Matemáticas aplicadas, estadística y computación

 

Modelación del efecto de escala espectral en el sistema suelo–vegetación

 

Modeling of the spectral scale effect in the soil–vegetation system

 

Alfonso Zarco–Hidalgo, Fernando Paz–Pellat, Enrique Palacios–Vélez, Alejandro Cano–Gonzalez, Martín Bolaños–González, Fermín Pascual–Ramírez, Luís A. Palacios–Sánchez, Oscar Palacios–Vélez y José L. Oropeza Mota

 

Hidrociencias. Campus Montecillo. Colegio de Postgraduados. Km 36.5 Carretera México–Texcoco, Montecillo, Estado de México (pellat@colpos.mx)

 

Recibido: Diciembre, 2006.
Aprobado: Octubre, 2007.

 

Resumen

El problema del efecto de escala en las reflectancias de los cultivos ha sido enfocado probabilística y determinísticamente. Como parte del análisis de varios experimentos realizados en el Colegio de Postgraduados, Montecillo, México, se revisó la versión probabilística usando una formulación determinística de las reflectancias de la mezcla suelo–vegetación. Los resultados mostraron que la hipótesis de homogeneidad implícita en la modelación probabilista del efecto de escala es dependiente de la geometría de las plantas en un píxel, así como de su cobertura y homogeneidad de las propiedades ópticas de las plantas individuales. Para el caso del suelo desnudo, la línea del suelo es invariante en efectos de escala y de humedad del suelo. En la parte final se desarrolla un algoritmo de modelación del efecto de escala para medios heterogéneos, fundamentado en la hipótesis de conservación de la energía a nivel de un píxel.

Palabras clave: Efecto de escala, espacios paramétricos, homogeneidad, reflectancia.

 

Abstract

The problem of scale effect on crop reflectances has been approached in probabilistic and deterministic form. As part of the analysis of various experiments conducted in the Colegio de Postgraduados, Montecillo, México, the probabilistic version was revised using a deterministic formulation of the reflectances of the soil–vegetation mixture. Results showed that the hypothesis of homogeneity implicit in the probabilistic modeling of the scale effect is dependent on the geometry of the plants in a pixel, as well as their canopy and homogeneity of the optical properties of the individual plants. For the case of bare soil, the soil line is invariant in effects of scale and soil moisture. In the final part, an algorithm of modeling of the scale effect is developed for heterogeneous media, based on the hypothesis of energy conservation at the level of one pixel.

Key words: Scale effect, parametric spaces, homogeneity, reflectance.

 

INTRODUCCIÓN

La caracterización y modelación del efecto de escala espectral en la mezcla suelo–vegetación es uno de los principales problemas en el campo de los sensores remotos. Un área de la superficie terrestre (del tamaño de un píxel, en este caso), se compone de una mezcla de suelo y vegetación, para el caso de cultivos agrícolas. Sólo cuando la vegetación tiene una cobertura total del suelo y su índice de área foliar (IAF) es suficientemente grande (IAF > 2 en las bandas espectrales del visible e IAF > 8 para la banda espectral el infrarrojo cercano, el píxel en cuestión se puede considerar como puro (solo vegetación) (Ross, 1981).

Partiendo de que la información biofísica contenida en un píxel terrestre es independiente de su contexto (efecto de adyacencia) y que las características del sensor están fijas y las reflectancias medidas se pueden usar para extraer la información biofísica del píxel, el efecto de escala en la mezcla suelo–vegetación puede caracterizarse en términos probabilísticos o determinísticos (Woodcock y Strahler, 1987; Tian et al., 2002). La información contenida en un píxel de una imagen de satélite depende de un gran número de factores, por lo que la extracción de información biofísica está fuertemente sesgada por las hipótesis, explicitas o no, que se suponen en relación a la transferencia radiativa y a los rasgos de la superficie terrestre (Fisher, 1997; Cracknell, 1998).

