1. Introducción

Los cimientos son los elementos estructurales que soportan columnas y muros y transfieren las cargas al suelo subyacente sin exceder la capacidad de carga del suelo por debajo de la estructura. Si las cargas se van a transmitir correctamente, los cimientos deben diseñarse para superar un gran asentamiento o rotación, reducir el asentamiento diferencial y ofrecer la seguridad necesaria contra deslizamientos y vuelcos.

Los tipos de cimentaciones se dividen en:

Las cimentaciones poco profundas o superficiales de concreto reforzado se clasifican en:

Las cimentaciones profundas se dividen en:

Las zapatas aisladas soportan columnas individuales, y pueden ser cuadradas, circulares o rectangulares en planta.

Las zapatas combinadas soportan dos o más columnas, y pueden ser rectangulares, trapezoidales, en forma de “T” y en forma de “L” (esquinera).

Las zapatas corridas soportan muros.

Las zapatas de correa es un caso especial de zapatas combinadas, es decir, dos zapatas aisladas unidas por una viga de liga.

Las losas de cimentación o balsas soportan todas las columnas del edificio.

El caso especial para solucionar la cimentación de esquina puede ser una zapata combinada de esquina del tipo L o zapatas aisladas (una de esquina y dos de bode) unidas por vigas de liga como se muestra en la Figura 1.

Los modelos optimizados para zapatas aisladas rectangulares, cuadradas y circulares (cimentaciones poco profundas o superficiales) tomando en cuenta la distribución de la presión del suelo como lineal han utilizado diversos softwares para obtener la solución [¹-¹⁷].

Los modelos de optimización para zapatas combinadas rectangulares, trapezoidales, en forma de T, de tira o correa y de esquina descansando sobre el terreno utilizan técnicas de optimización para resolver el problema [¹⁸-²⁵].

Los artículos más cercanos al tema de optimización para zapatas combinadas de correa en esquina son: López-Chavarría et al. [¹⁹] desarrollaron un modelo óptimo para obtener el área mínima de zapatas combinadas de esquina, esta contribución puede ser útil cuando las zapatas tienden a traslaparse una sobre otra, pero cuando las zapatas no se traslapan se deben de usar vigas de correa o de liga (zapatas combinadas de correa en esquina), es decir, las zapatas se unen mediante vigas. Aguilera-Mancilla et al. [²⁴] muestran un modelo matemático para obtener el área mínima de las zapatas combinadas de correa para dos columnas (una columna de frontera y la otra interior), por lo tanto, no se puede usar para obtener la superficie óptima para zapatas combinadas de correa en esquina.

Este trabajo de investigación presenta un modelo óptimo para zapatas combinadas de correa en esquina para obtener el área optimas o superficie mínima en planta de contacto sobre el terreno que soporta una carga concentrada y momentos alrededor de los ejes “X” e “Y” en cada columna.

El modelo propuesto en este trabajo considera que la presión tiene una variación lineal. El modelo tradicional considera una presión uniforme del suelo sobre la zapata de esquina y las dos zapatas de borde y aplicando las tres ecuaciones de equilibrio estático (ΣF, ΣM_x y ΣM_y) se obtiene la solución para las reacciones de las tres zapatas, la presión se considera uniforme porque la reacción del suelo se aplica en el centro de cada zapata.

Cuatro ejemplos numéricos se muestran para zapatas combinadas de correa en esquina: Ejemplo 1: Lados libres en las direcciones X e Y. Ejemplo 2: Lado restringido en la dirección X y libre en la dirección Y. Ejemplo 3: Lado restringido en la dirección Y y libre en la dirección X. Ejemplo 4: Lado restringido en las direcciones X e Y.

Cada ejemplo presenta tres casos diferentes: Caso 1 toma en cuenta z_1a = z_1b, z_2a = z_2b y z_3a = z_3b, es decir, las zapatas tienen diferentes dimensiones y son cuadradas. Caso 2 considera z_1a/M_y1 = z_1b/M_x1, z_2a/M_y2 = z_2b/M_x2 y z_3a/M_y3 = z_3b/M_x3, es decir, las zapatas están relacionadas con los momentos. Caso 3 considera z_1a = z_1b, z_2a = z_2b, z_3a = z_3b, z_1a = z_2a y z_1a = z_3a, es decir, las zapatas tienen las mismas dimensiones y son cuadradas.

