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Introducción
En las zonas tropicales de México, Swietenia macrophylla King (caoba) es una de las especies más importantes, ya que es la guía en el manejo forestal y una de las especies más apreciadas por la industria por su calidad, belleza, durabilidad, y usos múltiples, como fabricación de muebles, barcos, artesanías, instrumentos musicales y otros productos de madera de alto costo (SEMARNAT, 2014). El estado de Quintana Roo ocupa el segundo lugar nacional en extracción de madera preciosa de caoba con 4807 m3 por año (SEMARNAT, 2016). Por su estatus de conservación, está incluida en el Apéndice III de la reglamentación de la Convención sobre el Comercio Internacional de Especies Amenazadas de Fauna y Flora Silvestres (CITES) (CONABIO, 2017).
La caoba es una especie que llega a alcanzar en promedio 35 m de altura (Schmidt y Jøker, 2000); se han descrito ejemplares de hasta 70 m de altura y 3.5 m de diámetro normal (Pennington y Sarukhán, 2016), tiene una densidad básica media de 0.42 g cm-3 (Tamarit y López, 2007) y es una especie con un potencial alto para el establecimiento de plantaciones forestales en los trópicos (Pérez et al., 2012).
La evaluación y clasificación de las áreas forestales, de acuerdo con la capacidad productiva, es la base para la planificación del establecimiento y manejo de plantaciones forestales comerciales (PFCs) (Carrero et al., 2008), porque una diferencia en productividad dentro de sitios o regiones determina aspectos críticos de manejo, tales como la edad (E) para aplicar tratamientos silvícolas, turno de cosecha, técnicas de aprovechamiento de los productos a obtener, o bien, indicadores financieros que influyen en la rentabilidad de la inversión (Andenmatten y Letourneau, 1998; Gaillard et al., 2000).
La metodología más usada para clasificar la calidad de estación en PFCs uniespecíficas y coetáneas es el índice de sitio (IS), definido como la altura dominante (Hd) que alcanza el rodal a una edad base (E b ) o de referencia (Nava-Nava et al., 2020; Quiñonez-Barraza et al., 2015) debido a que la altura mayor en un rodal monoespecífico y coetáneo es poco afectada por la densidad, y el crecimiento en altura dominante del rodal sigue un patrón determinado y tiene alta correlación con la producción del volumen maderable (Clutter et al., 1983; Torres y Magaña, 2001).
La altura dominante se determina con base en el promedio de la altura total (Hd) de una muestra representativa de los árboles más altos del rodal coetáneo (Clutter et al., 1983; Fu et al., 2018). Dicho procedimiento, de acuerdo con la hipótesis de Eichhorn (Carrero et al., 2008; Fontes et al., 2003), donde la altura dominante es un indicador de la productividad potencial de una especie para un sitio en particular, toda vez que la producción total de un rodal óptimamente ocupado es una función de la altura de éste (Álvarez et al., 2004; Nava-Nava et al., 2020; Torres y Magaña, 2001).
La evaluación de la calidad de sitio se realiza por métodos directos e indirectos. Los métodos indirectos, basados en la altura dominante y la edad, han mostrado ser los más adecuados debido a la baja afectación por la densidad o tratamientos silvícolas (Álvarez et al., 2004; Torres y Magaña, 2001). Para identificar y diferenciar las calidades de sitio para una especie, con base en un modelo de crecimiento, se construyen curvas de índice de sitio a partir de las alturas dominantes observadas para una variedad de sitios (Carrero et al., 2008).
Tradicionalmente, para ajustar ecuaciones y generar curvas de índice de sitio, se utilizan modelos de regresión lineal y no lineal donde se asumen supuestos de normalidad, homogeneidad de varianzas e independencia de los errores (Carrero et al., 2008); sin embargo, tales supuestos pueden ser violados cuando se analizan datos transversales, longitudinales, de remediciones o agrupados por niveles de clasificación, porque éstos pueden estar correlacionados entre sí (Carrero et al., 2008; Diggle et al., 2002; Littell et al., 2006; Seoane, 2014). Para contribuir a solventar tales problemas, actualmente se usan técnicas de ajuste como los modelos de efectos mixtos (MEM), donde se incorporan efectos aleatorios asociados a sus parámetros, lo que influye favorablemente en el término de error (Jerez-Rico et al., 2011).
