α = 5% sobre el valor del bien a fecha de ejercicio de la opción. El mismo se paga bajo la condición de que V _t > K . Suponiendo una volatilidad de precio en equipos informáticos del 25%, una tasa libre de riesgo del 10% y coeficientes u= 1.28 y d= 0.77, se tiene el proceso estocástico que sigue el precio (tabla 19).

Aplicando la ecuación 14 se obtiene el valor terminal y teórico del contrato (tabla 20).

En los nodos 3, 2 y 1 se ejerce la opción preferente de comprar al valor pactado K más el premio contingente D _{T,( i, j)} . La corriente de pagos a la que se enfrenta el tomador del contrato es [ff ₀ = u$300,000; ff ₁ = u$−90,225; ff _2.3 = u$−91,850]; a una tasa del 10%, el valor actual de los pagos es de u$226,940. El VEL ₀ es de u$76,668.32 ((V₀−VA(L)); u$300,000 + u$3,608.4 − $226,940), valor de la opción de compra sobre valor actual de los pagos del 1,59% (L₀/VA(L)).