Dificultades en la enseñanza y aprendizaje de la adición

El docente en servicio requiere de un cúmulo de saberes acerca de cómo los niños de educación primaria construyen su conocimiento sobre el algoritmo de la adición (^{Ball, Thames y Phelps, 2008}; ^{SEP, 2017}), por lo que es importante que desde la formación inicial los profesores adquieran una significativa comprensión de los elementos de la aritmética, por ejemplo, número, orden, valor posicional y sistema decimal (^{Montes, Contreras, Liñán, Muñoz-Catalán et al., 2015}), así como de las posibles dificultades que los estudiantes presentan en el aprendizaje de la suma.

Por tanto, el futuro docente, además de poseer un conocimiento matemático sobre la suma, tiene que habilitarse en los procesos de los estudiantes y el currículum, así como en una didáctica que favorezca el aprendizaje. Lo anterior implica considerar las dificultades que los niños llegan a presentar en la resolución de problemas de tipo aditivo, como el no tener una comprensión del algoritmo o el utilizar de forma inadecuada sus reglas (^{García, 2012}). Estas dificultades surgen principalmente: a) en la resolución de problemas aditivos que implican comparación; b) al usar el algoritmo de la suma con cantidades de tres o más cifras, con números decimales o con más de tres cantidades; c) en sumas en las que el primer sumando es mayor que el segundo o cuando ambos son impares. Además, tales dificultades empeoran en problemas aditivos que se enmarcan en una situación desconocida por el niño (^{García, 2012}).

A partir de la problemática mencionada, el presente estudio tiene como objetivo caracterizar el conocimiento pedagógico que emplean los formadores de profesores cuando enseñan el algoritmo de la suma a futuros docentes para educación primaria. La finalidad es dar cuenta de dicho conocimiento, y comprenderlo a mayor profundidad a través de la observación de la práctica del formador en el aula (^{Beswick y Goos, 2018}).

Conocimiento pedagógico para la enseñanza de las matemáticas

El conocimiento del profesor es un tema que ha despertado el interés por la comunidad de investigadores en educación. Sus orígenes datan de los trabajos de ^{Shulman (1987)}, quien ante la dificultad de observar y evaluar las prácticas docentes en diversas disciplinas discute el conocimiento base, como el conjunto de habilidades didácticas y conocimientos acerca del contenido que requiere cualquier docente para realizar las tareas de enseñanza.³

Para ^{Ball, Hill y Bass (2005)}, cualquier profesional formado en el campo de las matemáticas debe tener la capacidad de enseñar algoritmos; sin embargo, para desarrollar esta tarea requiere la habilidad de resolver e identificar respuestas equivocadas en los estudiantes, analizar la fuente del error y explicar el uso de las representaciones. Por tanto, de acuerdo con estos autores, el docente que enseña matemáticas debe poseer un cúmulo de conocimientos para escudriñar profesionalmente, interpretar, corregir y extender ese conocimiento en los estudiantes.

A partir de la propuesta de ^{Shulman (1987)}, en el contexto de las matemáticas se ha desarrollado el modelo Mathematical Knowledge for Teaching o MKT (^{Ball, Thames y Phelps, 2008}), el cual está diseñado para analizar el conocimiento del profesor y supone que las tareas de enseñanza demandan el dominio tanto del conocimiento matemático -o del contenido- como del conocimiento pedagógico del contenido, que funcionan a modo de “amalgama”. Ambos dominios pretenden ser una guía para reconocer la interacción de distintos conocimientos y caracterizar la práctica del profesor que enseña matemáticas (^{González y Eudave, 2018}; ^{Sosa, 2012}). Además, la relación entre ambos constituye una composición que “implica una idea o procedimiento matemático particular y la familiaridad con los principios pedagógicos para enseñar ese contenido” (^{Ball, Thames y Phelps, 2008:402}) y es un insumo para analizar múltiples aspectos inmersos en la práctica de quien enseña matemáticas.

