INTRODUCCIÓN

La estimación precisa de las existencias volumétricas es esencial en la planeación del manejo y aprovechamiento forestal maderable (^{Casnati, Euan, Woollons & Resquin, 2014}; ^{Martínez-López & Acosta-Ramos, 2014}), además es una fuente de información básica en los inventarios (^{Corral-Rivas & NávarChaidez, 2009}) de bosques naturales o Plantaciones Forestales Comerciales (PFC). Particularmente, las PFC deben contar con un sistema confiable de cuantificación del volumen total (Vt) y volumen comercial (Vc) de los árboles individuales en pie para su valoración económica (^{Tamarit et al., 2013}) y gestión mediante simulación matemática (^{Tapia & Návar, 2011}).

El cálculo del Vt generalmente se realiza a través de funciones matemáticas de doble entrada (^{Prodan, Peters, Cox & Real, 1997}; ^{Tamarit et al., 2013}). El cálculo del Vc se puede hacer mediante funciones de ahusamiento (d) o modelos de razón de volumen (r) (^{Prodan et al., 1997}), ambas metodologías describen el perfil del árbol en base al diámetro y facilitan la estimación del Vc a cualquier altura del fuste o tamaño en diámetro comercial específico, así como la distribución de productos (^{Diéguez-Aranda et al., 2009}; ^{Quiñonez-Barraza, De los Santos-Posadas, ÁlvarezGonzález & Velázquez-Martínez, 2014}).

Los modelos de ahusamiento se clasifican de acuerdo a su complejidad matemática y a la cantidad de coeficientes y variables incluidas (^{Quiñonez-Barraza et al., 2014}). Entre estos se encuentran los modelos simples (^{Ormerod, 1973}), de exponente variable (^{Kozak, 1988}), modelos segmentados (^{Cao, Burkhart & Max, 1980}) y los que incorporan principios geométricos y trigonométricos (^{Parresol & Thomas, 1996}; ^{Zhang, Peng, Huang & Zhou, 2002}). Cualquiera que sea su estructura matemática, este tipo de modelos pueden hacerse compatibles con una función de Vt o de volumen parcial (Vp), mediante su integración matemática (^{Cruz-Cobos, De los Santos-Posadas & Valdez-Lazalde, 2008}). Si se desea evitar la integración, se puede ajustar directamente un modelo de Vc y utilizarse en la cubicación y en la estimación de la distribución de productos del arbolado en pie, ya que dentro de los modelos de Vc existe una función de ahusamiento intrínseca (^{Clutter, 1980}), de la cual podemos obtener mediante la integración una ecuación de Vt compatible (^{Pompa & Solís, 2008}), si se desea describir por completo con el mismo modelo el perfil del fuste.

Si se define una ecuación de volumen comercial y una de ahusamiento que utilicen los mismos parámetros y una estructura geométrica y matemática común, es posible ajustarlas de forma simultánea como un sistema compatible de ahusamiento-volumen (^{Cruz-Cobos et al., 2008}; Demaerschalk, 1972; ^{Tamarit et al., 2013}). El ajuste de este par de ecuaciones por el método de Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO) ocasiona que los errores de ambas funciones estén correlacionados y los estimadores teóricos sean robustos, sin embargo, se ignoran en Vc y d los errores simultáneos que suceden a lo largo del fuste (^{Hernández, De los Santos, Ángeles, Valdez & Volke, 2013}), por lo tanto, el ajuste mediante las técnicas de ecuaciones aparentemente no relacionadas (SUR, por sus siglas en inglés) y máxima verosimilitud con información completa (FIML, por sus siglas en inglés), son las opciones donde es compatible totalmente el sistema y los estimadores de los parámetros son consistentes y asintóticamente eficientes (Cruz-Cobos et al., 2008; ^{Fang, Borders & Bailey, 2000}; ^{Hernández et al., 2013}).

