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Introducción
La información de la variable altura (At) en los árboles es relevante para cuantificar el volumen del bosque mediante inventarios forestales; su medición en campo es difícil de realizar y está propensa a errores cuando la densidad del dosel es alta (Arnoni et al., 2016; Guzmán-Santiago et al., 2019), a diferencia de la medición del diámetro normal (dn) que se realiza de manera directa, fácil y rápida (Guzmán-Santiago et al., 2023). La relación At-dn es una herramienta útil para realizar estimaciones como el volumen fustal (Ramos-Uvilla et al., 2014), el volumen total (Moret et al., 2007), el ahusamiento de los árboles (Corral-Rivas y Návar-Cháidez, 2009), cuantificación de la distribución de productos (Riaño y Lizarazo, 2016), estimación de la biomasa aérea (Vargas-Larreta et al., 2009) y cálculo de factores de expansión de biomasa (Hernández-Ramos et al., 2017).
Las diversas condiciones geográficas que presentan los ecosistemas forestales de México hacen posible la existencia de bosques normalmente irregulares o incoetáneos con mezcla de especies, por lo que es difícil disponer de funciones At-dn de aplicación universal (López-Villegas et al., 2017). Por tanto, estas ecuaciones suelen ajustarse a escala de especie y pueden ser de tipo locales o generalizadas (Canga-Líbanoet al., 2007). Las primeras estiman la At del árbol exclusivamente a partir del dn; mientras que las segundas consideran variables de rodal como número de árboles (na), área basal (ab), diámetro cuadrático (Dg), diámetro dominante (Dd), altura dominante (Ad), altura media (Am) y edad (E), entre otras (Diéguez-Aranda et al., 2009). Las ecuaciones generalizadas permiten un uso extensivo y explican la variabilidad de las relaciones causadas por distintos factores naturales y antropogénicos (Milena-López et al., 2013).
En la Mixteca Oaxaqueña, dado su alto grado de degradación, se han utilizado especies de coníferas con fines de restauración (Hernández-Aguilar et al., 2021); entre dichas especies destacan Pinus greggii Engelm. y P. pseudostrobus variedad apulcensis Lindley Shaw, ya que tienen gran capacidad de sobrevivencia, además son de gran importancia económica y ecológica (Ramírez-López et al., 2011; Ortiz-Mendoza et al., 2021). Debido a la importancia de estas especies, Flores et al. (2019) identificaron áreas potenciales de restauración con P. greggii para 1234.45 ha y con P. pseudostrobus para 810.77 ha en el estado de Oaxaca con la finalidad de mejorar las zonas con problemas de erosión.
Objetivos
Encontrar la mejor ecuación no lineal generalizada que estime la altura total a partir del diámetro normal en árboles de Pinus greggii y Pinus pseudostrobus en plantaciones forestales de la Mixteca Oaxaqueña, México.
Materiales y métodos
Área de estudio y datos experimentales
El estudio se realizó en las plantaciones con fines de restauración de 16 años de edad ubicadas en la Mixteca Oaxaqueña. La primera corresponde a la comunidad Tlacotepec Plumas (TP), con coordenadas 17°52’11.02’’ N y 97°26’16.97’’ O, a una altitud de 2143 m s.n.m., mientras que las plantaciones de la comunidad Magdalena Zahuatlán (MZ) se sitúan en 17°24’14.97’’ N y 97°12’ 32.22’’ O, con altitud de 2166 m s.n.m. (Inegi, 2024).
Mediante un diseño de bloques al azar establecidos de forma sistemática de 3 m × 3 m entre plantas e hileras, se levantaron datos dasométricos en una superficie de 0.4 ha de P. pseudostrobus, mientras que de P. greggii se utilizaron 1.3 ha por localidad. De la plantación de P. greggii se levantaron un total de 445 y 387 árboles; mientras que de P. pseudostrobus se midieron 165 y 183 individuos provenientes de TP y MZ, respectivamente (Fig. 1).