El dominio del conocimiento del contenido se refiere a la comprensión del objeto matemático a enseñar, mientras que el conocimiento pedagógico del contenido constituye un conocimiento particular y característico de quienes se dedican a la enseñanza de las matemáticas. Este último se compone de tres subdominios: a) conocimiento del contenido y de los estudiantes, que implica la habilidad del profesor para reconocer cómo los alumnos se acercan a los objetos matemáticos, por lo que identifica conocimientos previos, procesos de pensamiento de los estudiantes, posibles errores y dificultades; b) conocimiento del contenido y de la enseñanza, se refiere a los aspectos de instrucción como la secuencia didáctica, conceptos que se emplearán y ejemplos para mostrar determinado contenido matemático; c) conocimiento del currículo, está relacionado con los objetivos, contenidos, fines, orientaciones y los recursos disponibles para la enseñanza y que permiten al profesor guiar su práctica, así como seleccionar las tareas adecuadas para el aprendizaje de sus estudiantes (^{Ball, Thames y Phelps, 2008}).

En relación con el formador de profesores, se sabe que requiere un conocimiento particular que, en comparación con el de los maestros de educación primaria, se caracterice por una mayor compresión de las matemáticas y que asocie el conocimiento de y sobre las matemáticas a fin de poder representarlas a sus estudiantes y mostrarles la didáctica (^{D’Amore y Fandiño, 2017}). De acuerdo con ^{Zopf (2010)}, el conocimiento pedagógico de los formadores se puede analizar mediante el MKT, considerando que este actor educativo requiere de una didáctica específica que, por un lado, esté fuertemente relacionada con “estructuras matemáticas tales como definiciones, propiedades, teoremas y lemas, y cómo se usan para hacer matemáticas; conocimiento sobre descripciones, explicaciones, justificaciones y pruebas, y cómo se usan para el trabajo matemático” (^{Zopf, 2010:200}) y que, por otro, se vincule con el conocimiento necesario para enseñar al futuro docente y, a su vez, a los estudiantes de educación primaria.

Enseñanza de la suma

La suma, o adición, es un contenido matemático que se enseña en educación primaria (^{SEP, 2017}) y hace referencia a reunir, añadir, aumentar, juntar, incrementar o a una operación aritmética definida sobre el conjunto de los números reales (^{Godino, Font y Wilhelmi, 2006}). De acuerdo con ^{Bermejo (2004)}, hay dos acepciones de la adición: unitaria, en la que se parte de un conjunto de base que es modificado añadiendo o quitando otro conjunto (este último en el caso de la sustracción), obteniendo como resultado un tercero, y la binaria, que parte de la existencia de dos conjuntos disjuntos determinados, los cuales se unen para obtener un tercero. La adición, en general, se representa como a+b=c, tal que a,b,c∈ℝ.

En la adquisición del algoritmo de la suma de números enteros intervienen cuatro planos: a) de los objetos, que consiste en agrupar objetos de un mismo tipo para formar una colección; b) de los conjuntos, representado por la agrupación de una o más colecciones de objetos; c) de los cardinales, representando la medida de las colecciones de objetos; y d) de las representaciones escritas de esos números (^{Vergnaud, 2013}). Los planos son transitados durante el aprendizaje de la adición de modo subsecuente, de tal forma que la comprensión del plano de los objetos permite la adquisición de los demás y es en el cuarto plano donde se lleva a cabo la compresión del algoritmo de la adición, ya que ahí se sitúa la regla que permite encontrar el resultado de sumar dos números escritos en orden posicional y de base diez.

En la transición de los cuatro planos, ^{Vergnaud (2013)} señala la puesta en juego de la función de agrupación, medida y escritura. La primera consiste en asociar el conjunto de objetos al conjunto de los conjuntos, la segunda relaciona el conjunto de los conjuntos con el de los cardinales, y la tercera función incorpora el conjunto de los cardinales al de los números escritos. Por ello, la transición de estas funciones implica la resolución inicialmente mediante el conteo de objetos, pasando de la observación y manipulación de tales objetos a la construcción de sumas que implica la relación entre números escritos (^{Bermejo, 2004}).