Con la hipótesis de que las plantaciones forestales comerciales de esta región han cambiado en forma, modificado su volumen total y variado la distribución de su volumen comercial a medida que se ha modificado el material vegetativo utilizado para el establecimeinto de las mismas, el objetivo del estudio fue ajustar un sistema compatible de ahusamiento y volumen comercial para plantaciones forestales comerciales de Eucalyptus urophylla S. T. Blake provenientes de clones y semilla cultivadas en Huimanguillo, Tabasco, México. Estos sistemas son una herramienta de utilidad práctica para los administradores forestales en la toma de decisiones, particularmente en la estimación del inventario volumétrico de forma precisa y en la optimización del cálculo de la distribución de productos maderables del arbolado, previo al aprovechamiento e industrialización de la materia prima existente en las PFC con esta especie.

MATERIALES Y MÉTODOS

El estudio se realizó en Huimanguillo, Tabasco, México, en PFC establecidas en terrenos con relieve de tipo lomerío no mayor a 5% de pendiente y unidad de suelo Feozem. La precipitación promedio anual es de 2500 mm y temperatura media anual de 26 °C, que en conjunto son condiciones características de un clima cálido húmedo con abundantes lluvias en verano (Am) (Instituto Nacional de Estadística y Geografía ^{[INEGI], 2005}).

La base de datos proviene de la medición en el año 2007 de 175 árboles de clones (E1), de la medición en 2014 de 93 árboles de clones diferentes (E2) y de 459 árboles provenientes de semilla medidos en 2007 (E3). En las dos primeras muestras de las poblaciones (E1 y E2), la edad tuvo un rango de uno a siete años y la muestra de la población E3 varió entre dos a 11 años. Los 727 árboles que conformaron la muestra se eligieron considerando su condición fitosociológica, escogiendo a los dominantes dentro de cada población, tratando de cubrir la mayor variabilidad fenotípica posible (^{Torres & Magaña, 2001}).

Mediante un muestreo destructivo se midieron las siguientes variables en cada individuo seleccionado: diámetro normal (dn) a la altura de 1.3 m, diámetro a diferentes alturas (d), partiendo de la base del tocón hasta donde hm sea igual a la altura total (h), diámetro de tocón (dt), altura a distintos diámetros (hm) hasta llegar a donde d fuera igual a cero, iniciando de la base y concluyendo donde d sea igual a cero y concuerde con h y la altura del tocón (ht) siendo esta variable de acuerdo a la técnica de corte empleada, todas las mediciones se registraron en metros y se realizaron incluyendo la corteza con una separación entre secciones de un metro de longitud (l) hasta llegar a la punta del árbol. En cada troza se midieron los diámetros en los extremos y en la parte media, así como su longitud, todo ello en metros. Para obtener el volumen de cada troza (Vtroza), se utilizó la fórmula de Newton y la del cono para la punta (Vpunta). El Vt, se calculó con el método de trozas traslapadas propuesto por ^{Bailey (1995)}.

En total, de la muestra de cada población (E1, E2 y E3) se obtuvieron 1958; 2113 y 6060 pares de datos de d y hm. Para comprobar si las poblaciones son estadísticamente diferentes en las variables de diámetro normal, altura total y volumen, se contrastaron las hipótesis siguientes de igualdad de medias.

H ₀= u ₁= u ₂=…. u _k . Las muestras son iguales a partir de los parámetros que definen su ahusamiento-volumen, no rechazando la hipótesis nula.

H ₁= Al menos una muestra es distinta y se rechaza la hipótesis nula.

Al contrastar la hipótesis de igualdad de medias (u _k ), las reglas de decisión que se aplicaron con base a la significancia de F en la prueba de Duncan (Pd) agrupando la muestra de cada población con un nivel de confiabilidad del 95%.

Los sistemas compatibles de ahusamiento-volumen que se ajustaron y evaluaron en la predicción del Vc de los árboles muestra de las tres poblaciones de E. urophylla a través de la descripción del perfil del fuste (Tabla 1), cumplen con la restricción de que hm = h cuando d = 0, condición que hace posible su uso para predecir el d a cualquier altura del fuste requerida.

