3.1. Conhecimento dos professores sobre frações

Estudos centrados no conhecimento dos professores sugerem que estes são consideravelmente menos confiantes e menos bem-sucedidos no domínio dos números racionais do que no domínio dos números inteiros (^{Ball et al., 2005}). No âmbito do Rational Number Project (RNP), ^{Post et al. (1991)} conduziram um estudo em que participaram 218 professores (níveis 4-6), pretendendo-se traçar o perfil dos mesmos relativamente ao seu conhecimento sobre os números racionais. Particularmente sobre frações, os autores identificaram dificuldades com as interpretações de fração, com a ordenação e equivalência de frações.

^{Tirosh et al. (1998)} procuraram avaliar o conhecimento de alunos da formação inicial de professores do ensino elementar (N=147). Estes autores sublinharam que o conhecimento dos participantes é segmentado e rígido, nomeadamente na redução da Matemática a uma coleção de técnicas de cálculo desprovidas de justificação formal, e muitas vezes até utilizadas de forma intuitiva. Mais ainda, concluíram que os futuros professores tendem a aplicar inapropriadamente propriedades dos números inteiros aos números racionais.

^{Alvarez (2010)} entrevistou e observou aulas de ensino de frações de uma professora do 5.º ano do ensino fundamental. Recolheram-se dados em duas fases: a primeira antes da professora participar num curso de mestrado e a segunda durante a participação nesse mestrado. Os resultados da primeira fase sugerem uma acentuada dependência, relativamente ao manual escolar, na planificação das aulas, manifestando fraca criatividade e autonomia. Na segunda fase, a professora considerou já diferentes interpretações de fração nas aulas. No entanto, registaram-se dificuldades em sequenciar conteúdos matemáticos de forma a incluir tais interpretações.

Em Portugal, os resultados obtidos por ^{Pinto e Ribeiro (2013)} através da aplicação de um questionário a 27 alunos da formação inicial de professores para o 1.º Ciclo do Ensino Básico revelam um conhecimento limitado de número racional. Identificaram-se dificuldades com as interpretações de fração (quociente, parte-todo e operador), com a compreensão do papel da unidade de referência e com a equivalência, ordenação de frações, entre outros aspectos. Num outro estudo, ^{Mamede et al. (2021)} aplicaram um questionário a 86 alunos (futuros professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico) para analisar o seu conhecimento sobre rações. Dos resultados destacam-se: dificuldades com a compreensão do papel da unidade de referência; desconhecimento de interpretações de fração, nomeadamente da interpretação quociente; difuculdades na representação de frações na reta numérica, quando números diferentes de 1 são usados como referência na reta e quando é necessária uma redefinição de escala; dificuldades com a ordenação e equivalência de frações.

Também ^{Copur-Gencturk (2021)} realizou um estudo sobre conhecimento das operações com frações de professores dos 4.º e 5.º anos de escolaridade (N=303). Os resultados recolhidos através de um questionário online sugerem que os professores possuem uma compreensão limitada das operações com frações, particularmente da divisão. Mais centrado no conceito de fração, ^{Powell et al. (2022)} entrevistaram 19 professores dos anos iniciais do Ensino Fundamental procurando saber se uma fração unitária, 1/n, resulta apenas de um todo equipartido em n partes. Cerca de 3/4 dos participantes revelaram possuir um conhecimento limitado da interpretação parte-todo, pois, para alguns, 1/3 de uma quantidade materializava-se exclusivamente numa seção que fosse uma de três partes; para os restantes, uma secção não podia ser 1/3 de um objeto particionado em três secções desiguais.

Centrando-se no ensino de frações, ^{Cardoso e Mamede (2023)} entrevistaram 31 professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico, analisando as concepções e ideias sobre as suas práticas no ensino de frações. Os resultados evidenciaram fragilidades no conceito de fração, nas diferentes interpretações de fração, e na tradução dos diferentes modos de representação de frações. Identificaram-se, ainda, dificuldades na resolução de problemas com frações, particularmente em situações que envolviam quantidades discretas e na marcação de números fracionários na reta numérica.

Apesar das dificuldades dos professores com o conceito de fração e seu ensino (ver ^{Alvarez, 2010}; ^{Cardoso e Mamede, 2021}, ²⁰²³; ^{Copur-Gencturk, 2021}; ^{Li e Kulm, 2008}; ^{Mamede et al., 2021}; ^{Pinto e Ribeiro, 2013}; ^{Powell et al., 2022}), continua a ser escassa a investigação centrada no ensino de frações. Em Portugal, as recentes alterações às orientações curriculares (ver ^{DGE, 2021}) preconizam mudanças na prática de ensino de frações. Contudo, sabe-se que, frequentemente, mudanças no currículo originam aos professores dificuldades de implementação. Dada a complexidade do conceito, esta dificuldade pode ver-se agravada (ver ^{Mamede et al., 2021}; ^{Pinto e Ribeiro, 2013}; ^{Post et al., 1991}; ^{Tirosh et al., 1998}), pelo que importa perceber se pode ser antecipada, já que condiciona a qualidade das aprendizagens dos alunos sobre frações. As dificuldades dos professores no ensino de frações, identificadas em Portugal, podem ser comuns a professores de outros países que têm visto o trabalho com números racionais fortemente marcado pela representação na forma de dízima, mas que ambicionam alargar à representação fracionária, o trabalho com estes números, nos níveis iniciais do Ensino Básico.

Conscientes do atual currículo português para o ensino da matemática, que antecipa um contato aprofundado com as frações, a pesquisa por nós desenvolvida teve como objetivo compreender as práticas de ensino de professores do 1º Ciclo do Ensino Básico na introdução do conceito de fração aos seus alunos. Procura responder-se às questões: 1) Como o professor introduz o conceito de fração aos seus alunos? 2) Como o professor explora as interpretações de fração nas suas aulas? 3) Que dificuldades manifesta o professor no ensino de frações?

4.1. Participantes

Participaram nesta investigação quatro professores do 1.º Ciclo do Ensino Básico de uma escola pública do distrito de Braga: Maria, docente com dezanove anos de serviço, treze destes a lecionar no 1.º Ciclo do Ensino Básico; Ana, docente com dezoito anos de serviço no 1.º Ciclo do Ensino Básico; João, docente com nove anos de serviço a lecionar no 1.º Ciclo do Ensino Básico; Inês, docente com treze anos de serviço, dez destes a lecionar no 1.º Ciclo do Ensino Básico. Todos os docentes possuem formação especializada (Licenciatura em Educação Básica e Mestrado Profissionalizante) para leccionar no 1.º Ciclo do Ensino Básico.

4.2. Design

Aquando da introdução dos seus alunos ao conceito de fração, os professores (incluindo a Maria) estiveram envolvidos num programa de trabalho colaborativo com a investigadora - uma das autoras deste artigo. Vários autores sublinham a importância do trabalho colaborativo entre professores como forma de promoção do desenvolvimento profissional (ver ^{Day, 2001}; ^{Roldão, 2007}; ^{Saraiva e Ponte, 2003}), outros ainda referem vantagens do trabalho colaborativo entre professores e investigadores (ver ^{Lieberman, 1992}; ^{Ponte, 2001}). ^{Saraiva e Ponte (2003)} referem que a colaboração entre professores e investigadores favorece uma desejável aproximação entre a prática profissional do professor e a investigação educacional. O investigador, por seu lado, vê facilitado o acesso à prática do professor e à reflexão do professor sobre essa prática (^{Saraiva e Ponte, 2003}).

^{Boavida e Ponte (2002)} sublinham que no trabalho colaborativo tem lugar o desenvolvimento de atividade para atingir determinados fins, pensando, preparando, refletindo, formando e empenhando-se, pelo que a colaboração requer do professor partilha e interação do que a simples realização de diversas operações. Assim, o programa colaborativo desenvolvido organizou-se em ciclos de atividades, consistindo cada ciclo na seguinte estrutura padrão: a) reuniões conjuntas com todos os professores participantes, para reflexão sobre aulas observadas, esclarecimento de dúvidas e preparação de aulas a observar; b) observação de aulas de cada um dos professores participantes; c) entrevista individual, no final da aula, entre cada professor e a pesquisadora, para reflexão sobre a aula observada (Figura 2).

Figura 2 Ciclo padrão do programa de trabalho colaborativo 

Foram realizados cinco ciclos de atividades, cada um implementado no intervalo de uma semana. Em cada ciclo foram observadas uma a duas aulas, com duração aproximada de noventa minutos cada uma. As reuniões conjuntas para preparação das aulas incluíram: a) discussão conjunta das diferentes interpretações de fração referidas nas orientações curriculares; b) discussão conjunta das propostas dos professores e da investigadora para a introdução ao conceito de fração, seleção de tarefas para a aula, e esclarecimento de dúvidas no âmbito do conhecimento matemático e didático; c) análise e reflexão conjunta de espisódios de aulas dos professores por eles selecionados e também episódios de aulas observadas pela investigadora. Ao professor era dada autonomia para a implementação das tarefas previamente discutidas na reunião conjunta na sua aula. As tarefas apresentadas nas reuniões conjuntas incidiam sobre diferentes interpretações de fração (quociente, parte-todo, medida e operador) e debruçavam-se sobre a representação, a ordenação e a equivalência de frações nestas interpretações. O cerne do presente artigo consiste na análise de alguns episódios de seis aulas observadas da professora Maria.

Maria lecionava numa turma do 3.º ano de escolaridade (8-9 anos de idade). De acordo com Maria, o único contacto formal com frações por parte destes alunos fora realizado no ano letivo anterior, quando aqueles frequentavam o 2.º ano de escolaridade, tendo esse contacto consistido somente na dobragem de uma folha em duas partes iguais, identificando-se cada uma das partes como “metade”. Maria acrescentou que os alunos haviam respondido a “tarefas do género pintar metade de algo dividido em dois”. No ano em que este estudo foi desenvolvido, os alunos não haviam tido qualquer contacto formal com as frações antes das reuniões de trabalho com a investigadora.

4.3. Recolha e análise de dados

Os dados foram recolhidos através de gravações áudio, notas de campo realizadas pela investigadora, registos fotográficos e material produzido pelos professores. A análise de dados recolhidos baseou-se no modelo sobre o conhecimento do professor apresentado por ^{Ball et al. (2008)}. Assim sendo, a interpretação da informação recolhida passou pela categorização dos diversos aspectos analisados, segundo os parâmetros daquele modelo: os do conhecimento de conteúdo e os do conhecimento pedagógico de conteúdo (ou conhecimento didático), da professora, relativamente ao ensino do conceito de fração.

5.1. As interpretações quociente e parte-todo

A abordagem à interpretação quociente foi um dos temas abordados na reunião que precedeu a aula da professora Maria sobre este assunto. Maria questionou o grupo, “Ao ensinar a interpretação quociente não estou a ensinar também a interpretação parte-todo?”. A investigadora relembrou que, na interpretação quociente, estão envolvidas duas variáveis de natureza diferente, não acontecendo o mesmo na interpretação parte-todo. Reforçou que os alunos deverão ser capazes de representar quantidades por meio de frações, seja na interpretação parte-todo, seja na interpretação quociente. Os alunos devem ter contacto com ambas as interpretações, ainda que não necessitem de conhecer as respetivas designações formais, e a partir daí será com naturalidade que reconhecem quantidades representadas por frações em ambas as situações.

Na reunião, Maria procurou, ainda, ter a certeza de que, na interpretação quociente, poderiam estabelecer-se correspondências entre os recetores e os itens previamente divididos em partes iguais. Maria argumentou que os alunos iriam recorrer a estas correspondências, tornando-se esse procedimento incomportável quando estivessem envolvidas frações com numeradores e denominadores de maior magnitude:

Podemos dividir os itens, não é? Dividimos a pizza, por exemplo, para vermos quanto fica para cada menino […] Os alunos vão dividir… vão dividir os itens que têm de repartir. Por exemplo, se for 1 item para 2 meninos. Vão dividir em duas partes. Uma para cada menino. [Maria faz um desenho e estabelece uma correspondência entre cada uma das partes da pizza e cada menino] Se forem muitos itens vai ser muito complicado. Os alunos não vão conseguir fazer isso…

A investigadora esclareceu que estas correspondências poderiam ser estabelecidas, mas que não eram necessárias para que se completasse a tarefa. Mais ainda, quando se iniciasse o trabalho com frações na interpretação quociente, era expectável que os alunos começassem por proceder desta forma, mas isso aconteceria quando estivessem em causa frações envolvendo numeradores e denominadores com menor magnitude. Passada esta fase, certamente que os alunos iriam abandonar este processo exaustivo, uma vez que, da exposição do professor, resultaria, desejavelmente, a compreensão, por parte dos alunos, de que, na interpretação quociente, a fração representa, não só uma relação entre os itens e os recipientes, mas também a quantidade que cabe a cada recipiente.

Aquando da aula observada, Maria começou por apresentar tarefas que envolviam a interpretação quociente. Os alunos respondiam às questões nas suas folhas de trabalho, sendo depois realizada a correção no quadro por um aluno e/ou pelo professor, em diálogo com a turma.