Para cada árbol se midió: i) el diámetro normal (dn, cm), medido a 1.3 m sobre el nivel del suelo, con cinta diamétrica alemana Forestry Suppliers, Inc. P.O.BOX 8397 de 5 m de alcance y 1 cm de resolución y la At (m), con un estadal graduado en metros.
Descripción de las variables utilizadas
Se llevó a cabo un análisis descriptivo de las variables dasométricas (dn y At) y de las variables de rodal (diámetro cuadrático [DCM, cm], diámetro dominante [Dd, cm] y altura dominante [Ad, m]) con el propósito de obtener una visión general de las especies y, al mismo tiempo, para el ajuste de las ecuaciones At-dn generalizadas. Para estimar la Ad se utilizó el promedio de la altura de los árboles más altos (80 para P. pseudostrobus y 104 para P. greggii), de manera similar al cálculo del Dd, que se basó en la media del diámetro de los árboles más gruesos (mismo número de árboles que para altura) de las parcelas. Se observó que las especies establecidas en las parcelas de Zahuatlán mostraron ligeramente un mayor crecimiento y desarrollo (Tabla 1).
TABLA 1 Estadísticas descriptivas de las variables dasométricas utilizadas en el ajuste de las ecuaciones.
| P. greggii | P. pseudostrobus | |||||||||||
| Variable | Med | Mín | Máx | DE | Asímetría | Curtosis | Med | Mín | Máx | DE | Asímetría | Curtosis |
| Tlacotepec | ||||||||||||
| Dn | 13.12 | 2.76 | 24.50 | 4.17 | 0.35 | -0.35 | 14.66 | 2.00 | 26.42 | 5.12 | -0.48 | -0.15 |
| At | 9.59 | 2.57 | 15.59 | 2.22 | -0.01 | -0.74 | 9.05 | 1.70 | 13.71 | 2.30 | -1.26 | 1.15 |
| DCM | 13.19 | 10.07 | 16.27 | 2.17 | -0.14 | -1.47 | 14.72 | 12.13 | 15.99 | 1.26 | -0.70 | -0.60 |
| Dd | 17.94 | 13.49 | 22.70 | 3.15 | 0.77 | -0.59 | 21.11 | 19.08 | 22.97 | 1.47 | -0.10 | -1.54 |
| Ad | 11.51 | 8.59 | 13.61 | 1.84 | 0.48 | -0.67 | 11.44 | 11.06 | 11.96 | 0.28 | -0.15 | -1.67 |
| Zahuatlán | ||||||||||||
| dn | 9.89 | 1.00 | 29.00 | 5.08 | 0.56 | 0.23 | 14.08 | 2.24 | 27.37 | 4.71 | -0.26 | -0.02 |
| At | 6.25 | 0.50 | 15.50 | 2.92 | 0.06 | -0.57 | 8.94 | 2.37 | 12.52 | 1.92 | -1.29 | 1.67 |
| DCM | 9.98 | 7.94 | 12.18 | 1.47 | 0.36 | -1.40 | 14.14 | 12.60 | 16.41 | 1.29 | 0.46 | -0.98 |
| Dd | 16.79 | 13.43 | 22.68 | 2.91 | 0.76 | -0.86 | 20.27 | 18.56 | 22.23 | 1.34 | 0.23 | -1.60 |
| Ad | 10.12 | 8.00 | 13.62 | 1.42 | 1.29 | 1.54 | 10.95 | 10.56 | 11.71 | 0.36 | -0.33 | -1.35 |
Med = media, Mín = mínimo, Máx = máximo, DE = desviación estándar, dn = diámetro normal (cm), At = altura total (m), DCM = diámetro cuadrático medio (cm), Dd = diámetro dominante (cm), Ad = altura dominante (m).