El ajuste simultáneo de los sistemas de ahusamiento-volumen se realizó por tres metodologías donde se emplearon MCO, FIML y SUR. Estos últimos tienen la ventaja de generar estimadores consistentes en los sistemas y considera los errores simultáneos que ocurren en d y Vc a lo largo del fuste. Se utilizó el paquete estadístico SAS 9.2 y el procedimiento MODEL (^{Institute Inc. Statistical Analysis System, 2008}). Para facilitar el ajuste y la obtención de los parámetros en las ecuaciones de forma simultánea, cuando hm = h, es decir, d = 0. Se utilizó un valor en este punto de 0.01 m y 0.0001 m, además de una variable indicadora para evitar que tomara el valor de cero a esta altura y así evitar problemas de convergencia y perdida de datos como lo mencionan ^{Fang et al. (2000)}.

En este tipo de ajustes se asume que la varianza es distribuida de forma normal y los errores son independientes, además que la media es igual a cero (Gujatari, 2004), sin embargo esto no sucede, ya que se presentan problemas de heterogeneidad de varianza y presencia de autocorrelación y colinealidad, situación que ocasiona que los parámetros resulten ineficientes y que los errores estándar no sean mínimos (^{Hernández et al., 2013}; ^{Pompa et al., 2009}).

El problema de heterocedasticidad se corrigió con una función que pondera la varianza de los residuales (^{Cailliez, 1980}; ^{Crecente, Rojo & Diéguez, 2009}) por medio de una función exponencial de acuerdo a la metodología sugerida por ^{Harvey (1976)}. Para corregir el problema de autocorrelación se utilizó un modelo de tipo autorregresivo en tiempo continuo CAR(X) (^{Zimmerman & Nuñez-Antón, 2001}), decidiendo el retardo aplicado conforme al análisis gráfico de los problemas de autocorrelación de los errores y al evaluar el estadístico de Durbin-Watson (DW) que debe ser cercano a 2 (^{Barrio, López & Nieto, 2014}; ^{Barrio, Sixto, Cañellas & González, 2007}; ^{Verbeek, 2004}) mediante las siguientes expresiones.

Donde, Y _ij es el vector de la variable dependiente; X _ij la matriz de las variables independientes; B es el vector de los parámetros a estimar; e _ij es el j-ésimo residuo del árbol i; I _k = 1 para j > k y es 0 para j ≤ k; pk es el parámetro autoregresivo de orden k a estimar; h _ij h _ij-k es la distancia que separa la altura de medición jésima de la altura de medición j-ésimo-k en cada árbol (h _ij > h _ij-k ) y; ε _ij es el error aleatorio (^{Barrio et al., 2014}).

La evaluación y selección del mejor modelo se decidió acorde al mayor valor del Coeficiente de determinación ajustado por el número de parámetros (R ² _aj .) y los menores valores de la Suma de Cuadrados del Error (SCE), Cuadrado Medio del Error (CME), la Raíz del CME (RCME), el Sesgo (Ē) y Desviación Agregada en % (DA %). Además se evaluó el valor del estadístico Durbin-Watson (DW) tal como lo reportan ^{Barreto-Medel, Álvarez-Lazo & Alonso-Torrens (2012)}, ^{Corral, Návar & Fernández (1999)} y ^{Lara (2011)}. Todos estos estadísticos se integraron en un sistema de calificación como lo proponen ^{Sakici, Misira, Yavuza & Misira (2008)}, asignando valores de uno al seis de forma ascendente en función de la importancia para cada uno de los estadísticos, siendo uno el valor del sistema estadístico y seis el de menor, para que al final la menor sumatoria corresponda al del mejor modelo ajustado.

Con la finalidad de conocer la similitud estadística que existe entre los ajustes de los mejores modelos para las tres muestras por población, se utilizó la prueba de F de Snedecor a un nivel de 95% de confiabilidad (Zamudio, 1990, citado por ^{Muñoz, Madrigal, Aguilar, García & Lara, 2003}). Se agruparon las poblaciones para su contraste en grupos de E1 vs E2, E1 vs E3 y E2 vs E3 y se ajustaron con el modelo seleccionado, para posteriormente poder contrastar la hipótesis de homogeneidad de modelos, con la fórmula siguiente.