En la versión probabilística, para caracterizar el efecto de escala se parte de la hipótesis de que la variabilidad espacial observada en las reflectancias es mínima cuando el tamaño del píxel es suficientemente grande para ser considerado como representativo (estadísticamente) de la mezcla suelo–vegetación. Estas ideas de volúmenes o áreas elementales representativas han sido propuestas en otros campos (Dagan, 1986; Wood et al., 1988) y utilizadas en los sensores remotos por Woodcock y Strahler (1987), donde la medida de variación espacial usada es la varianza. Así, el problema de escalamiento se plantea como el encontrar una escala óptima que represente al medio observado por los sensores remotos (Marceau et al., 1994a y b). En la visión determinística del escalamiento se parte de medios homogéneos (medios "turbios" en la teoría de transferencia radiativa) para el escalamiento correcto de las reflectancias, respetando la ley de la conservación de la energía (Tian et al., 2002).

En este trabajo se revisan las hipótesis de los métodos probabilísticos de escalamiento, usando una formulación determinística del problema, y se clarifican los resultados obtenidos con ese tipo de aproximación. Los análisis se realizan usando un planteamiento de escalamiento en espacio y tiempo, el cual debe ser considerado para comprender el problema de la mezcla suelo–vegetación en su dinámica (Aplin, 2006). Asimismo, se plantea un esquema correcto de escalamiento de las reflectancias en la mezcla suelo–vegetación (medio heterogéneo). La discusión del escalamiento es ejemplificada usando datos de experimentos realizados en Montecillo, México.

 

ESPACIOS ESPECTRALES DE LA MEZCLA SUELO–VEGETACIÓN

En la Figura 1 se muestra el patrón temporal de crecimiento de un cultivo, en el espacio espectral rojo (R) e infrarrojo cercano (IRC), representado por curvas de igual índice de área foliar o IAF (iso–IAF), la cual se generó usando seis tipos de suelos (S2, S5, S7, S9, S11 y S12; del más oscuro al más claro). Paz et al. (2005) detallan las simulaciones radiativas mostradas en la Figura 1.

El análisis de la Figura 1 define varios patrones muy importantes para entender el comportamiento de la reflectancia durante el desarrollo de los cultivos:

a) Si se unen los valores de igual IAF (iso–IAF) de cada curva de igual suelo (iso–Suelo), se obtiene un patrón cuasi–lineal. Así, un estado de crecimiento de un cultivo (IAF) se refleja en una línea recta, independientemente del tipo de suelo de fondo en el cultivo.

b) La pendiente (b₀) e intersección (a₀) de las líneas rectas de iso–IAF varían con el valor del IAF, como se observa en la Figura 1. La inclinación (pendiente) de las rectas de iso–IAF parte desde una pendiente igual a la de la línea del suelo (IAF=0) y aumenta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj, hasta alcanzar un ángulo de 90°. Esta última condición corresponde al caso de saturación de la reflectancia de la banda del R, representada en la Figura 1, como los valores de reflectancia arriba del ápice del sombrero de tres picos (IAF>5). Los patrones de los espacios espectrales IRC–Visible (azul, verde y rojo) son similares para todas las bandas del espectro visible, dado que hay una relación lineal entre estas bandas.

c) Todas las curvas de iso–Suelos convergen al mismo punto de saturación de las bandas visibles. En realidad la convergencia es hacia una línea recta (ápice en la Figura 1), ya que cuando una banda visible se satura, el IRC no lo hace y sigue creciendo hasta su propio punto de saturación. El punto de saturación, llamado también de reflectancia infinita o de medio denso, es función de las propiedades ópticas de las hojas y de su distribución angular.

