1. Introducción

Las trabes de concreto reforzado no prismáticas (trabes con cartelas en sus extremos) se diferencian de las prismáticas porque la altura de la trabe varía en tres partes diferentes, siendo la altura mayor en los extremos de la trabe y en la parte central es constante. La principal aplicación es en edificios de gran altura, puentes y viaductos que tienen trabes de gran longitud, ya que los momentos máximos en valor absoluto se presentan en los extremos de las trabes.

Las ayudas al diseño se representan por medio de tablas y gráficas que describen procedimientos con los que se pretende acortar el trabajo rutinario de los diseños estructurales. Las ayudas al diseño son el resultado de una selección de los materiales y secciones transversales disponibles, para ofrecer al diseñador solo el que se considera el más utilizado y el más reciente.

Los trabajos más importantes de algunos investigadores sobre el tema de ayudas de diseño son: Guldan, PCA (Portland Cement Association), Hibbeler presentaron ayudas de diseño para trabes rectangulares con cartelas rectas y parabólicas tomando en cuenta únicamente las deformaciones por flexión, estas se presentan por tablas [¹-³]. Tena-Colunga desarrollo ayudas de diseño para trabes de sección transversal “T” e “I” con cartelas rectas tomando en cuenta las deformaciones por flexión y cortante, estas se presentan por tablas [⁴]. Gupta y Friel propusieron ayudas de diseño para muros de contención en voladizo o trabes en cantiliver de concreto reforzado por el método de diseño de resistencia para minimizar el proceso iterativo del diseño, estas se presentan por tablas [⁵].

Park et al. presentaron ayudas de diseño para una trabe de concreto reforzado basadas en el concepto de costo mínimo por gráficas para distintas resistencias de concreto y distintos anchos de trabe [⁶]. Chandrasekaran et al. desarrollaron ayudas de diseño para cáscaras cilíndricas de concreto reforzado bajo cargas uniformemente distribuidas [⁷]. Rodríguez-Gutiérrez y Aristizabal-Ochoa propusieron ayudas de diseño para zapatas rígidas simétricas de forma rectangular y trapezoidal (cimentaciones superficiales o poco profundas) para encontrar la máxima capacidad de carga axial y momento biaxial sin exceder la capacidad carga del suelo para tres tipos diferentes de distribución de presión del suelo sobre zapata: uniforme, lineal y parabólico [⁸].

Zofkie presento ayudas de diseño para determinar la deflexión de trabes reforzadas en parte de su longitud mediante gráficas para obtener la máxima deflexión de una trabe [⁹]. Sun y Lu, Taylor et al. desarrollaron ayudas de diseño por medio de diagramas de interacción para columnas rectangulares y circulares de concreto reforzado con diferentes proporciones y diferentes resistencias de acero y concreto [¹⁰, ¹¹]. Hashmi propusó ayudas de diseño para trabes de concreto reforzado para encontrar la cantidad de acero transversal y longitudinal necesaria de acuerdo a la solicitación sísmica que se plantea [¹²]. Varyani y Radhaji presentaron ayudas de diseño para el diseño en el estado límite de elementos de concreto reforzado (losas, trabes, columnas, zapatas, muros de contención, tanques de agua) por medio de tablas, gráficos y figuras [¹³]. Mohammed desarrollo ayudas de diseño para trabes de doble T de concreto pretensado con abertura en el alma asociada a la variación de su resistencia a la compresión [¹⁴].

Mishra y Gupta propusieron ayudas de diseño para trabes y columnas de acero estructural de acuerdo al código IS800: 2007 [¹⁵]. Schultz y Jesse presentaron ayudas para el diseño de esfuerzos simplificado para trabes helicoidales utilizando ecuaciones de diseño expresadas en función de sección transversal de la viga (módulo de sección en "X" e "Y") por medio de curvas ajustadas para diferentes secciones transversales [¹⁶]. Hashmi et al. estudiaron un enfoque para desarrollar curvas para ilustrar la relación entre las tensiones en el refuerzo de acero no cedido, el coeficiente de momento de resistencia y el porcentaje de refuerzo de tensión y compresión para secciones de concreto reforzado [¹⁷].

