Área de estudio

La comunidad de Ixtlán de Juárez, Oaxaca, se ubica entre las coordenadas 17^o 18’ 16” y 17^o 34’ 00” de latitud norte y 96^o 20’ 00” y 96^o 31’ 38” de longitud oeste. Los tipos de climas predominantes en el área son templado subhúmedo y templado subhúmedo con lluvias en verano, con temperatura promedio anual de 20 °C (^{Castellanos-Bolaños, Treviño-Garza, Aguirre-Calderón, Jiménez-Pérez y Velázquez-Martínez, 2010}). Los tipos de suelo más comunes son: acrisol, luvisol y cambisol. El principal tipo de vegetación en el área son los bosques de pino-encino (^{Ruiz-Aquino et al., 2014}).

Datos dasométricos

En este estudio se utilizaron 844 pares de datos de diámetro con corteza y altura, los cuales se obtuvieron de 55 árboles de P. ayacahuite distribuidos en un intervalo amplio de categorías de diámetro y altura (Tabla 1). Cada árbol fue derribado y seccionado, efectuándose mediciones del diámetro normal (D), diámetro del tocón (db), así como de los diámetros con corteza (dm) y alturas (hm) tomadas a diferentes secciones a partir del tocón (hb) hasta abarcar la altura total del árbol (H).

El resumen de las estadísticas descriptivas de los análisis troncales se presenta en la tabla 1. La dispersión de las alturas (hm/H) y diámetros (dm/D) en términos relativos se ilustra en la figura 1.

Figura 1 Dispersión del diámetro relativo y la altura relativa. 

Modelos de ahusamiento seleccionados

Los modelos de ahusamiento utilizados para describir el perfil del fuste de P. ayacahuite fueron agrupados en la categoría de modelos fustales generales para árbol individual (modelos polinómicos simples y de tipo exponencial); la mayoría fueron desarrollados y aplicados para especies de coníferas. Todas las ecuaciones se expresaron en términos del diámetro (dm) como variable dependiente (Tabla 2), para evitar los errores multiplicativos que se presentan cuando se usa el diámetro relativo (^{Honorato, 2011}); además, el diámetro permite realizar comparaciones directas de bondad de ajuste y capacidad predictiva entre los modelos.

Procedimiento de ajuste

En el análisis estadístico se utilizaron los 844 pares de datos para estimar los parámetros de los modelos de ahusamiento, con regresión lineal y no lineal, a través del procedimiento “MODEL” del paquete SAS/ETS® (^{SAS Institute Inc., 2011}).

Los criterios para calificar la bondad de ajuste se basaron en métodos analíticos (Tabla 3); además, se consideró el número de parámetros empleados en la estructura (a menor número de parámetros mayor parsimonia). Todos estos criterios se evaluaron en un sistema de calificación relativa, asignándole un valor de acuerdo con el orden de importancia (del 1 al 5 siendo 1 el mejor calificado y 5 el peor). La sumatoria de los valores conformó la calificación final (CF) y mediante una comparación se identificó al modelo mejor, siendo aquel que presentó la calificación total más baja, así como una distribución de los residuales más homogénea.

Además del análisis gráfico y estadístico (con los estadísticos de ajuste), se evaluó la significancia de los estimadores de los parámetros, a través de pruebas de hipótesis con la distribución t Student, bajo la hipótesis nula H₀: 𝛃_i = 0 y Ha: 𝛃_i ≠ 0 (^{Di Rienzo et al., 2005}), para esto se utilizó un valor crítico de α = 0.05.

Verificación de los supuestos del modelo de regresión

La normalidad en la distribución de los residuales se verificó con la prueba de ^{Shapiro-Wilk (Shapiro y Wilk, 1965)}, al realizar la prueba de hipótesis siguiente: H ₀ :ɛ~ Normal, bajo la regla de decisión: si el valor p < = α entonces H ₀ se rechaza, para esta prueba también se utilizó un valor de significancia del 5% (α = 0.05).

Para probar la independencia de los residuales, se realizó la prueba de Durbin-Watson (DW) la cual mide el grado de autocorrelación de los residuos. Para este estadístico, el valor es aproximadamente igual a dos cuando los residuales son independientes; en caso contrario, si los residuales están correlacionados positivamente, tenderán a ser próximos a cero, o próximos a cuatro si los residuales están correlacionados negativamente (^{Durbin y Watson, 1971}).