2. Formulación matemática del modelo

La ecuación generalizada para las zapatas sometidas a una carga axial y dos momentos ortogonales (flexión biaxial) es:

donde: σ = esfuerzo generado por el suelo en cualquier parte de la zapata (presión del suelo), A = área en planta de la zapata (superficie de contacto sobre el suelo), P = carga concentrada sobre la zapata, M_x = momento alrededor del eje “X”, M_y = momento alrededor del eje “Y”, x = distancia paralela al eje “X” medida a partir del eje “Y” al punto de análisis, y = distancia paralela al eje “Y” medida a partir del eje “X” al punto de análisis, I_y = momento de inercia sobre el eje “Y” de la cimentación e I_x = momento de inercia sobre el eje “X” de la cimentación.

La Figura 2 muestra una zapata combinada de correa en esquina que soporta tres columnas rectangulares sometidas a una carga axial y dos momentos ortogonales (flexión biaxial) debido a cada columna.

La Figura 3 muestra el diagrama de presiones generadas por el suelo para una zapata combinada de correa en esquina.

Los esfuerzos generados en cada vértice de la zapata combinada de correa en esquina por la ecuación (1) se obtienen:

Aquí R = fuerza resultante, M_xT = momento resultante alrededor del eje “X” y M_yT = momento resultante alrededor del eje “Y”, estos se obtienen por las ecuaciones siguientes:

Las propiedades geométricas de la zapata combinada de correa en esquina (vista en planta) se obtienen por las ecuaciones siguientes:

Las restricciones para las condiciones de frontera son:

Caso 1: Lados libres en las direcciones X e Y:

Caso 2: Lado restringido en la dirección X y libre en la dirección Y:

Caso 3: Lado libre en la dirección X y restringido en la dirección Y:

Caso 4: Lados restringidos en las direcciones X e Y:

Ahora la función objetivo para la superficie mínima de contacto con el suelo se muestra en la ecuación (25).

Las funciones de restricción para obtener las dimensiones de las zapatas y las vigas de liga en planta se obtienen por las ecuaciones (2) a (24) y (26) a (31), y además las ecuaciones (32) y (33) (caso 1), o las ecuaciones (34) y (35) (caso 2), o las ecuaciones (36) y (37) (caso 3), o las ecuaciones (38) y (39) (caso 4).

Nota: los esfuerzos deben ser menores o iguales a la capacidad de carga admisible disponible del suelo “σad” y mayores o iguales a cero. Este modelo se puede usar para obtener el área mínima para zapatas combinadas de esquina, substituyendo z_1b = c_a = z_2b y z_1a = c_b = z_3a.

3. Aplicación numérica

Cuatro ejemplos numéricos se presentan para obtener la superficie mínima de las zapatas combinadas de correa en esquina (Ejemplo 1: Lados libres en las direcciones X e Y, es decir, c_x/2 + L₁ + z_2a/2 = a y c_y/2 + L₂ + z_3b/2 = b. Ejemplo 2: Lado restringido en la dirección X y libre en la dirección Y, es decir, c_x/2 + L₁ + c_x/2 = a y c_y/2 + L₂ + z_3b/2 = b. Ejemplo 3: Lado libre en la dirección X y restringido en la dirección Y, es decir, c_x/2 + L₁ + z_2a/2 = a y c_y/2 + L₂ + c_y/2 = b. Ejemplo 4: Lados restringidos en las direcciones X e Y, es decir, c_x/2 + L₁ + c_x/2 = a y c_y/2 + L₂ + c_y/2 = b), y para cada ejemplo se presentan tres casos (Caso 1 toma en cuenta z_1a = z_1b, z_2a = z_2b y z_3a = z_3b, es decir, todas las zapatas tienen diferentes dimensiones y son cuadradas cada una. Caso 2 considera z_1a/M_y1 = z_1b/M_x1, z_2a/M_y2 = z_2b/M_x2 y z_3a/M_y3 = z_3b/M_x3, es decir, las zapatas están relacionadas con los momentos. Caso 3 considera z_1a = z_1b, z_2a = z_2b, z_3a = z_3b, z_1a = z_2a y z_1a = z_3a, es decir, todas las zapatas tienen las mismas dimensiones y son cuadradas).

