Matemáticas aplicadas, estadística y computación

 

Programa de cómputo para analizar la dinámica del agua en sistemas de drenaje agrícola subterráneo

 

Computer program to analyze the water dynamics in subsurface agricultural drainage systems

 

Manuel Zavala¹ , Heber Saucedo², Carlos Fuentes³

 

¹ Universidad Autónoma de Zacatecas. Zacatecas, México. (mzavala73@yahoo.com.mx).

² Instituto Mexicano de Tecnología del Agua. Morelos, México. (hsaucedo@tlaloc.imta.mx).

³ Universidad Autónoma de Querétaro. Querétaro, México. (cbfuentesr@gmail.com).

 

Recibido: junio, 2013.
Aprobado: diciembre, 2013.

 

Resumen

El análisis del drenaje agrícola requiere una herramienta computacional que facilite a un usuario describir los cambios del manto freático somero y del flujo de drenaje considerando las propiedades del suelo, las características físicas y disposición espacial de los drenes y las tasas verticales de recarga o descarga del acuífero (infiltración o evapotranspiración). En este estudio se desarrolló el programa de cómputo con interfaz gráfica llamado DRENAS que simula el funcionamiento hidráulico de sistemas de drenaje subterráneos; su módulo de cálculo principal contiene una solución numérica de la ecuación de Boussinesq unidimensional para acuíferos libres, considerando el coeficiente de almacenamiento del acuífero una función de la carga hidráulica y representando la recarga vertical como función del tiempo. En este módulo se pueden emplear relaciones no lineales entre el flujo de drenaje y la carga hidráulica sobre el dren, llamadas condiciones de frontera de radiación fractal y radiación convexa. El programa fue complementado incluyendo una base con información de propiedades de suelos y con un módulo de cálculo con soluciones analíticas simplificadas para el drenaje agrícola. El módulo de la solución numérica se validó, primero, comparando sus resultados con los obtenidos al aplicar la solución analítica para régimen transitorio que se deriva asumiendo condiciones de frontera de radiación lineal y considerando constantes la transmisibilidad y el coeficiente de almacenamiento del acuífero libre; después fue validado considerando datos de lámina de agua drenada medidos en un sistema experimental. Ambas validaciones mostraron la capacidad del modelo para describir el cambio del manto freático y del volumen drenado para diferentes condiciones de diseño de drenes (diferencias máximas 0.025% y 0.48 cm, respectivamente). Por tanto, para el usuario los resultados de DRENAS son confiables conforme los escenarios que analice cumplan las hipótesis para las cuales fue desarrollado.

Palabras clave: radiación no lineal, flujo de drenaje, ecuación de Boussinesq, acuífero libre, solución numérica, interfaz gráfica.

 

Abstract

The analysis of agricultural drainage requires a computer tool to help a user describe the changes in the shallow water table and the drainage flow, taking into account soil properties, physical characteristics and spatial disposition of drains and the vertical rates of recharge or discharge of the aquifer (infiltration or evapotranspiration). In this study, the computer program with graphic interface called DRENAS was developed, which simulates the hydraulic functioning of subsurface drainage systems; its main calculation module has a numerical solution to the one-dimensional Boussinesq equation for unconfined aquifers, considering the storage coefficient of the aquifer as a function of the hydraulic head and representing the vertical recharge as a function of time. In this module, non-linear relationships between the drainage flow and the hydraulic head on the drain can be used, known as fractal radiation and convex radiation boundary conditions. The program was complemented by including a database with information about soil properties and a calculation module with simplified analytical solutions for agricultural drainage. The module of the numerical solution was validated, first, by comparing its results with those obtained when applying the analytical solution for the transitory regime that is derived by assuming linear radiation boundary conditions and considering the transmissivity and storage coefficient of the unconfined aquifer as constants; then, it was validated by considering data from drained water depth measured in an experimental system. Both validations showed the ability of the model to describe the change of the water table and the volume drained for different conditions of drain design (maximum differences 0.025% and 0.48 cm, respectively). Therefore, the user can assume that the results described by DRENAS are reliable, if the scenarios analyzed fulfill the hypothesis for which it was developed.

