Las probabilidades de supervivencia S(x) permiten estimar funciones matemáticas que se
resumen en modelos de comportamiento de las principales funciones biométricas que se
expresan con base en la función de supervivencia y la tasa instantánea de mortalidad. En
la práctica actuarial se utilizan combinaciones de estas leyes aceptando diferentes
modelos para distintos tramos de edades.
Las leyes de mortalidad son expresiones analíticas de la función de supervivencia que
pretenden estimar el comportamiento de la mortalidad en función de la edad; resulta
fundamental elegir la función que mejor se adapte y represente adecuadamente la
mortalidad, y esto se hace según los datos observados o estableciendo ciertas hipótesis
correspondientes a las características propias de la función de supervivencia.
A lo largo de la historia ha sido constante la búsqueda de una ley de mortalidad válida
para cualquier población humana; se ha tratado de encontrar la “ley universal de
mortalidad”, que probablemente no exista. Sin embargo es posible encontrar el ajuste a
alguna ley teórica para determinadas poblaciones y ciertos tramos de edad.
La ley de Gompertz asume que cada individuo presenta una resistencia a las enfermedades
(y a fallecer por causas naturales) decreciente en función de la edad, por lo que la
fuerza de mortalidad aumenta con la edad y su incremento relativo es constante. Por
tanto, se deduce que dicha fuerza de mortalidad crece exponencialmente.
μχ=BCχ χ ≥0, C>1
Posteriormente Makeham enunció dos leyes de supervivencia. La primera ley considera la
tasa instantánea de mortalidad: añade una constante arbitraria que representa la
mortalidad accidental (azar) y es independiente de la edad, a la fuerza de mortalidad de
Gompertz. Por tanto, la muerte de un individuo es consecuencia de dos causas
coexistentes: el azar, y una resistencia (cada vez más débil) a la muerte conforme
aumenta la edad, es decir, que además de considerar la mortalidad por causas naturales
(igual que Gompertz) introduce la mortalidad accidental del individuo, independiente de
la edad.
μχ=A+BCχ χ≥0, B>0, C>1, A>-B
Esta ley ofrece buenos ajustes en edades intermedias (adultas), pero presenta problemas
en las edades extremas de la tabla, principalmente en más jóvenes, puesto que en las
edades infantiles la mortalidad es decreciente. Es considerada la ley más conocida y más
ampliamente utilizada para ajustar diversas tablas de supervivencia.
La primera ley de Makeham tiene problemas de ajuste para las edades más jóvenes, de ahí
que se formulara la segunda ley, más elástica y fundamentada que la anterior, que añade
a la fuerza de mortalidad otro sumando proporcional a la edad:
Para determinar los cinco parámetros K, a, b, d y w de la función Makeham se utilizará el
método de los grupos no superpuestos, obteniendo los valores de los parámetros con las
siguientes ecuaciones:1
d=∆2S1∆2S01m
(1)
b=exp∆2S0 d-1dm-13
(2)
a=exp1m2∆S0-∆2S0dm-1
(3)
ω=exp12m3∆2S0-d-dm-11-ddm-12lnb
(4)
K=∑04m-1yv(x) / ∑04m-1v(x)2
(5)
donde:
vx=ax wx2 bdx[/p]
Una vez obtenidos los valores de los parámetros k, a, b, d y w de la función
Gompertz-Makeham ampliada, es posible realizar variaciones en ellos con el objetivo de
calcular una mejor aproximación a sus valores observados.