Los datos a considerar para la superficie mínima de las zapatas combinadas de correa en esquina son: c_x = c_y = 0.40 m, c_a = c_b = 0.30 m, L₁ = 8.00 m, L₂ = 7.00 m, P₁ = 600 kN, P₂ = 1400 kN, P₃ = 1200 kN, M_x1 = 150 kN-m, M_x2 = 250 kN-m, M_x3 = 200 kN-m, M_y1 = 200 kN-m, M_y2 = 350 kN-m, M_y3 = 300 kN-m son iguales en los cuatro ejemplos y en los tres casos, y en cada caso se presentan cuatro tipos de capacidad de carga admisible disponible del suelo de “σ_ad = 250, 210, 170, 130 kN/m²”. La función objetivo (superficie mínima) se obtiene por la ecuación (25), y las funciones de restricción se obtienen por las ecuaciones (2) a (24) y (26) a (31).

Además las ecuaciones (32) y (33) para el ejemplo 1, o las ecuaciones (34) y (35) para el ejemplo 2, o las ecuaciones (36) y (37) para el ejemplo 3, o las ecuaciones (38) y (39) para el ejemplo 4. Las superficies mínimas para las zapatas combinadas de correa en esquina se obtienen usando el software MAPLE-15, y los resultados para el ejemplo 1 (ver. Tabla 1), para el ejemplo 2 (ver. Tabla 2), para el ejemplo 3 (ver. Tabla 3), y para el ejemplo 4 (ver. Tabla 4).

4. Resultados

La Tabla 1 muestra lo siguiente (Ejemplo 1):

Caso 1: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a y b aumentan, la posición del centro de gravedad x_i e _ys son los mismos y x_d e y_i aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 2: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a y b aumentan, la posición del centro de gravedad x_i e y_s son los mismos y x_d e y_i aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 3: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT aumentan, la dimensión a y b aumentan, la posición del centro de gravedad x_i, x_d, y_s e y_i aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 250 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 250 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 171.15 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 210 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 210 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 137.60 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 170 kN/m² se alcanzan en σ₁ = 170 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₂₀ = 90.98 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 130 kN/m² se alcanzan en σ₁ = 130 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₂₀ = 31.83 kN/m², las áreas mínimas aumentan.

La Tabla 2 muestra lo siguiente (Ejemplo 2):

Caso 1: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a es constante e igual a 8.40 m y b aumentan, la posición del centro de gravedad x_i, x_d e y_s son los mismos e y_i aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 2: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a es constante e igual a 8.40 m y b aumentan, la posición del centro de gravedad x_i, x_d e y_s son los mismos e y_i aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 3: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia Ix e Iy aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT aumentan, la dimensión a es constante e igual a 8.40 m y b aumentan, la posición del centro de gravedad x_i, y_s e y_i aumentan y x_d disminuye, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 250 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 250 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 109.30 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 210 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 210 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 80.30 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 170 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 170 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 52.82 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 130 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 130 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 27.62 kN/m², las áreas mínimas aumentan.

La Tabla 3 muestra lo siguiente (Ejemplo 3):

Caso 1: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a aumentan y b es constante e igual a 7.40 m, la posición del centro de gravedad x_i, y_s e y_i son los mismos y x_d aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 2: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a aumentan y b es constante e igual a 7.40 m, la posición del centro de gravedad x_i, y_s e y_i son los mismos y x_d aumentan, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 3: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia Ix e Iy aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT aumentan, las dimensiones a aumentan y b es constante e igual a 7.40 m, la posición del centro de gravedad x_i, x_d e y_s aumentan e y_i disminuye, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 250 kN/m² se alcanzan en σ₁₄ = 250 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁ = 212.95 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 210 kN/m² se alcanzan en σ₁₄ = 210 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁ = 195.65 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 170 kN/m² se alcanzan en σ₁ = 170 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₂₀ = 150.52 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 130 kN/m² se alcanzan en σ₁ = 130 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₂₀ = 75.46 kN/m², las áreas mínimas aumentan.