Conocimiento de dos estudiantes

Respecto del conocimiento del contenido y el estudiante, los tres formadores mostraron como característica particular el hacer referencia a dos tipos de estudiante: el niño de primaria y el estudiante para profesor. En relación con el primero, los formadores sugieren a los futuros docentes considerar los conocimientos previos del niño como punto de partida en la enseñanza de la adición, tales como conteo, sistema de numeración decimal, composición y descomposición de colecciones. Esto es concordante con los programas de educación primaria y de normales, en ambos se espera que dichos conocimientos sean adquiridos antes del tratamiento de la suma (^{SEP, 2017}).

De acuerdo con lo que menciona Manuel, el conteo, la descomposición y composición (agregar, separar y juntar) son un antecedente para que el niño de educación primaria resuelva situaciones aditivas con el algoritmo convencional. En relación con esto, implícitamente Manuel asume en su clase las ideas de ^{Bermejo (2004)} sobre el proceso de enseñanza de la adición, por ejemplo, les dice a sus estudiantes para docentes que: “Antes de plantear situaciones convencionales [de suma], primero hay que poner al niño a que haga conteo de situaciones en las que hay que agregar o quitar, de ahí se trabaja la composición y la descomposición [de una cantidad]”.

En la explicación precedente, Manuel relaciona el conteo con la suma al considerar que al agregar o quitar objetos en problemas contextualizados se está trabajando la composición y la descomposición de una cantidad. En cambio, para Luis la composición y descomposición de colecciones es una “noción previa al algoritmo de la suma” y constituyen la base para que el niño aprenda el algoritmo convencional de forma “permanente”, lo cual se refleja cuando el formador dice que “[el niño en un inicio] compone y descompone [agrupaciones de] objetos homogéneos […] para identificar las cantidades que pueden conformar una agrupación”. Al parecer, Luis considera que es necesario el componer y descomponer colecciones como un ensayo de la acción de “agregar” que se realiza para llevar a cabo la suma. Estas nociones a las que hace referencia el formador coinciden con dos de los planos mencionados por ^{Vergnaud (2013)}, el de los objetos de un mismo tipo que se agrupan para formar una colección, y el plano de los cardinales como la medida de las agrupaciones de objetos. En relación con esto, Luis menciona lo siguiente: “Entonces recobramos conocimientos previos, lo contextualizamos, le pedimos al chico [niño] que lo verbalice y por último le estamos diciendo al chico que a partir de esas historias signifique, y puede ser permanente, debería ser permanente”.

Para Luis, la verbalización y la contextualización de los conocimientos previos desempeñan un papel relevante en el aprendizaje de la adición; con la primera pretende que el alumno haga explícitos sus conocimientos, mientras que la contextualización refiere a que encuentre un sentido práctico a la suma. Así, aunque no se llega a demostrar en clases, Luis está sugiriendo a los futuros docentes que iniciar con los conocimientos previos, verbalizar y contextualizar puede conducir a los niños de educación primaria a un aprendizaje “permanente” relacionado con lo “significativo”.

Además de tener en cuenta los conocimientos previos como punto de partida para aprender la suma, Luis coincide con Manuel al enfatizar que es relevante enseñar al niño la adición en un contexto para que le dé significado, de modo que no se le enseñe como una representación numérica en la que solo se suman cantidades sin una unidad de medida: “Yo no puedo partir de decirle al chico [niño] ayúdame a resolver cuánto es ocho menos diecisiete o más siete. Vamos a tener que partir de lo contextual, de lo práctico a lo simbólico, al lenguaje no verbal. Que él empiece a entender la relación”.

En su discurso, Luis hace referencia al proceso que sugieren los programas de educación primaria, al inicio a través de situaciones o problemas matemáticos y después al estudio del objeto matemático por sí solo (^{SEP, 2017}), así como la relevancia de plantear sumas de objetos que vengan de la vida cotidiana del niño (^{Vergnaud, 2013}). A partir de esta consideración, Luis da dos significados a lo “contextual”: a) como un aspecto que le permite al alumno darle sentido a la suma en situaciones de la vida cotidiana, y b) como los objetos manipulables percibidos en el entorno del niño y que denomina -como dice el formador: “lo práctico”-, y son el punto de partida para pasar a lo simbólico -expresado como el “lenguaje no verbal”.

Otra característica del conocimiento que tienen Luis y Manuel sobre el estudiante de primaria es el reconocer los posibles errores que llegan a cometer los niños al aprender la suma. Manuel afirma que el estudiante comente errores cuando tiene el primer acercamiento al contenido de la suma y la resta, los cuales están relacionados con el valor posicional, la selección de los datos necesarios para la resolución de problemas y el distinguir cuándo se trata de una operación de suma y cuándo de resta. De acuerdo con ^{García (2012)}, estos errores son comunes entre los alumnos de primaria, de modo que los profesores deben considerarlos al enseñar la adición. Para mostrar cómo los niños de primaria confunden la suma con la resta, Manuel plantea resolver 315-139 y utilizar fichas de tres colores diferentes, cada uno representa un valor diferente: las amarillas [gris más claro] refieren las centenas, las rojas [gris más oscuro y en la porción media de la figura] indican las decenas y las azules [gris medio] están relacionadas con las unidades (Figura 1).

Fuente: tomado de las observaciones de las clases analizadas.

Figura 1 Secuencia en la que el formador, con apoyo de una tabla, muestra cómo los niños al resolver la resta 315-139 la confunden con una suma 

MANUEL: Vamos a empezar como lo harían quizá los niños. 315 [coloca en el tablero las fichas que representan esa cantidad (tres amarillas, una roja y cinco azules), Figura 1A], como el niño ya sabe que las amarillas valen cien, las rojas diez y las azules uno, aquí no hay un orden siempre y cuando representen la cantidad. Y le vamos a agregar 139 [coloca en el tablero las fichas que representan esa cantidad (una amarilla, tres rojas y nueve azules), Figura 1B]. Pero nos damos cuenta que aquí ya se pasó de 10 [se refiere al total de las fichas azules], son 14 y acuérdense que no se vale, cuando juntemos 10 tenemos que transformar. Por lo tanto vamos a agarrar 10 [quita 10 fichas azules y coloca una roja, Figura 1C]… Tenía que restar, ¿por qué no me dicen?

ESTUDIANTE: El niño hace el procedimiento como cree necesario, pero uno como docente tiene que corregir…

MANUEL: Cuando el niño comete un error, porque el niño se suele confundir, deben decirle al niño: “¡ah!, está bien tu procedimiento, pero debiste restar”. Ustedes debieron hacerlo notar, la idea se rescata cuando se cometen ciertas confusiones.

El formador utiliza la demostración de la confusión entre la suma y resta para enfatizar la acción del profesor ante los errores del niño. De acuerdo con lo que comenta Manuel, se espera que el docente se concentre en valorar cómo el niño comprende los procesos (“está bien tu procedimiento”) de modo que se cuide el aspecto motivacional en el aprendizaje, así como reconocer la funcionalidad de este procedimiento pero en el algoritmo de la suma. Aunque Manuel apunta y muestra en su simulación el error (sumar en lugar de restar), omite discutir con los futuros docentes por qué los niños se llegan a confundir y cómo evitar el error u orientarles para que reconozcan o reflexionen sobre el origen de este. Para ^{Rigo, Páez y Gómez (2010)} es necesario que el profesor favorezca la reflexión en los niños con la finalidad de que generen estrategias metacognitivas y que los lleve a evitar posibles errores.

En lo que se refiere al estudiante para profesor, los tres formadores emplean actividades donde la adición debe ser utilizada como una habilidad que proviene de un contenido anticipadamente conocido y dominado. Las actividades desarrolladas en clases son similares a las sugeridas en los programas de educación primaria (^{SEP, 2017}), añadiendo el cálculo mental como herramienta para adecuar las tareas al pensamiento de los estudiantes para profesor, y bajo la pretensión de representar un reto para ellos. De acuerdo con lo observado, no hay un intento por llevar a los estudiantes a comprender el concepto y algoritmo de la suma, se da por hecho que ya tienen el conocimiento disciplinar, es decir, los formadores no los llevan a reforzar o rehacer lo que saben de matemáticas (^{Llinares, 2013}).

Luis pone en evidencia su idea de que el tópico de la adición es ya conocido y dominado por sus estudiantes, debido a que previamente revisó con ellos el tema de “sistema de numeración decimal” (^{DGESPE, 2018}), en el que definió algunos términos como conjunto, cardinal y colección. Luego de abordar este tema, y sin una explicación acerca de cómo resolver una suma, Luis solicitó lo siguiente: “pase, Marisol, para que nos diga cómo aprendió [el algoritmo de la suma] en la escuela primaria, acuérdese que usted va a utilizar el método de llevando⁶ que ha usado toda la vida”. La instrucción precedente no establece un vínculo explícito entre los términos definidos previamente y el algoritmo de la adición, por lo que el formador da por hecho que la adición es un tema que sus alumnos dominan y han usado “toda la vida”.

Aunque en las clases de estos formadores se hace referencia a dos estudiantes, el alumno de primaria es continuamente mencionado a través de sugerencias sobre cómo aprenden los niños, mientras que el estudiante normalista es poco referido, incluso pareciera que su papel en la escuela normal es reflexionar acerca de cómo los niños aprenden la suma. En este sentido, las tareas desarrolladas en las sesiones observadas estuvieron pensadas en simular lo que sucede en el aula de educación básica, más que en explorar la didáctica y construcción del algoritmo de la adición. En palabras de ^{D’Amore y Fandiño (2017)}, se dificulta el aprendizaje de la matemática y su didáctica al no considerar los procesos de pensamiento de los estudiantes para profesor.

Orientaciones a los futuros docentes sobre cómo enseñar la adición

A lo largo de las clases observadas, los tres formadores hicieron múltiples comentarios relacionados con su conocimiento del contenido y la enseñanza. Estos señalamientos consistieron principalmente en sugerir actividades que pueden desarrollarse en el aula de educación primaria.

Las subcategorías didáctica del profesor de primaria y uso de ejemplos se pusieron en evidencia cuando los formadores propusieron a los futuros docentes actividades de distinta índole para enseñar la adición. Manuel retoma las actividades del texto Lo que cuentan las cuentas de sumar y restar (^{Fuenlabrada, Block, Martínez y Carvajal, 1995}), por lo que sugiere y ejemplifica el uso, principalmente, de actividades lúdicas, entre las que menciona “el cajero, serpientes y escaleras, dominó, basta numérico, el tablero, el restaurante…”, además dedica una sesión de clase a mostrar cómo utilizar y explicar con los niños “El tablero”. Por su parte, Luis comenta con sus estudiantes ejercicios de la Guía para el aprendizaje y enseñanza de la aritmética (^{Cedillo, Isoda, Chalini, Cruz et al., 2013}) que pueden utilizar en la escuela primaria. En cambio, Juan diseñó sus propias actividades que denominó: “Los saludos” e “Índice de masa corporal” y dijo a sus estudiantes que con ellas pretendía practicar el algoritmo de la suma como lo harían los niños de primaria.

Manuel sugiere a los futuros profesores inicialmente mostrar el contenido de la adición con un conjunto de actividades lúdicas, ya que hacen que el aprendizaje sea “fácil y divertido, al niño le interesan más este tipo de actividades y hacemos algo distinto”. Además, reconoce que estas deben relacionarse con el contenido matemático, ya que en ellas se busca que los niños comprendan la suma en contextos conocidos a partir de los conocimientos previos como el conteo, composición y descomposición. Una actividad que Manuel demostró en su clase es la que denominó “El tablero”, con la cual dio cuenta de su conocimiento pedagógico relacionado con la subcategoría uso de ejemplos. Con ella, Manuel pretendía simular cómo el niño pasa de la agrupación de objetos manipulables y la reunión física de las colecciones de objetos al algoritmo de la suma. “El tablero” consiste en asignar el valor de unidades, decenas y centenas a fichas de colores que posteriormente se colocan en una tabla con tres columnas. Para ello, Manuel pide a sus estudiantes que resuelvan en la tabla 398+67, como se observa en la Figura 2.

Fuente: tomado de las observaciones de las clases analizadas.

Figura 2 Actividad para resolver 398+67 en la tabla y con fichas de colores 

Los estudiantes para profesor colocan fichas en las columnas de la tabla de acuerdo con su color para representar la cantidad inicial de 398 (Figura 2), de modo que descomponen el número en unidades, decenas y centenas. Posteriormente, añaden la representación del 67 (seis fichas de decenas y siete de unidades) y generan composiciones, por ejemplo, diez fichas azules [gris medio y en la porción final de la figura] (unidades) en una decena. Esta representación es sugerida a los futuros docentes para partir de los conocimientos previos de los niños empleando material manipulativo y conducirlos a una representación simbólica de la adición: “Vamos a pasar del tablero a lo gráfico, a lo convencional. Cómo el niño va a transitar y cómo le vamos a ayudar nosotros como maestros a transitar, que deje el tablero y empiece a usar ya su cuaderno, ya el lápiz, el pizarrón para hacer un procedimiento más gráfico del algoritmo convencional de la adición”.

Es notorio que Manuel denomina lo gráfico como la representación escrita del algoritmo de la adición (convencional), mientras que el tablero es la agrupación de fichas (algoritmo no convencional). Manuel asume que el niño pasa por un proceso para aprender la suma y coincide con lo que plantea ^{Vergnaud (2013)}, ya que considera que para aprender el algoritmo convencional de la adición, el niño debe transitar por el plano de los objetos, a través de la fase manipulativa como sucede con el tablero, el plano de los conjuntos y el de los cardinales.

Cabe mencionar que las ideas de Manuel son similares a lo que refiere Luis con respecto a los procesos de pensamiento del niño de primaria. Ambos formadores desarrollan actividades congruentes con las sugerencias que hicieron a los futuros docentes sobre los conocimientos previos que deben tener en cuenta de los alumnos al enseñar la adición; sin embargo, estas actividades solo intentan simular cómo los futuros profesores podrían enseñar la suma y dan cuenta de un conocimiento sobre la enseñanza que en los dos formadores es similar en la subcategoría de uso de ejemplos.

En una de estas actividades, Luis pide al grupo que asuman el rol de estudiantes de educación primaria con la finalidad de que experimenten cómo aprenderían la suma partiendo de conocimientos previos (situaciones en las que se componen y descomponen colecciones), para ello, a un estudiante (A) le asigna el rol de profesor y le dice:

LUIS: [Se dirige al estudiante A] Si usted fuera docente, ¿cómo pondría la actividad [solicita que propongan una situación aditiva] con el material que hay aquí [en el salón de clases]?

ESTUDIANTE A: Con bancas, les digo pasen cuatro niños y pregunto: ¿cuántos hay de cada lado? [Cuatro estudiantes con su silla se colocan frente al resto del grupo del lado izquierdo y el formador se coloca en una silla del lado derecho] […] Del lado izquierdo, ¿cuántos compañeros hay?

ESTUDIANTES: [Responden en coro] Cuatro.

ESTUDIANTE A: Del lado derecho, ¿cuántos estudiantes hay?

ESTUDIANTES: [Responden en coro] Uno.

ESTUDIANTE A: Que alguien me diga ¿cuántos son en total?, juntando a los cuatro y al alumno [refiriéndose al formador].

ESTUDIANTES: [Responden en coro] Cinco.

ESTUDIANTE A: Vamos a contarlos [señala a los compañeros] 1, 2, 3, 4 y 5 en total.

UIS: Usted puede aquí rescatar conocimientos previos sobre la resta, por ejemplo, si saco a cuatro, ¿Qué pasa? O dígales, “tú regresa a tu lugar”.

ESTUDIANTE A: Si en total eran cinco y ya se fueron dos, ¿cuántos hay?

Esta simulación da cuenta de un conocimiento sobre la enseñanza de la didáctica del profesor de primaria, en la que el formador ejemplifica el proceso que ha sugerido de partir de los conocimientos previos y la contextualización. Se muestra cómo el formador pretende instruir a los futuros docentes sobre el tipo de cuestionamientos que pueden conducir al niño a relacionar la suma con la resta, mostrando así este conocimiento relacionado con la subcategoría de preguntas.

En la actividad precedente se identifican dos significados de la adición: agregar y seguir contando (cfr. ^{Bermejo, 2004}). Durante la actividad, Luis se concentró en sugerir a los futuros docentes lo que deben hacer, sin llegar a discutir cómo se presenta el algoritmo de la adición o los significados que implícitamente están utilizando, tampoco se cuestiona el tipo de respuestas que los niños podrían dar al planteamiento.

Por su parte, Juan también hizo sugerencias a los futuros docentes sobre las actividades que podrían utilizar con los niños para “practicar” el algoritmo de la adición. Para ello, planteó a sus estudiantes dos tareas “como se da en la escuela primaria”: a) “Índice de masa corporal”, en la cual los futuros profesores calcularon dicho índice a partir del registro de su peso y estatura, obtuvieron la media aritmética de los resultados del grupo y comentaron las tendencias en los datos, y b) “Los saludos”, en donde se les pidió que calcularan y registraran en una tabla el número de saludos que podrían darse diferentes personas. Aunque estas actividades no tienen relación directa con el algoritmo de la adición, el formador las utiliza para que sus alumnos practiquen la suma y les hace sugerencias de que tendrían que considerar para enseñar la matemática.

Para Juan, como parte de sus sugerencias, cuando las tareas se dan a través de expresiones matemáticas, “los niños suelen tener dificultad con los problemas puramente matemáticos, porque ahí no tienen a veces una posibilidad de tener algo concreto, es más abstracto”. Aunque Juan no puntualiza la dificultad que refiere, por la comparación que hace entre el pensamiento concreto y abstracto, se puede inferir que lo relaciona con las representaciones escritas de la suma y da por hecho los planos que menciona ^{Vergnaud (2013)}, además enfatiza la relevancia de desarrollar actividades contextualizadas (como mencionaron Manuel y Luis). Cabe señalar que durante las sesiones observadas Juan presentó el tema de la suma a través de una situación en la que se debe agregar y contar, y no como una expresión matemática, por lo que implícitamente define la adición como una herramienta que permite resolver las situaciones que plantea el profesor.

Para Juan, las actividades con que se enseña la adición tienen que representar una situación problemática, y deben tener en cuenta el objetivo matemático e involucrar los conocimientos de los niños: “Cuando hacemos actividades en educación primaria, deben tener un fin y hacer trabajar los conocimientos que poseen los niños. En este caso estamos movilizando los algoritmos, para que los niños empiecen a resolver una situación problemática, ahorita vamos a ver qué es lo que nos está pidiendo”.

A razón de lo anterior, Juan planteó a los futuros profesores la actividad que denominó “Los saludos” a partir de la pregunta, “¿cuántos saludos pueden darse los muchachos del 1°C que asistieron hoy?”, de modo que tenían que calcular y registrar en una tabla el número de saludos. La actividad la resolvieron los estudiantes a través del conteo, aunque el formador comentó que servía para practicar el algoritmo de la suma. Algunos acudieron al dibujo para representar el número de saludos, señalaron el número de sujetos (muchachos) y los relacionaron con flechas, de modo que les permitió hacer un conteo de los saludos; otros estudiantes resolvieron la actividad “encontrando la clave (expresión algebraica); al último número le sumo el anterior”, haciendo referencia a la serie sucesiva n + n (n - 1), donde n es el número de sujetos, de modo que obtienen 75 saludos (Figura 3), n + (n - 1) = 38 + (38 - 1) = 75.