El supuesto de homogeneidad de varianzas se comprobó mediante la prueba de ^{White (White, 1980)}. Para esto se efectuó la regresión de los residuales frente a todas las variables explicativas del modelo, los cuadrados y productos cruzados, bajo la hipótesis nula de varianza residual homogénea: H0:σi2= σ2 para toda i. En muestras suficientemente grandes se puede comprobar que la variable definida como el producto entre el coeficiente de determinación de la regresión efectuada y el tamaño muestral n, seguirá una distribución x ² - de White con m grados de libertad, nR2≈xm2, donde m denota el número de variables explicativas de la regresión realizada, cuando el valor p obtenido fue menor que el nivel de significancia (valor p < α) se rechazó la hipótesis nula a contrastar, y se tuvo un problema de heterocedasticidad (^{Díaz y Llorente, 2013}).

Comparación de estimaciones de volumen

Para comparar el volumen del fuste total con corteza generado a partir de la integración del modelo de ahusamiento Cielito 2 (Anexo 1), se implementaron diferentes estrategias matemáticas (Tabla 4). En este caso, los modelos de volumen usados fueron: Schumacher-Hall de doble entrada y Berkhout de una entrada (^{Ramírez-Martínez, Santiago-García, Quiñonez-Barraza, Ruiz-Aquino y Martínez-Antúnez, 2016a}) contra el volumen observado (obtenido mediante las fórmulas de Smalian y del cono); para esto, se seleccionaron 13 árboles, distribuidos en todas las categorías diamétricas de la base de datos.

Modelos de ahusamiento

Los valores de los parámetros estimados para los modelos ajustados, el error estándar y el nivel de probabilidad se resumen en la tabla 5, para todos los modelos, los parámetros fueron significativos (p < 0.0201), al utilizar un valor crítico de nivel de significancia de α = 0.05.

Con respecto al error estándar de los parámetros, el modelo Cielito 2 (Modelo 2) presentó los valores relativamente más altos en los cinco parámetros de la estructura matemática. Por su parte, el modelo ^{Biging (1984)} (Modelo 5) presentó los errores más bajos en los estimadores de los parámetros. Sin embargo, de acuerdo con los criterios de bondad de ajuste y al sistema de calificación de escala relativa (Tabla 6), el modelo Cielito 2 presentó el ajuste mejor respecto a los otros modelos ajustados, al obtener la calificación final más baja (11 unidades), esto debido a que mostró el R ² adj más alto, lo que indica que el modelo explica 97% de la variabilidad total presente en la variable dependiente (diámetro), con un sesgo promedio (Ē ) de 0.26 cm; además, mostró una precisión alta en las estimaciones del diámetro a lo largo del fuste, esto dado por sus valores menores en REMC y AIC.

La segunda mejor calificación la obtuvieron los modelos de ^{Biging (1984)} y Cielito 3, al explicar 97% y 96%, respectivamente, de la variabilidad del diámetro, y los valores de REMC y AIC fueron similares a los obtenidos por el modelo Cielito 2, aunque el sesgo promedio en la predicción del modelo de ^{Biging (1984)} fue más alto (0.31 cm) que el de Cielito 2, en tanto que el modelo Cielito 3 presentó un sesgo menor absoluto con respecto a estos (0.13) (Tabla 6).

Aun cuando los modelos Cielito 2, Cielito 3 y ^{Biging (1984)} obtuvieron las puntuaciones más bajas, la discriminación final de estos se hizo a partir del análisis de la capacidad predictiva. Para esto se realizó una representación gráfica de los cinco modelos de ahusamiento al describir los diámetros (dm) a diferentes alturas (hm) a lo largo del fuste y de esta manera tener mayor certidumbre al seleccionar el modelo estadísticamente más preciso (Fig. 2).

Figura 2 Comportamiento promedio de las cinco funciones de ahusamiento sobrepuestas a los datos de los perfiles fustales de P. ayacahuite. 

Al considerar los valores de los estadísticos de bondad de ajuste y el análisis gráfico de los cinco modelos, el modelo Cielito 2 describió mejor el ahusamiento de P. ayacahuite. En la figura 3, se presentan los residuales contra los valores predichos por el modelo Cielito 2, se puede observar que existen datos en ambos lados de la línea de referencia (línea cero) manifestando un equilibrio.

Figura 3 Dispersión de residuos frente a los valores estimados del ahusamiento (dm) de Cielito 2. 

En la figura 4 se muestra el comportamiento del modelo al seleccionar a un árbol de la categoría diamétrica más representativa de la muestra empleada, que en este caso fue de 40 cm y altura de 24.2 m.

Figura 4 Comportamiento de la función de ahusamiento Cielito 2 (sobrepuesta al perfil fustal de P. ayacahuite en la categoría diamétrica de 40 cm. 

Verificación de los supuestos del modelo de regresión

En la tabla 7 se presentan los resultados de las pruebas para los supuestos de homocedasticidad, autocorrelación y normalidad de los residuales. El estadístico de White indicó que las varianzas son heterogéneas, la prueba de Durbin-Watson concluyó que existe autocorrelación positiva en los residuales y la prueba de Shapiro-Wilk reveló que los residuales no siguen una distribución normal.

Comparación de estimaciones de volumen

En la tabla 8 se presentan los volúmenes de fuste total para los 13 árboles seleccionados. Las estimaciones realizadas con el modelo de Shumacher-Hall son semejantes al volumen observado y presentan un sesgo en valor absoluto de 0.026 m³; asimismo, el modelo de Berkhout de una entrada mostró un sesgo de 0.054 m³, lo cual indica que posee un sesgo mayor al utilizar solo al diámetro normal como variable independiente. En la estimación de volumen con la integración del modelo Cielito 2, el sesgo absoluto fue de 0.153 m³ siendo este indicador mayor con respecto a las otras formas de estimación.

Supuestos del modelo de regresión

El cumplimiento de los supuestos básicos del análisis de regresión no se observó para los residuales del modelo seleccionado (Cielito 2). En el caso del supuesto de normalidad de los residuales solo es necesario cuando se desea establecer intervalos de confianza para los valores medios estimados por el modelo de regresión: un modelo de tendencia central; asimismo, el no cumplimiento de este supuesto no afecta a las predicciones del modelo, siempre y cuando se asegure una extensión suficiente de los valores de la variable dependiente (^{Aguirre, 1994}), como sucede en el presente estudio. La autocorrelación es debida a que la descripción del ahusamiento de los árboles requiere de la obtención de mediciones de los diámetros a diferentes alturas en un mismo individuo, por lo que las observaciones del diámetro están espacialmente correlacionadas (^{Honorato, 2011)}. No obstante, es posible minimizar la autocorrelación, mediante la adición de efectos aleatorios con modelos de efectos mixtos (^{Cruz-Cobos, De los Santos-Posadas y Valdéz-Lazalde, 2008}; ^{Quiñonez-Barraza, De los Santos-Posadas, Álvarez-González y Velázquez-Martínez, 2014}), o al incorporar estructuras de error autorregresivas en la estimación de los parámetros (^{Pompa-García, Vega-Muñoz, Soto-Gutiérrez, Trincado y Cruz-Cobos, 2012}; ^{López et al., 2015}), lo cual permite modelar adecuadamente la autocorrelación de los residuales. Algunos investigadores, entre ellos, ^{Garber y Maguire (2003)} emplearon estructuras de error autorregresivas CAR(1) para modelar el ahusamiento de Pinus ponderosa, P. contorta y Abies grandis en la parte central de Oregón, Estados Unidos; ^{Rojo, Perales, Sánchez, Álvarez y Gadow (2005)} emplearon CAR(2) al modelar el ahusamiento de P. pinaster en Galicia, España, y López et al. (2015) emplearon CAR(3) para plantaciones de Eucalyptus tereticornis en Colombia.

^{Kozak (1997}) y ^{Rojo et al., (2005)} notaron que la corrección de la autocorrelación no mejora de manera importante la capacidad predictiva de los modelos de ahusamiento, porque los estimadores de los parámetros y los valores predichos permanecen insesgados en presencia de autocorrelación. Por su parte, ^{Garber y Maguire (2003}) y ^{Pompa-García et al. (2012)} indican que corregir la autocorrelación tiene sentido porque optimiza la eficiencia en la estimación de parámetros (varianza mínima y errores estándar más reducidos) mejora la interpretación teórica de las propiedades estadísticas de los modelos e identifica las variables predictoras que son significativas.