Otros trabajos para secciones variables (miembros no prismáticos) son: “Modelado para vigas de sección transversal “I” sometidas a una carga uniformemente distribuida con cartelas rectas” [¹⁸], y otro trabajo “Modelado para momentos de empotramiento de secciones “I” con cartelas rectas bajo carga concentrada” [¹⁹]. “Modelado de elementos mecánicos de miembros rectangulares con cartelas rectas utilizando software: Parte 1” [²⁰], y otro trabajo “Modelado de elementos mecánicos de miembros rectangulares con cartelas rectas utilizando software: Parte 2” [²¹].

Los principales trabajos sobre el tema de vigas de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas son: “Un modelo matemático para vigas rectangulares de sección transversal variable de forma parabólica simétrica para una carga uniformemente distribuida”, pero este trabajo considera las deformaciones por flexión [²²]. “Elementos mecánicos de miembros rectangulares no prismáticos para cartelas parabólicas simétricas sometidos a una carga uniformemente distribuida”, pero este trabajo no considera las deformaciones por cortante [²³]. “Modelado para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas: Parte 1”, este trabajo considera las deformaciones por flexión y cortante [²⁴]. “Modelado para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas: Parte 2”, este trabajo toma en cuenta las deformaciones por flexión y cortante [²⁵].

Por lo tanto, la revisión de la literatura muestra claramente que no existe una relación cercana con el tema de ayudas de diseño para trabes de sección rectangular con cartelas parabólicas bajo una carga uniformemente distribuida para obtener los factores de momentos de empotramiento, factores de transporte y factores de rigidez que es abordado en este documento.

Este trabajo presenta las ayudas de diseño para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas bajo una carga uniformemente distribuida para obtener los factores de momentos de empotramiento, los factores de transporte y los factores de rigidez, que es el aporte de esta investigación. Las ayudas de diseño se desarrollan utilizando las ecuaciones descritas anteriormente [²⁴].

Las simplificaciones realizadas son las siguientes: u (altura de las cartelas parabólicas en el lado izquierdo) = s (altura de las cartelas parabólicas en el lado derecho) porque esta es la más utilizada por las formas arquitectónicas (estética), h (altura de la viga en la parte central) = 0.1L (longitud de la viga) que propone el código del ACI (American Concrete Institute) [²⁶] para controlar las deflexiones.

También, un ejemplo se presenta para mostrar la simplicidad y efectividad de las ayudas de diseño propuestas en este documento para trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas sometidas a una carga uniformemente distribuida.

2. Ayudas de diseño

La Figura 1 muestra una viga isométrica de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas en cada extremo, donde “a” es la longitud horizontal de la cartela parabólica en el lado izquierdo, “b” es el ancho de la viga (constante) y “c” es la longitud horizontal de la cartela parabólica en el lado derecho.

Fig. 1 Trabe isométrica de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas 

Las ayudas de diseño para elementos de sección rectangular con cartelas parabólicas consisten en obtener los factores de momentos de empotramiento para una carga uniformemente distribuida, los factores de transporte y factores de rigidez mediante diagramas simplificados a partir de las ecuaciones propuestas por Velázquez-Santillán et al. [²⁴].

Las simplificaciones realizadas son las siguientes: u = s porque esta es la más utilizada por las formas arquitectónicas (estética), h = 0.1L que propone el código del ACI para controlar las deflexiones.