Fuente: tomado de las observaciones de las clases analizadas.

Figura 3 Representación de una de las respuestas de los estudiantes en la que muestran la resolución del problema (75 saludos) mediante seriación 

Dado que son 38 muchachos que se saludan entre sí, el resultado sería 703:

Juan no discute el resultado de los estudiantes, tal vez porque su idea es dejar que implementen sus propios procedimientos, concordante con una pregunta que hizo a sus alumnos al inicio de la sesión: “¿qué es más importante, el resultado o el procedimiento?” Aunque la actividad “Los saludos” implica una acción de agregar, el resultado no se obtiene solo con el algoritmo de la suma, por lo que se pueden practicar otros procedimientos de solución, incluso expresiones algebraicas que involucran conocimientos que se aprenden en niveles posteriores a la escuela primaria. Desde esta perspectiva, las actividades propuestas por Juan van más allá de privilegiar la enseñanza y práctica del algoritmo de la adición en la escuela primaria. Se infiere que el formador muestra un conocimiento de la enseñanza que, si bien, pretende plantear una situación de interés a las estudiantes normalistas, dificulta la enseñanza de la adición y su didáctica.

Las actividades que emplean los tres formadores, aunque son diversas, convergen en su intención de mostrar la didáctica de la adición mediante la simulación de tareas que los futuros docentes podrían implementar en la escuela primaria y las recomendaciones para desarrollarlas, de modo que muestran menor énfasis en discutir el significado y representaciones de la suma, que es relevante en la formación de profesores (^{DGSPE, 2018}; ^{Llinares, 2013}; ^{SEP, 2017}). Es notorio que Manuel, Luis y Juan se concentran en comentar con sus estudiantes sobre lo que pudiera suceder en la escuela primaria y cómo tendrían que responder al estar en el rol de profesor.

El papel del currículum

En las sesiones observadas, los tres formadores utilizaron pocos elementos de los explícitos en el programa de Aritmética. Números naturales (^{DGESPE, 2018}). Respecto de las intenciones del programa de desarrollar la didáctica y la matemática, estas se mostraron con distinto énfasis en la práctica de los formadores; mientras Manuel se enfocó en mostrar la didáctica, Luis destacó la práctica del algoritmo y Juan desarrolló un problema en el que se empleaba la adición y otros algoritmos.

Por otra parte, las fuentes de las que obtuvieron las actividades desarrolladas también fueron distintas. Manuel explicitó en su clase que estaba retomando la propuesta del texto de ^{Fuenlabrada et al. (1995)}, mientras que Luis comentó usar la Guía para el aprendizaje y enseñanza de la aritmética (^{Cedillo et al., 2013}), por su parte, Juan mencionó apoyarse en “una actividad que [había] visto que funciona con los niños de primaria” apuntando que era extraída de su experiencia como docente de primaria en servicio. Si bien los textos empleados por Manuel y Luis son sugeridos en el programa, se observó que los formadores los utilizan para determinar su secuencia de actividades.

En relación con la metodología para enseñar la suma, el programa de materia sugiere el uso de la resolución de problemas y las discusiones reflexivas, así como la práctica en el aula de escuela primaria (^{DGESPE, 2018}). En las sesiones observadas de los tres formadores, las metodologías incluían la resolución de problemas, extensas sugerencias y simulaciones de actividades que podrían servir en el aula de primaria; sin embargo, no hay una unicidad en el tipo de metodología empleada, ya que cada formador llevaba sus sesiones de clase de forma distinta. La secuencia de actividades y los ejercicios dados en las clases ponen en evidencia que los formadores coinciden en dar prioridad a un currículum relacionado con sus experiencias previas sobre el currículum oficial.