Dado que
yx=kax wx2bdx
para toda x = 0, 1, 2, ..., 4m-1
Se obtiene el logaritmo natural de la función
yx
:
Lnyx=Lnkax wx2bdx=Lnk+Lna+dxLnb+x2lnw
(6)
Hay que calcular la derivada de la expresión [11]:
∂∂YXLnYx=∂∂uLnk+xLna+dxLnb+x2lnw
(7)
Al calcular la derivada se puede considerar que :
∂∂yxLnyx=1yxdyx
(8)
mientras que la derivada del miembro derecho se puede expresar como:
∂∂yxLnyx=∂∂k Lnk+∂∂axLna+∂∂b dxLnb+∂∂ddxLnb+∂∂wx2Lnw =1kdk+xada+dxb db+Lnb∂∂ddx+x2∂∂ddw
(9)
El último término de la expresión [18] se puede presentar de acuerdo con el razonamiento
siguiente: de acuerdo a las propiedades de los logaritmos se puede expresar:
Ln dx = xLnd
Al obtener la derivada de la expresión anterior se observa que:
∂∂dLn dx=∂∂dxLnd
1dxddx=xddd
Por lo tanto la derivada de dx respecto a d es:
ddx=xdx∂d∂
(10)
Dado lo anterior, la expresión [18] se puede escribir como:
1yxdyx=1kdk+xada+dxbdb+xdxLnb∂d∂+x2∂ww
(11)
En consecuencia, la derivada de dyx es:
dxy=yxkdk+xyxada+dxyxbdb+xdxyxLnb∂d∂+x2y∂ww
(12)
Para calcular los valores de los parámetros a partir de la expresión [12] se procede a
linealizar dicha expresión; para ello se denota como:
X1 = D YX X2 = YX X3 = X
(X2) X4 = X2 DX X5 =
X3 DX X6 = X2
c2=∂kk c3=∂aa c4=∂bb c5=Lnb∂dd c6=∂ww
Una vez hecho lo anterior, se sustituyen en [12] estas variables, por lo que puede
expresarse en forma de regresión múltiple lineal como se presenta a continuación:
X1=C2X2+C3X3+C4X4+C5X5+C6X6
Empleando las ecuaciones normales, que se expresan matricialmente como:
A= ∑X2X2∑X2X3∑X2X4∑X2X5∑X2X6∑X2X3∑X3X3∑X3X4∑X3X5∑X3X6∑X2X4∑X3X4∑X4X4∑X4X5∑X4X6∑X2X5∑X3X5∑X4X5∑X5X5∑X5X6∑X2X6∑X3X6∑X4X6∑X5X6∑X6X6 V=C2C3C4C5C6 G= ∑X1X2∑X1X3∑X1X4∑X1X5∑X1X6
Se calculan los coeficientes de la matriz V con la inversa de la matriz A y
multiplicándola por la matriz G, así: V = A-1 G.
De esta manera se calculan los valores de las cj y por consiguiente las
primeras correcciones a los parámetros k, a, b d y w de la función Gompertz-Makeham
ampliada. Estas correcciones permiten obtener nuevas aproximaciones para los parámetros.
Por lo tanto los nuevos valores para éstos son:
K1=K1+c2, a1=a1+c3, b1=b1+c4, d1=d1+c5/Lnb, yw1=w1+c6
A partir de estos valores se obtienen nuevos valores teóricos y por lo tanto nuevas
diferencias dyx. Lo anterior lleva un proceso iterativo que permitirá ir
obteniendo aproximaciones cada vez más satisfactorias. Es decir, el proceso deberá
repetirse hasta que la magnitud de las correcciones alcance un valor reducido tal que no
logren cambiar sensiblemente los valores teóricos obtenidos usando los valores de los
parámetros hasta esa iteración.
En general se observa que si ki, ai, bi di y
wi son valores de la iteración (i), los valores de esos parámetros a la
iteración (i+1) serán:
ki+1=ki1+c2i+1, ai+1=ai1+c3i+1|, bi+1=bi1+c4i+1, di+1=di1+c5i+1/Lnb, wi+1=wi1+c6i+1
Las funciones Gompertz-Makeham estimadas para México
Los valores obtenidos de los parámetros K, a, w, b, d por sexo y para los años 2003 a
2010 se presentan en el cuadro 1.
CUADRO 1 México: valores de parámetros de funciones de sobrevivencia
Gompertz-Makeham por sexo, 2003 a 2010
|
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
2010 |
| Hombres |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
97089.02 |
97187.76 |
97291.19 |
97386.01 |
97478.58 |
97561.37 |
97642.46 |
97716 |
A |
1.001019 |
1.001095 |
1.001171 |
1.001241 |
1.001309 |
1.001364 |
1.00142 |
1.001469 |
W |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
B |
0.999905 |
0.999911 |
0.999916 |
0.99992 |
0.999925 |
0.999928 |
0.999932 |
0.999935 |
D |
1.69275 |
1.697127 |
1.701466 |
1.705664 |
1.709921 |
1.713869 |
1.717662 |
1.721354 |
| Mujeres |
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
97525.82 |
97616.79 |
97291.19 |
97799.01 |
97878.79 |
97958.31 |
98030.01 |
98101.69 |
A |
1.001469 |
1.001531 |
1.001171 |
1.001653 |
1.001705 |
1.001753 |
1.001793 |
1.001834 |
W |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
0.99964 |
B |
0.999925 |
0.999928 |
0.999916 |
0.999935 |
0.999939 |
0.999941 |
0.999943 |
0.999946 |
D |
1.649023 |
1.651672 |
1.701466 |
1.657095 |
1.660254 |
1.662196 |
1.664219 |
1.666364 |
FUENTE: Cálculos propios.
Las tablas abreviadas de mortalidad que se obtuvieron con las funciones de
supervivencia para la República Mexicana, tanto para hombres como para mujeres, del
año 2003 al 2010 se presentan en el anexo.
Finalmente, en la gráfica 1 aparece el tipo de
función Makeham ampliado que se obtuvo para el caso mexicano señalando el
procedimiento.
Para los valores de la serie lx de tabla de vida, presentados en el cuadro 1, se estimó la función de Makeham
ampliada:
li=899360*0.9967i*0.93641.601i*1.003i2
Con el propósito de obtener la concavidad de las tendencias de los valores de las
edades 0, 1, 2, 3 y 4 años, se desplazó el origen al valor -10.4, el cual se asocia
a 1 año de edad; así, -10.4 se asocia a la edad 2 años, por lo que cada dos
decimales representan un año de edad. Tomado un radix de 1 000 000 personas.
Así: i = -10.4, -10.2, -10.0, -9.9,...., 6.4, 7.4, 8.4 asociados a los valores de la
edad real x = 1, 2, 3, 4,...., 85, 90, 95.
Conclusiones
Con base en las tablas abreviadas de mortalidad que se obtuvieron para la República
Mexicana empleando la función de Gompertz-Makeham ampliada, se tiene que en el año
2003 la esperanza de vida al nacimiento de los hombres fue de 73.34 años y para las
mujeres de 77.25 años, es decir, una diferencia de cuatro años a favor de las
mujeres mexicanas.
La ganancia en la esperanza de vida al nacimiento para el año 2010 respecto al 2003,
es de 2.67 años para los hombres y de 1.61 para las mujeres, con una esperanza de
vida de 75.01 años para ellos y 78.86 para las mujeres.
Dada la importancia de la población en edad avanzada en México, destaca en la
estimación del impacto de la mortalidad el hecho de que la esperanza de vida a los
65 años sea para el año 2003 de 15.65 años para los hombres y de 17.74 años para las
mujeres y aumente 0.56 años para los hombres y 0.56 años para las mujeres en el año
2010, cuando la esperanza de vida a los 65 años será de 16.21 años para los hombres
y de 18.38 años para las mujeres.
La ley de mortalidad de México, resumida por la función de supervivencia
Gompertz-Makeham ampliada, describe con precisión el impacto de la mortalidad por
edad y sexo, pues se estiman las ganancias en las esperanzas de vida de acuerdo con
las tendencias históricas registradas, es decir, serán mayores las esperanzas de
vida de las mujeres sobre los hombres en los próximos años y se reducirá la brecha
por sexo, de ahí que sea cada vez menor el diferencial en las ganancias de vida.
El estudio del proceso de envejecimiento de la estructura por edad y género de la
población mexicana requiere el conocimiento de las leyes de mortalidad imperantes y
de sus modificaciones en el tiempo (futuro inmediato), esto con el fin de proyectar
adecuadamente la estructura de la población, lo que se logra con la función de
supervivencia Gompertz-Makeham que da la pauta en la elaboración de tablas de
mortalidad por sexo. En los próximos años deberán validarse con la estimación que
directamente se haga de ellas, vía estadísticas vitales y censos de población, y con
ello habrá que ajustar la ley de mortalidad mexicana para los años futuros.