Key words: non-linear radiation, drainage flow, Boussinesq equation, unconfined aquifer, numerical solution, graphic interface.

 

INTRODUCCIÓN

Los sistemas de drenaje agrícola subterráneo permiten remover oportunamente el exceso de humedad de la zona de raíces originado por mantos freáticos someros, precipitaciones intensas, sobre-riego, aportaciones subsuperficiales de agua de zonas altas; y también recuperar suelos afectados por salinidad al permitir la evacuación de las sales del perfil de suelo. El diseño y operación de estos sistemas se puede realizar aplicando un modelo que simule las razones de cambio de sus variables hidráulicas fundamentales.

Una forma para describir el drenaje subterráneo es mediante un modelo basado en la ecuación de Boussinesq del drenaje agrícola. En este nivel de análisis se han desarrollado diversos programas de cómputo con interfaz gráfica, de uso libre y comercial, que presentan diferentes límites de descripción. Entre los programas gratuitos usados en el drenaje agrícola subterráneo uno de los más populares es DRAINMOD 6.1, desarrollado por Skaggs (1980). Este programa considera la ecuación de conservación de masa para realizar balances de agua en el perfil de suelo y usa las ecuaciones de Hooghoudt (1940), Kirkham (1957) y Ernst (1975) para describir el flujo de drenaje. Sin embargo estas ecuaciones son para régimen de flujo permanente y para condiciones de frontera en el dren simplificadas, por lo cual las variaciones en el tiempo de la carga hidráulica y del volumen de agua removido del suelo no son bien representadas. Además, el coeficiente de almacenamiento y la transmisibilidad del acuífero libre somero no son representados explícitamente. Otro modelo de uso libre es el desarrollado por García et al. (1995) que resuelve la ecuación de Boussinesq en dos dimensiones, pero considera el coeficiente del acuífero constante y usa condiciones de frontera en el dren simplificadas (carga hidráulica conocida). Entre los modelos comerciales que pueden simular el drenaje, el más completo y popular es MODFLOW desarrollado por McDonald y Harbaugh (1988), que permite simular en una, dos y tres dimensiones la dinámica del agua en sistemas de drenaje subterráneos, pero su limitante es que asume constante el coeficiente de almacenamiento del acuífero libre y sólo permite el uso de condiciones de radiación lineal en la frontera de los drenes agrícolas, supuestos que no representan adecuadamente la dinámica del agua en el acuífero.

Zavala et al. (2007) analizaron el comportamiento del flujo de drenaje considerando el suelo y la pared del dren como objetos fractales, y establecieron que la transferencia de agua del suelo al interior del dren debe ser representada con condiciones de frontera de radiación fractal o convexa. Además, Fuentes et al. (2009) establecieron formalmente la dependencia entre el coeficiente de almacenamiento y la curva de retención de humedad del suelo en acuíferos libres someros.

El desarrollo de una herramienta computacional estructurada y documentada que facilite la aplicación de la relaciones mecanicistas de Zavala et al. (2007) y Fuentes et al. (2009), es necesario para que los analistas precisen el estudio y diseño de los sistemas de drenaje. El objetivo de este estudio fue desarrollar un programa de cómputo con interfaz gráfica para simular el drenaje agrícola subterráneo en acuíferos libres someros, que tuviera como base la ecuación de Boussinesq unidimensional con coeficiente de almacenamiento del acuífero variable, sujeta en los drenes a condiciones de radiación fractal o convexa. La primera versión del programa fue diseñada para realizar modelaciones undimensionales de sistemas de drenaje instalados en suelos homogéneos e isotrópicos y se ejecuta en equipos de cómputo con sistema Windows.