A continuación, se presentan las fórmulas para el cálculo de las variables de rodal (Assmann, 1970; Pereira et al., 2012):
Donde:
dni =diámetro normal del árbol dominante i (cm)
Ati = altura total del árbol dominante i (m)
n = número de árboles: presentes en el rodal, dominantes en diámetro y dominantes en altura, respectivamente
Ecuaciones ajustadas
Se ajustaron seis ecuaciones generalizadas no lineales de altura-diámetro, las cuales han sido utilizadas para describir esta relación en numerosos estudios (López-Sánchez et al., 2003; Castedo-Dorado et al., 2006; Sharma y Parton, 2007). Las ecuaciones utilizadas garantizan que las estimaciones de altura pasen por el intercepto 1.30 m (que corresponde a la altura a la que se mide el diámetro normal) cuando dn = 0 (Tabla 2).
TABLA 2 Ecuaciones generalizadas altura-diámetro utilizadas.
| Referencia | Forma original | Forma modificada | E |
| Omule and MacDonald (1991) |
|
1 | |
| Cañadas et al. (1999) I |
|
|
2 |
| Cañadas et al. (1999) II | 3 | ||
| Cañadas et al. (1999) III |
|
|
4 |
| Mirkovich (1958) |
|
|
5 |
| Gaffrey (1988) |
|
|
6 |
At = altura total (m), dn = diámetro normal (cm), Dd = diámetro dominante (cm), Ad = altura dominante (m), DCM= diámetro cuadrático medio (cm), bi = parámetros a ser estimados (i = 1, 2, 3), E = Ecuación.
En este estudio se generó una ecuación para cada especie y parcela/plantación. Las ecuaciones se modificaron suprimiendo el intercepto, de modo de asegurar que el dn tienda a cero cuando la altura también se acerca a cero, lo cual concuerda con el trabajo de Milena- López et al. (2013) y Castillo-Gallegos et al. (2018).
Método de ajuste y selección de las ecuaciones
La estimación de los parámetros de las ecuaciones se realizó mediante el método de mínimos cuadros ordinarios no lineales (MCO-NL). Las ecuaciones fueron ajustadas en el programa R con la librería minpack.lm (R Development Core Team, 2017).
Para evaluar la calidad del ajuste y seleccionar la mejor ecuación por especie, se calcularon tres estadísticos de bondad de ajuste: el coeficiente de determinación ajustado
donde:
R2 = coeficiente de determinación
Ῡ= valor promedio de los datos observados
Yi = valores observados
Ŷi = valores predichos
P = número de parámetros a estimar
n = tamaño de muestra
La selección de la mejor ecuación se complementó con un análisis gráfico de los datos de las alturas (observadas contra estimadas), el REMC y el sesgo contra las categorías diamétricas, así como los histogramas de los residuales contra la distribución gaussiana; este procedimiento se considera una de las maneras más eficientes de evaluar la capacidad de ajuste (Diéguez-Aranda et al., 2005).
Adicionalmente, se generó un criterio de calificación para jerarquizar estadísticos de ajuste en cada ecuación evaluada: se asignaron valores consecutivos del 1 al 4, donde 1 se considera como el mejor valor (Sakici et al., 2008); en la sumatoria final se consideró como mejor ecuación la que presentó la calificación total (CT) más baja.
Verificación de supuestos de regresión
Dado que en datos biológicos es común encontrar problemas de heterocedasticidad o inflación de varianza, se realizó la verificación del diámetro normal mediante el método de White (1980). Asimismo, se evaluó la normalidad (Shapiro y Wilk, 1965) y la independencia de la frecuencia de los residuos (Durbin y Watson, 1970). También se evaluó la curtosis y la asimetría de los datos utilizados en el ajuste (Tabla 1) (Martínez-López y Acosta- Ramos, 2014).
