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1. Introducción
Existe una cantidad reducida de métodos para resolver esquemas de negociación, y casi ninguno de ellos se aplica para solucionar problemas comerciales prácticos debido a la complejidad inherente a este tipo de juegos. Por ello, en este trabajo, se presenta un nuevo mecanismo que utiliza los principios básicos de la Teoría de Juegos para crear una herramienta robusta y de uso práctico, con el fin de resolver negociaciones comerciales (negocios, alianzas, sociedades, etc.) donde
La literatura plantea seis métodos principales para encontrar una distribución de pagos que motiven a los participantes a cerrar una negociación, Von Neumann-Morgenstern solution (von Neumann and Morgenstern, 1944), Shapley Value (Shapley, 1953), el Core (Shapley, 1952), Bargaining Set (Aumann and Maschler, 1961), el Kernel (Davis and Maschler, 1965) y el Nucleolo (Schmeidler, 1969).
De estos métodos, Shapley Value (SV) y el Core destacan por ser los más populares debido a su intuición. En el caso de SV, el método calcula el pago promedio que cada jugador recibe de acuerdo con todos los posibles pagos que podría recibir en cada una de las permutaciones de la coalición en la que participan todos los jugadores (Gran Coalición, denominada como
Desafortunadamente, ni SV ni el Core ofrecen soluciones confiables. En el caso de SV, la estrategia de negociación no siempre es implementable; es decir, en ciertas ocasiones, SV propone una distribución de pagos en la que al menos un actor recibe menos beneficios que si optara por no participar en la Gran Coalición. En estos casos, la propuesta de SV puede llevar a inferir que la cooperación entre los
Otros métodos menos populares, como Von Neumann-Morgenstern solution utiliza el concepto de dominación (von Neumann and Morgenstern, 1944) para definir un set de pagos
Por otro lado, soluciones como el Kernel y el Nucleolo -además de ser complejas de calcular- pertenecen a la familia del Bargaining Set, que representan soluciones alternativas que surgen a partir del concepto de la solución de Von Neumann-Morgenstern, con la finalidad de definir un conjunto de soluciones estables en el sentido de que ningún jugador tenga un incentivo a salirse de una coalición, y por ende, pueda contrarrestar cualquier objeción de otro jugador que pertenezca a la coalición con una contra-objeción. No obstante, como explican Aumann y Drèze, la familia de soluciones del Bargaining Set se calcula a partir de una subcoalición determinada, por lo que sus soluciones no involucran necesariamente a la Gran Coalición, que es el principal interés de este trabajo. Por estas razones, el enfoque consistirá en comparar este método con las soluciones propuestas por SV y el Core, y se considerarán los otros métodos en un futuro cuando se trabaje en optimizar estrategias de negociación en escenarios en los que la Gran Coalición no es implementable.
2. Negociaciones comerciales
En esta sección, se enfatiza el carácter de las negociaciones comerciales para distinguirlas de aquellas con fines sociales. La diferencia entre estas se refiere al punto de interés de cada una dentro del proceso de negociación. Mientras que en negociaciones comerciales, los participantes del juego pueden decidir si actúan de forma cooperativa generando un beneficio grupal o ejecutan el proyecto por su cuenta obteniendo un beneficio particular, en negociaciones sociales, se requiere forzosamente que un cierto número de jugadores formen una coalición con suficientes votos para llevar a cabo el proyecto y distribuirse el beneficio, en tal caso, los jugadores que quedan fuera de la coalición ganadora no reciben ningún beneficio, ni tienen posibilidad de generar algún beneficio de modo particular. Por esta razón, existe una mayor prioridad en la forma en la que cada jugador decide unirse o no a una coalición.
Dentro de las negociaciones comerciales, es natural asumir que la utilidad es transferible, ya que equivale a generar transferencias monetarias entre los distintos actores para obtener el máximo beneficio para todos. De modo similar, se asume información perfecta, ya que la información imperfecta reduce la posibilidad de crear la Gran Coalición, lo que resulta en detrimento de todos los participantes.
Dentro del contexto de las negociaciones comerciales, se define una Negociación Implementable como:
Definición 1
Llámese Negociación Implementable a toda distribución de pagos para
De modo que el Core de una negociación es el conjunto de todas las negociaciones implementables. Gillies (1959) presenta una definición equivalente descrita como ”El espacio
La negociación propuesta para
La negociación propuesta maximiza la probabilidad de que los jugadores cooperen entre sí, y siempre es mayor o igual a la probabilidad de las negociaciones que ofrecen SV y el Centroide del Core.
3. Métodos existentes en la literatura
3.1 Shapley Value
Shapley Value es un número que busca representar el valor de un juego esencial para un jugador, sintetizando todas las distintas alternativas a las que se puede enfrentar en un juego definido en forma de función característica (von Neumann and Morgenstern, 1944). El jugador puede actuar por cuenta propia, cooperar con uno u otro jugador o colaborar con todos los jugadores para formar
Simetría: El valor de un juego es esencialmente una propiedad del juego abstracto.
Eficiencia: El valor calculado del juego representa una distribución del valor total del juego.
Ley de Agregación: Para combinar dos juegos independientes, sus valores se deben sumar jugador por jugador.
Al cumplir con estos 3 axiomas, Shapley Value permite evaluar de forma a priori el valor esperado de cada jugador de participar en el juego, considerando que todos los demás jugadores se unen a la coalición en forma completamente aleatoria, pero igualmente probable. De modo que cada jugador demanda y recibe un pago de acuerdo con su contribución marginal promedio dentro del valor de cada coalición (Shapley, 1953).
Cabe destacar que Shapley Value utiliza el concepto de función característica
De estas tres propiedades, la ecuación 1 se refiere a que el valor de un juego con cero jugadores tiene un valor de cero; la ecuación 2 consiste en que el valor de la función característica evaluada en el complemento del set
3.2 El Core
La idea del Core parte esencialmente de la Curva de Contrato (Edgeworth, 1881), en el sentido de que todos aquellos puntos que componen la curva y proponen una distribución de los bienes entre los actores de la economía son equivalentes a las negociaciones que componen el Core de un juego. Estos conceptos son equivalentes porque se refieren a todas aquellas negociaciones en las que ningún jugador puede beneficiarse sin necesariamente perjudicar al otro (son puntos eficientes en el sentido de Pareto), y la negociación final que ocurrirá entre los jugadores dependerá completamente del poder de negociación que tenga cada cada uno.
No obstante, la noción moderna del Core fue desarrollada por Shapley (Shapley, 1952) y Gillies (Gillies, 1959) que definen el Core como “el conjunto de negociaciones que no pueden ser mejoradas por otras negociaciones fuera del set” y cuenta con las siguientes características:
Asignaciones Eficientes: La suma de los pagos de cualquier negociación que compone el set siempre es igual al valor total del juego.
Set Cerrado y Convexo: El set contiene todos sus puntos límite y es convexo.
Un tema específico de interés para este trabajo es la caracterización o mapeo del Core de un juego. Para ello, se decidió utilizar el método JDSIM (Montiel and Bickel, 2013) por ser el único método que permite mapear adecuadamente y en un tiempo razonable un espacio
Esta caracterización es fundamental porque permite conocer y explorar el Core de un juego más allá de las restricciones de la distribución de los pagos para ofrecer una solución de mayor calidad.
3.3 Fallas y Aciertos de SV y el Core: Ejemplo Ilustrativo
A continuación, se presenta un ejemplo para ilustrar las soluciones y respectivas fallas que ofrecen SV y el Core, dentro de un problema de distribución de costos.
Supóngase un juego de 3 jugadores (a), (b), (c) que están ubicados en el punto O de la Figura 1. El jugador (a) necesita desplazarse hasta el punto A, el jugador (b) al punto B, el jugador (c) al punto C.
Asúmase un costo asociado de $1 por unidad de distancia, de tal manera que si el jugador (a) necesita viajar 100 unidades, entonces, el costo asociado con desplazarse esa distancia sería $100. Siguiendo esta misma lógica, cada uno de los 3 jugadores está dispuesto a pagar $100 para desplazarse a su destino final (el jugador (a) al punto A, el jugador (b) al punto B y el jugador (c) al punto C), y en consecuencia, el costo total del juego será $300. Sin embargo, si los 3 jugadores deciden cooperar entre sí, podrían viajar juntos y tomar una ruta distinta, por ejemplo, la ruta
Tabla 1 Costo máximo por esquema de cooperación.
| Coalición | Valor del Juego |
|---|---|
| (a) | $100 |
| (b) | $100 |
| (c) | $100 |
| (a,b) | $176.5 |
| (a,c) | $241.4 |
| (b,c) | $176.5 |
| (a,b,c) | $ 253 |
El método SV consiste en calcular la distribución de los pagos en todas las permutaciones posibles de la coalición de 3 jugadores, asumiendo que cada uno se unirá a la coalición en el orden definido en la permutación. Por ejemplo, en la coalición ABC, el jugador A es el primero en unirse, después el jugador B y finalmente el jugador C. Así pues, el primer jugador en unirse a la coalición estará dispuesto a pagar la misma cantidad que habría pagado si hubiera decidido viajar solo. El segundo jugador pagará el remanente del valor de la coalición formada por estos 2 jugadores y el tercer jugador pagará el remanente del valor de la coalición formada por los 3 jugadores, como se muestra en la Tabla ??. Por ejemplo, si (a) se une primero, pagará $100, que es la misma cantidad que habría pagado si hubiera viajado solo; si (b) se une después, entones (b) pagará únicamente el remanente del costo adicional que implicaría formar la coalición (a,b) que equivale a $176.5-$100=$76.5. De tal manera que si (c) decide participar, pagaría el remanente del costo de formar la coalición (a,b,c), es decir, $253-$176.5=$76.5.
De esta forma, SV intenta modelar todos los distintos escenarios de negociación que podrían surgir entre los 3 jugadores en función del orden en el que cada jugador se une a la coalición y, con base en ello, calcula el pago promedio esperado de cada jugador. En otras palabras, SV estima el pago esperado de cada jugador considerando todos los escenarios de negociación en los que un jugador se puede ver involucrado, como se muestra en la Tabla 2.
Tabla 2 Pagos para todas las permutaciones para un juego de tres actores.
| Coalición | (a) | (b) | (c) |
|---|---|---|---|
| (a,b,c) | $100 | $76.5 | $76.5 |
| (a,c,b) | $100 | $11.7 | $141.4 |
| (b,a,c) | $76.5 | $100 | $76.5 |
| (b,c,a) | $76.5 | $100 | $76.5 |
| (c,a,b) | $141.4 | $11.7 | $100 |
| (c,b,a) | $76.5 | $76.5 | $100 |
| SV | $95.1 | $62.8 | $95.1 |
Nótese que el costo total de todas las posibles coaliciones entre los 3 jugadores debe ser igual al costo total previamente calculado de $253 en la Tabla ??. De acuerdo con los valores obtenidos con este método, los jugadores (a) y (c) pagan $95.1 cada uno, mientras que el jugador (b) paga $62.8.
Otra metodología que permite modelar este problema y buscar una solución al juego es definiendo el Core del juego. El Core consiste en el conjunto de todas las posibles negociaciones que pueden ocurrir entre los jugadores (a),(b) y (c) y está definido por las siguientes restricciones:
A partir de estas restricciones, se puede observar que existe un infinito de negociaciones posibles que podrían ocurrir entre los integrantes de
Considérese ahora modificar el ejemplo en la Figura 1 cambiando la segunda restricción. Esto implica cambiar la distancia que recorrerá b a
La Tabla 3 muestra los nuevos valores para el cálculo de las permutaciones de SV, y el promedio de estas.
Tabla 3 Pagos modificados para todas las permutaciones de un juego de tres actores.
| Coalición | (a) | (b) | (c) |
|---|---|---|---|
| (a,b,c) | $100 | $41.4 | $100 |
| (a,c,b) | $100 | $0 | $141.4 |
| (b,a,c) | $70.7 | $70.7 | $100 |
| (b,c,a) | $100 | $70.7 | $70.7 |
| (c,a,b) | $141.4 | $0 | $100 |
| (c,b,a) | $100 | $41.4 | $100 |
| SV | $102 | $37.4 | $102 |
Como se observa en la Tabla 3, la negociación que propone Shapley Value no es implementable porque no se encuentra contenida dentro del Core del juego. Este problema surge a partir de la lógica en la que SV modela los escenarios de negociación que podrían ocurrir entre los miembros de
4. Estrategia de Máxima Probabilidad
Con la finalidad de encontrar la negociación de máxima probabilidad para un juego cooperativo entre
Definir el valor de los pagos que reciben las
Definir el Core del juego
Generar una muestra representativa (M) del Core del juego uniformemente distribuida en términos monetarios.