Los modelos de efectos mixtos permiten corregir la estructura de varianzas-covarianzas asociadas con datos de remediciones de los árboles (Diggle et al., 2002; Littell et al., 2006; Verbeke y Molenberghs, 2000), mientras que, para datos temporales, los MEM agrupan la variabilidad de la información de acuerdo con variables de clasificación durante el ajuste estadístico al utilizar covariables adicionales al modelo empleado (Seoane, 2014); estas covariables se incluyen en la formulación del modelo al considerar los parámetros fijos que son comunes a la muestra como aleatorios que son particulares para cada nivel de agrupación y donde los niveles múltiples de clasificación compensan las diferencias en los grados de libertad en la estructura de los modelos ajustados (De los Santos-Posadas et al., 2006). Se ha recurrido al uso de esta técnica para modelar el patrón de crecimiento en altura dominante e índice de sitio, con mejores resultados con respecto a los mínimos cuadrados ordinarios (MCO) lineales o no lineales; por ejemplo, Fang y Bailey (2001) utilizaron los modelos de efectos mixtos para evaluar el efecto de tratamientos silvícolas intensivos sobre el crecimiento de altura dominante en Pinus elliottii (Engelm.) en esados Unidos de América; Calegario et al. (2005) modelaron los patrones de crecimiento en altura dominante en plantaciones forestales comerciales de híbridos del género Eucalyptus en Brasil; Wang et al. (2008) utilizaron información pareada de altura dominante-edad en plantaciones de Pinus taeda L. en Georgia y Florida, EUA; Carrero et al. (2008), en Venezuela, generaron curvas de índice de sitio en plantaciones forestales comerciales de Eucalyptus urophylla S.T. Blake con distintas estructuras ajustadas por modelos de efectos mixtos; Jerez-Rico et al. (2011) analizaron modelos lineales y no lineales con la técnica de modelos de efectos mixtos para desarrollar curvas de índice de sitio para Tectona grandis L. f. en Venezuela; Nigh (2015), en el oeste de Canadá, desarrolló un modelo de índice de sitio para Picea engelmannii Parry ex Engelm. mediante modelos de efectos mixtos y la técnica de diferencia algebraica generalizada, y Fu et al. (2018), en el noreste de China, generaron modelos de altura dominante para rodales naturales de Quercus mongolica Fisch. ex Turcz. y Larix olgensis A. Henry.
En México, Tamarit-Urias et al. (2014) con esta técnica clasificaron la productividad de plantaciones forestales comerciales de T. grandis y García-Espinoza et al. (2019) en plantaciones forestales comerciales de Pinus pseudostrobus Lindl., y coinciden que, en términos de sesgo, precisión y flexibilidad, la técnica de modelos de efectos mixtos proporciona ajustes de mejor calidad; por lo cual, los objetivos de la presente investigación fueron 1) ajustar modelos de crecimiento en altura dominante en función de la edad con enfoque de modelos de efectos mixtos y, 2) generar curvas de IS para PFCs de S. macrophylla King en Quintana Roo, México.
Materiales y métodos
Área de estudio
El estudio se realizó en el Sitio Experimental San Felipe Bacalar, Unidad Lázaro Cárdenas en el municipio de Bacalar, y los ejidos Chunhuhub y Naranjal Poniente del municipio de Felipe Carrillo Puerto, Quintana Roo, México (Figura 1). De acuerdo con la clasificación climática de Köppen, modificada por García (1983), predomina el clima Aw(x’)i, o cálido subhúmedo con lluvias en verano y parte del invierno, la oscilación térmica es menor de 5° C. La temperatura media anual es de 25.5 ºC y la precipitación media anual de 1260 mm, con una época seca bien marcada entre diciembre y mayo (INEGI, 2016).
Figura 1 Localización de las plantaciones forestales comerciales de Swietenia macrophylla en el área de estudio.
Las PFCs se localizan en llanuras casi planas, en suelos que corresponden a Tzek’el (Leptosol), Kakab (Rendzina); K’ankab (Luvisol crómico), Yax-hoom (Vertisol pélico) y Ak’alche (Vertisol gleyco), de acuerdo con la terminología maya y su equivalente según la FAO (2007). En cada una de las 24 PFCs de S. macrophylla de entre siete y 43 años se muestrearon dos sitios de 400 m2 y se obtuvieron 396 datos de altura dominante-edad (Hd-E).
La variación en Hd de los árboles fue reducida, ya que los árboles más variables fluctuaron alrededor de 11 % con respecto al promedio. El coeficiente de asimetría (0.15) indicó una distribución sesgada a la izquierda, en tanto que la curtosis reveló una distribución platicúrtica (-1.16) (Cuadro 1).
Cuadro 1 Estadísticos descriptivos de las plantaciones analizadas.
| Plantación | Tipo suelo | Edad (años) | Estadísticos descriptivos | |||||||
| Hd (m) | Mín (m) | Máx (m) | Var (m2) | STD (m) | CV (%) | Coeficiente asimetría | Curtosis | |||
| 1 | Yax-hoom | 7 | 7.49 | 6.70 | 8.20 | 0.27 | 0.52 | 6.91 | -0.30 | -1.26 |
| 2 | K’ankab | 7 | 7.43 | 6.90 | 8.40 | 0.26 | 0.51 | 6.82 | 1.07 | 0.58 |
| 3 | K’ankab | 9 | 9.58 | 8.75 | 11.20 | 0.43 | 0.66 | 6.85 | 0.70 | -0.44 |
| 4 | Pus-lum | 9 | 7.48 | 6.50 | 10.60 | 0.67 | 0.82 | 10.94 | 1.41 | 2.88 |
| 5 | K’ankab | 13 | 10.41 | 9.60 | 13.70 | 1.09 | 1.05 | 10.05 | 2.32 | 5.84 |
| 6 | Pus-lum | 13 | 11.25 | 10.30 | 12.30 | 0.40 | 0.63 | 5.59 | 0.16 | -1.17 |
| 7 | Ak’alche | 17 | 14.51 | 13.50 | 15.75 | 0.49 | 0.70 | 4.84 | 0.30 | -0.76 |
| 8 | K’ankab | 17 | 11.82 | 11.50 | 12.30 | 0.19 | 0.44 | 3.71 | 0.60 | -3.33 |
| 9 | Ak’alche | 18 | 14.96 | 14.40 | 16.05 | 0.56 | 0.75 | 5.00 | 1.64 | 2.70 |
| 10 | Yax-hoom | 19 | 12.88 | 11.70 | 14.60 | 0.85 | 0.92 | 7.16 | 0.79 | -0.52 |
| 11 | Yax-hoom | 24 | 16.89 | 15.70 | 18.50 | 1.21 | 1.10 | 6.50 | 0.46 | -1.67 |
| 12 | Pus-lum | 24 | 15.74 | 14.80 | 17.30 | 0.91 | 0.96 | 6.07 | 1.35 | 2.12 |
| 13 | Pus-lum | 24 | 15.30 | 14.20 | 17.20 | 0.81 | 0.90 | 5.89 | 0.77 | 0.07 |
| 14 | Pus-lum | 24 | 14.37 | 13.00 | 16.20 | 0.91 | 0.95 | 6.64 | 0.35 | -0.84 |
| 15 | Pus-lum | 26 | 15.00 | 13.60 | 17.30 | 0.98 | 0.99 | 6.59 | 0.55 | -0.14 |
| 16 | Pus-lum | 26 | 15.26 | 13.90 | 16.80 | 0.79 | 0.89 | 5.83 | 0.09 | -0.93 |
| 17 | Pus-lum | 27 | 14.23 | 13.05 | 16.35 | 0.67 | 0.82 | 5.75 | 0.45 | 0.33 |
| 18 | Pus-lum | 34 | 18.20 | 17.30 | 19.20 | 0.72 | 0.85 | 4.68 | 0.36 | -2.76 |
| 19 | K’ankab | 34 | 18.30 | 17.70 | 19.10 | 0.28 | 0.53 | 2.87 | 0.49 | -0.89 |
| 20 | Pus-lum | 34 | 18.49 | 17.20 | 21.30 | 1.88 | 1.37 | 7.42 | 1.35 | 1.02 |
| 21 | Ak’alche | 35 | 16.46 | 15.75 | 18.15 | 0.80 | 0.89 | 5.42 | 1.17 | 0.38 |
| 22 | Pus-lum | 43 | 19.62 | 18.75 | 21.00 | 0.87 | 0.93 | 4.76 | 0.86 | -0.53 |
| 23 | Box-lum | 43 | 19.56 | 17.40 | 21.00 | 1.62 | 1.27 | 6.51 | 0.20 | -2.42 |
| 24 | K’ankab | 43 | 16.87 | 15.75 | 18.90 | 0.90 | 0.95 | 5.62 | 0.75 | 0.18 |
Mín: mínimo, Máx: máximo, Var: varianza, STD: desviación estándar, CV: coeficiente de variación.
Modelos de ajustados
Para seleccionar una ecuación base, los modelos de crecimiento de Schumacher, Korf, Chapman-Richards y Weibull (Kiviste et al., 2002) fueron ajustados a los datos con el paquete estadístico SAS/ETS 9.4® con el procedimiento Model y la técnica de máxima verosimilitud con información completa (FIML) para obtener estimadores consistentes (SAS Institute, 2015).
Los valores iniciales de los parámetros se asignaron con base en los resultados obtenidos para otras investigaciones (Diéguez-Aranda et al., 2006; Trincado y Leal, 2006).
Una vez seleccionada la mejor ecuación en términos de precisión, ésta se ajustó bajo el enfoque de MEM considerando el tipo de suelo como covariable, debido a que éste influye en la capacidad productiva de las áreas de las PFCs de S. macrophylla (Pérez et al., 2012). Los modelos se ajustaron con el procedimiento NLMIXED y la técnica de optimización Quasi-Newton dual utilizando el método de integración de primer orden (FIRO) (SAS Institute, 2015).
En los modelos se incluyó el efecto aleatorio de la manera siguiente: 1) en el parámetro relacionado con la altura máxima o asíntota del modelo (parámetro β0), 2) en el parámetro relacionado con la velocidad de crecimiento (parámetro β1), 3) en el parámetro de forma relacionado con el sitio (β2), 4) en dos parámetros y 5) en todos los parámetros de manera simultánea (Cuadro 2).
Cuadro 2 Modelos de crecimiento de efectos fijos y con inclusión de efectos mixtos.
| Modelo | Efectos fijos | Ecuación | Efectos mixtos | Ecuación |
| Schumacher |
|
[1] |
|
[1.1] |
|
|
[1.2] | |||
|
|
[1.3] | |||
| Korf |
|
[2] |
|
[2.1] |
|
|
[2.2] | |||
|
|
[2.3] | |||
|
|
[2.4] | |||
|
|
[2.5] | |||
|
|
[2.6] | |||
|
|
[2.7] | |||
| Chapman-Richards |
|
[3] |
|
[3.1] |
|
|
[3.2] | |||
|
|
[3.3] | |||
|
|
[3.4] | |||
|
|
[3.5] | |||
|
|
[3.6] | |||
|
|
[3.7] | |||
| Weibull |
|
[4] |
|
[4.1] |
|
|
[4.2] | |||
|
|
[4.3] | |||
|
|
[4.4] | |||
|
|
[4.5] | |||
|
|
[4.6] | |||
|
|
[4.7] |
β i : parámetros del modelo, Hd: altura dominante, E: edad (años), u i : término asociado con el efecto aleatorio y ε: término de error aleatorio del modelo.