La Tabla 4 muestra lo siguiente (Ejemplo 4):

Caso 1: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia Ix e Iy aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a es constante e igual a 8.40 m y b es constante e igual a 7.40 m, la posición del centro de gravedad x_i, x_d, y_s e y_i son los mismos, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 2: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT son constantes e iguales a cero, las dimensiones a es constante e igual a 8.40 m y b es constante e igual a 7.40 m, la posición del centro de gravedad x_i, x_d, y_s e y_i son los mismos, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, los esfuerzos en cada vértice de la zapata alcanzan el máximo permitido y es igual a σ_ad, las áreas mínimas aumentan.

Caso 3: Cuando σ_ad disminuye, los momentos de inercia I_x e I_y aumentan, los momentos resultantes M_xT y M_yT aumentan, las dimensiones a es constante e igual a 8.40 m y b es constante e igual a 7.40 m, la posición del centro de gravedad xi, e ys aumentan y xd e yi disminuye, los lados de las zapatas z_1a, z_1b, z_2a, z_2b, z_3a y z_3b aumentan, el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 250 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 250 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 168.83 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 210 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 210 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 135.00 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 170 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 170 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 100.07 kN/m², el esfuerzo máximo permitido para σ_ad = 130 kN/m² se alcanzan en σ₄ = 130 kN/m² y el esfuerzo mínimo σ₁₉ = 66.19 kN/m², las áreas mínimas aumentan.

La Figura 4 muestra el área de la zapata 1 para cada ejemplo y en cada caso para cada capacidad de carga admisible disponible del suelo. El área menor se presenta en el ejemplo 4, caso 1 y σ_ad = 250 kN/m². El área mayor se presenta en el ejemplo 1, caso 3 y σ_ad = 130 kN/m².

La Figura 5 muestra el área de la zapata 2 para cada ejemplo y en cada caso para cada capacidad de carga admisible disponible del suelo. El área menor se presenta en el ejemplo 3, caso 2 y σ_ad = 250 kN/m². El área mayor se presenta en el ejemplo 1, caso 3 y σ_ad = 130 kN/m².

La Figura 6 muestra el área de la zapata 3 para cada ejemplo y en cada caso para cada capacidad de carga admisible disponible del suelo. El área menor se presenta en el ejemplo 2, caso 2 y σ_ad = 250 kN/m². El área mayor se presenta en el ejemplo 1, caso 3 y σ_ad = 130 kN/m².

La Figura 7 muestra el área total mínima de toda la cimentación para cada ejemplo y en cada caso para cada capacidad de carga admisible disponible del suelo. El área menor se presenta en los ejemplos 1, 2, 3 y 4, casos 1 y 2 y σ_ad = 250 kN/m². El área mayor se presenta en el ejemplo 1, caso 3 y σ_ad = 130 kN/m². También se observa claramente que en los cuatro ejemplos para los casos 1 y 2, para cada capacidad de carga admisible disponible del suelo son los mismos.

5. Conclusiones

La cimentación de una construcción o edificación es la parte principal para transmitir las cargas de columna o muros al terreno debajo de la estructura. El nuevo modelo presentado en este artículo produce resultados que tienen una precisión sin precedentes para todos los problemas de ingeniería de cimentaciones. La parte principal de esta investigación es obtener la superficie mínima para las zapatas combinadas de correa en esquina apoyados sobre el terreno utilizando las técnicas de optimización.

Este estudio asume que el suelo de soporte es elástico y las zapatas son perfectamente rígidas, que cumplen con las ecuaciones de la flexión biaxial, es decir, la presión del suelo sobre la zapata varia linealmente.

El modelo propuesto presentado en este trabajo para encontrar la superficie mínima en planta para las zapatas combinadas de correa en esquina bajo una carga concéntrica y dos momentos ortogonales en cada columna, también se puede usar para los otros casos: 1) Zapatas bajo una carga concéntrica en cada columna, es decir, todos los momentos son cero; 2) Zapatas bajo una carga concéntrica y un momento en una dirección en cada columna, es decir, los momentos alrededor del eje X o Y son cero.

Las principales conclusiones son:

Por lo tanto, el modelo propuesto en este trabajo de investigación para obtener la superficie mínima de las zapatas combinadas de correa en esquina se puede aplicar a zapatas combinadas de esquina, simplemente considerando los anchos en dirección X de las zapatas 1 y 3 iguales, y los anchos en dirección Y de las zapatas 1 y 2 iguales.

Las sugerencias para los siguientes trabajos de investigación pueden ser: