1. Introduccion

Definción de la función tangente. Dado un punto de origen O(x0,y0) y un punto final Pf(xf,yf):

En principio, esta función debiera operar en los cuatro cuadrantes, a saber, I: (+x,+y), II: (−x,+y), III: (−x,−y) y IV: (+x,−y). Sin embargo, las implementaciones básicas de la función (1) únicamente consideran los cuadrantes I y III.

Así mismo, para las implementaciones básicas de la función inversa de (1), atan(θ), sólo se considera el intervalo (−π2,π2). Es por ello que también se requiere de la función atan2(θ), que sí considera el intervalo completo (−π,π], es decir los cuatro cuadrantes [¹, ¹⁸, ²⁶].

El problema de que la implementación computacional básica de la función tangente no considere los cuatro cuadrantes se ha superado mediante de bibliotecas específicas, que se ofrecieron desde las primeras versiones de Fortran [¹] hasta los más variados lenguajes como Matlab [¹⁶], C++ [⁶] y PHP [²¹].

Y, de hecho, no sólo las plataformas como Mozilla [¹⁹] y Microsoft [¹⁷] han ofrecido bibliotecas con la función atan2(), sino también en los nuevos dispositivos con entornos Android [³] o iOS [¹³].

Aunque las bibliotecas desarrolladas para arquitecturas de propósito general cuentan con recursos computacionales suficientes, no ocurre lo mismo con otro tipo de dispositivos que carecen de las instrucciones necesarias para realizar operaciones aritméticas complejas en un solo paso.

Un caso particular de interés son los sistemas embebidos [²⁴], que realizan tareas específicas y donde los recursos computacionales son limitados, en comparación con una computadora de propósito general.

En los sistemas embebidos, toda implementación requiere de un análisis de desempeño, antes de ser aplicada en Hardware, y tiene por objeto optimizar el uso de los recursos para igualar o, incluso, superar el desempeño de una computadora de propósito general.

2. Trabajos relacionados

3. Métodos numéricos para calcular atan2()

Algunas formas de representación de la función atan2() son:

donde: sin⁡ θ=ax y cos⁡ θ=−sin⁡(θ2)ay+cos⁡(θ2)az.

En particular, en este último caso, se puede aplicar una simple técnica de búsqueda mediante tablas (LUT, por las siglas en inglés de Lookup Table).

Una forma de comprobar la exactitud de la función atan() es evaluar sin⁡(4atan(1)), que debería corresponder con el cálculo de sin⁡(π).

En principio, el resultado debe ser sin⁡(π)=0 pero, por ejemplo, cuando se realiza esta prueba empleando MATLAB R2021b, se obtiene el siguiente resultado sin⁡(π)=1,2246×10−16.

Entonces, no está de más evaluar alternativas de cálculo, para la implementación de la función atan() en cualquier arquitectura, como en las siguientes:

donde el término de la suma para j=0 es el producto vacío, al que se le asigna el valor de 1. Para el caso de la función sin⁡(x), también podemos emplear la siguiente serie:

Entonces, a partir de las series (7) y (8), podemos calcular una aproximación para sin⁡(4∗atan(1)) y comprobar la exactitud y la precisión de nuestra implementación mediante series.

En particular, para evaluar el desempeño de las series (5), (6) y (7), cada una se probó en el intervalo (0.8,1], con n=1 y n=20, y se comprobó que todas las técnicas convergen cuando x≪1.

También, se observó que la serie (7) converge al valor de mayor precisión, con respecto a las otras dos series, cuando x=1, tal como se muestra en la Fig. 1.

Fig. 1 Resultado de las series para la implementación de atan(), comparadas contra la técnica LTU, para a) una iteración y b) 20 iteraciones 

Los resultados anteriores fueron los que motivaron que se optara por la serie (7), como una candidata prometedora, para la implementación de atan2(​) por medio de las siguientes definiciones:

Sea:

θ=atan2(y,x), (9)

con:

Cada una de las pruebas, con la serie en turno para la implementación de (9), se realizó considerando los intervalos −π≤x≤π, −π≤y≤π con incrementos de 0,1.