En la Figura 2 se muestra la relación entre los parámetros a₀ y b₀ de las líneas rectas iso–IAF, para el ciclo de crecimiento del cultivo que va desde el suelo desnudo hasta la condición de cubrimiento completo del suelo por la vegetación. En la Figura 2 se observa que en la etapa inicial hay un patrón de comportamiento tipo exponencial, hasta un punto donde la banda R se satura (no cambia de valor). Después del punto de saturación de la banda R, el patrón es de tipo lineal. El punto inicial de la curva a₀–b₀ representa el caso de suelo desnudo (a₀=a_S y b₀=b_S ). El punto donde a₀ alcanza su valor máximo (punto de transición del patrón exponencial al lineal), representa el término de la fase de crecimiento exponencial e inicio de la fase lineal. El punto final del patrón lineal de la curva a₀–b₀ representa la situación donde la banda del IRC se satura, lo cual ocurre cuando el IAF alcanza su valor máximo.

Una forma de linealizar el patrón expo–lineal mostrado en la Figura 2, es usar las siguientes transformaciones (Paz et al., 2005 y 2006):

Paz et al. (2005) propusieron una relación lineal en el espacio paramétrico a₁–Y, donde Y=1n (1.11–β). Esta relación sólo es válida para las simulaciones radiativas de medio turbio. Para el caso general de medios heterogéneos, la relación lineal es entre a₁ y β. En la Figura 3 se muestra el espacio paramétrico a₁– β de un cultivo de maíz (Bausch, 1993) y uno de algodón (Huete et al., 1985), donde ambos experimentos se hicieron cambiando el suelo de fondo de los cultivos para generar curvas iso–IAF. Así, las relaciones mostradas en la Figura 3 representan en forma compacta, espacio paramétrico, un ciclo de crecimiento completo (etapa vegetativa) de los cultivos, para cualquier combinación de propiedades ópticas de los suelos de fondo. El índice β (0 a 1) puede considerarse como un índice de vegetación perfecto, en el sentido de que es invariante a efectos del suelo.

En la Figura 1 se puede caracterizar los efectos de los cambios de escala en las reflectancias de los cultivos, donde el tiempo está implícito en el IAF. El rango de variación (y la varianza) de las reflectancias está dado por la longitud de las líneas iso–IAF (Figura 4). La longitud de las líneas iso–IAF se calcula simplemente como la distancia euclidiana entre el punto de la línea que corresponde al suelo más claro y al más oscuro.

Así, para la etapa inicial del crecimiento de los cultivos (baja cobertura del suelo), la variabilidad (espacial) de las reflectancias es alta y representa los cambios en las propiedades ópticas (reflectancia) de los suelos, producto de cambio en la humedad o rugosidad (labranza) de los mismos. Cuando el cultivo cubre totalmente al suelo (desde el punto de vista óptico, es decir, dependiendo de la banda espectral utilizada), entonces la variabilidad es mínima o nula. De esta discusión, es claro que usar una medida de variabilidad espacial (varianza) para definir una escala óptima, es totalmente dependiente del grado de cubrimiento del suelo por la vegetación y de los cambios en las reflectancias de los suelos.

 

ANÁLISIS DE EXPERIMENTOS DE ESCALAMIENTO

Para revisar la hipótesis primaria de las aproximaciones del escalamiento en las reflectancias, de que un medio homogéneo tiene variabilidad acotada, se diseñó un experimento en las instalaciones del Colegio de Postgraduados en Montecillo, Estado de México, México. Adicionalmente, se hicieron dos experimentos para analizar el efecto de escala en las reflectancias del suelo. Las mediciones de reflectancia se realizaron con un radiómetro multi–espectral (Cropscan Inc.), que simula las bandas espectrales del sensor ETM+ del satélite LANDS AT 7. El radiómetro tiene un ángulo de visión de 28°, que define una relación de diámetro de observación a altura de medición de 1 a 2.