2.1. Factores de momentos de empotramiento

Las ecuaciones de momentos de empotramiento para carga uniformemente distribuida se obtienen a partir de las ecuaciones (13 y 14) [²⁴]:

MAB=f22θA−f12θBf122−f11f22, (1)

MBA=f12θA−f11θBf122−f11f22, (2)

donde: “M_AB” y “M_BA” son los momentos de empotramiento en sus respectivos apoyos; “f₁₁”, “f₂₂” y “f₁₂” son los coeficientes de flexibilidades; “Ɵ_A” y “Ɵ_B” son las rotaciones en cada apoyo. Las ecuaciones para obtener “f₁₁”, “f₂₂” y “f₁₂” se muestran en las ecuaciones (10, 11 y 12) respectivamente [²⁴]. Las ecuaciones para encontrar “Ɵ_A” y “Ɵ_B” se presentan en las ecuaciones (5 y 6) respectivamente [²⁴]. Sustituyendo las ecuaciones de los coeficientes de flexibilidades y las rotaciones en las ecuaciones (1) y (2) se obtienen los factores de momentos de empotramiento como sigue:

MAB=mABwL2, (3)

MBA=mBAwL2, (4)

donde: “m_AB” y “m_BA” son los factores de momentos de empotramiento, “w” es la carga uniformemente distribuida y “L” es la longitud de la trabe. Los factores de momentos de empotramiento “m_AB” y “m_BA” se presentan en función de E (módulo de elasticidad), G (módulo de cortante), ν (coeficiente de Poisson), a (longitud horizontal de la cartela parabólica izquierda), b (ancho de la viga), c (longitud horizontal de la cartela parabólica derecha), L (longitud de la trabe), u (altura de la cartela parabólica izquierda), s (altura de la cartela parabólica derecha), h (altura de la trabe en la parte central).

Las ayudas de diseño para factores de momentos de empotramiento se obtienen a partir de las ecuaciones (3 y 4) tomando en cuenta u = s = ζh (ζ toma valores de 0.5, 1.0, 1.5, 2.0); a = λL (λ toma cualquier valor de 0 a 1); c = 𝜅L (𝜅 toma valores de 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9); h = 0.1L; ν = 0.20 para concreto [²⁴]. Para c = 0L se considera u = ζh; s = 0.

Las ayudas de diseño para factores de momento de empotramiento se obtienen de la siguiente manera:

1. El material y las propiedades geométricas de la viga se definen (c = 𝜅L, h = 0.1L, ν = 0.20, u = s = ζh, a = λL), y para c = 0L se considera u = ζh y s = 0.

2. Sustituyendo cada valor de 𝜅 en la ecuación (13) para obtener mAB y en la ecuación (14) para obtener mBA [²⁴]. Estas gráficas se muestran en función de λ.

3. Las ecuaciones simplificadas se obtienen utilizando el software Derive.

4. Ahora, las gráficas se obtienen usando el software Maple.

Los diagramas simplificados se muestran en función de λ en la Figura 2.

Fig. 2 Factores de momentos de empotramiento para carga uniformemente distribuida 

2.2. Factores de transporte

Las ecuaciones para los factores de transporte se obtienen a partir de las ecuaciones (18 y 19) [²⁴]:

CAB=f12f22, (5)

CBA=f12f11, (6)

donde: “C_AB” y “C_BA” son los factores de transporte.

Sustituyendo las ecuaciones de los coeficientes de flexibilidades en las ecuaciones (5) y (6) se obtienen los factores de transporte.

Las ayudas de diseño para factores de transporte se obtienen a partir de las ecuaciones (5) y (6) tomando en cuenta u = s = ζh = 0.5L, 1.0L, 1.5L, 2.0L; a = λL; c = 𝜅L = 0.0L, 0.1L, 0.2L, 0.3L, 0.4L, 0.5L, 0.6L, 0.7L, 0.8L, 0.9L; h = 0.1L; ν = 0.20 para concreto [²⁴]. Para c = 0L se considera u = ζh; s = 0.

El procedimiento para encontrar las ayudas de diseño para los factores de transporte es el mismo que se usa para los factores de momentos de empotramiento.

Los diagramas simplificados se muestran en función de λ en la Figura 3.

Fig. 3 Factores de transporte 

2.3. Factores de rigidez

Las ecuaciones para los factores de rigidez se obtienen a partir de las ecuaciones (24 y 25) [²⁴]:

kAB=12Lf22bh3E(f11f22−f122), (7)

kBA=12Lf11bh3E(f11f22−f122), (8)

donde: “k_AB” y “k_BA” son los factores de rigidez.

Sustituyendo las ecuaciones de los coeficientes de flexibilidades en las ecuaciones (7) y (8) se obtienen los factores de rigidez.

Las ecuaciones para las rigideces absolutas se obtienen a partir de las ecuaciones (22 y 23) [²⁴]:

KAB=kABEIL, (9)

KBA=kBAEIL, (10)

donde: “I” es el momento de inercia en la parte central de la trabe.

Las ayudas de diseño para factores de rigidez se obtienen a partir de las ecuaciones (7) y (8) tomando en cuenta u = s = ζh = 0.5L, 1.0L, 1.5L, 2.0L; a = λL; c = 𝜅L = 0.0L, 0.1L, 0.2L, 0.3L, 0.4L, 0.5L, 0.6L, 0.7L, 0.8L, 0.9L; h = 0.1L; ν = 0.20 para concreto [²⁴]. Para c = 0L se considera u = ζh; s = 0.

El procedimiento para encontrar las ayudas de diseño para los factores de rigidez es el mismo que se usa para los factores de momentos de empotramiento.

Los diagramas simplificados se muestran en función de λ en la Figura 4.

Fig. 4 Factores de rigidez 

3. Aplicación de las ayudas de diseño

La Figura 5 muestra una trabe continua sobre cuatro apoyos de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas en los apoyos internos. Los datos constantes para toda la trabe son: ν = 0.20 para concreto, G = 5E/12, w = 30 kN/m, b = 0.70 m.

Fig. 5 Trabe continua de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas 

La Figura 6 presenta las tres trabes separadas y los momentos de empotramiento en sus extremos para carga uniformemente distribuida. Los momentos finales se obtienen usando las ayudas de diseño propuestas en este documento, y la solución se obtiene por los métodos matriciales.

Fig. 6 Tres trabes individuales 

Nota: la distancia horizontal de las cartelas se consideran de 3.5 m, porque generalmente los puntos de inflexión se ubican a 1/4 de la longitud de la trabe a partir de los apoyos.

Los datos de la trabe A-B son: a = 0.00 m; c = 3.50 m; h = 1.40 m; u = 0.00 m; s = 1.40 m; L = 14.00 m; w = 30 kN/m. Para usar las ayudas de diseño, estas se invierten en los apoyos porque las cartelas se ubican en el lado derecho y en las gráficas se localizan en el lado izquierdo. Las gráficas que se deben de son: Figura 2(b) para los factores de momentos de empotramiento, Figura 3(b) para los factores de transporte, Figura 4(b) para los factores de rigidez.

Ahora, para usar las ayudas de diseño, los valores invertidos son: λ = a/L = 0.25; 𝜅 = c/L = 0; ζ = u/h = 1.00; s = 0. Las gráficas mostradas en la Figura 2(b) se usan para obtener los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos (ζ = 1.00), y los factores de momentos de empotramiento invertidos en los apoyos son: m_AB = 0.069 (c = 0.0L) y m_BA = 0.115 (c = 0.0L), y los momentos de empotramiento son: M_FAB = 405.72 kN-m y M_FBA = 676.20 kN-m. Las gráficas mostradas en la Figura 3(b) se usan para obtener los factores de transporte en ambos extremos (ζ = 1.00), y los factores de transporte invertidos en los apoyos son: C_AB = 0.656 (c = 0.0L) y C_BA = 0.468 (c = 0.0L). Las gráficas mostradas en la Figura 4(b) se usan para obtener los factores de rigidez en ambos extremos (ζ = 1.00), y los factores de rigidez invertidos en los apoyos son: k_AB = 4.31 (c = 0.0L) y k_BA = 6.05 (c = 0.0L), y las rigideces absolutas son: K_AB = 4.31EI/L y K_BA = 6.05EI/L.