Entre as tarefas realizadas pelos alunos, uma dizia respeito à partilha de uma tablete de chocolate entre duas crianças. Neste problema, os alunos tinham de apresentar a fração que representava a quantidade de chocolate que cada criança receberia. Nesta ocasião, Maria referiu os significados do numerador e do denominador de uma fração apresentada numa situação quociente, associando o numerador ao número de itens a partilhar e o denominador ao número de elementos envolvidos na partilha (Figura 3).

Figura 3 Correção, no quadro, de um problema de partilha equitativa de 1 tablete de chocolate entre 2 amigos 

Foram apresentadas outras tarefas envolvendo frações na interpretação quociente, semelhantes àquela acima mencionada. Os alunos responderam com sucesso a estas tarefas, recorrendo aos significados do numerador e do denominador naquela interpretação. Contudo, no decurso da aula, Maria induziu os alunos a levarem a cabo a divisão dos itens, perguntando à turma “Como é que podemos dividir as tabletes de chocolate?” - este procedimento não era necessário. A Transcrição e Figura que se seguem referem-se a uma situação em que, no âmbito de uma partilha equitativa de 3 itens entre 2 recetores, se observa uma divisão dos itens.

Prof.: Temos, por exemplo, 2 amigas (Ana e Susana) a partilhar 3 chocolates. Vamos fazer um número fracionário que represente o que cada menina comeu na partilha de 3 chocolates por 2 meninas. [Maria representa no quadro os três chocolates divididos ao meio, identificando com uma letra maiúscula a parte que corresponde a cada menina - Figura 4] Cada menina come 12 de cada chocolate. A Ana vai comer um chocolate inteiro?

Avv: Não. Vai comer metade.

Prof.: A Ana vai comer metade deste chocolate [apontando para o primeiro chocolate]. A Ana vai comer uma parte destas duas partes em que o chocolate foi dividido. Então, se eu quiser colocar aqui um número, qual será [apontando para a primeira metade do primeiro chocolate]?

A1: Um meio.

Prof.: A Ana vai comer 12 deste chocolate. Uma parte das duas em que o chocolate foi dividido. [Escreve a fração “12” em cada uma das primeiras metades dos chocolates - Figura 4] Quantos meios é que a Ana vai comer?

Avv: Três. São 32.

Prof.: Então nós podemos fazer isto. [Maria apresenta uma soma para ilustrar a parte de chocolate que cada menina come - Figura 4] Um meio mais 12 mais 12 é 32 [apontando para a soma que escreveu no quadro - Figura 4]. Reparem, o algarismo de cima adiciona-se e o de baixo fica igual.

Figura 4 Correção, no quadro, pela professora, de um problema sobre a partilha equitativa de 3 itens entre 2 recetores 

No contexto de um problema sobre a partilha equitativa de 3 chocolates por 2 meninos, Maria procedeu à divisão dos itens em partes iguais e à soma 12+12+12=32. Ao sublinhar a relação parte/todo, referindo que “A Ana vai comer uma destas duas partes em que o chocolate foi dividido” (ver Trasncrição acima), reduziu a interpretação quociente à interpretação parte-todo. Tendo em conta que o problema foi apresentado na interpretação quociente, afigurava-se desnecessário levar a cabo a divisão dos itens, já que o numerador representa o número de itens envolvidos na partilha e o denominador representa o número de recipientes (32 representa a quantidade de item que cabe a cada recetor numa partilha de 3 itens por 2 recetores). Assim, verificou-se que, apesar de ter introduzido corretamente a representação de frações na interpretação quociente, a maior familiaridade da professora com a interpretação parte-todo acabou por sobrepor-se, fazendo com que este problema não fosse completamente abordado na interpretação quociente. A redução da interpretação quociente à parte-todo condiciona a construção do conceito de fração pelos alunos, tornando-o incompleto, já que os alunos deverão contactar com todas as interpretações e representações de fração. Adicionalmente, sempre que se leva a cabo a divisão dos itens a partilhar e se interpreta a fração como a parte de um todo, perde-se a possibilidade de abordar a interpretação quociente (relação itens/recetores) e, consequentemente, poderão estar a ser limitadas as possibilidades de os alunos desenvolverem o raciocínio proporcional. Este tipo de raciocínio é particularmente promovido quando a interpretação quociente é explorada (ver ^{Nunes et al., 2004}; ^{Mamede et al., 2005}; ^{Streefland, 1991}).

