Estado del arte

Durante los últimos años, diferentes compensadores se han propuesto para disminuir la caída en la banda ancha de paso de filtros derivados del filtro comb y filtros comb.

Por ejemplo, un diseño de compensador de Filtro Comb Generalizado de segundo orden (GCF, por sus siglas en inglés), basado en la optimización L₁, se presenta en Fernández & Jovanovic (2011). Diseños de compensadores para filtro comb moldeado se presentaron en ^{Molnar et al. (2016)} y ^{Dudarin et al. (2018)}.

En este trabajo se considera únicamente el diseño de compensadores para filtro comb. A continuación se presenta una revisión de métodos propuestos en la literatura.

En ^{Jovanovic (2009)} se presentó un compensador en donde su respuesta en magnitud está basada en una función cosenoidal, cuyos parámetros de diseño se determinan al recurrir a la técnica de minimización de una función error elevada al cuadrado. Autores como ^{Fernández & Jovanovic (2012)} proponen el diseño de filtros de segundo y cuarto orden para llevar a cabo compensaciones en banda estrecha y banda ancha, respectivamente, y con la respuesta en magnitud máximamente plana. ^{Troncoso & Jovanovic (2013)} proponen un compensador utilizando transformación de amplitud de la respuesta en magnitud de forma cosenoidal.

^{Jovanovic & Fernández (2014)} y ^{Jovanovic et al. (2016)} demostraron, que un compensador con la respuesta en magnitud dada por una función sinusoidal, puede aproximar bien la respuesta en magnitud inversa del filtro comb en la banda de paso, y de esta manera hacer una compensación de la caída de la respuesta en magnitud en la banda de paso del filtro comb. En el trabajo de ^{Jovanovic & Fernández (2014)} se propuso la respuesta en magnitud del compensador en forma de seno elevada al cuadrado, mientras que en ^{Jovanovic et al. (2016)} se presentó un compensador de dos etapas con las respuestas en magnitud en forma de seno elevada al cuadrado y elevada a la cuatro. Un compensador simple, que requiere únicamente de dos sumadores, cuya respuesta en magnitud está basada en una función sinusoidal, se propone en ^{Troncoso et al. (2015)}. Sin embargo, el compensador no tiene una fase lineal.

Por otro lado, técnicas encargadas de minimizar la diferencia entre la máxima y la mínima amplitud en la banda de paso utilizando análisis de intervalos se presentaron en ^{Dudarin et al. (2017)} y ^{Molnar et al. (2017)}. Adicionalmente, utilizando análisis de intervalos, se diseña un compensador en el cual la respuesta en magnitud está definida por una función sinusoidal (^{Salguero & Jovanovic, 2020}).

Técnicas de moldeado se propusieron en ^{Jovanovic & Harris (2009)}; ^{Molnar et al. (2018)}.

Recientemente se propuso el uso del método Optimización de Enjambre de Partículas (PSO, por sus siglas en inglés), para evitar el error de truncamiento al convertir los parámetros de diseño del compensador en forma de coma flotante a suma de potencias de dos (SPT, por sus siglas en inglés) (^{Xu et al., 2019}). En este trabajo se presenta la flexibilidad de diseño con un trade-off entre el número de sumadores y el valor absoluto de la desviación en la banda de paso obtenida del filtro comb compensado.

Motivación y objetivo

Revisando los métodos propuestos en la literatura se pueden observar las siguientes características favorables del compensador del filtro comb:

Del vistazo de los métodos de diseño de compensadores existentes se puede observar lo siguiente:

Tomando en cuenta estas observaciones, en este trabajo se introduce la flexibilidad en el diseño de compensadores con la respuesta en magnitud en forma de seno, elevada al cuadrado y elevada a la cuatro, variando el número de sumadores del compensador y utilizando el método PSO.

El objetivo es cumplir con todas las características favorables mencionadas de comb compensadores y obtener mejores resultados que los reportados en ^{Xu et al. (2019)}.

El resto del contenido del artículo está organizado de la siguiente manera: En la siguiente sección se presenta una breve descripción del método PSO y compensador sintetizado con funciones sinusoidales. El método propuesto en este trabajo se presenta en la sección tres, asimismo, algunos ejemplos del uso del método se resuelven en la sección cuatro. Finalmente, se presenta la discusión de los resultados y comparaciones con los métodos en la literatura.

Método PSO

El método PSO se emplea para resolver problemas de optimización. El algoritmo da inicio al considerar un conjunto de soluciones aleatorias, el cual se representa por la posición inicial de una población. Cada miembro de la población recibe el nombre de partícula (^{Eberhart & Shi, 2001}).

El proceso se basa en que las partículas evalúen la función objetivo del problema en su posición actual que ocupan dentro del espacio de búsqueda. Por lo tanto, el movimiento de las partículas depende de las posiciones propias anteriores P_i, las mejores posiciones encontradas por la población P_g y de algunas perturbaciones presentes en el espacio de búsqueda.

Las expresiones que describen la manera en que son manipuladas tanto la posición X_i como la velocidad V_i de la i-ésima partícula en la iteración t son (^{Eberhart & Shi, 2001}):

Donde:

ω = peso de inercia

c₁ y c₂ = coeficientes de aceleración que regulan la atracción de las partículas hacia la mejor posición personal y la mejor posición global, respectivamente

r₁ y r₂ = par de números aleatorios en el intervalo [0,1].

Más detalles se pueden encontrar en ^{Eberhart & Shi (2001)}.

Compensador con respuesta en magnitud basada en funciones sinusoidales

Tomando los resultados de ^{Jovanovic et al. (2016)}, la respuesta del compensador se muestra de la forma:

De esta manera, como se mostró en ^{Jovanovic et al. (2016)} el total número de sumadores del compensador N es:

donde N_B1 y N_B2 son los números de sumadores para presentar B₁ y B₂ en SPT, respectivamente.

En la siguiente sección se presenta la obtención de los valores óptimos de B₁ y B₂ en (8) utilizando el Método PSO y finalmente presentarlos en forma SPT para evitar los multiplicadores.

Comparación con el método de ^{Jovanovic et al. (2016)}

En el Método de ^{Jovanovic et al. (2016)} se propone para cada valor del parámetro del filtro comb K un fijo número de sumadores, los cuales se presentan en la segunda columna de la Tabla 3, con los correspondientes valores de δ_p (dB), en la banda de paso. Así mismo, en la tercera columna se presentan los resultados del método propuesto de la Tabla 2, en los cuales se tiene una δ_p (dB), menor que en dicho método.

Para K = 1, 2, 3 y 6, el algoritmo propuesto logró una mejor compensación a expensas de utilizar más sumadores. Sin embargo, para K = 4 y 5, el algoritmo propuesto obtiene una δ_p (dB), en la banda de paso menor, empleando el mismo número de sumadores.

Los dos métodos son comparados en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3: Se considera M = 20 y dos valores de K, K = 3 y 6. En la primera comparación se toma K = 3 y el mismo número de sumadores en los dos métodos, N = 10. En el método de comparación los valores de B₁ y B₂ para K = 3 son 2^-1 y 2^-1 - 2^-4, respectivamente. Por otro lado, en el método propuesto, los valores de B₁ y B₂ para K = 3 son 2^-1 - 2^-3 y 2^-1, respectivamente. La Figura 5a compara las respuestas en magnitud en la banda de paso de los dos métodos. Se puede observar que el método propuesto presenta mejor compensación, especialmente para las relativas frecuencias menores que 0.015. Además, tiene un menor valor de absoluta desviación en banda de paso.

Figura 5: Comparación de las respuestas en magnitud del filtro comb compensado para M = 20 con K = 3 y 6 

En la segunda comparación con K = 6, en el método de comparación N=10, mientras en el método propuesto se eligió N = 12. Los valores de B₁ y B₂ están conformados por 2⁰ y 2⁰ - 2^-6, respectivamente para el método de comparación y por, 2⁰ + 2^-3 - 2^-5 y 2⁰ - 2^-4, respectivamente, para el método propuesto. Las respuestas en magnitud en la banda de paso de los dos métodos se presentan en Figura 5b. El método de comparación presenta mejor compensación para las relativas frecuencias menores que 0.013, mientras que el método propuesto tiene mejor compensación para las relativas frecuencias mayores que 0.013. Sin embargo, el método propuesto presenta menor valor de δ_p

Comparación con el método en ^{Xu et al. (2019)}

Los dos métodos están basados en PSO. En la Tabla 4 se muestra la comparación entre este compensador y el compensador propuesto en el trabajo, considerando diferentes valores de K. En todos los casos, el método propuesto logra obtener una mejor compensación, y además para K = 2, 3, 4 y 5, esto se consigue utilizando una cantidad menor de sumadores.

Comparación con el compensador en ^{Dudarin et al. (2018)}

En este método se utiliza la técnica de moldeado y el método de análisis de intervalos. La Tabla 5 presenta la comparación de los dos métodos respecto del número de sumadores y el valor absoluto de la desviación en la banda de paso, donde el grado del polinomio p(x) equivale al orden del filtro K.

Una mejor compensación se realiza por el compensador de comparación, cuando K = 4 utilizando un menor número de sumadores que el método propuesto. Sin embargo, cuando p(x) es -2^-6x² + x⁴, el método propuesto consigue una δ_p (dB) menor a expensas de utilizar más sumadores. Por otro lado, en los casos en que K = 6, hay más paridad entre los resultados obtenidos por los dos métodos. Por ejemplo, el método propuesto logra un valor absoluto de desviación en la banda de paso menor que el método de comparación implementando el mismo número de sumadores en dos de estos casos. Sin embargo, en el resto de los casos, es decir, cuando p(x) es 2^-10x² - 2^-4x⁴ + x⁶ o -1 + 27(2³x² - 2⁸x⁴ + 2¹¹x⁶), el método de comparación brinda una mejor compensación.

Cabe mencionar que la desventaja del método de comparación es que utiliza únicamente los parámetros K = 4 y 6.

A continuación, se presenta un ejemplo para comparar las respuestas en magnitud en la región de la banda de paso.

Ejemplo 4: Se considera M = 32 con K = 4 y 6. Siendo K = 4, de la Tabla 2 se toman valores B₁ y B₂ con N = 12. En cambio, los coeficientes en forma SPT involucrados en la estructura del compensador de comparación, utilizan N = 9. En la Figura 6a podemos apreciar la comparación entre las respuestas en magnitud en la banda de paso de los dos métodos. El método de comparación brinda una mejor compensación, el método propuesto tiene menor valor absoluto de desviación.

Figura 6: Comparación de las respuestas en magnitud del filtro comb compensado para M = 32 con K = 4 y 6 

En la segunda comparación se considera K = 6. Se tomó N = 10, y correspondientes valores de B₁ y B₂ de la Tabla 2, mientras en el método de comparación N = 11. La comparación de las respuestas en magnitud en la banda de paso de ambos métodos se presenta en la Figura 6b, donde se confirma que el método propuesto brinda una mejor compensación especialmente para las relativas frecuencias menores que 0.01. Además, el método propuesto logra un menor valor absoluto de desviación en la banda de paso, utilizando un sumador menos.

Comparación con el compensador en ^{Dudarin et al. (2017)}

En el método de ^{Dudarin et al. (2017)}N únicamente puede tener los valores de 2, 4 y 6. De esta manera, este método siempre tiene un menor número de sumadores que el método propuesto.

En la Tabla 6 se muestra la comparación entre el método propuesto, empleando 10 sumadores, y el método presentado en ^{Dudarin et al. (2017)} utilizando 6 sumadores. Como podemos apreciar, en todos los casos el método propuesto muestra una desviación en la banda de paso menor a cambio de utilizar más sumadores.

En el siguiente ejemplo se comparan las respuestas en magnitud de los dos métodos.

Ejemplo 5: Los valores de los parámetros son: M = 50 con K = 3 y 5. En los dos casos a presentar, N = 6 y 11 para el método de comparación y el método propuesto, respectivamente.

En la Figura 7a se observa la comparación de las respuestas en magnitud en la banda de paso de ambos métodos. Los resultados son similares para frecuencias relativas menores a 0.003. Sin embargo, para frecuencias relativas mayores a dicho valor, el método propuesto brinda una mejor compensación.

Figura 7: Comparación de las respuestas en magnitud del filtro comb compensado para M = 50 con K = 3 y 5 

La Figura 7b nos presenta la comparación de las respuestas en magnitud en la banda de paso de los dos métodos, para K = 5. Para frecuencias relativas menores a 0.002, se observan resultados muy parecidos entre sí por ambos métodos. Sin embargo, el método propuesto logra un menor valor absoluto de desviación en la banda de paso.

Finalmente, en la Tabla 7 se muestra un resumen de las principales características de los métodos que se han presentado a lo largo de este artículo. Como podemos apreciar, la complejidad de estos métodos es baja, a excepción del método desarrollado en ^{Dudarin et al. (2018)}, el cual utiliza la técnica de moldeo, que es eficiente para mejorar tanto las características en banda de paso como en banda de rechazo. Sin embargo, su complejidad es mayor, debido a que en lugar de un filtro comb, implementa una estructura definida por un polinomio que depende de la respuesta en magnitud del filtro comb.

En general, los artículos comparados en este trabajo proporcionan los coeficientes que posee el filtro. No obstante, en ^{Xu et al. (2019)} se observa el número de sumadores requeridos y la desviación en la banda de paso obtenida, pero no se indican los valores de estos coeficientes.

Por último, se compara la mínima desviación en banda de paso y el máximo número de sumadores. Consecuentemente, el método propuesto logra la menor desviación mínima. Por otro lado, el compensador en ^{Xu et al. (2019)} requiere de la mayor cantidad de sumadores para su implementación.

La Tabla 7 nos confirma que los métodos ^{Jovanovic et al. (2016)} y ^{Dudarin et al. (2017)} no necesitan una cantidad tan elevada de sumadores para su funcionamiento, sin embargo, de acuerdo con la desviación en la banda de paso proporcionada, su rendimiento es menor en comparación con el resto de los métodos.