Los datos de la trabe B-C son: a = 3.50 m; c = 3.50 m; h = 1.40 m; u = 1.40 m; s = 1.40 m; L = 14.00 m; w = 30 kN/m. Ahora, para usar las ayudas de diseño, los valores son: λ = a/L = 0.25; 𝜅 = c/L = 0.25; ζ = u/h = s/h = 1.00. La gráficas mostradas en la Figura 2(b) se usan para obtener los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos para λ = 0.25, 𝜅 = 0.20 y ζ = 1.00 (m_BC = 0.100 y m_CB = 0.094), y para λ = 0.25, 𝜅 = 0.30 y ζ = 1.00 (m_BC = 0.096 y m_CB = 0.102). Ahora, por interpolación para 𝜅 = 0.25 se obtienen los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos, y sus valores son: m_BC = 0.098 y m_CB = 0.098, y los momentos de empotramiento son: M_FBC = 576.24 kN-m y M_FCB = 576.24 kN-m. La gráficas mostradas en la Figura 3(b) se usan para obtener los factores de transporte en ambos extremos para λ = 0.25, 𝜅 = 0.20 y ζ = 1.00 (C_BC = 0.595 y C_CB = 0.636), y para λ = 0.25, 𝜅 = 0.30 y ζ = 1.00 (C_BC = 0.656 y C_CB = 0.615), por interpolación para 𝜅 = 0.25 se obtienen los factores de transporte en ambos extremos, y sus valores son: C_BC = 0.626 y C_CB = 0.626.

Las gráficas mostradas en la Figura 4(b) se usan para obtener los factores de rigidez en ambos extremos para λ = 0.25, 𝜅 = 0.20 y ζ = 1.00 (k_BC = 6.76 y k_CB = 6.30), y para λ = 0.25, 𝜅 = 0.30 y ζ = 1.00 (k_BC = 7.10 y k_CB = 7.56), por interpolación para 𝜅 = 0.25 se obtienen los factores de rigidez en ambos extremos, y sus valores son: k_BC = 6.93 y k_CB = 6.93, y las rigideces absolutas son: K_BC = 6.93EI/L y K_CB = 6.93EI/L.

Los datos de la trabe C-D son: a = 3.50 m; c = 0.00 m; h = 1.40 m; u = 1.40 m; s = 0.00 m; L = 14.00 m; w = 30 kN/m. Ahora, para usar las ayudas de diseño, los valores son: λ = a/L = 0.25; 𝜅 = c/L = 0; ζ = u/h = 1.00; s = 0. Las gráficas mostradas en la Figura 2(b) se usan para obtener los factores de momentos de empotramiento en ambos extremos (ζ = 1.00), y los factores de momentos de empotramiento en los apoyos son: m_CD = 0.115 (c = 0.0L) y m_DC = 0.069 (c = 0.0L), y los momentos de empotramiento son: M_FCD = 676.20 kN-m y M_FDC = 405.72 kN-m.

Las gráficas mostradas en la Figura 3(b) se usan para obtener los factores de transporte en ambos extremos (ζ = 1.00), y los factores de transporte en los apoyos son: C_CD = 0.468 (c = 0.0L) y C_DC = 0.656 (c = 0.0L). Las gráficas mostradas en la Figura 4(b) se usan para obtener los factores de rigidez en ambos extremos (ζ = 1.00), y los factores de rigidez en los apoyos son: k_CD = 6.05 (c = 0.0L) y k_DC = 4.31 (c = 0.0L), y las rigideces absolutas son: K_CD = 6.05EI/L y K_DC = 4.31EI/L. La matriz de rigidez para la trabe “A-B” es:

donde:

La matriz de rigidez para la trabe “B-C” es:

donde:

La matriz de rigidez para la trabe “C-D” es:

donde:

La matriz general de rigidez “K_G” para la trabe continua es:

Los momentos de empotramiento para las trabes (etapa 1) son:

El vector de los momentos efectivos que actúan sobre la trabe continua es:

La ecuación de Fuerza-desplazamiento es:

donde: [P] es el vector de los momentos efectivos que actúan sobre la trabe continua, [K] es la matriz general de rigidez, [d] es el vector de desplazamientos o rotaciones:

La solución del sistema es:

Los momentos de empotramiento para las trabes (etapa 2) son:

Los momentos que resultan de la suma de la etapa 1 y 2 (momentos finales que actúan sobre los extremos de cada trabe) son:

Por lo tanto, estos momentos finales son los momentos para el diseño de las trabes.

4. Resultados

Las Figuras 2, 3 y 4 (ver Apéndice) muestran los factores de momentos de empotramiento (m_AB y m_BA), los factores de transporte (C_AB y C_BA), los factores de rigidez (k_AB y k_BA) en función de “λ”.

La Figura 2 muestra las gráficas para los factores de momentos de empotramiento (m_AB y m_BA) sometida a una carga uniformemente distribuida. Las gráficas muestran lo siguiente:

La Figura 3 muestra las gráficas para los factores de transporte (C_AB y C_BA). Las gráficas muestran lo siguiente:

La Figura 4 muestra las gráficas para los factores de rigidez (k_AB y k_BA). Las gráficas muestran lo siguiente:

Ahora, los factores para momentos de empotramiento, los factores de transporte y los factores de rigidez del ejemplo numérico por ayudas de diseño se comparó con las ecuaciones de Velázquez-Santillán et al. [²⁴].

Estos valores son los mismos con una aproximación de 3 dígitos.

Por lo tanto, el grado de rapidez para obtener estos factores por medio de las ayudas de diseño no se compara con las ecuaciones, porque las 6 ecuaciones son muy complejas y se debe de usar algún software para obtener los valores.

5. Conclusiones

Este trabajo presenta las ayudas de diseño más utilizadas para trabes de sección transversal rectangulares con variación parabólica en la altura de la trabe en sus extremos bajo una carga uniformemente distribuida que toma en cuenta las deformaciones por flexión y cortante para obtener los factores de momentos de empotramiento, factores de transporte y factores de rigidez.

Los coeficientes de momentos de empotramiento (m_AB y m_BA) toman en cuenta u = s = ζh (ζ = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0); a = λL (λ = 0 a 1); c = 𝜅L (𝜅 = 0.0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9); h = 0.1L; ν = 0.20 para concreto. Para c = 0L se considera u = ζh; s = 0.

Los coeficientes para momentos de empotramiento, factores de transporte y factores de rigidez (ayudas de diseño) presentadas en este trabajo reducen el problema para diseñar una trabe de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas en sus extremos, estas son precisas y eficientes.

El propósito de este documento es brindar a los ingenieros en el ejercicio profesional, alguna forma de reducir el tiempo de diseño requerido para los proyectos, sin dejar de cumplir con el código ACI (American Concrete Institute) [²⁶]. Aquí, la carga uniformemente distribuida podría ser la carga viva y la carga muerta para la construcción de edificios.

Un ejemplo numérico se muestra para demostrar la validez, la aplicabilidad, la sencillez y efectividad de las ayudas de diseño propuestas en el análisis de trabes de sección transversal rectangular con cartelas parabólicas sometidas a una carga uniformemente distribuida.

Los estudios futuros se pueden realizar sobre los coeficientes de trabes para los siguientes casos: desarrollar las gráficas para los factores de momentos de empotramiento para carga uniformemente distribuida, factores de transporte y factores de rigidez para otras secciones transversales como “T” o “I”, y para cartelas rectas o parabólicas.