Resultados
Calidad de ajuste y selección de la mejor ecuación
Desde el punto de vista teórico, las ecuaciones ajustadas mostraron parámetros altamente significativos (p < 0.0001) que fueron respaldados por los criterios de bondad de ajuste más comunes. En este aspecto, la ecuación 1, que considera como variables independientes el dn, Dd y Ad, fue ligeramente mejor que las dos más próximas (2 y 4), ya que logró describir de manera adecuada la trayectoria de los datos de cada especie analizada (Tabla 3).
TABLA 3 Estadísticos de bondad de ajuste, parámetros y error estándar (entre paréntesis) de las ecuaciones generalizadas ajustadas para las especies en estudio.
| Municipio | REMC (m) | Estimadores | |||||||
| b0 | b1 | b2 | b3 | CT | E | ||||
| P. greggii | |||||||||
| 0.957 (1) | 0.470 (2) | 0.006 (1) | 1.1009 (0.0141) | 4 | 1 | ||||
| 0.952 (2) | 0.443 (1) | 0.009 (2) | -0.5571 (0.0058) | 5 | 2 | ||||
| Tlacotepec | |||||||||
| 0.949 (3) | 0.502 (3) | 0.070 (3) | 0.2249 (0.0039) | 9 | 4 | ||||
| 0.941 (4) | 0.501 (4) | 0.051 (4) | 0.0261 (0.0035) | 6.1020 (0.1669) | 12 | 6 | |||
| 0.910 (3) | 0.600 (1) | 0.022 (1) | 1.6039 (0.0299) | 5 | 1 | ||||
| 0.951 (1) | 0.6301 (2) | -0.026 (2) | -0.8562 (0.0098) | 5 | 2 | ||||
| Zahuatlán | |||||||||
| 0.886 (4) | 0.941 (4) | 0.093 (4) | 14.1113 (0.0964) | 0.7543 (0.121) | 0.6011 (0.1220) | 8.0030 (0.2110) | 12 | 5 | |
| 0.892 (2) | 0.903 (3) | 0.067 (3) | 0.2944 (0.0434) | 8 | 4 | ||||
| P. pseudostrobus | |||||||||
| 0.922 (2) | 0.581(1) | -0.051 (1) | 1.2758 (0.0343) | 4 | 1 | ||||
| 0.912 (3) | 0.650 (3) | 0.052 (4) | -0.6018 (0.0135) | 10 | 2 | ||||
| Tlacotepec | |||||||||
| 0.884 (4) | 0.787 (4) | 0.016 (3) | 0.1493 (0.0073) | 11 | 3 | ||||
| 0.933 (1) | 0.592 (2) | -0.017 (2) | -0.0662 (0.0025) | 5 | 4 | ||||
| 0.902 (1) | 0.594 (1) | -0.039 (1) | 1.0941 (0.0282) | 3 | 1 | ||||
| 0.887 (3) | 0.662 (3) | 0.057 (3) | -0.5295 (0.0126) | 9 | 2 | ||||
| Zahuatlán | |||||||||
| 0.845 (4) | 0.755 (4) | 0.131 (4) | 0.1933 (0.0071) | 12 | 3 | ||||
| 0.900 (2) | 0.600 (2) | -0.011 (2) | -0.0839 (0.0027) | 6 | 4 | ||||
R2 adj = coeficiente de determinación ajustado; REMC = raíz del error medio cuadrático; e = sesgo; CT = calificación total; E = ecuación.
Lo anterior se corroboró con los diagramas de dispersión de los valores predichos y observados de At-dn de las cuatro plantaciones, donde la ecuación 1 describe ligeramente mejor las alturas en las diferentes categorías diamétricas sin el intercepto (1.30 m), sobre todo para aquellos árboles con diámetros menores a 5 cm, es decir cuando dn = 0, h = 0 (Fig. 2). Las ecuaciones 2 y 4 también indicaron proyecciones sigmoidales para las categorías mayores a 5 cm con tendencias ligeras de subestimación en los datos de Tlacotepec (Fig. 2: 2b, 2c, 2h, 2i) y, a su vez, la ecuación 4 presentó ligeras tendencias de sobreestimación para P. pseudostorbus en la misma zona (Fig. 2: 2i). Sucedió algo similar con los datos de P. greggii en Zahuatlán, al subestimar las alturas para diámetros menores de 5 cm (Fig. 2: 2f), caso contrario a los resultados obtenidos con la ecuación 2 para P. pseudostorbus al sobreestimar las alturas en esa categoría (Fig. 2: 2k).