Obtener las funciones empíricas de probabilidad acumuladas
Establecer el problema que maximice la función
4.1 Definición del valor de los pagos de cada coalición
Para representar el valor de un juego, se utilizará una función característica
Esto quiere decir que para cada
Al ser quasi-superaditiva (ecuación 5)
4.2 Definición del Core del juego
Para definir el Core del juego, basta con utilizar las ecuaciones de Eficiencia (ecuación 6) y Racionalidad (ecuación 7).
4.3 Generación de una muestra representativa M del Core en términos monetarios
Utilizando JDSIM se puede conocer un número suficientemente grande de negociaciones que cumplan con las restricciones del Core y permitan caracterizarlo relativamente rápido. El número mínimo de muestras requeridas se estima utilizando fair-convergenceMontiel and Bickel (2013). Para mayor detalle sobre JDSIM, se invita al lector a revisar Montiel and Bickel (2013).
4.4 Obtención de las funciones empíricas de probabilidad acumulada de cada jugador y la Función de Probabilidad de Ocurrencia
Una vez obtenida la muestra aleatoria uniformemente distribuida del Core, se modela el comportamiento de los pagos que recibe cada jugador
donde
Esta función permite calcular la probabilidad de que un jugador
4.4.1 La Función de Probabilidad de Ocurrencia
Una vez obtenidas las funciones empíricas de los pagos de los
y para el caso de costos, se define PP(x) como:
Para que se realice una negociación, cada actor necesita aceptar recibir un pago
4.5 Determinación del problema de maximización
Una vez determinada la Función de Probabilidad de Ocurrencia, se puede definir el problema que maximice
A partir de la resolución del problema de maximización, se obtiene el vector
5. Validación del modelo
Para validar el modelo, se simularon 30 escenarios aleatorios que replican el ejemplo ilustrativo de la sección
La Figura 3 muestra la probabilidad de cerrar una negociación para los escenarios considerados. Se puede observar que el nuevo método siempre genera estrategias que proveen un mayor incentivo para que los
Figura 3 Comparativo de SV, el Centroide del Core y la Negociación de Máxima Probabilidad para diez escenarios generados de modo aleatorio considerando 3, 4, y 5 actores.
Se puede observar que para seis escenarios, SV genera estrategias para las que
A manera de recapitulación, se presenta la Tabla 4, que muestra un comparativo de las distintas metodologías y sus características principales. En el comparativo, las palabras implementable y única corresponden a definiciones anteriores, y justificable se refiere a proveer un justificación racional para la selección de la estrategia correspondiente. Adicionalmente, la palabra certificado corresponde a una prueba de la inexistencia de la Gran Coalición, y la palabra solución se refiere al producto final cuando se aplica el método correspondiente.
Tabla 4 Cuadro comparativo de estrategias de negociación comercial.
| Si existe la Gran Coalición, siempre ofrece una solución | Si no existe la Gran Coalición, el método regresa un | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Estrategia de Negociación | Implementable | única | Justificable | Certifcado | Solución |
| Negociación de Máx. Prob. | Sí | Sí | Sí | Sí | No |
| Shapley Value | No | Sí | Sí | No | Incorrecta |
| El Core | Sí | No | No | Sí | No |
| El Centroide del Core | Sí | Sí | No | No | No |
6. Caso de estudio
Finalmente, como una muestra de la aplicabilidad de esta metodología en negociaciones comerciales, se analiza un Caso de Estudio con respecto a la distribución de ganancias en un escenario de racaudación de capital para una startup (S)2.