CUADRO 2 Valores lx observados y estimados con la función Makeham
ampliada
i |
x |
lx observada |
lx estimada |
i |
x |
lx observada |
lx estimada |
|
0 |
1000000 |
1000000 |
–2.6 |
40 |
903486 |
891562 |
–10.4 |
1 |
961895 |
961035 |
–1.6 |
45 |
885294 |
877251 |
–10.2 |
2 |
957394 |
959168 |
–0.6 |
50 |
861370 |
857677 |
–10.0 |
3 |
953928 |
957322 |
0.4 |
55 |
829374 |
829717 |
–9.8 |
4 |
951358 |
955497 |
1.4 |
60 |
785921 |
788905 |
–9.6 |
5 |
949546 |
953694 |
2.4 |
65 |
726452 |
729351 |
–8.6 |
10 |
949546 |
944964 |
3.4 |
70 |
645618 |
644446 |
–7.6 |
15 |
947033 |
936634 |
4.4 |
75 |
538968 |
529423 |
–6.6 |
20 |
942779 |
928549 |
5.4 |
80 |
406996 |
386915 |
–5.6 |
25 |
936628 |
920475 |
6.4 |
85 |
261555 |
234388 |
–4.6 |
30 |
928334 |
912049 |
7.4 |
90 |
129603 |
105107 |
–3.6 |
35 |
917499 |
902706 |
8.4 |
95 |
42209 |
29110 |
FUENTE: Cálculos propios.
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ANEXO
México: Tablas de mortalidad
Hombres 2003
Edad |
q(x) |
d(x) |
m(x) |
l(x) |
L(x) |
S(x) |
T(x) |
e(x) |
0 |
0.03744 |
3744 |
0.03854 |
100000 |
97146 |
0.96169
|
7334000
|
73.34 |
1 |
0.00516
|
497 |
0.00130
|
96256 |
383701 |
0.99516
|
7236854
|
75.18 |
5 |
0.00115
|
110 |
0.00023
|
95759 |
478521 |
0.99881
|
6853153
|
71.57 |
10 |
0.001230
|
118 |
0.00025
|
95649 |
477951 |
0.99852
|
6374632
|
66.65 |
15 |
0.00173
|
166 |
0.00035
|
95531 |
477242 |
0.99798
|
5896681
|
61.73 |
20 |
0.00230
|
220 |
0.00046
|
95366 |
476279 |
0.99752
|
5419440
|
56.83 |
25 |
0.00265
|
252 |
0.00053
|
95146 |
475099 |
0.99675
|
4943161
|
51.95 |
30 |
0.00386
|
366 |
0.00077
|
94894 |
473554 |
0.99563
|
4468062
|
47.08 |
35 |
0.00489
|
462 |
0.00098
|
94528 |
471483 |
0.99359
|
3994508
|
42.26 |
40 |
0.00794
|
747 |
0.00159
|
94066 |
468460 |
0.98942
|
3523025
|
37.45 |
45 |
0.01325
|
1236 |
0.00267
|
93319 |
463502 |
0.98180
|
3054565
|
32.73 |
50 |
0.02322
|
2138 |
0.00470
|
92082 |
455066 |
0.96959
|
2591062
|
28.14 |
55 |
0.03777
|
3397 |
0.00770
|
89944 |
441228 |
0.95195
|
2135997
|
23.75 |
60 |
0.05875
|
5084 |
0.01210
|
86547 |
420025 |
0.92434
|
1694769
|
19.58 |
65 |
0.09362
|
7626 |
0.01964
|
81463 |
388248 |
0.87334
|
1274744
|
15.65 |
70 |
0.16312
|
12044 |
0.03552
|
73836 |
339071 |
0.77878
|
886496 |
12.01 |
75 |
0.29064
|
17959 |
0.06801
|
61792 |
264063 |
0.51763
|
547425 |
8.86 |
80 |
1 |
43833 |
0.15469 |
43833 |
283362 |
0 |
283362 |
6.46 |
Mujeres 2003
Edad |
q(x) |
d(x) |
m(x) |
l(x) |
L(x) |
S(x) |
T(x) |
e(x) |
0 |
0.03313
|
3313 |
0.03398
|
100000 |
97474 |
0.96591
|
7724999
|
77.25 |
1 |
0.00492
|
476 |
0.00123
|
96687 |
385482 |
0.99568
|
7627525
|
78.89 |
5 |
0.00078
|
75 |
0.00016
|
96211 |
480870 |
0.99929
|
7242043
|
75.27 |
10 |
0.00065
|
62 |
0.00013
|
96137 |
480528 |
0.99920
|
6761173
|
70.33 |
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0 |
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Edad |
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