En la Fig. 2, se muestra el resultado para una sola iteración; en la Fig. 3, se presenta el error, con respecto a la función de la biblioteca de referencia, después de 100 iteraciones y, por último, en la Fig. 4, el error después de 1000 interaciones.

Fig. 2 Resultado de las series para la implementación de atan2(​), con una sola iteración 

Fig. 3 Error con 100 iteraciones (Orden de magnitud: e=1×10−3) 

Fig. 4 Error con 1000 iteraciones (Orden de magnitud: e=1×10−9) 

Para una iteración de 100 el error se encuentra en un orden de magnitud de 1×10−3 y para 1000 iteraciones en un orden de magnitud de 1×10−9, mientras que el error máximo se encuentra en un orden de magnitud de 1×10−15.

4. Arquitectura de los procesadores ARM®

Las familias de los procesadores ARM® se sustentan en una arquitectura con características RISC, es decir, se trata de procesadores con un conjunto de instrucciones reducidas, modo de direccionamiento simple y todas las direcciones destino y fuente determinadas por el registro correspondiente en conjunto con los campos de la instrucción. Las familias más relevantes son las siguientes [⁴]:

5. Dispositivos de procesamiento SITARA y TM4 de Texas Instruments®)

La compañia Texas Instruments, (TI)®, ofrece dispositivos de procesamiento, bajo la denominación de SoC (Sistem on Chip), que incluyen procesadores ARM embebidos.

Por ejemplo, la serie SITARA incluye procesadores ARM A9, mientras que los SoC de la serie TM4 incluyen procesadores ARM CORTEX-M4, [²²].

La principal ventaja de la unidad de punto flotante vectorizada de un SoC SITARA, soportado por el correspondiente procesador ARM, es que permite realizar operaciones de una sola instrucción para procesar múltiples datos, es decir, incluye instrucciones tipo SIMD, por sus siglas en inglés [¹², ²⁰].

La unidad de punto flotante vectorizada, utiliza el estándar IEE754 para la representación con 32 bits, para precisión simple, o con 64 bits, para el caso de precisió doble.

En la representación con 32 bits, el bit 31 es el signo; del bit 30 al 23, el exponente en base 2 y, del bit 22 al 0, la mantisa. En la representación con 64 bits, el bit 63 es el signo; del bit 62 al 52, el exponente y, del bit 51 al 0, la mantisa.

En la Tabla 1, se muestra el consumo de ciclos por operación, obtenidos en forma experimental, al emplear únicamente tipos de punto flotante, así como al realizar la conversión de enteros a punto flotante.

Se observa que se consumen ciclos adicionales cuando se realiza la conversión de entero a flotante. Por lo tanto, aquí se optó por las operaciones que no mezclan pounto flotante con enteros.

Para utilizar operaciones del tipo SIMD, se debe satisfacer que las variables sean indepedientes entre sí, como en el siguiente ejemplo, para el caso de un ciclo for:

float a[1],b[1];for (i=0;i<100;i++){     a[i]=a[i+1]=a[i+2]=a[i+3]=0.5;     b[i]=a[i]+a[i];}

El consumo de ciclos totales para ejecutar la tarea anterior en la forma convencional, con instrucciones para procesar datos aislados, o del tipo SISD, por sus siglas en inglés, se contabilizó en 4608 ciclos; mientras que utilizando la forma vectorizada SIMD se redujo a únicamente 681 ciclos, una diferencia muy significativa. En la Fig. 5, se muestra como es que las operaciones en los elementos del vector a, b y c se realizan en forma simultánea cuando se utilizan las instrucciones de SIMD con el siguiente formato:

float a[1],b[1];#pragma vectorizefor(...

Fig. 5 Unidad NEON Cortex A9 (Cortesía IAR Embedded Workbench) 

En el caso de los SoC TM4, también se cuenta con una unidad de punto flotante vectorizada, sin embargo, sólo se dispone de una precisión 16 bits.