Partiendo de la hipótesis de que una parcela agrícola con un cultivo dado es la frontera de variabilidad espacial, las mediciones en esa parcela deben aproximar (ser representativas) la escala de la parcela en sus límites espaciales. Así, al medir el IAF o la densidad foliar (m²m³ ), a lo largo o perpendicularmente a los surcos de una parcela para una escala de observación fija (área o volumen), las mediciones generan datos dependientes de la geometría de siembra de los cultivos y de la diversidad de las plantas individuales (Sinoquet et al., 1991; Stewart et al., 2003); aunque a medida que se aproxima al límite de la escala de la parcela, la variabilidad espacial se reduce (dependiendo del grado de cobertura del cultivo). Algo similar se observa a nivel de las reflectancias (Daughtry et al., 1982).

 

Efecto de escala en los suelos

Se hicieron mediciones a diferentes alturas respecto al suelo (diferentes dimensiones de la parcela de suelo) sobre un suelo franco arcillo arenoso (MO 1.2 a 2.3 %; pH 7.6 a 8.1; CE 0.7 a 3.52 dS m ^–1). Las alturas variaron de 0.5m hasta 7.0 m, con intervalos de 0.5 m (Figura 7).

En la Figura 5a se muestra la variación de las reflectancias (R e IRC) del suelo con la escala (alturas de medición), para la condición de suelo seco y húmedo. Las mediciones se realizaron en condiciones de iluminación solar similares (componentes de la radianza y geometría solar). Se observa en la Figura 5a que para un suelo húmedo el comportamiento escalante es ligeramente no lineal, producto de una distribución heterogénea de la humedad en el suelo. En la Figura 5b se presenta la línea del suelo, donde se observa que el patrón es invariante en efectos de escala (y humedad del suelo).

Aunque el concepto de línea del suelo es relativamente estable para suelos heterogéneos (Baret et al., 1983), la Figura 5b muestra que se espera una relación lineal entre el R e IRC, cuando los patrones escalantes de ambas reflectancias tienen la misma función matemática (lineal, exponencial, potencial, etc.).

En la Figura 6 se muestra la línea del suelo de mediciones realizadas en otro sitio, mismo suelo, usando transectos de cuatro mediciones en los ejes norte–sur y este–oeste, para alturas de 1, 2 y 3 m; condiciones secas y húmedas del suelo. Se ratifica el patrón invariante a escala y humedad.

Efecto de escala en la mezcla suelo–vegetación

El caso de la mezcla suelo–vegetación es más complejo de analizar y depende del grado de cobertura del cultivo. Para revisar el efecto de escala en la mezcla suelo–vegetación se analizó dos parcelas experimentales de maíz y fríjol sin estrés (año 2003), ambos en la etapa de madurez fisiológica (máxima cobertura). Las parcelas experimentales fueron de 6x6 m, con surcos espaciados a 0.75 m. El maíz se sembró a una densidad de 25 plantas/surco (espaciamiento de 0.2m) y el fríjol con una densidad de 50 plantas/surco (espaciamiento de 0.1 m). En la fecha de las mediciones, el maíz tenía una altura de 1.80 m y un IAF de 2.17; la altura del fríjol era 0.4 m e IAF de 0.33. Así, hay dos condiciones de cobertura máxima del terreno: baja y alta.

Para construir líneas iso–IAF en cada medición (altura), se usaron dos suelos contrastantes (claro y oscuro) en charolas deslizables debajo del follaje de los cultivos. Las mediciones se hicieron usando las condiciones de suelos secos y húmedos (dos días diferentes, pero con las mismas condiciones de iluminación y geometría solar), de tal manera que se contó generalmente con cuatro valores de reflectancias de los suelos (suelo claro y oscuro; húmedo y seco) para la misma cantidad de vegetación (IAF). Para frijol, las mediciones se hicieron desde una altura de 1.0 a 7.0 m, variando las alturas en intervalos de 0.5 m. Para maíz, la altura inicial fue 2.0 a 7.0 m, con variaciones de alturas de 0.5 m. En algunas alturas las reflectancias medidas fueron desechadas debido a problemas de estabilidad del radiómetro. En la Figura 7 se muestra el esquema de medición usado.