Donde Fc es el Valor de F calculada, SSE la suma de cuadrados del error del modelo ajustado para las dos poblaciones, SSE ₁ y SSE ₂ la Suma de Cuadrados del Error de la población 1 y 2, respectivamente, N₁ y N₂ es el número de observaciones de cada población, y r el número de modelos comparados.

La regla de decisión donde, si |F _c | < F _t al comparar r para un solo modelo en las tres muestras por población o bien |F _c | > F _t comparando r modelos donde se utilizara más de un modelo.

RESULTADOS

Los estadísticos descriptivos básicos de las variables utilizadas expresados en metros muestran que en promedio los árboles de la población E2 son los más altos, con un diámetro normal semejante a los de E3, sin embargo, con menor volumen que estos últimos (Tabla 2). El comportamiento de diámetro y volumen comercial con respecto a la altura de los árboles para las tres poblaciones de E. urophylla sigue una tendencia definida, sin presentar individuos fuera de la forma del fuste promedio (Figura 1).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 1 Comportamiento del diámetro (d) y volumen acumulado (Vc) con respecto a la altura del fuste (hm) de los árboles de clones E1 (a y d) y E2 (b y e), y semillas E3 (c y f) de E. urophylla en Huimanguillo, Tabasco, México. 

En un primer ajuste donde los mejores resultados se obtienen al ajustar de forma simultánea las ecuaciones compatibles de d y Vc con el método FIML. En este ajuste, todos los parámetros de los seis sistemas compatibles para las muestras de las tres poblaciones evaluadas fueron significativos a un nivel de confiabilidad del 95%, el Coeficiente de determinación ajustado fue superior a 0.9 y se presentó normalidad en los datos. Sin embargo, se observaron problemas en la distribución de los residuales ya que a medida que aumentó la altura del árbol, se presentó un aumento de la varianza (heterocedasticidad) y el valor de la prueba DW se mantuvo inferior a 0.9 en todos los casos. Además, en las gráficas de la función de autocorrelación (ACF), se detectan problemas en las dos variables ajustadas. Los problemas de heterocedasticidad se corrigieron aplicando una función de ponderación a los residuales basada en la variable combinada (Residual/((dn ² h)^φ)^0.5).

Como resultado del sistema de calificación implementado para seleccionar al mejor sistema, se determinó que en las muestras obtenidas de las poblaciones E2 y E3, el modelo generalizado de Fang y Bailey fue el que presentó el menor valor en el sistema de calificación aplicado para el promedio de las variables de Vt y d, mientras que en E1 el modelo de Fang y Bailey caso-1 fue el de menor valor, seguido del modelo generalizado de Fang y Bailey, el cual fue seleccionado como el mejor debido a que en el primero la precisión de estimaciones de ahusamiento es inferior y que no se corrige completamente la autocorrelación dentro del modelo.

Los valores de los parámetros, los cuales en todos los casos fueron significativos, señalan un ajuste adecuado, además de que sus respectivos errores estándar aproximados (Eea) son muy pequeños para las tres poblaciones de E. urophylla (Tabla 3). En los Eea se observó que al realizar las correcciones por autocorrelación aplicando retardos dentro de los modelos, estos se hacen más pequeños, mientras que los valores de t y la prueba de DW incrementan.

En los estadísticos de bondad de ajuste y la prueba de DW de los tres sistemas compatibles obtenidos con el modelo generalizado de Fang y Bailey se puede observar que el ajuste y descripción de la muestra por población tanto para Vc como para d fue superior al 96% y los valores de SCE y RCME fueron pequeños (Tabla 4), mientras que la corrección por autocorrelación solo se hizo en una de las variables, eligiendo para ello la que sobrepasara el valor de 1.5 en DW con el menor número de retardos posibles y no presentara parámetros no significativos, R ² aj. pequeñas o incrementara el sesgo de las estimaciones.

Los datos son tendientes a la normalidad, ya que al utilizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov (cuando N ≥ 2000) y Shapiro-Wilk (cuando N ≤ 2000), su distribución tiene una forma de campana de Gauss a un nivel de confiabilidad del 95%. La corrección por heterocedasticidad fue adecuada en el modelo para las muestras de las tres poblaciones de E. urophylla, mejorando la distribución inicial de los residuales y haciendo más homogénea y con menor amplitud la estimación. Los residuales de los sistemas derivados del modelo generalizado de Fang y Bailey, ajustados de manera simultánea para el d (a, b y c) y del Vc (d, e y f), respectivamente, muestra una distribución adecuada (Figura 2).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 2 Comportamiento de los residuales de d (a, b y c) y Vc (d, e y f) con el sistema compatible de ahusamiento (d) - Volumen comercial (Vc) del modelo generalizado de Fang y Bailey para cada muestra por población de E. urophylla en Huimanguillo, Tabasco, México. 

El diagnóstico ACF en d y en Vc mostró los problemas de autocorrelación mencionados, por ello, al aplicar el modelo de autoregresivo del orden que fuera necesario, se tiene que los errores en cada modelo se corrigen para cada ecuación seleccionada generando la gráfica de función de autocorrelación parcial (PACF) corregida en d (a, b y c) y en Vc (d, e y f) con el modelo completo y la estructura CAR(X) correspondiente dentro del sistema compatible para cada muestra de E. urophylla (Figura 3).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 3 Función de corrección parcial de autocorrelación para d (a, b y c) y Vc (d, e y f), para el modelo generalizado de Fang y Bailey en las tres muestras de las poblaciones de E. urophylla en Huimanguillo, Tabasco, México. 

Al verificar la precisión en las estimaciones del modelo en cada muestra se tiene que los valores del Sesgo son muy bajos y que solamente en la estimación del Vc para la E3 se tiende una ligera sobreestimación (Tabla 5). Además, al evaluar de forma gráfica la precisión de las estimaciones comparando los valores predichos contra los observados, se tiene una tendencia hacia una línea recta con pendiente de 45° en los tres casos, situación que hace confiable las estimaciones del Vc (Figura 4).

Fuente: Elaboración propia.

Figura 4 Relación entre el Vc estimado vs Vc predicho para las poblaciones de E. urophylla en Huimanguillo, Tabasco, México. 

Al verificar el Ē de forma porcentual en estas estimaciones con respecto al Vc observado mediante el Coeficiente de determinación (R²), se tiene que en las muestras de las poblaciones E1 y E2 la desviación es de 2.84% y 2.81% en promedio, respectivamente, mientras que en las plantaciones provenientes de semilla (E3) es de 4.95%.

La prueba de F de Snedecor a un nivel de 95% de confiabilidad y al aplicar la regla de decisión donde, si |F _c | < F _t al comparar r para un solo modelo en las tres especies o bien |F _c | > F _t comparando r modelos donde se utilizara más de un modelo, se obtuvo que |F _c | fue mayor en los tres contrastes que F _t , por lo cual, el uso del modelo generalizado de Fang y Bailey ajustado por población es correcto. La prueba señala diferencias significativas en la forma de los árboles y su volumen comercial respectivo, por tanto un ajuste simultaneo entre las poblaciones E1, E2 o E3 no podría incluir estas variaciones y se tendría que realizar por separado (Tabla 6).

DISCUSIÓN

El método de FIML fue superior a SUR y ha sido utilizada con éxito en otros trabajos (^{Hernández et al., 2013}; ^{Tamarit et al., 2013}), debido a que optimiza de mejor forma los parámetros de ahusamiento y volumen comercial, minimiza y homogeneiza los errores estándar y hace que las dos ecuaciones sean completamente compatibles (^{Borders, 1989}; ^{Fang et al., 2000}).

Los problemas de heterocedasticidad se corrigieron, con lo cual se mejoró la distribución de los residuales en todos los sistemas analizados como también lo encontraron varios autores como ^{Crecente-Campo et al. (2009)} y ^{Harvey (1976)}, donde el valor del parámetro φ proviene de la regresión lineal del logaritmo natural (ln) de los residuales del Vc en función del ln de dn ² h.

Una vez minimizados los errores, hasta donde fuera posible, los problemas de heterocedasticidad y autocorrelación, y sin caer en el sobre ajuste estadístico y la pérdida de precisión en las estimaciones, se incluyeron los valores de ajuste en un sistema de clasificación semejante a lo propuesto por ^{Sakici et al. (2008)} e implementado por ^{Tamarit et al. (2013)} en el cual el modelo generalizado de Fang y Bailey calificó en la mejor posición.

La prueba de normalidad aplicada concuerda con lo descrito por ^{Zaragoza et al. (2014)}, donde la distribución de los datos tiene una forma de campana de Gauss y concuerda con lo que menciona ^{Infante & Zarate (2012)} al nivel de confiabilidad empleado. En la corrección por heterocedasticidad, la distribución obtenida es semejante a lo reportado para este tipo de correcciones por ^{Barrio et al. (2007)}, al utilizar una modificación del modelo de Vc de ^{Van Deusen, Sullivan & Matney (1981)}; y ^{Crechi, Keller & Fassola (2008)} que utilizan un sistema compatible de d-Vc con base en el modelo de Bi de tipo trigonométrico.

La inclusión de los modelos autoregresivos de tiempo continuo dentro de los sistemas compatibles para realizar las correcciones por autocorreación de los errores concuerdan con lo reportado por ^{Rodríguez & Molina (2003)} al corregir la autocorrelación en funciones de perfil para tres clones de Populus x euramericana, y por ^{Quiñonez-Barraza et al. (2014)} al ajustar un sistema compatible de d-Vc para cinco especies de Pino. Además, con esto se mejora la distribución de los residuales de los modelos y va acorde con lo referido por ^{Barrio et al. (2007)} al implementar un sistema de cubicación y clasificación de productos para Populus x euramericana y Barrio et al. (2014) al estimar el Vc para Eucalyptus grandis a través de modelos de volumen total y de razón.

Los errores en las estimaciones realizadas con los tres sistemas compatibles son inferiores a los reportados por ^{Wabo, Marquina & Bratovich (2001)} al utilizar una función de perfil para estimar posteriormente el Vc, y ^{Crechi et al. (2008)} al ajustar de forma simultánea el modelo de Bi para las estimaciones del d-Vc, ambas del 8%.

CONCLUSIONES

El modelo generalizado de Fang y Bailey resultó ser el que con mayor precisión estima el ahusamiento y el volumen comercial de árboles de Eucalyptus urophylla, y el que tiene los menores sesgos entre los sistemas compatibles analizados. De igual manera estadísticamente es el modelo en el cual se corrigen adecuadamente los problemas de heterocedasticidad y autocorrelación, optimizando los valores de los parámetros estadísticos obtenidos para cada muestra correspondiente a las poblaciones debido a que homogeneiza y minimiza los errores estándar aproximados de las estimaciones al ajustarlo con la técnica de máxima verisimilitud con información completa. Con el sistema seleccionado ahusamiento y el volumen comercial, se pueden realizar estimaciones y predicciones del volumen comercial a diferentes diámetros sobre el fuste o bien estimar la altura esperada a cualquier diámetro límite de utilización de interés establecido, además de describir en los tres tipos de plantaciones de forma confiable el perfil del fuste de los árboles con variables dasométricas diferentes.

En las poblaciones de E. urophylla, tanto en los clones (E1 y E2) como en las provenientes de semillas (E3), las diversas formas, los volúmenes totales y comerciales, así como su distribución de productos, además de sus índices de esbeltez (IE) de los árboles han variado probablemente por los criterios de selección del germoplasma y a las actividades silvícolas y culturales aplicadas en este tipo de plantaciones forestales. Se recomienda realizar estudios semejantes por clon específico, además del uso de un número mayor de unidades muestrales, emplear funciones segmentadas de ahusamiento o bien realizar un análisis bajo el enfoque de efectos mixtos para poder identificar estos cambios tanto en el ahusamiento como en la distribución del volumen comercial con mayor precisión.