6. Implementación de atan2() para arquitecturas ARM®

Para la implementación de la función atan2(), expresada en (10), empleando la arquitectura ARM®, fue necesario realizar algunos ajustes en la codificación para aprovechar las ventajas de las instrucciones del tipo SIMD.

Para el caso de la expresión (8), es innecesario calcular −1i, basta con considerar que el resultado es la unidad con un sino que depende de la naturaleza par o impar del exponente.

En el siguiente código se muestra la sección que detremina el valor de −1i mediante una operación de módulo 2:

if (x<1 &amp;&amp; x>-1){     for (i=0;i<=n;i++)     {          if (i%2==0)          {f=1;}          else          {f=-1;}          y=y+(f*pow(x,(2*i)+1))/((2*i)+1);     }     yt[j][k]=y;}

La biblioteca math.h también incluye la función atan2(), sin embargo su exactitud difiere significativamente, con respecto a la propuesta soportada en series.

En la Fig. 6, donde se frafican los resultados obtenidos para x en el intevalo [−3,141607, −3,141577] con pasos de 1×10−6, se puede apreciar la diferencia de exactitud entre las diferentes implementaciones.

Fig. 6 Comparación de la exactitud obtenida con la implementación de atan2() mediante series, con respecto a la biblioteca math.h 

En el extremo derecho de la Fig. 6, también se puede apreciar un par de resultados, obtenidos con la biblioteca math.h, donde se obtiene el mismo resultado para dos valores diferentes de x, tal como se muestra con más detalle en la Tabla 2, lo que indica que, en ese intervalo, la función de la biblioteca math.h no es sensible a cambios en x con el orden de magnitud de 1×10−6.

De acuerdo a las cinco condiciones contempladas en la definición de (10), tres requieren utilizar series, a saber:

donde cada una será controlada por una interrupción externa en forma de hilo. En estos casos, una vez activada la interrrupción, se procede a ejecutar las operaciones en forma vectorial para las expresiones (5, 6, 7).

Aunque la exactitud de la implementación de la función atan2 soportada por series puede ser más exacta, también es patente que el consumo de tiempo es directamente proporcional al número de iteraciones realizadas y determinadas por la variable n.

Por el contrario, el tiempo consumido por la función atan2 de la biblioteca math.h es prácticamente constante y se mantiene alrededor de 0,000105125 s. A fin de acotar el tiempo de ejecución, es necesario conocer el tiempo de ejecución máximo permitido, para obtener el resultado con una cierta precisión, a fin de determinar un valor adecuado para n. En la Fig. 7, se muestran los tiempos de ejecución para diferentes valores de n.

Fig. 7 Tiempo de ejecución para diferentes valores de n 

El tiempo de ejecución, en función de n, satisface el siguiente modelo lineal:

donde el tiempo de ejecución, t_(atan2), se expresa en segundos y n es el número de iteraciones. Despejando n de (14), tenemos:

7. Conclusiones

El método propuesto en este trabajo para la función atan2() se soporta por las series de Maclaurin y Euler, obteniendo resultados similares a las funciones incluidas en las bibliotecas estándares en diversos lenguajes de programación.

No obstante lo anterior, la ventaja del método propuesto se hace evidente cuando se dispone de recursos de procesamiento limitados.

Este último caso es precisamente el de los sistemas embebidos, donde la importancia de consumir menos ciclos de reloj, incrementar la resolución y administrar la memoria limitada es de suma importancia.

En este contexto, la propuesta para la función atan2() de este trabajo, satisface el requerimiento de operar de manera eficiente, al reducir alrededor de un 25 % el número de operaciones secuenciales y obteniendo resultados más exactos.

Aunque el tiempo de ejecución de la función atan2() soportada por series es directamente proporcional al número de itearciones realizadas, se pueden alcanzar tiempos de ejecución menores a los de la función de la biblioteca math.h, siempre que se pueda sacrificar cierta exactitud en los cálculos. En este sentido, la propuesta de este trabajo tiene la ventaja de incluir el número de iteraciones de ejecución como un parámetro de operación, que puede ajustarse, según las necesidades del caso, permitiendo obtener resultados razonablemente exactos en un tiempo de ejecución acotado.