Este escenario de negociación consta de 3 actores (
S es una startup mexicana que se dedica a ayudar a migrantes mexicanos en Estados Unidos para que construyan una casa para sus familias en México, vinculándolos con empresas constructoras que tengan la capacidad para hacerlo. S estima que requiere de una inversión en capital de por lo menos $500,000 MXN para poder invertir en el desarrollo de su imagen corporativa, su estrategia digital y la construcción de su plataforma tecnológica. Con esta inversión, se estima que el valor presente neto de los flujos libres de efectivo de los próximos cinco años de S sea de $20,000,000 MXN en 2018.
I es un inversionista independiente, conocedor del tema de vivienda y dueño de una empresa constructora en México con la capacidad de disponer de $3,000,000 MXN para invertir en proyectos de vivienda en México.
O es una startup mexicana que busca homologar las transacciones monetarias en línea que se realicen a través de distintas plataformas digitales. O requiere de una inversión en capital de mínimo $2,500,000 MXN para cubrir sus pasivos relacionados con el desarrollo de su software y cubrir el diseño y desarrollo de tarjetas de pre-pago para uso de su plataforma. Con esta inversión, se pronostica que el valor presente neto de los flujos libres de efectivo de O sea de $100,000,000 MXN en 2018.
Para esta negociación, I propone invertir $3,000,000 MXN en (O) para adquirir el 10% de la participación accionaria de esa empresa y que corresponde a una valuación de $30,000,000 MXN de O al día de hoy. De estos tres millones que invierte I, O se compromete a invertir $500,000 MXN para adquirir el 10% de las acciones de S y además accede a colocar las viviendas que promueve S en su plataforma digital, por lo que la valuación de S equivale a $5,000,000 MXN al día de hoy.
Con esta información, se pueden definir las restricciones para los pagos de las coaliciones de un jugador:
Es decir, S solamente aceptará aquellas negociaciones en las que el valor de la empresa crezca por lo menos, por encima de su valor actual de $5 millones; I las que generen ganancias iguales o mayores a $3 millones, y O las que generen un valor mayor o igual a $30 millones.
Adicionalmente, se sabe que S está dispuesta a negociar con I para levantar el capital que requiere obteniendo una restricción de los pagos que debe ser mayor o igual a $19,000,000, que es el valor estimado que valdría la empresa por la inversión que reciba de I, pero sin las posibles sinergias que podría haber formado con O.
Sin embargo, S no está dispuesta a participar en una negociación comercial en la que la única contraparte sea O. Esto es debido a que a S no le interesa adquirir una participación accionaria en O ni tampoco que O se vuelva accionista de S, pues O no le puede ofrecer a S el expertise que un inversionista como I le puede ofrecer. Por esta razón la coalición entre S y O no puede ocurrir, y se fija en un valor de $35,000,000 MXN cantidad que cada jugador ganaría como mínimo si cada uno actuara por su cuenta.
Ahora bien, en teoría, la coalición entre I y O no podría ocurrir al igual que la coalición anterior. Esto obedece a que S fue el que invitó a I a unirse a la negociación con O, por lo que implícitamente I aceptó participar en la negociación siempre y cuando S estuviera en la negociación. No obstante, S sabe que I y O podrían eliminarla de la negociación y formar una coalición por su cuenta en la que el valor de O aumentaría a $98,000,000 MXN.
Sin embargo, si I decide invertir en ambas empresas, se podrían generar sinergias entre estos 3 actores y el valor de cada empresa aumentaría, de tal forma que el valor total que se podrían repartir sería de $120,000,000 MXN.
Con base en esta información, se resumen todas las coaliciones que componen el Core del juego en la Tabla 5:
Tabla 5 Escenario de Negociación
| Coalición | Valor del Juego |
|---|---|
| (S) | $ 5,000,000 |
| (I) | $ 3,000,000 |
| (O) | $ 30,000,000 |
| (S,I) | $ 19,000,000 |
| (S,O) | $ 35,000,000 |
| (I,O) | $ 98,000,000 |
| (S,I,O) | $ 120,000,000 |
Con lo anterior, aplicando esta metodología y calculando las soluciones que ofrecen Shapley Value y el Centroide, se obtienen los siguientes resultados:
Tabla 6 Negociaciones propuestas
| Jugador | Max Proba | SHV | Centroide |
|---|---|---|---|
| S | 22,000,000 | 12,500,000 | 13,400,000 |
| I | 37,230,000 | 43,000,000 | 41,610,000 |
| O | 60,770,000 | 64,500,000 | 64,990,000 |
| PP | 0.193144 | 0.114995 | 0.125741 |
Como puede observarse en la Tabla 6, la negociación de máxima probabilidad le asigna un pago mayor al jugador S que los pagos que le asignan los métodos SV y el Centroide, aumentando la probabilidad de que la negociación ocurra.