Assim sendo, apesar das discussões conjuntas da reunião anterior sobre as diferenças entre abordar-se a interpretação parte-todo (relação entre número de partes retiradas e número de partes em que o todo foi dividido) e a interpretação quociente (relação entre itens e recetores), Maria, perante uma tarefa de partilha de itens por recetores (interpretação quociente), efetuou a divisão dos itens em partes iguais e apresentou a fração de item que cabe a cada recetor como uma relação entre as partes retiradas e o número total de partes em que o item foi dividido (interpretação parte-todo). Maria revela, assim, fraco conhecimento especializado sobre a abordagem da interpretação quociente na aula, comprometendo o conhecimento de conteúdo e ensino e de conteúdo e alunos. As reuniões de trabalho conjunto, apesar de uma boa oportunidade de discussão destes assuntos, foram manifestamente insuficientes para que Maria compreendesse todo o potencial que a interpretação quociente comporta, nomeadamente o estímulo ao raciocínio proporcional, o que a impediu de explorar esta interpretação com a mesma segurança atribuída à interpretação parte-todo. Contudo, a facilidade com que Maria aceitou integrar a interpretação quociente nas suas práticas sugere que as reuniões conjuntas contribuíram para mudanças nas suas conceções sobre ensino das frações.

5.2. Dividir figuras geométricas em partes iguais

Aquando da abordagem a tarefas que envolviam a representação de frações na interpretação quociente, os alunos dividiram as figuras, por vezes, em partes desiguais, não tendo Maria procedido a uma correção - Maria aceitou tacitamente aquelas divisões incorretas, apenas advertindo os alunos de que teriam de “imaginar” que as partes seriam iguais (“Temos aqui um retângulo dividido em três partes iguais. Temos de imaginar que as partes são iguais”). Como exemplo de uma destas situações, a Figura 5 ilustra uma divisão incorreta de um retângulo em 3 partes iguais, realizada no quadro. Numa outra ocasião, quando Maria solicitou a um aluno que marcasse um terço na reta numérica, a divisão da unidade em 3 partes iguais foi realizada corretamente (Figura 6).

Figura 5 Divisão incorreta de um retângulo em três partes iguais, realizada no quadro por um aluno 

Figura 6 Divisão correta de um retângulo em três partes iguais, realizada no quadro por um aluno 

Numa outro momento, em que a realização de uma tarefa requeria a divisão de um círculo em seis partes iguais, Maria corrigiu já uma divisão incorreta feita por um aluno, argumentando que “as partes não eram iguais” e que “a divisão não seria justa” (Figura 7). Constata-se então que, no âmbito da divisão de figuras geométricas, Maria não foi constante nas suas observações. Manter o rigor nos procedimentos e nos argumentos previne o aparecimento de dúvidas, entre os alunos, relativamente a uma ideia basilar na compreensão do conceito de fração como parte de um todo: a ideia de que o todo é dividido num número de partes iguais.

Figura 7 Divisão incorreta de um círculo, em seis partes iguais, realizada por um aluno, no quadro 

Na reunião após a aula observada, Maria referiu que não corrigiu desde logo o retângulo dividido em três triângulos (ver Figura 5), porque:

[…] as partes são quase iguais. Os alunos imaginam que cada menino recebe uma parte igual da tablete de chocolate […] Quando foi o caso do círculo era óbvio que as fatias de pizza eram diferentes […] Se calhar devia ter começado por aí… devia ter começado por falar na divisão do círculo, do retângulo.”.

Maria reconheceu também, a posteriori, a necessidade de realizar-se uma divisão graficamente correta dos itens, para que não se crie, entre os alunos, ideias erróneas que enviesem a sua forma de pensar frações. Com efeito, as partes devem ser todas iguais, e esta deve ser uma ideia claramente transmitida aos alunos. Neste sentido, a divisão de figuras geométricas em partes iguais deverá ser abordada, previamente, pelo professor.

Em suma, e em primeiro lugar, Maria induziu os alunos, uma vez mais, a levar a cabo a divisão, em partes iguais, dos itens a partilhar, reduzindo, desta forma, a interpretação quociente de fração à interpretação parte-todo. Construir-se um conceito de fração ancorado numa só interpretação - a interpretação parte-todo - enfraquece grandemente o conhecimento matemático dos alunos sobre os números racionais (^{Behr et al., 1983}; ^{Nunes et al., 2004}). Adicionalmente, Maria foi inconsistente nas propostas de realização de divisões dos itens em partes iguais: inicialmente, permitiu-se aos alunos a realização de divisões desiguais dos itens, desde que “imaginassem” que as partes eram iguais; posteriormente, divisões similarmente incorretas foram corrigidas, de modo a obter-se partes iguais.