Para cada altura de medición se determinaron las constantes a₀ y b₀ de las líneas iso–IAF y con estos valores se estimó a₁ y β usando las relaciones (1). La línea del suelo estimada para los suelos en las charolas deslizables se caracterizó con las constantes a_S=2.3522 y b_S= 1.1089.

En la Figura 8 se muestran los parámetros de las líneas iso–IAF, espacio paramétrico a_o–b_o y a₁ – β, para el maíz y la Figura 9 para el fríjol.

Para el experimento de maíz, se observa en la Figura 8 que a medida que la altura de medición aumenta, las curvas iso–IAF tienden a una hipotética escala de representación de la parcela; aunque esta relación no es monótona. Así, considerando la heterogeneidad de las plantas individuales, en un experimento supuesto como homogéneo es posible encontrar valores contradictorios de la reflectancia (línea iso–IAF), dependientes de la geometría de la siembra y de las diferencias entre las plantas individuales. Esta situación es más crítica en un cultivo de baja cobertura como el frijol (Figura 9), donde se presenta un patrón inverso al esperado por el efecto de escala (bajo la concepción de homogeneidad espacial).

En las Figuras 10 y 11 se muestra en forma más clara el efecto de escala en el índice espectral β, donde se observan patrones diferentes en función del grado de cobertura de los cultivos. En la Figura 10, cultivo con alta cobertura del suelo, el patrón escalante mostrado es congruente con el esperado al incrementar el área de observación de la parcela experimental. En la Figura 11, cultivo con baja cobertura del suelo, el primer punto (altura 1 m) representa la situación donde el radiómetro se puso sobre el follaje, por lo que el índice β fue alto (más vegetación). En las otras mediciones el radiómetro observó diferentes mezclas de suelo–vegetación. El patrón escalante (Figura 11) es contrario al esperado, producto de que el radiómetro observa más vegetación (definida por el espaciamiento entre surcos) al aumentar el área de medición.

 

MODELACIÓN DEL EFECTO DE ESCALA EN LA REFLECTANCIA

Tian et al. (2002) plantearon el problema de escalamiento de las reflectancias para el caso de objetos puros (suelo y vegetación); es decir para condiciones de medios turbios. Su solución se desarrolló usando la ecuación de transferencia radiativa tridimensional (Ross, 1981), bajo la restricción de respetar la ley de conservación de la energía y está definida por:

donde, ω es el albedo foliar (reflectancia más transmitancia) y frepresenta la fracción (0 a 1) de los objetos suelo o vegetación (v) en un píxel. Así, la relación (2) establece que el albedo foliar a la escala de un píxel de tamaño arbitrario (ω promedio), es función de las contribuciones de los tipos de vegetación (albedos) en el píxel, sin considerar al suelo. Puesto que el albedo foliar no es medible en forma directa por los sensores remotos, es necesario definir una relación de esta variable con las reflectancias.

La reflectancia en el infinito para hojas no horizontales y no negras, puede aproximarse razonablemente de Goudriaan y van Laar (1994):

donde, K es un coeficiente de extinción, dir se refiere a radianza directa y dif a radianza difusa, n se refiere a hojas no negras y h a hojas con distribución angular horizontal.

Goudriaan (1977) y Ross (1981) propusieron una serie de simplificaciones para estimar la reflectancia en el infinito para hojas horizontales. Así, para hojas horizontales no negras y bi–Lambertianas (reflectancia igual a transmitancia), la reflectancia en el infinito está dada por:

Así, conocidos los coeficientes de extinción, se puede invertir las relaciones (3) y (4) para obtener el albedo foliar, conocida la reflectancia en el infinito, como:

Las reflectancias en el infinito, R_∞ , representan las reflectancias de saturación, definidas en el espacio del R–IRC (Figura 1).