Para los modelos de efectos fijos, el ajuste estadístico se evaluó por medio de la significancia de los parámetros (P ≤ 0.05), el coeficiente de determinación ajustado (R 2 adj ), la raíz del cuadrado medio del error (RCME), el error estándar aproximado (Eea) y la distribución de residuales, en tanto que, para los modelos de efectos mixtos se usó el logaritmo de verosimilitud (-2logLik), criterio de información de Akaike (AIC) y criterio de información Bayesiano (BIC) (Hernández-Ramos el al., 2020; 2021). La precisión de la capacidad predictiva de los modelos se analizó mediante el sesgo promedio absoluto (Ē) (García et al., 2021; Hernández el al., 2021). Dado que la calidad del ajuste no necesariamente refleja la confiabilidad de las predicciones (Kozak y Kozak, 2003; Quevedo et al., 2004), se realizó un análisis gráfico de los valores predichos con respecto a los valores observados, tal como lo proponen Nava-Nava et al. (2020).
Con la ecuación base seleccionada por su ajuste y predicción, se generó la curva guía en Hd, al considerar que cuando la E se hace igual a la E b , entonces la Hd es igual al IS (García et al., 2021). Para generar las curvas anamórficas, de las ecuaciones de IS se despejó el parámetro de la asíntota y la expresión se sustituyó en la ecuación base, con lo que el parámetro asintótico se considera implícito y los parámetros de forma fueron comunes para todos los sitios (Clutter et al., 1983; García et al., 2021); mientras que, al variar la E y las clases de IS y mantener constante la E b , se generaron las curvas anamórficas. Por otra parte, para generar las curvas polimórficas, de las ecuaciones de IS se despejó alguno de los parámetros de los exponentes y se sustituyó en la ecuación base (García et al., 2021); igualmente, al variar la E y las clases de IS y mantener constante la E b , se generan las curvas polimórficas (Clutter et al., 1983; García et al., 2021). En la construcción de las curvas de IS se utilizó una E b de 30 años.
Resultados
Modelo de efectos fijos
El análisis de varianza para el ajuste de modelos de efectos fijos confirmó que la ecuación [3] describe mejor la altura total en función de la edad, ya que minimiza la RCME, maximiza el R 2 adj y todos sus parámetros fueron significativos (P ≤ 0.0001) (Cuadro 3).
Cuadro 3 Parámetros estimados de los modelos de crecimiento de efectos fijos evaluados.
| Ecuación | Parámetro | Estimación | Eea | Valor t | Pr > |t| | R2 adj | RCME |
| 1 | β0 | 21.8180 | 0.2152 | 101.38 | < 0.0001 | 0.884 | 1.3433 |
| β1 | 8.865977 | 0.1843 | 48.1 | < 0.0001 | |||
| 2 | β0 | 27.91619 | 2.5562 | 10.92 | < 0.0001 | 0.886 | 1.3249 |
| β1 | 5.41240 | 0.6117 | 8.85 | < 0.0001 | |||
| β2 | 0.67786 | 0.0824 | 8.23 | < 0.0001 | |||
| 3 | β0 | 19.76613 | 0.6221 | 31.78 | < 0.0001 | 0.887 | 1.3246 |
| β1 | 0.05759 | 0.0070 | 8.12 | < 0.0001 | |||
| β2 | 0.96710 | 0.0739 | 13.09 | < 0.0001 | |||
| 4 | β0 | 19.87822 | 0.7378 | 26.94 | < 0.0001 | 0.886 | 1.3286 |
| β1 | 0.06298 | 0.0048 | 13.1 | < 0.0001 | |||
| β2 | 0.97413 | 0.0480 | 20.28 | < 0.0001 |
En la Figura 2AA se observa la curva guía y la distribución de residuales (Figura 2B) con un máximo de 4.23 m; por lo anterior, el modelo [3] se utilizó como base para ser ajustado con la técnica de modelos mixtos.
Modelo de efectos mixtos
En el Cuadro 4 se presentan los parámetros estimados en los ajustes de los MEM y valores en los indicadores de ajuste, mientras que se describen gráficamente los datos observados en la Figura 3A. Al comparar los valores de ajuste y precisión (Cuadros 4 y 5), se tiene que el modelo [3.1], con todos los parámetros significativos, presenta el efecto aleatorio asociado con el tipo de suelo en el parámetro relacionado con la asíntota o máxima dimensión en altura dominante para la especie, así como un comportamiento gráfico adecuado de los valores estimados con respecto a los observados (Figura 3); asimismo, mejora la distribución de residuales porque el valor máximo para efectos fijos fue de 4.23 m (Figura 2B) y para efectos mixtos de 3.4 m (Figura 3B).
Cuadro 4 Parámetros estimados de los modelos de crecimiento de efectos mixtos evaluados.
| Ecuación | Parámetro | Estimador | Error estándar | Valor de t | Pr > |t| | IC Inferior | IC Superior |
| 3.1 | β0 | 19.2662 | 0.6952 | 27.86 | < 0.0001 | 17.9950 | 20.5374 |
| β1 | 0.0752 | 0.0119 | 6.3 | < 0.0001 | 0.0581 | 0.0922 | |
| β2 | 1.1372 | 0.1527 | 7.58 | < 0.0001 | 0.9472 | 1.3271 | |
| u0 | 0.944 | 0.0681 | 13.84 | < 0.0001 | 0.7994 | 1.0886 | |
| 3.2 | β0 | 19.1114 | 0.5558 | 35.59 | < 0.0001 | 18.2627 | 19.9601 |
| β1 | 0.0742 | 0.0064 | 11.77 | < 0.0001 | 0.0587 | 0.0896 | |
| β2 | 1.0568 | 0.2459 | 6.7 | < 0.0001 | 0.9353 | 1.1784 | |
| u1 | 0.9666 | 0.07051 | 13.71 | < 0.0001 | 0.8171 | 1.1160 | |
| 3.3 | β0 | 19.6529 | 0.7412 | 28.98 | < 0.0001 | 18.5814 | 20.7238 |
| β1 | 0.0581 | 0.0032 | 17.07 | < 0.0001 | 0.0465 | 0.0696 | |
| β2 | 0.8412 | 0.1991 | 7.44 | < 0.0001 | 0.6729 | 1.0094 | |
| u2 | 0.9440 | 0.0681 | 13.84 | < 0.0001 | 0.7994 | 1.0886 |
β´s: parámetros de los modelos, IC: intervalo de confianza, ui: efecto aleatorio.
Cuadro 5 Valores de los criterios de ajuste de los modelos de crecimiento de efectos mixtos evaluados.
| Modelo | Criterios de bondad de ajuste | |||||
| RCME | R2adj | -2logLik | AIC | BIC | Ē | |
| 3.1 | 1.13 | 0.914 | -605.6 | 1213.2 | 1247.1 | 0.0015 |
| 3.2 | 1.16 | 0.913 | -607.5 | 1227.0 | 1250.9 | 0.0002 |
| 3.3 | 1.21 | 0.911 | -614.2 | 1240.5 | 1264.3 | 0.0003 |
-2 logLik: logaritmo de verosimilitud, AIC: criterio de información de Akaike, BIC: criterio de información bayesiano, Ē: sesgo promedio absoluto.
Figura 3 Curva guía (A) y distribución de residuales para el mejor modelo de efectos mixtos (B) evaluado.
La estructura de la ecuación seleccionada con la que se construyó la curva guía (Figura 3A) es: Hd = 19.2662 (1-e -0.0752 × E ) 1.1372 . A partir de la ecuación seleccionada se estimó Hd de los árboles en un intervalo de uno a 43 años. Bajo MEM, el factor suelo operó como una variable de agrupación auxiliar para el ajuste, la cual se asume como un efecto aleatorio y permitió generar una curva genérica de Hd.
En los modelos evaluados, los efectos mixtos se incluyeron para considerar en las ecuaciones el efecto del tipo de suelo durante el ajuste y, de acuerdo con De los Santos-Posadas et al. (2006), Tamarit-Urias et al. (2014) y García-Espinoza et al. (2019), ésto permite obtener estimadores más eficientes, precisos y confiables de los parámetros fijos del modelo, que reflejan el patrón de desviación con respecto a la media.
El sesgo indica que el modelo subestima la Hd en 0.0015 m a nivel de árbol individual. Estos resultados son menores que los obtenidos por García et al. (2007a, 2007b y 2021) para Cedrela odorata en la región sur del Estado de Quintana Roo, México.
La expresión que genera las curvas anamórficas mediante el método de la curva guía, de acuerdo con García et al. (2021) es:
Se utilizaron tres clases en las alturas dominantes (14, 17 y 20 m). Gráficamente se determinó que la ecuación [3.1] en versión anamórfica fue la mejor, ya que las tendencias de las curvas se apegaron de mejor manera a las alturas observadas (Figura 4A). Por su parte, la expresión que genera las curvas polimórficas de IS que se derivan del modelo [3.1], al despejar el parámetro β2 referido al sitio, de acuerdo con García-Espinoza et al. (2019) y García et al. (2021), resulta en la siguiente expresión:
Figura 4 Curvas anamórficas (A) y polimórficas (B) de índice de sitio en caoba generadas mediante el MEM 3.1.
Donde se utilizaron las etiquetas de 14, 16 y 18 m debido a que el valor de la asíntota del ajuste genérico del modelo no permite sobrepasar los 18 m. Se observa que las curvas polimórficas sobreestiman la altura dominante en calidades de sitio mayores a edades tempranas y subestiman en calidades menores (Figura 4B), mientras que a edades mayores subestiman en calidades de sitio mayores y sobrestiman en calidades menores (Figura 4B), razón por la cual se considera que, para este caso, estas curvas no son adecuadas para evaluar la productividad para esta especie en la zona de estudio. Es necesario mencionar que la aplicación de esta ecuación promedio o genérica para la población resulta en pérdida de precisión en las estimaciones.
Al estimar los valores específicos del parámetro β0 (asíntota) con la expresión 3.1 para cada tipo suelo, se obtuvieron valores de 19.5037 m en K’ankab, 17.7158 m en Ak´alche, 19.1409 m cuando el suelo fue de tipo Yax-hoom, 19.8940 en Box-lum y 20.0853 para Pus-lum. Con referencia al parámetro β1, para cada suelo se obtuvieron valores específicos: 0.07492559 para K’ankab, 0.06103347 para Ak´alche, 0.07157793 para Yax-hoom, 0.08257073 para Box-lum y 0.08095509 en Pus-lum. Al utilizar los valores por tipo de suelo cuando se considera la asíntota aleatoria, se observa una diferencia a la edad de 45 años de 2.28 m entre el suelo Pus-lum en comparación con el suelo de tipo Ak’alche, que es el de mayor crecimiento (Figura 5A), en tanto que, la tendencia de crecimiento se repite al utilizar el parámetro relacionado con el sitio en los distintos tipos de suelo; sin embargo, presenta una diferencia promedio entre el mejor y peor suelo de 1.6 m, con una discrepancia marcada alrededor de la edad de 30 años (Figura 5B).
Figura 5 Crecimiento en altura dominante al utilizar los parámetros específicos para cada tipo de suelo en el parámetro β0 (A) y β1 (B).
En la Figura 5 se identificaron las distintas tendencias de crecimiento de la altura dominante por tipo de suelo, donde se proponen dos tendencias de curvas (Figura 6), una para los de mayor crecimiento, como K’ankab, Yax-hoom, Box-lum y Pus-lum, y una particular para Ak´alche, que es el suelo con menor desarrollo en general. Al construir series de curvas, se ratifica que las anamórficas (Figura 6A) son las más adecuadas para representar la tendencia de crecimiento para caoba, ya que en las curvas polimórficas (Figura 6B) se tuvo que disminuir las etiquetas de índice de sitio para obtener tendencias lógicas debido a la estructura matemática de la expresión y al valor asintótico del parámetro, por lo cual los valores de altura dominante son menores.
Discusión
La inclusión de covariables dentro del ajuste de MEM permitió obtener estimadores precisos y confiables, tal como lo documentaron De los Santos-Posadas et al. (2006), Tamarit-Urias et al. (2014) y García-Espinoza et al. (2019). El ajuste con MEM permitió clasificar las áreas forestales o PFCs con mayor certeza de acuerdo con la productividad (Carrero et al., 2008); además, puede ser un indicativo más preciso para establecer actividades silvícolas de manejo y realizar proyecciones financieras más acordes con las condiciones reales de los recursos maderables (Andenmatten y Letourneau, 1998; Gaillard et al., 2000).
Aun cuando la metodología de curva guía es la más empleada para establecer niveles de productividad en áreas forestales (Clutter et al., 1983; García et al., 2007a; García et al., 2021; Torres y Magaña, 2001), que en la mayoría se ajusta por MCO, el enfoque de MEM, en este caso disminuyó en 19.8 % el tamaño de la distribución de los residuales máximos alrededor de cero (Figuras 2B y 3B), debido a que la varianza es agrupada por nivel de clasificación (Carrero et al., 2008; Diggle et al., 2002; Littell et al., 2006; Seoane, 2014; Verbeke y Molenberghs, 2000).
En comparación con otros estudios, los indicadores estadísticos aquí obtenidos son superiores a los reportados; por ejemplo, Pérez et al. (2012) para plantaciones de S. macrophylla en Tabasco, México, ajustaron el modelo de Korf hasta la edad de 35 años y obtuvieron una R2 de 0.80 y una asíntota de 12.34 m, pero generaron curvas a una edad base de 10 años.
Los resultados obtenidos son semejantes a los valores reportados por García et al. (2007a) para esta especie en Quintana Roo, México, quienes con el modelo de Chapman-Richards, a la edad de los árboles de 34 años, obtuvieron buenos resultados para la versión anamórfica y con el modelo de Weibull en la versión polimórfica, siendo la versión anamórfica la mejor, con una R2 de 0.99 y una asíntota de 18.13 m, generando curvas anamórficas y polimórficas de IS a la edad base de 30 años.
Salazar et al. (2012) ajustaron el modelo de Schumacher para elaborar curvas anamórficas de índice de sitio en plantaciones jóvenes (seis años) de caoba, donde obtuvieron una R2 de 0.93 y predicción de crecimiento de 7.1 y 9 m para árboles codominantes y dominantes a los 4 años de edad, consideraron que las diferencias se presentaron por las condiciones específicas de cada lugar y el estado de desarrollo de las PFC. Al comparar con otros estudios, estos autores mencionaron que los crecimientos esperados a los cinco años de edad son similares a los obtenidos por García et al. (2007a).
Conclusiones
El modelo de Chapman-Richards con enfoque de modelo de efectos mixtos en el parámetro asintótico genera curvas de índice de sitio de tipo anamórficas más adecuadas en plantaciones forestales comerciales de Swietenia macrophylla; con ellas es posible realizar la clasificación de las plantaciones forestales de acuerdo con el nivel de productividad. El empleo de modelos de efectos mixtos permite ajustar ecuaciones más precisas y confiables con respecto a los modelos de efectos fijos; además, las condiciones de suelo determinan el crecimiento máximo en altura para las plantaciones forestales de esta especie. Por su robustez estadística las expresiones propuestas podrán ser incluidas dentro de un sistema de crecimiento y rendimiento con una precisión aceptable.