Um conhecimento de conteúdo e alunos, por parte do professor, que reflita uma abordagem consistente à interpretação quociente, i.e., sem uma redução desta à interpretação parte-todo, promove entre os alunos, tal como é desejável, uma visão mais completa do conceito de fração. Além disso, uma antecipação de eventuais dificuldades dos alunos e um esclarecimento sobre os procedimentos a adotar revela um conhecimento de conteúdo e alunos mais sólido.

5.3. A interpretação quociente e a equivalência de frações

Maria manifestou alguma resistência em abordar a equivalência de frações na interpretação quociente, ainda que este tema surgisse naturalmente das observações dos alunos, o que não surpreende dada a sua longa experiência de ensino. Contudo, a abordagem mais profunda e completa às frações, exigida pelas orientações curriculares recentes, constituem um desafio pela sua novidade.

Apesar da sua experiência de ensino, Maria confessou desvalorizar nas suas aulas a partilha equitativa na abordagem às frações, trabalhando as frações maioritariamente na interpretação parte-todo. A reunião conjunta provocou mudanças no seu conhecimento especializado, mas também nas suas crenças sobre a aprendizagem de frações dos alunos, a ponto de incluir a interpretação quociente nas suas aulas. Apresenta-se de seguida, como exemplo, uma situação, de uma aula de Maria, sobre a partilha de 2 pizzas por 6 crianças, previamente discutida nas reuniões conjuntas.

Prof.: Imaginem que as pizzas têm diferentes ingredientes. Como é que as podem dividir?

A1: [Com a ajuda da professora, divide cada pizza em 6 partes iguais, e depois coloca o nome dos recetores em cada parte - Figura 8].

Prof.: Cada criança come 16 de cada pizza. Por isso, cada criança come 36.

A2: Professora, eu acho que a tarefa não pede isto. Aqui não diz que cada criança tem de comer das duas pizzas! Podia ser 3 crianças para cada pizza… 13 …

A3: Deveria ser 23.

Prof.: Porque é que deveria ser 23?

A2: Eram 3 crianças para cada pizza… dava 13.

Prof.: Nós podíamos também dizer 13 de cada pizza… também está certo… mas nós vamos fazer isto de uma forma geral…

Figura 8 Divisão dos itens, em partes iguais, sugerida pela professora no âmbito de um problema sobre a partilha equitativa de 2 pizzas por 6 crianças 

Face à tarefa em causa (ver transcrição acima), um aluno (A2) respondeu que cada criança receberia 13, revelando ter compreendido que poderia realizar a correspondência de uma pizza para cada 3 crianças. Contudo, Maria não se sentiu confortável com esta resposta e induziu o aluno a responder 26. Talvez por entender que o propósito da tarefa seria apenas abordar a representação simbólica da fração na interpretação quociente, Maria desvalorizou o contributo brilhante do aluno, assente no raciocínio proporcional, que lhe permitiu responder 13. Maria tende então a induzir os alunos a apresentar, exclusivamente, uma fração cujos valores do numerador e do denominador sejam iguais, respetivamente, ao número de itens a partilhar e ao número de recetores envolvidos na partilha.

Na reunião após a aula observada, Maria, perante esta mesma tarefa, disse:

Neste caso, cada criança recebe 26. Também podíamos considerar que cada criança recebe 13 de cada pizza, mas eu queria fazer isto de uma forma geral […] Sim… não existe uma forma geral… quis que fosse uma forma de todos compreenderem. […] Claro que poderia ter posto também a hipótese de as pizzas terem o mesmo sabor […] Se podia ter chamado mais atenção para a resposta 13?… Sim, podia… não quis que os alunos se confundissem.

Deste modo, Maria não explorou a possibilidade de os alunos compreenderem que frações distintas podem representar a mesma quantidade, i.e., que 13 e 26 são frações equivalentes, ainda que esta tenha sido uma sugestão de um dos alunos da turma. Maria parece não ter antecipado a possibilidade de os alunos apresentarem respostas alternativas ao problema que selecionou para a aula, apesar de na reunião conjunta se terem antecipado diferentes formas de pensar dos alunos, o que parece ser indicador de que mudanças na prática de ensino não são conseguidas num período tão curto. Maria revelou, assim, fragilidades no domínio do conhecimento de conteúdo e ensino e de conteúdo e alunos.

5.4. Ordenar frações na interpretação quociente

Maria apresentou tarefas sobre a ordenação de frações, com numeradores iguais, na interpretação quociente. Os alunos tendiam a responder corretamente, raciocinando sobre a variação proporcional do número de itens e recetores. Por exemplo, aquando da correção de uma tarefa que envolvia as frações 14, 13 e 12 numa situação de partilha equitativa de um bolo entre 3 meninos e de um outro bolo, igual ao anterior, entre 4 raparigas, um aluno argumentou que “o grupo de três meninos iria comer mais porque são menos e têm um bolo… as raparigas são mais… são quatro…”. Maria concluiu que “quanto mais as crianças partilhavam o bolo, menos cada criança comeria”. Este tipo de raciocínio promove a compreensão da relação inversa entre a magnitude da fração e o valor do denominador, quando os numeradores são iguais. Para compreender-se o conceito de fração é fundamental compreender-se esta relação. As dificuldades que os alunos frequentemente apresentam têm origem, justamente, na ausência da compreensão de que, entre números naturais e racionais, há diferentes ideias envolvidas: um erro comum entre os alunos é pensarem que, por exemplo, 12 de uma tablete de chocolate é menor do que 13 da mesma, apenas porque 2 é menor do que 3.

Maria apresentou também tarefas sobre a comparação entre frações com denominadores iguais. Por exemplo, apresentou uma tarefa sobre a comparação entre 24 e 14, estando envolvidas situações quociente (Figura 9). Numa das situações, 1 tablete de chocolate era partilhada equitativamente entre 4 meninos e, numa outra situação, 2 tabletes eram partilhadas entre 4 meninas. Um aluno argumentou que “cada menina come mais porque as meninas têm 2 tabletes de chocolate e os meninos têm apenas 1”. Maria aceitou esta resposta sem fazer qualquer referência ao fato de o número de recetores ser o mesmo, em ambas as situações, apesar de este aspeto ter sido discutido, e aparentemente compreendido, nas reuniões conjuntas. Este último aspeto é fundamental para concluir-se corretamente sobre a ordenação das frações. Assim sendo, não ficou claro se o aluno apenas comparou os inteiros 1 e 2 ou se, de fato, tomou em consideração a magnitude das frações do problema. É essencial promover-se, entre os alunos, a compreensão da diferença que existe entre frações e números inteiros: no âmbito do conjunto de frações, dois símbolos numéricos são utilizados para representar-se uma única quantidade, i.e., é a relação entre os números, e não cada valor independente, que representa a quantidade pretendida.

Figura 9 Correção, no quadro, de um problema sobre a comparação entre as frações 24 e 14. 

Na reunião após a aula Maria reconheceu que pode não ter clarificado devidamente a ideia de que na comparação de frações é menor a fração com menor numerador quando se têm denominadores iguais, ou seja, quando o número de recetores é igual, caso contrário o raciocínio não se aplica:

Por vezes posso não ter dito que os denominadores são iguais mas essa ideia está lá... o número de meninos era o mesmo em cada situação... Claro que os alunos têm de ter isso presente... O profesor deve ir lembrando... se calhar numa ou outra situação posso não ter sido tão clara... Quando os denominadores não são iguais não se pode pensar assim e os alunos costumam errar nesse tipo de situações... é verdade.

5.5. A interpretação parte-todo e a unidade de referência

Maria introduziu os alunos aos significados do numerador e do denominador da fração, na interpretação parte-todo. Depois de apresentar um retângulo dividido em duas partes iguais, referiu que uma das partes podia representar-se por 12: “o denominador representa o número de partes em que o retângulo foi dividido e o numerador representa o número de partes destacadas”. Outras tarefas semelhantes foram apresentadas nesta mesma interpretação. A reação positiva dos alunos manifestou-se nas respostas corretas apresentadas. De fato, Maria fez uma clara introdução à interpretação parte-todo, realçando frequentemente os significados do numerador e do denominador da fração nesta interpretação. Contudo, não discutiu com os alunos qual a unidade de referência relativa a cada tarefa. Mais ainda, não procurou diversificar a mesma, que oscilou sempre entre um círculo, um retângulo, um quadrado, etc. − i.e., tratava-se sempre de um único elemento. Por exemplo, 13 de 1 retângulo em que a unidade de referência é um retângulo não é o mesmo que 13 de 3 retângulos em que a unidade de referência são três retângulos. A abordagem a este último tipo de raciocínio permite uma reflexão sobre o fato de duas frações que são simbolicamente iguais poderem representar quantidades diferentes, dependendo do todo a que se referem.