Evolución de la REMC y sesgo
La ecuación 1 presentó intervalos con valores de REMC entre 0.41 m y 0.89 m para Pinus greggii en TP y de 0.43 m a 0.98 m en MZ, mientras que para P. pseudostrobus se obtuvieron valores entre 0.28 m y 1.05 m y entre 0.24 m y 0.82 m, para TP y MZ, respectivamente (Fig. 3: 3a).
Se aprecia que las ecuaciones 2 (c) y 4 (e), de forma general, presentaron intervalos de valores de REMC entre 0.24 y 1.05 m y de 0.88 a 1.08 m, respectivamente; en todos los casos las ecuaciones se comportaron de forma oscilatoria en todas las categorías diamétricas (Fig. 3: 3c, 3e).
De igual forma, para la ecuación 1 se observó un comportamiento adecuado de los sesgos promedio, que están siempre cercanos a la línea del cero para la mayoría de las categorías de diámetro (Fig. 3: 3b); sin embargo, el comportamiento gráfico de las ecuaciones 2 y 4 también fue satisfactorio. La evolución del sesgo confirmó que los errores presentaron una distribución homogénea en la mayoría de las categorías diamétricas para ambas especies en los dos municipios.
Residuales vs distribución gaussiana
Con los supuestos de regresión se verificó la capacidad de ajuste de las tres mejores ecuaciones (1, 2 y 4), donde la ecuación 1 fue ligeramente superior al presentar valores de normalidad (SW) de 0.95, 0.98, 0.97 y 0.92 (p < 0.0001) para la distribución de los datos de cada especie (Tabla 4). Con esto, la hipótesis de normalidad planteada por SW no fue rechazada, dado que las frecuencias acumuladas de los residuos presentaron una distribución de campana de Gauss. Las gráficas modeladas por la ecuación de Omule (1) para P. greggii y P. pseudostrobus de Tlacotepec presentan valores de distribución de residuos con intervalos de -1.70 m a 1.56 m y de -1.60 m a 1.55 m, respectivamente (Fig. 4: 4a, 4g). Lo anterior también se aprecia en la tendencia de los percentiles en las gráficas para las plantaciones de Zahuatlán (P. greggii = -1.75 m a 1.75 m y P. pseudostrobus = -3.00 m a 2.90 m) (Fig. 4: 4d, 4j).
TABLA 4 Resultados de las pruebas de los supuestos de regresión.
| Especies | Shapiro-Wilk (SW) | Pr < W | Durbin- Watson (DW) | White | Pr > Chi- Sq | Ecuaciones | |
| 0.95 | <0.0001 | 1.89 | 5.23 | 0.5632 | 1 | ||
| Tlacotepec | P. greggii | 0.93 | <0.0001 | 1.50 | 190.50 | <0.0001 | 2 |
| 0.94 | <0.0001 | 1.33 | 29.58 | 0.0711 | 4 | ||
| 0.98 | <0.0001 | 1.87 | 3.30 | 0.4562 | 1 | ||
| P. pseudostrobus | 0.96 | <0.0001 | 1.61 | 54.76 | 0.0234 | 2 | |
| 0.97 | <0.0001 | 1.60 | 29.58 | <0.0001 | 4 | ||
| 0.97 | <0.0001 | 1.90 | 2.70 | 0.3245 | 1 | ||
| Zahuatlán | P. greggii | 0.95 | <0.0001 | 1.82 | 21.86 | <0.0001 | 2 |
| 0.93 | <0.0001 | 1.80 | 33.77 | <0.0001 | 4 | ||
| 0.92 | <0.0001 | 1.89 | 4.56 | 0.7890 | 1 | ||
| P. pseudostrobus | 0.91 | <0.0001 | 1.65 | 22.12 | <0.0001 | 2 | |
| 0.90 | <0.0001 | 1.71 | 12.12 | 0.0023 | 4 |
FIGURA 2 Curvas altura-diámetro generadas con las ecuaciones 1, 2 y 4 para P. greggii en Tlacotepec (a, b, c) vs Zahuatlán (d, e, f) y P. pseudostrobus en Tlacotepec (g, h, i) vs Zahuatlán (j, k, l).