De las consideraciones anteriores, el algoritmo general para escalar las reflectancias, para medios heterogéneos, es el siguiente:

a) Estimar las fracciones de los objetos suelo y de la mezcla suelo–vegetación (f_suelo y fv), para un píxel a una escala arbitraria.

b) Para la mezcla suelo–vegetación, estimar las reflectancias en el infinito (Figura 1) de tal forma que los medios heterogéneos sean convertidos a medios homogéneos (virtualmente). También estimar los coeficientes de extinción para estos medios (independientes de la cobertura de la vegetación).

c) Bajo la hipótesis de hojas bi–Lambertianas, estimar el albedo foliar de cada mezcla suelo–vegetación usando la relación (5).

d) Estimar el albedo foliar promedio correspondiente a la escala del píxel, producto de los albedos foliares de las mezclas suelo–vegetación presentes, usando la relación (2).

e) Con el albedo foliar promedio del píxel, estimar la reflectancia en el infinito usando la relación (3) y la (4).

f) Estimar la reflectancia del píxel para cualquier condición de mezcla suelo–vegetación usando las curvas iso–IAF e iso–Suelo. Esto es, conocida la reflectancia en el infinito y la línea del suelo (invariante bajo efectos de escala), se puede generar curvas iso–Suelo proyectándolas desde su punto de convergencia hasta los valores de reflectancia del suelo deseado.

El algoritmo presentado es válido para cualquier escala arbitraria del píxel y no supone homogeneidad a nivel de los objetos que lo componen. La aplicación del algoritmo desarrollado no será discutida en este trabajo, ya que requiere una estrategia de conversión, simplificada y operacional, de medios heterogéneos a homogéneos, la cual será discutida en otra publicación.

 

CONCLUSIONES

En este trabajo se han revisado los diferentes enfoques para caracterizar y modelar el efecto de escala de las reflectancias en la mezcla suelo–vegetación. La versión probabilística plantea una escala de homogeneidad (representatividad estadística) que depende de la geometría de las plantas en un píxel, de su cobertura y de las propiedades ópticas de los suelos. Así, el concepto de homogeneidad probabilística es variante bajo efecto de escala.

Usando una formulación determinística de la dinámica espectral asociada al crecimiento de la vegetación, se revisó el efecto de escala en experimentos de cultivos con diferentes coberturas. Para el caso de suelo desnudo, la línea del suelo es invariante bajo efectos de escala y humedad del suelo. Para vegetación de baja cobertura, el efecto de escala depende fuertemente de la hipótesis de homogeneidad (plantas individuales con propiedades espectrales similares) y geometría asociada a una escala de un píxel. En vegetación de alta cobertura el efecto de escala es menor que la de baja cobertura, pero todavía dependiente de los mismos factores.

La idea central de la discusión fue demostrar que los conceptos de homogeneidad y representatividad estadística usados en los enfoques probabilísticos de escalamiento, depende de las propiedades ópticas y geométricas de los elementos constitutivos de un píxel en relación a una escala donde los píxeles, dentro de una clase de vegetación con características relativamente iguales (cultivos o vegetación natural), son supuestos como similares (estadísticamente). Aunque un cultivo pueda considerarse como físicamente homogéneo (plantas individuales con apariencias similares), esto no implica que la variabilidad de sus propiedades espectrales esté acotada. Las propiedades espectrales son función de los cambios dinámicos que se dan en las componentes de la mezcla suelo–vegetación; particularmente para cultivos con baja cobertura del suelo. Finalmente, se desarrolló un algoritmo general para resolver el problema de escalamiento para medios heterogéneos y sólo se usó la hipótesis de conservación de la energía en el medio (píxel).

 

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo se realizó con el apoyo del CONACYT, convenio CONACYT–2002–C01–41792, del proyecto Agricultura Asistida por Sensores Remotos.