 

MATERIALES Y MÉTODOS

Ecuación de base

La dinámica del agua en un acuífero libre somero se describe con la ecuación de Boussinesq del drenaje agrícola, que resulta del principio de conservación de masa, la ley de Darcy y la hipótesis de Dupuit-Forcheimer concerniente a una distribución hidrostática de presiones. Si las variaciones de la carga hidráulica en la dirección longitudinal de los drenes son despreciables, se puede describir el flujo de agua en el sistema de drenaje con la ecuación de Boussinesq unidimensional. Si además se asume que el suelo es isotrópico y homogéneo, el problema es resolver la siguiente forma de la ecuación de Boussinesq:

sobre el dominio mostrado en la Figura 1.

En la ecuación (1) T = K_s (H — H_i) es la transmisibilidad del acuífero [L²T⁻¹] y (H — H_i) su espesor [L]; H y H_i son las elevaciones de la superficie libre o carga hidráulica, y del estrato impermeable [L], medidas desde el nivel de referencia; cuando el estrato impermeable es aproximadamente horizontal se puede asumir H_i = 0; K_s es la conductividad hidráulica a saturación es el volumen de recarga o descarga vertical por unidad de área por unidad de tiempo [L³L⁻²T⁻¹]; y µ(H) es el coeficiente de almacenamiento [L³L⁻³], que en un acuífero libre es función de la carga hidráulica (Hilberts et al., 2005; Fuentes et al., 2009).

Coeficiente de almacenamiento

Fuentes et al. (2009) analizaron los conceptos de lámina drenada y lámina drenable en un acuífero libre somero y establecieron la relación entre el coeficiente de almacenamiento del acuífero y la curva de retención de humedad del suelo:

donde Θ_s es el contenido volumétrico de agua a saturación [L³L⁻³] y H_s es la elevación de la superficie del suelo [L]

La introducción del modelo para la curva de retención de humedad de van Genuchten (1980) en la ecuación (2) sujeto a la restricción de Burdine (1953), permite obtener la siguiente representación analítica para el coeficiente de almacenamiento:

donde Θ_r es el contenido volumétrico residual [L³L⁻³]; m y n parámetros de forma adimensionales; y Ψd parámetro de escala de la presión [L].

Condiciones límite

Para estudiar el drenaje agrícola con la ecuación (1) se requiere definir las condiciones límite en el dominio de solución. La condición inicial se establece directamente a partir de la posición del manto freático en el tiempo inicial:

donde h(x,0) es la elevación inicial de la superficie libre a lo largo de la coordenada horizontal x contada a partir de los drenes; y D₀ es la profundidad del estrato impermeable medida a partir de la elevación o posición de los drenes.

Condiciones de frontera tipo Dirichlet y Neumann se usan en los drenes para resolver la ecuación (1); en la primera se requiere conocer la evolución de la carga hidráulica sobre los drenes y en la segunda el flujo de drenaje. Una tercera condición de frontera más general, llamada tipo radiación, es una combinación lineal de las dos condiciones precedentes, e incorpora un parámetro de resistencia al flujo del agua en la interfaz suelo-dren; la resistencia nula corresponde a la condición de Dirichlet y la infinita a la de Neumann:

el signo positivo en la ecuación (5) es para el dren en x= 0, mientras que el negativo es para el que está en x= L, donde L es la separación entre drenes y q_d es el flujo de drenaje.

En el análisis del drenaje agrícola con la ecuación de Boussinesq, Zavala etal. (2007) establecieron que el flujo de drenaje q_d debe ser descrito con una condición de radiación tipo Hooghoudt (convexa) o con una condición de radiación fractal. La radiación tipo Hooghoudt es una combinación convexa de las condiciones de radiación lineal y cuadrática, que desde el punto probabilista representan los comportamientos extremos posibles para el flujo de drenaje:

donde q_s es un valor particular del flujo de drenaje , que [LT⁻¹], se puede interpretar como el producto de la conductividad en la interfaz suelo-dren y un coeficiente de conductancia adimensional (γ); P es la profundidad de los drenes [L]; ω es el factor de interpolación tal que 0≤ω≤1. Con ω = 0 se tiene la radiación lineal y con (= 1 la radiación cuadrática; el primer caso corresponde a un movimiento completamente determinístico del agua en el suelo (correlación completa de los capilares) y el segundo a un movimiento completamente aleatorio (encuentro completamente aleatorio de los capilares).

Un segundo modelo que interpola los comportamientos extremos del flujo de drenaje fue establecido por Zavala et al. (2007) al considerar el suelo y la pared del dren como objetos fractales:

donde q_s es el valor máximo del flujo de drenaje [LT⁻¹], que puede interpretarse como ; s_m y s_d son la dimensión relativa del suelo y de la pared del dren (razón entre la dimensión fractal del objeto D_ƒ y la dimensión del espacio de Euclides, s=D_ƒ/3). La dimensión cociente de un objeto fractal (s) está relacionada con su porosidad volumétrica (Φ):

Se puede demostrar que s→1/2 cuando Φ→0, y s→1 cuando Φ→1 en otros términos se tiene 1/2<s<1 cuando 0<Φ<1; la correlación completa se presenta en suelos cuya porosidad tiende a cero y la decorrelación completa en suelos cuya porosidad tiende a la unidad. Considerando que la porosidad areal del objeto fractal está relacionado con su porosidad volumétrica Φ a través de =Φ^2s, se obtiene la ecuación que define la relación entre s y :

Solución numérica

El sistema de ecuaciones (1-9) se resolvió numéricamente realizando la discretización espacial con el método del elemento finito tipo Galerkin; la discretización temporal fue con un método de diferencias finitas; el sistema que resulta del proceso de discretización se linealizó empleando el método de Picard; mientras que el sistema de ecuaciones algebraicas generado en cada iteración fue resuelto usando un método de gradiente conjugado precondicionado con almacenamiento vectorial libre de entradas nulas. Los detalles de estos métodos está documentado, por ejemplo, en Zienkiewicz et al. (2005).

Interfaz gráfica

La codificación de la solución numérica y su interfaz gráfica se desarrolló con el lenguaje de programación Visual Basic, y para proporcionar más opciones de análisis y diseño a los usuarios se programó un módulo con soluciones analíticas para el drenaje agrícola. Esta primera versión del programa se denominó DRENAS (drenaje agrícola subterráneo) y sus componentes principales son: 1) ventana de inicio, y 2) pantalla general que incluye los dos módulos de cálculo, solución numérica y soluciones analíticas (Figura 2). Al inicio sólo están activadas las opciones Archivo e Información; en el menú Archivo el usuario debe seleccionar entre las opciones: crear nuevo proyecto, cargar proyecto anterior y salir del programa. Para introducir datos de una nueva simulación debe seleccionar la opción nuevo proyecto lo cual activa el fichero Datos, en el cual se definen las unidades de tiempo y espacio a usar en la modelación y después se activan las opciones para seleccionar el modelo numérico o las soluciones analíticas. El acceso directo a las ventanas incluidas en el fichero Datos puede realizarse a través de los íconos colocados en las cintillas superiores de la ventana principal. Conforme se completan los datos requeridos en cada ventana, se remarca la sección correspondiente en la pantalla principal de DRENAS para proporcionar ayuda visual.