Al inicio de la negociación, el valor agregado de los jugadores S, I y O es de $38 millones ( $5 millones de S, $30 millones de O y $3 millones de I), pero al cooperar y formar la Gran Coalición, el valor total generado es de $120 millones, produciendo así $82 millones adicionales. De acuerdo con la negociación de máxima probabilidad, este valor adicional generado debe repartirse de la siguiente forma: $22 millones para S, que implica una ganancia de $17 millones con respecto a su valor inicial; $37.23 millones para I, que equivale a $34.23 millones de ganancia, y $60.77 millones para O, que corresponde a un incremento de $30.77 millones con respecto a su valor inicial. Como se aprecia en la Tabla 7, cada uno de los 3 jugadores gana más de lo que ganaría si la negociación no se concreta; de hecho, la ganancia para cada uno es:
Tabla 7 Beneficio para cada jugador por participar en la Gran Coalición
| S | I | O | |
|---|---|---|---|
| Ganancia (MXN) | 17,000,000 | 34,230,000 | 30,770,000 |
| Crecimiento (%) | 340% | 1,141% | 102.56% |
Ahora bien, por la simple razón de que cada uno de los jugadores gana una cantidad mayor a la que tiene actualmente, debería ser del interés de todos que la negociación se concrete. Nótese que las valuaciones iniciales de S y O de $20 millones y $100 millones solamente variaron en $2 millones que fueron transferidos al valor de S. Esto significa que, si a S le interesa que la negociación ocurra, debe ofrecer $37.23 millones a I, $60.77 millones a O y quedarse únicamente con $22 millones de los $120 millones que se pueden generar al cooperar entre sí. Es decir, si S busca convencer a I de que invierta en O e indirectamente en S, además del valor generado por el expertise de I y las sinergias con O, debe aceptar que $98 millones de los $120 millones disponibles se los dividan estos otros dos actores. Con este escenario, S estaría capturando $2 millones adicionales a su estimación inicial, mientras que el valor de O bajaría por esta misma cantidad.
En consecuencia, la recomendación que proporciona esta metodología para S en su negociación con I y O es que busque capturar $22 millones, en lugar de $20 millones de los $120 millones disponibles, ofreciendo a I y O un pago de $37.23 millones y $60.77 millones respectivamente.
7. Conclusiones
Este trabajo presenta un método fácil de calcular y con una fuerte justificación racional para desarrollar estrategias de distribución de beneficios en negociaciones comerciales de
La flexibilidad de este método le permite adaptarse a negociaciones reales como se vio en el Caso de Estudio y ofrecer soluciones que sean ejecutables y tengan un racional fuerte. Adicionalmente, el método puede incluir o remover restricciones con facilidad e incluir funciones de utilidad que ayudan a compensar la aversión al riesgo de los distintos actores.
Se debe mencionar que, una limitante de este trabajo es que propone estrategias de negociación solamente en escenarios en los que se puede formar la Gran Coalición. Sin embargo, plantea un nuevo paradigma para extender la literatura en Teoría de Juegos Cooperativos por medio de nuevos algoritmos que usen este método como base para crear estrategias de negociación en subcoaliciones que tengan un Core no vacío, y de esta manera puede generar posibles alternativas al Bargaining Set y otros métodos relacionados.
Actualmente, se está trabajando en aspectos de análisis en relación con este nuevo método, y en mejorar la eficiencia del algoritmo para hacerlo práctico y fácil de utilizar en instancias de mayor tamaño. No obstante, se tiene confianza que, en la práctica, los negociadores encontrarán esta nueva herramienta extremadamente útil, y los académicos encontrarán un nuevo campo de estudio para hacer desarrollos en Teoría de Negociaciones.