Maria solicitou também aos alunos a reconstrução de um “todo”, sabendo-se que dois quadrados representavam metade da unidade pretendida. Apenas um problema deste tipo foi apresentado. Os alunos não conseguiram responder ao mesmo, aparentemente por não terem entendido aquilo que lhes era pedido. Pode então concluir-se que a ideia de unidade de referência deveria ter sido previamente abordada por Maria, sublinhando-se o fato de que, para obter-se uma resposta correta, deve refletir-se sobre qual a unidade de referência presente em cada problema.

Uma abordagem muito incipiente à ideia de unidade de referência sugere fragilidades docentes nos domínios do conhecimento de conteúdo e ensino e do conhecimento de conteúdo e alunos. Deve por isso selecionar-se um conjunto variado de tarefas, diversificando-se o tipo de unidade para que, desde os anos iniciais de escolaridade, se combatam eventuais ideias incorretas que os alunos frequentemente desenvolvem relativamente à ideia de unidade de referência.

5.6. Equivalência de frações na interpretação parte-todo

Maria fez uma introdução à equivalência de frações utilizando 12 e 24, sendo que os alunos tenderam a acompanhar o seu raciocínio. Foi apresentado aos alunos um círculo dividido em 4 partes iguais, estando 2 delas sombreadas (Figura 10). Perante esta situação, os alunos foram questionados sobre se outras frações, para além de 12 e 24, poderiam representar a seção sombreada. Os alunos sugeriram algumas frações equivalentes e Maria concluiu que “quando o numerador é metade do denominador, a fração é equivalente a 12”. O excerto de diálogo abaixo transcrito refere-se ao momento de introdução da equivalência de frações na interpretação parte-todo.

Prof.: [Apresenta um círculo dividido em 4 partes iguais] Que fração representa estas 2 partes?

A1: Dois quartos.

Prof.: Existirá alguma fração diferente que também pode representar estas partes?

Avv: Um meio

Prof.: Porquê?

A1: Porque 24 é o mesmo que 12 .

Prof.: Muito bem! As frações são equivalentes porque representam a mesma quantidade [escreve no quadro: “12 = 24 ” - Figura 10]. Posso escrever aqui mais frações?

Avv: Sim.

A1: Três sextos.

Prof.: Sempre que o numerador é metade do denominador, a fração é equivalente a 12.

Figura 10 Correção, no quadro, de um problema sobre a equivalência de 12 e 14 na interpretação parte-todo 

A introdução clara, de Maria, à equivalência de frações na interpretação parte-todo parece ter sido bem recebida pelos alunos. Porém, e com vista a consolidar-se o conhecimento sobre a equivalência de frações, poderiam ter sido sugeridas tarefas neste âmbito (envolvendo, por exemplo, 13 e 26). Mais ainda, e tendo a equivalência de frações sido já abordada na interpretação quociente, poderia articular-se as interpretações parte-todo e quociente realçando-se o significado dos valores do numerador e do denominador nestas duas interpretações.

Em suma, a equivalência, e acima de tudo a ordenação, de frações na interpretação parte-todo foi abordada de forma demasiado incipiente, o que sugere fragilidades no conhecimento de conteúdo e ensino da professora no conhecimento de conteúdo e alunos. De fato, o domínio da comparação de frações é essencial para a construção de um completo conceito de fração.

5.7. Articulação entre interpretações de fração

A abordagem às interpretações de fração foi, de modo geral, demasiado segmentada: a professora raras vezes interpolou tarefas que envolvessem diferentes interpretações de fração - Maria começou por abordar a interpretação quociente, e depois a interpretação parte-todo, sem estabelecer uma articulação entre estas duas interpretações. Este tipo de procedimento sugere que Maria, ou não reconhece a importância da articulação entre interpretações quando se constrói o conceito de fração, ou não se se sente confortável em fazer esta articulação, ou, talvez ainda, ambas as situações. A articulação entre diferentes interpretações de fração promoveria uma consolidação e uma integração de conhecimento, revelando ainda um conhecimento mais forte no domínio do conhecimento pedagógico relativamente ao ensino de frações.

De fato, é consensual, entre os investigadores, a necessidade de proporcionar-se ao aluno a possibilidade de contactar com todas as interpretações de fração. Não se pretende, porém, uma abordagem às interpretações que estipule fronteiras muito rígidas entre as mesmas. Pretende-se, antes, garantir que o aluno tenha a oportunidade, não só de raciocinar em cada uma delas, mas também de articular as mesmas entre si.