Por otra parte, ^{Prodan, Peters, Coxy y Real (1997)} señalan que la varianza no constante es un fenómeno común al relacionar variables biológicas, lo cual no invalida el ajuste. Los árboles son entes vivientes y su crecimiento es resultado de la actividad de los meristemos primarios, que provoca el crecimiento longitudinal en altura, longitud de las ramas y raíces, así como de los meristemos secundarios, que dan lugar al crecimiento en grosor o en diámetro, al producir nueva madera hacia el interior y corteza hacia el exterior (^{Diéguez-Aranda et al., 2003}). Asimismo, existe una serie de factores edáficos que influyen sobre esta variable, como textura, estructura, profundidad, composición química, pH, aireación, temperatura, capacidad de retención de humedad, conductividad hidráulica, y de la atmosfera, la distribución y cantidad de precipitación, la energía radiante y otros; por tanto, la respuesta fisiológica de los árboles ante estos factores no es homogénea (^{Lira, 1994}); en consecuencia, es de esperarse la presencia de heterocedasticidad (varianza no constante en las perturbaciones del modelo), que no invalida los estimadores de mínimos cuadrados que siguen siendo insesgados, solo que dejan de tener una varianza mínima.

Al no afectar la capacidad de predicción de los modelos de ahusamiento el no cumplimiento de los supuestos subyacentes del análisis de regresión, y sin perder de vista el uso práctico de estos modelos como una herramienta sencilla para modelar el ahusamiento y el volumen fuste total de P. ayacahuite, se optó por utilizar el ajuste original (sin corrección por autocorrelación y heterocedasticidad).

Comparación de estimaciones de volumen

Las estimaciones de volumen con el modelo de doble entrada de Schumacher-Hall son semejantes al volumen observado, con un sesgo bajo. Este modelo ha sido empleado por diversos investigadores por la simplicidad de su estructura, al obtener resultados satisfactorios. Por ejemplo, ^{Pece, Gillard, Galindez y Ríos (2002)} emplearon este modelo para la construcción de una tabla de volumen de doble entrada para álamos. Asimismo, ^{Tapia y Navar (2011)} utilizaron este modelo para predecir el volumen de Pinus pseudostrobus Lindl., de una fracción de la Sierra Madre Oriental de Nuevo León, México. En tanto que ^{Ramos-Uvilla et al. (2014)} emplearon dicho modelo para elaborar tablas de volumen para Pinus lawsonii y Pinus oocarpa en el estado de Michoacán. Por otra parte, las predicciones de volumen realizadas con el modelo de Berkhout de una entrada fueron buenas, con un sesgo de 0.054 m³. En un estudio de volumen para Pinus douglasiana y Pinus oocarpa en el estado de Durango, ^{Valencia-Canales (2013)} encontró que el modelo de Berkhout presentó la mayor bondad de ajuste de entre seis modelos de una entrada evaluados, pero su ajuste fue ligeramente menor al compararlo con el modelo de doble entrada de Schumacher-Hall. Sin embargo, al considerar que el modelo de Berkhout utiliza solo al diámetro normal como variable independiente, sus estimaciones son consideradas adecuadas, aunque el uso dependerá de la precisión requerida en la estimación del volumen total.

El modelo Cielito 2 tiene como ventaja ser una función de ahusamiento compatible con una ecuación de volumen, que al ser integrada genera estimaciones de volumen comercial y total similares a las obtenidas por una expresión de volumen existente (^{Avery y Burkhart, 2001}). De esta forma, la ecuación de volumen fuste total generada en este estudio presentó una sobreestimación en el volumen a partir de la categoría de 50 cm, lo que posibilita la utilización preferentemente en categorías menores para determinar la distribución de los productos forestales maderables de P. ayacahuite.

El modelo de ahusamiento Cielito 2 con la respectiva ecuación de volumen de fuste total, complementa el sistema volumétrico para P. ayacahuite de los bosques de Ixtlán de Juárez, Oaxaca. Este sistema está integrado por modelos de volumen fuste total de una y dos entradas (^{Ramírez-Martínez et al., 2016a}) y por un sistema segmentado de ahusamiento-volumen compatible (^{Ramírez-Martínez, Santiago-García, Quiñonez-Barraza, Ruiz-Aquino y Rodríguez-Ortiz, 2016b}) para la estimación del volumen total y comercial variable, así como la distribución de productos de manera más precisa. Sin embargo, los modelos aquí presentados representan un enfoque más sencillo de implementar en la práctica, y generan estimaciones adecuadas del volumen y la distribución de productos de árboles en pie.