Las ecuaciones 1 (a, b), 2 (c, d) y 4 (e, f) corresponden a P. greggii (1) y P. pseudostrobus (2) en Tlacotepec; P. greggii (3) y P. pseudostrobus (4) en Zahuatlán.
FIGURA 3 Tendencia de la raíz del error medio cuadrático (REMC) y el sesgo por categoría diamétrica.
FIGURA 4 Histogramas de frecuencias de residuales vs distribución Gaussiana de las ecuaciones 1, 2 y 4 para P. greggii en Tlacotepec (a, b, c) vs Zahuatlán (d, e, f) y P. pseudostrobus en Tlacotepec (g, h, i) vs Zahuatlán (j, k, l).
De igual forma, se obtuvieron los resultados de Durbin-Whatson (DW) (1970) para las tres mejores ecuaciones con el objetivo de detectar la independencia de la frecuencia de los errores, donde para la ecuación 1 no se detectó la existencia de correlación entre los datos, ya que los valores de DW corroboraron una distribución independiente de estos (P. greggii= 1.89 y P. pseudostrobus=1.87 en Tlacotepec, P. greggi = 1.90 y P. pseudostrobus= 1.89 en Zahuatlán); es decir, se acercan a 2, que es el valor esperado para esta prueba (Augusto et al., 2009). Las ecuaciones 2 y 4 presentaron valores de DW que indican cierta dependencia de los datos (Tabla 4).
Con respecto a la prueba de heterocedasticidad por el método White, se observa que la ecuación 1 registró valores de 5.23 y 3.30 para P. greggii (Pr > Chi-Sq = 0.5632, 0.4562), mientras que para P. pseudostrobus fueron 2.70 y 4.56 (Pr > Chi-Sq = 0.3245, 0.7890) en Tlacotepec y Zahuatlán, respectivamente. Con estos valores se corroboró que, al no ser significativa la prueba, no hay problemas de inflación de la varianza (Tabla 4).
Discusión
Los resultados del estudio muestran que las tres ecuaciones seleccionadas (1, 2 y 4) presentaron las mejores bondades de ajuste (R2 adj, REMC, Sesgo,) con p < 0.0001. Por ejemplo, mostraron coeficientes de determinación ajustados (R2 adj) superiores a 91% en promedio, considerando que las tres mejores ecuaciones tienen como variables independientes el diámetro normal, diámetro dominante y altura dominante. Asimismo, la ecuación seleccionada de Omule y MacDonald (1991) arrojó valores de la REMC que oscilan entre 0.24 m y 1.05 m y sesgos de -0.051 m a 0.022 m, es decir, los errores para cada especie tienden a cero y, al tener menor sesgo, hace más confiable la ecuación (Zhang et al., 2014). Aunado a lo anterior, Hernández-Ramos et al. (2018), en su estudio sobre bosques naturales de Pinus pseudostrobus, mencionaron estadísticos similares; por ejemplo, valores de R2adj que van de 0.89 a 0.91, donde su mejor ecuación incluye el dn y la Ad como variables de rodal. Sin embargo, dada la gran variabilidad de los datos y el tipo de especies que se analice, no siempre se obtienen tan buenos ajustes (Ogana, 2019). En este contexto, Castillo-Gallegos et al. (2018), obtuvieron valores de R2 adj entre 0.332 y 0.350 para seis funciones ajustadas a datos de Pinus chiapensis Martínez Andresen, siendo la ecuación logística generalizada de Richards la que alcanzó el valor más alto (R2 adj = 0.350), la cual se encuentra muy por debajo de los obtenidos en este estudio.