 

LITERATURA CITADA

Aplin, P. 2006. On scales and dynamics in observing the environment. International J. Remote Sensing 11: 2123–2140.         [ Links ]

Baret, F., S. Jacquemoud, and J. F. Hanocq. 1983. The soil line concept in remote sensing. Remote Sensing Rev. 7: 65–82.         [ Links ]

Bausch, W. C. 1993. Soil background effects on reflectance–based crop coefficients for corn. Remote Sensing Environ. 46: 213– 222.         [ Links ]

Cracknell, A. P. 1998. Synergy in remote sensing. What's in a pixel? Int. J. Remote Sensing 19: 2025–2047.         [ Links ]

Dagan, G. 1986. Statistical theory of groundwater flow and transport: pore to laboratory, laboratory to formation, and formation to regional scale. Water Resources Res. 9: 120–130.         [ Links ]

Daughtry, C. S. T., V. C. Vanderbilt, and V. J. Pollard. 1982. Variability of reflectance measurements with sensor altitude and canopy type. Agron. J. 71: 744–751.         [ Links ]

Fisher, P. 1997. The pixel: a snare and a delusion. Int. J. Remote Sensing 18: 679–685.         [ Links ]

Goudriaan, J. 1977. Crop micrometereology, A simulation study. Simulation Monographs. PUDOC. Wageningen, The Netherlands. 259 p.         [ Links ]

Goudriaan, J., and H. M. van Laar. 1994. Modelling potential crop growth processes, textbook with exercises. Current Issues in Production Ecology. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 238 p.         [ Links ]

Huete, A. R., R. D. Jackson, and D. F. Post. 1985. Spectral response of a plant canopy with different soil backgrounds. Remote Sensing of Environ. 17: 35–53.        [ Links ]

Marceau, D. J., D. J. Gratton, R. A. Fournier, and J. P. Fortín. 1994a. Remote sensing and the measurement of geographical entities in a forested environment. 2. The optimal spatial resolution. Remote Sensing of Environ. 49: 105–117.        [ Links ]

Marceau, D. J., P. J. Howarth y D. P. Gratton. 1994b. Remote sensing and the measurement of geographical entities in a forested environment. 1. The scale and spatial aggregation problem. Remote Sensing of Environ. 49: 93–104.        [ Links ]

Paz, F., E. Palacios, E. Mejía, M. Martínez y L. A. Palacios. 2005. Análisis de los espacios espectrales de la reflectividad del follaje de los cultivos. Agrociencia 39: 293–301.         [ Links ]

Paz, F., E. Palacios, E. Mejía, M. Martínez y L. A. Palacios. 2006.   Determinación del estado de crecimiento de cultivos usando la transformada de Hough de las reflectividade del follaje. Agrociencia 40: 99–108.         [ Links ]

Ross, J. 1981. The Radiation Regime and Architecture of Plant Stands. W. Junk, Norwell, MA, 391 p.         [ Links ]

Sinoquet, H., B. Moulin, and R. Bonhomme. 1991. Estimating the three–dimensional geometry of a maize crop as an input of radiation models: comparison between three–dimensional digitizing and plant profiles. Agric. For. Meteorology 55: 233–249.         [ Links ]

Stewart, D. W., C. Costa., L. M. Dwyer, D. L. Smith, R. I. Hamilton, and B. L. Ma. 2003. Canopy structure, light interception, and photosynthesis in maize. Agron. J. 93: 1465– 1474.         [ Links ]

Tian, Y., Y. Wang, Y. Zhang, Y. Knyazikhin, J. Bogaert, and R. B. Myneni. 2002. Radiative transfer based scaling of LAI retrievals from reflectance data of differents resolutions. Remote Sensing of Environ. 84: 143–159.         [ Links ]

Wood, E. F., M. Sivapalan, K. Beven, and L. Band. 1988. Effects of spatial variability and scale with implications to hydrological models. J. Hidrology 102: 29–47.         [ Links ]

Woodcock, C. E., and A. H. Strahler. 1987. The factor of scale in remote sensing. Remote Sensing of Environ. 21: 311–332.        [ Links ]