Al seleccionar la opción Modelo numérico se activan las secciones para introducir los parámetros del sistema suelo-dren y los parámetros de la simulación. La primera sección que se debe llenar es Sistema de drenaje, donde se definen las características físicas del sistema (Figura 3). DRENAS contiene una base de datos con parámetros físicos e hidráulicos de suelos reportados en la literatura (Figura 4), despliega información sobre características de los drenes agrícolas (Figura 5), y permite seleccionar la forma de representar el coeficiente de almacenamiento del acuífero, constante o variable, presentando alternativas para ingresar el valor de sus parámetros según sea el caso (Figura 6). También ofrece la opción de seleccionar el tipo de condición inicial, variable o constante, así como el tipo de condición de frontera a usar en los drenes, Dirichlet, radiación fractal o radiación convexa (Figura 7); tiene una sección para definir la tasa de recarga vertical (constante o variable en el tiempo); permite seleccionar la variable a visualizar en la simulación, ya sea carga hidráulica sobre el dren, gasto drenado, manto freático o lámina drenada (Figura 8). El programa permite exportar los resultados de la simulación a archivos de texto para su proceso en otros programas de visualización gráfica.

En el módulo de soluciones analíticas de DRENAS los usuarios pueden realizar cálculos rápidos y aproximados del flujo de drenaje y la separación entre drenes, que son las variables básicas de diseño de un sistema de drenaje subterráneo. Las fórmulas son las relaciones clásicas de Hooghoudt (1940), Glover-Dumm (Dumm, 1954) y la solución para radiación lineal de Fuentes et al. (1997) (Figura 9).

 

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

La validación de DRENAS se realizó para eliminar errores de programación y revisar la consistencia de las soluciones analíticas y numéricas codificadas. Los errores de programación detectados y eliminados estuvieron relacionados con la captura y transformación de datos y variables, selección de opciones, transferencia de información entre las secciones del programa, lectura y escritura de archivos, programación de gráficas, etc.

Validación numérica

El programa desarrollado se validó comparando sus resultados numéricos con los proporcionados por la solución analítica de Fuentes et al. (1997), la cual se deriva considerando constantes la transmisibilidad del acuífero y su coeficiente de almacenamiento, y condiciones de radiación lineal en los drenes. La comparación se realizó tomando en cuenta los siguientes parámetros y condiciones: conductividad hidráulica a saturación K_s= 0.75 m/d; separación entre drenes L= 35 m; profundidad de los drenes P= 1.5 m; profundidad del estrato impermeable D₀= 4.0 m; elevación del estrato impermeable H₁=0 m; elevación de la superficie libre H_s=5.5 m; elevación de los drenes H_d= 4.0 m; transmisibilidad del acuífero ; coeficiente de almacenamiento = 0.105 m³ / m³; y recarga nula R=0. La elevación inicial del manto freático es H(x,0) = 5.5 m, mientras que en la frontera de los drenes se impone una condición de radiación lineal que es la considerada en la derivación de la solución analítica, por lo cual en el modelo numérico se asume (ω=0 (ecuación 6) o s_m+s_d=1 (ecuación 7) y q_s= 0.107 K_s, lo cual implica que en la solución analítica γ_a=2.5.

Una discretización espacial constante de Δx=1 cm fue usada y se generó una malla de 3501 nudos y 3500 elementos finitos. El paso de tiempo inicial fue Δt_ini=1 s, el cual aumentó en 5% si el número de iteraciones en el intervalo de tiempo era menor de 3, hasta un valor máximo de Δt_max= 600 s, y el tiempo de simulación fue 30 d. El error máximo admisible en la carga hidráulica durante el proceso iterativo en cada paso de tiempo fue 1X10 ⁻⁴ m.

La comparación entre la solución analítica de Fuentes etal. y la solución numérica se presenta en la Figura 10 para la evolución temporal del gasto de agua drenado y en la Figura 11 para la evolución de la superficie libre; en ambos casos no hubo diferencias significativas entre la solución analítica y numérica, y las discrepancias máximas son inferiores a 0.025%. La ausencia de oscilaciones en los resultados de la solución numérica justifica el criterio adoptado para incrementar el paso de tiempo durante la simulación.

Validación experimental

Para realizar la validación experimental del programa DRENAS se tomó información de Zavala et al. (2007), quienes reportan datos de una prueba de drenaje en un contenedor rectangular fabricado con hojas de acrílico transparente provisto con dos drenes de PVC de 30 cm de longitud y 5 cm de diámetro, con N₀=233 perforaciones circulares de diámetro d₀=0.158 cm distribuidas uniformemente en la superficie de cada tubo. Las características del sistema de drenaje fueron: L=100 cm, P=120 cm y D₀=25 cm. El módulo se rellenó con suelo de textura arenosa de la región de Tezoyuca, Morelos, México, el cual fue saturado aplicando una carga de agua en su superficie hasta eliminar el aire atrapado. Con los drenes tapados se removió el exceso de agua en la superficie del suelo y se cubrió ésta para eliminar la evaporación; finalmente fueron destapados los drenes para medir el volumen de agua drenado. La condición inicial corresponde a h(x,0)=P y la recarga es nula R(t)=0.

Los valores de porosidad volumétrica del suelo Φ_m y la conductividad hidráulica a saturación K_s fueron Φ_m=0.539 cm³/cm³ y K_s=18.3 cm/h; los valores de la dimensión cociente del suelo y la del dren así como la conductividad hidráulica del dren fueron: s_m=0.703, s_d=0.569 y K_d= 2721.5 cm/h. Los parámetros para el coeficiente de almacenamiento variable (ecuación 3) corresponden a los reportados por Zavala et al (2004), θ_s = 0.539 cm³/cm³, θ_r=0.0 cm³/cm³, ψ_d=− 41.8 cm y n= 3.19.

Los valores medios de la conductividad en la interfaz suelo-dren y la dimensión relativa calculados son y Con el valor de la dimension relativa se tiene δ=— 1 = 0.27 y usando la relación de Zavala et al. (2007), ω= 5(7 + δ) δ / [2(3 + δ)(4 + δ)] ,se obtiene ω=0.35 (factor de interpolación de la ecuación 6).

El parámetro de conductancia γ correspondiente a cada condición de radiación (relaciones 6 y 7), se calibró minimizando la raíz del error cuadrático medio (RECM) entre la lámina drenada calculada con el programa y la lámina drenada experimental, y en el Cuadro 1 se presentan los resultados obtenidos. En la Figura 12 se comparan la lámina drenada experimental con la lámina drenada calculada con las radiaciones convexa y fractal; las curvas calculadas presentan una buena aproximación, lo cual muestra que el modelo numérico desarrollado describe con precisión la dinámica del agua en un sistema de drenaje agrícola. En la Figura 13 se muestra el abatimiento del manto freático descrito con el modelo numérico.

 

CONCLUSIONES

El programa DRENAS proporciona evoluciones del manto freático y flujo de drenaje precisas, estables, monótonas y libres de oscilaciones numéricas en acuíferos libres someros para condiciones de suelo homogéneo, isotrópico y recarga vertical conocida. Así, DRENAS una herramienta de cómputo útil y confiable para propósitos académicos, y en diseños y análisis de sistemas de drenaje experimentales (condiciones controladas). En condiciones de campo donde las hipótesis de la ecuación de Boussinesq y del modelo desarrollado no se satisfacen, los resultados del programa son una primera aproximación, es decir, tendencias generales del funcionamiento del sistema de drenaje. Para aplicar DRENAS en estos casos, es necesario representar la variabilidad espacial de las propiedades hidráulicas del suelo mediante propiedades globales efectivas, estimar la infiltración superficial o la evapotranspiración y aceptar la hipótesis de que la recarga o descarga vertical es instantánea.

La interfaz gráfica del programa DRENAS permite introducir sistemáticamente los parámetros del suelo y de los drenes, seleccionar coeficientes o relaciones en función del nivel de detalle que requiera el análisis, así como visualizar la simulación y exportar los resultados de la misma, facilitando el trabajo de los usuarios y analistas del drenaje.

 

AGRADECIMIENTOS

El trabajo fue apoyado por el fondo SEP-CONACyT a través del proyecto CB-2011-01-167107.

 

LITERATURA CITADA

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