Las ecuaciones generalizadas tienen ventajas significativas sobre las ecuaciones locales, ya que proporcionan mayor precisión y menor sesgo al estimar la alta variabilidad de las alturas (Cañadas-López et al., 2016; López-Villegas et al., 2017; Hernández-Ramos et al., 2020); es decir, una ecuación local no es suficiente para describir todas las posibles relaciones At-dn dentro de un rodal, debido a que las curvas de altura no son constantes, a pesar de las características homogéneas de las plantaciones forestales (Castedo-Dorado et al., 2006; Crecente-Campo et al., 2014).
Los resultados también son consistentes con lo señalado por Diéguez-Aranda et al. (2005), al estudiar masas de P. sylvestris L. procedentes del noroeste de España, quienes destacan la capacidad de la ecuación de Gaffrey (1988) con variables de rodal como Dd y Hd, lo que permite capturar el efecto de la productividad del sitio y, como consecuencia la flexibilidad para modelar la relación de pares de datos At-dn en especies forestales (Corral-Rivas et al., 2014). Adicionalmente, la ecuación de Gaffrey fue identificada por Trincado y Leal (2006) como la mejor relación altura-diámetro regional para predecir alturas de árboles en plantaciones de P. radiata D. Don. en Chile, lo que permite sustentar la modificación realizada en este estudio. También, se asemejan con los resultados de Temesgen et al. (2014) y Ahmadi y Alavi (2016), quienes refieren que la calidad de ajuste se mejora ligeramente al incluir una o más variables de rodal.
En muchas ocasiones se establecen restricciones en el intercepto (el valor 1.30 m), con la finalidad de que cuando un árbol tenga esa altura el diámetro sea cero (Huang et al., 1992); sin embargo, en varios estudios se ha omitido este término (Costa et al., 2016; Guerra-De la Cruz et al., 2019; Hernández-Ramos et al., 2020). En este aspecto, Castillo- Gallegos et al. (2018) no incluyeron el intercepto de ≈1.3 m de altura con respecto al suelo, argumentando que si no existe un árbol a una altura de 1.3 m, tampoco el diámetro normal existe; además, este supuesto es innecesario para predecir la altura correctamente a partir del diámetro. Esto independientemente de que, en raras ocasiones, pudiera ser interesante proyectar la altura en árboles con diámetro pequeño, aunque no sea de interés comercial (Guerra-De la Cruz et al., 2019). Esto respalda los resultados estadísticos utilizados para describir los datos de las plantaciones al ser suprimido el intercepto (Missajo y Mwale, 2014). Además, cuando el diámetro normal es igual al diámetro dominante (Dd), la altura estimada debe ser igual a la altura dominante (Ad) (Nugroho-Puji, 2014), lo cual se comprobó en este estudio. Lo anterior ha sido comprobado con éxito en otros trabajos, por ejemplo, Milena-López et al. (2013) quienes realizaron una evaluación en plantaciones de Eucalyptus tereticornis de 2 años a 8 años, donde la ecuación de Krumland y Wensel (1988) predijo de forma adecuada la altura de los árboles con diámetros pequeños o cercanos a cero.
Conclusiones
La ecuación generalizada de Omule y MacDonald sin el intecepto 1.3, es la mejor para estimar la altura total de árboles de P. pseudostrobus y P. greggii en plantaciones en la Mixteca Oaxaqueña.
Esta ecuación es la primera de este tipo que se reporta para plantaciones jóvenes, por lo que puede utilizarse en inventarios forestales para estimar volúmenes individuales o a nivel rodal, o para evaluar la calidad de estación de las áreas ecológicas similares donde se establecen estas especies.
